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新课程高中数学训练题组(选修2-3)全套含答案



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《选修 2—3》第一章 计数原理
[基础训练 A 组]
一、选择题 1.将 3 个不同的小球放入 4 个盒子中,则不同放法种数有( ) A. 81 B. 64 C. 12 D. 14 2.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3

台,其中至少有甲型与乙型电视机各 1 台,则不同的取 法共有( ) A. 140 种 B. 84 种 C. 70 种 D. 35 种 3. 5 个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有( ) A. A3
3

B. 4 A3

3

5 2 3 C. A5 ? A3 A3

2 3 1 1 3 D. A2 A3 ? A2 A3 A3

4.a, b, c, d , e 共 5 个人, 从中选 1 名组长 1 名副组长, a 不能当副组长, 但 不同的选法总数是 (



A. 20 B. 16 C. 10 D. 6 5.现有男、女学生共 8 人,从男生中选 2 人,从女生中选 1 人分别参加数学、物理、化学三科竞赛, 共有 90 种不同方案,那么男、女生人数分别是( ) A.男生 2 人,女生 6 人 B.男生 3 人,女生 5 人 C.男生 5 人,女生 3 人 D.男生 6 人,女生 2 人.

?x 1 ? 6.在 ? ? ) ? 的展开式中的常数项是( ?2 3 x? A. 7 B. ?7 C. 28 3 5 7. (1 ? 2x) (2 ? x) 的展开式中 x 的项的系数是( ) A. 120 B. ?120 C. 100
? ? A. 180
n

8

D. ?28 D. ?100 )

8. ? x ?

2 ? ? 展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是( x2 ? B. 90 C. 45 D. 360

二、填空题 1.从甲、乙,??,等 6 人中选出 4 名代表,那么(1)甲一定当选,共有 甲一定不入选,共有 种选法.(3)甲、乙二人至少有一人当选,共有 2. 4 名男生, 4 名女生排成一排,女生不排两端,则有 种不同排法. 3.由 0,1,3,5, 7,9 这六个数字组成_____个没有重复数字的六位奇数.
10 6 4.在 ( x ? 3) 的展开式中, x 的系数是

种选法. (2) 种选法.

. ,

5.在 (1? x ) 展开式中,如果第 4r 项和第 r ? 2 项的二项式系数相等,则 r ?
2 20

T4r ?

.

6.在 1, 2,3,...,9的九个数字里,任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数,这样的四位数有 个? 7.用 1, 4, 5, x 四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为 288 ,则 x . 8.从 1, 3, 5, 7, 9 中任取三个数字,从 0, 2, 4, 6,8 中任取两个数字,组成没有重复数字的五位数,共有___ 个? 三、解答题 1.判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出结果. (1)高三年级学生会有 11 人:①每两人互通一封信,共通了多少封信?②每两人互握了一次手,共 握了多少次手?

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(2)高二年级数学课外小组 10 人:①从中选一名正组长和一名副组长,共有多少种不同的选法?② 从中选 2 名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法?

,3 ,7,11 ,17,19 (3)有 2 ,5 ,13 八个质数:①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商?②从 中任取两个求它的积,可以得到多少个不同的积?
2. 7 个排成一排,在下列情况下,各有多少种不同排法? (1)甲排头, (2)甲不排头,也不排尾,

(3)甲、乙、丙三人必须在一起,

(4)甲、乙之间有且只有两人,

(5)甲、乙、丙三人两两不相邻,

(6)甲在乙的左边(不一定相邻) ,

(7)甲、乙、丙三人按从高到矮,自左向右的顺序,

(8)甲不排头,乙不排当中。

4 3 3.解方程 (1) A2 x ? 140 Ax ;

n ?1 n ?1 n n (2)Cn ?3 ? Cn ?1 ? Cn ?1 ? Cn ? 2

? 2 1? 4.已知 ? x ? ? 展开式中的二项式系数的和比 (3a ? 2b)7 展开式的二项式系数的和大 128 ,求 x? ? ? 2 1? ? x ? ? 展开式中的系数最大的项和系数量小的项. x? ?
n

n

(1+x)的展开式中,若第 3 项与第 6 项系数相等,且 n 等于多少? 5. (1)在

n

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(2) ? x x ?

? ?

1 ? ? 的展开式奇数项的二项式系数之和为 128 ,则求展开式中二项式系数最大项。 3 x?

n

6 . 已 知 (2 ? 3x)

50

? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ? ? a50 x50 , 其 中 a0 , a1, a2 , a5 0常 数 , 计 算 是 ?

(a0 ? a2 ? a4 ? ? ? a50 ) 2 ? (a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a49 ) 2

《选修 2-3》第一章 计数原理
[综合训练 B 组]
一、选择题 1.由数字 1 、 2 、 3 、 4 、 5 组成没有重复数字的五位数,其中小于 50000 的偶数共有( A. 60 个 B. 48 个 C. 36 个 D. 24 个 2. 3 张不同的电影票全部分给 10 个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是( ) A. 1260 B. 120 C. 240 D. 720 3. n ? N 且 n ? 55 ,则乘积 (55 ? n)(56 ? n)? (69 ? n) 等于( ) A. A69 ? n
55 ? n



B. A69? n

15

C. A55? n

15

D. A69? n

14

4. 从字母 a, b, c, d , e, f 中选出 4 个数字排成一列, 其中一定要选出 a 和 b , 并且必须相邻 a 在 b 的 ( 前面) ,共有排列方法( )种. A. 36 B. 72 C. 90 D. 144 5.从不同号码的 5 双鞋中任取 4 只,其中恰好有 1 双的取法种数为( ) A. 120 B. 240 C. 280 D. 60
10 6.把 ( 3i ? x ) 把二项式定理展开,展开式的第 8 项的系数是(

) D. 360 3i ) D. 112

A. 135
2n

B. ?135
2

C. ?360 3i

7. ? 2 x ? 1 ? 的展开式中, x
? ? ? 2x ?

的系数是 224 ,则 1 的系数是( x2 C. 56
5

A. 14
3 10

B. 28

8.在 (1? x )(1? x) 的展开中, x 的系数是( ) A. ?297 B. ?252 C. 297 D. 207 二、填空题 1. n 个人参加某项资格考试,能否通过,有 种可能的结果? 2.以 1 2, ,这几个数中任取 4 个数,使它们的和为奇数,则共有 种不同取法. ,3? 9 3.已知集合 S ? ??1,0,1? , P ? ?1,2,3,4? ,从集合 S , P 中各取一个元素作为点的坐标,可作出不同的点共有 ____个.
n n n 4. n, k ? N 且 n ? k , 若 Ck ?1 : Ck : Ck ?1 ? 1: 2 : 3, 则 n ? k ? ______.

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5. ? x ? 1 ? 1? 展开式中的常数项有
? ? x ? ?

5

6.在 50 件产品 n 中有 4 件是次品,从中任意抽了 5 件,至少有 3 件是次品的抽法共有______种(用数字 作答). 7. ( x ?1) ? ( x ?1)2 ? ( x ?1)3 ? ( x ?1)4 ? ( x ?1)5 的展开式中的 x 的系数是___________
3

8. A ? ?1, 2,3, 4,5,6,7,8,9? ,则含有五个元素,且其中至少有两个偶数的子集个数为_____. 三、解答题 1.集合 A 中有 7 个元素,集合 B 中有 10 个元素,集合 A ? B 中有 4 个元素,集合 C 满足 ⑴ C 有 3 个元素; 个数. ⑵C

A ? B;

⑶ C ? B ? ? , C ? A ? ? 求这样的集合 C 的集合

2 97 2.计算:⑴ C100 ? C100 ? A3 ; 101

?

?

3 3 3 ⑵ C3 ? C4 ? ? ? C10 .



m n Cn ?1 Cn ?m?1 ? n?m Cm Cn n

3.证明: A n ? mAn
m

m ?1

m ? An ?1 .

4.求 ( x ?

1 ? 2)3 展开式中的常数项。 x

5.从 ??3, ?2, ?1, 0,1, 2,3, 4 中任选三个不同元素作为二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的系数,问能组成多 ? 少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线? 6. 8 张椅子排成,有 4 个人就座,每人 1 个座位,恰有 3 个连续空位的坐法共有多少种?

《选修 2—3》第一章 计数原理
[提高训练 C 组]
一、选择题
3 4 1.若 An ? 6Cn ,则 n 的值为(



A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2.某班有 30 名男生,30 名女生,现要从中选出 5 人组成一个宣传小组,其中男、女学生均不少于 2 人的选法为( )
2 2 1 A. C 30 C20 C46
5 5 5 B. C50 ? C30 ? C20

3 2 2 3 5 1 4 4 1 C. C50 ? C30C20 ? C30C20 D. C30C20 ? C30C20

3. 6 本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人两本,不同的分法种数是( ) 2 2 2 2 2 3 3 A. C6 C4 B. C6 C 43C 2 C. 6 A 3 D. C 6 A3 4. 设含有 10 个元素的集合的全部子集数为 S , 其中由 3 个元素组成的子集数为 T , T 的值为 则 ( S A. 20 B. 15 C. 16 D. 21
128
4



128
2 3 4

128
2

128

2 5.若 (2 x ? 3) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? a3 x ? a4 x ,则 (a0 ? a2 ? a4 ) ? (a1 ? a3 ) 的值为(



A. 1
n

B. ? 1

C. 0

D. 2 )

6.在 ( x ? y) 的展开式中,若第七项系数最大,则 n 的值可能等于(

A. 13,14 B. 14,15 C. 12,13 D. 11,12,13 7.不共面的四个定点到平面 ? 的距离都相等,这样的平面 ? 共有( )
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A. 3 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 7 个 8.由 0,1, 2,3,...,9 十个数码和一个虚数单位 i 可以组成虚数的个数为( ) A. 100 B. 10 C. 9 D. 90 二、填空题 1.将数字 1, 2, 3, 4 填入标号为 1, 2, 3, 4 的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的 数字均不同的填法有 种? 2. 在△ AOB 的边 OA 上有 5 个点,边 OB 上有 6 个点,加上 O 点共个点,以这 12 个点为顶点的三角形有 个. 3.从 0 , 1, 2,3, 4,5, 6 这七个数字中任取三个不同数字作为二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的系数 a, b, c 则 可组成不同的函数_______个,其中以 y 轴作为该函数的图像的对称轴的函数有______个.

9 3 4.若 ? a ? x ? 的展开式中 x 的系数为 ,则常数 a 的值为 ? ? ?x ? 4 2? ? 2 2 2 2 5.若 C3 ? C4 ? C5 ? ? ? Cn ? 363, 则自然数 n ? _____.
6.若 1 ? 1 ? m m
C5 C6
5

9

.

7 ,则 C m ? __________ . 8 m 10C7

7. 0.991 的近似值(精确到 0.001 )是_____.
7 2 8.已知 (1 ? 2 x) ? ao ? a1 ? a2 x ? ? ? a7 x 7 ,那么 a1 ? a2 ??? a7 等于_____.

三、解答题 1. 6 个人坐在一排 10 个座位上,问(1)空位不相邻的坐法有多少种?(2) 4 个空位只有 3 个相邻的坐法 有多少种?(3) 4 个空位至多有 2 个相邻的坐法有多少种? 2.有 6 个球,其中 3 个黑球,红、白、蓝球各 1 个,现从中取出 4 个球排成一列,共有多少种不同的排 法? 3.求 (1 ? 2x)5 (1 ? 3x)4 展开式中按 x 的降幂排列的前两项. 4.用二次项定理证明 C
0 n 2 n

2n?2

? 8n ? 9 能被 64 整除 ? n ? N ? .
3

n 5.求证: C ? 2C ? ? ? (n ? 1)Cn ? 2 n ? n ? 2 n ?1 .

6. (1)若 (1 ? x)n 的展开式中, x 的系数是 x 的系数的 7 倍,求 n ;
3 2 4 (2)已知 (ax ? 1)7 (a ? 0) 的展开式中, x 的系数是 x 的系数与 x 的系数的等差中项,求 a ;

(3)已知 (2x ? xlg x )8 的展开式中,二项式系数最大的项的值等于 1120 ,求 x . 离散型随机变量解答题精选(选修 2--3) 1. 人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,假设拨过了的号码不再重复,试求下列 事件的概率: ⑴第 3 次拨号才接通电话; ⑵拨号不超过 3 次而接通电话.

2. 出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗,假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立 的,并且概率都是 . ⑴求这位司机遇到红灯前,已经通过了两个交通岗的概率; ⑵求这位司机在途中遇到红灯数ξ 的期望和方差。
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3. 奖器有 10 个小球,其中 8 个小球上标有数字 2 , 2 个小球上标有数字 5 ,现摇出 3 个小球,规定 所得奖金(元)为这 3 个小球上记号之和,求此次摇奖获得奖金数额的数学期望

4.某学生语、数、英三科考试成绩,在一次考试中排名全班第一的概率:语文为 0.9 ,数学为 0.8 , 英语为 0.85 ,问一次考试中 ⑴三科成绩均未获得第一名的概率是多少? ⑵恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少

5.如图, A, B 两点之间有 6 条网线并联,它们能通过的最大信息量分别 为 1,1, 2, 2,3, 4 .现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量. ⑴设选取的三条网线由 A 到 B 可通过的信息总量为 x ,当 x ? 6 时, 则保证信息畅通.求线路信息畅通的概率; ⑵求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.

6.三个元件 T , T2 , T3 正常工作的概率分别为 1

1 3 3 , , , 将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联 2 4 4

接入电路. ⑴在如图的电路中,电路不发生故障的概率是多少? ⑵三个元件连成怎样的电路,才能使电路中不发生故障的概率最大? 请画出此时电路图,并说明理由.

7.要制造一种机器零件,甲机床废品率为 0.05 ,而乙机床废品率为 0.1 ,而它们的生产是独立的, 从它们制造的产品中,分别任意抽取一件,求: ⑴其中至少有一件废品的概率; ⑵其中至多有一件废品的概率.

8.甲乙两人独立解某一道数学题,已知该题被甲独立解出的概率为 0.6 ,被甲或乙解出的概率为
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0.92 ,⑴求该题被乙独立解出的概率; ⑵求解出该题的人数 ? 的数学期望和方差

9.某保险公司新开设了一项保险业务,若在一年内事件 E 发生,该公司要赔偿 a 元.设在一年内 E 发生的概率为 p ,为使公司收益的期望值等于 a 的百分之十,公司应要求顾客交多少保险金?

10.有一批食品出厂前要进行五项指标检验,如果有两项指标不合格,则这批食品不能出厂.已知 每项指标抽检是相互独立的,且每项抽检出现不合格的概率都是 0.2 . ⑴求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字); ⑵求直至五项指标全部验完毕,才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字).

11.高三(1)班、高三(2)班每班已选出 3 名学生组成代表队,进行乒乓球对抗赛. 比赛规则是: ①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛; ②代表队中每名队员至少参加一盘比赛,不得参加 两盘单打比赛. 已知每盘比赛双方胜出的概率均为

1 . 2

⑴根据比赛规则,高三(1)班代表队共可排出多少种不同的出场阵容? ⑵高三(1)班代表队连胜两盘的概率是多少?

12.袋中有大小相同的 5 个白球和 3 个黑球,从中任意摸出 4 个,求下列事件发生的概率. ⑴摸出 2 个或 3 个白球 ⑵至少摸出一个黑球.

新课程高中数学训练题组参考答案 《选修 2-3》 第一章 计数原理 [基础训练 A 组]
一、选择题 1.B 每个小球都有 4 种可能的放法,即 4 ? 4 ? 4 ? 64
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2.C

2 1 分两类: (1)甲型 1 台,乙型 2 台: C C ; (2)甲型 2 台,乙型 1 台: C 4 C5
1 2 1 C4C52 ? C4 C5 ? 70

1 4

2 5

3.C 4.B 5.B

5 2 3 5 2 3 不考虑限制条件有 A5 ,若甲,乙两人都站中间有 A3 A3 , A5 ? A3 A3 为所求

2 1 2 1 不考虑限制条件有 A5 ,若 a 偏偏要当副组长有 A4 , A5 ? A4 ? 16 为所求
2 1 3 设男学生有 x 人,则女学生有 8 ? x 人,则 C x C8? x A3 ? 90,

即 x( x ? 1)(8 ? x) ? 30 ? 2 ? 3 ? 5, x ? 3 6.A
1 4 8? r ? r 8? r x 8? r 1 r r 1 8? r r r 1 8? r r 3 3 Tr ?1 ? C ( ) (? 3 ) ? (?1) ( ) C8 x ? (?1) ( ) C8 x 2 2 2 x 4 1 6 令 8 ? r ? 0, r ? 6, T7 ? (?1)6 ( )8?6 C8 ? 7 3 2 5 5 3 (1 ? 2 x) (2 ? x) ? 2(1 ? 2 x) ? x(1 ? 2 x)5 ? ... ? 2C5 ( ?2 x)3 ? xC52 ( ?2 x) 2 ? ... r 8
3 ? (4C52 ? 16C5 ) x 3 ? ... ? ?120 x 3 ? ...

7.B

8.A

只有第六项二项式系数最大,则 n ? 10 ,
r Tr ?1 ? C10 ( x )10? r ( 5 5? r 2 r 5 r 2 ) ? 2r C10 x 2 ,令 5 ? r ? 0, r ? 2, T3 ? 4C10 ? 180 2 x 2

二、填空题 1. (1) 10 2. 8640 3. 480 4. 1890 5. 4, ?C20 x 6. 840 7. 2
3 C5 ? 10 ; (2) 5

C54 ? 5 ; (3) 14

4 4 C6 ? C4 ? 14

4 4 4 4 先排女生有 A6 ,再排男生有 A4 ,共有 A6 ? A4 ? 8640
1 1 0 既不能排首位,也不能排在末尾,即有 A4 ,其余的有 A55 ,共有 A4 ? A55 ? 480 4 r Tr ?1 ? C10 x10?r (? 3)r ,令 10 ? r ? 6, r ? 4, T5 ? 9C10 x 6 ? 1890 x 6 15 30 4 C2 r0? 1 ? C r ? 01 4 ? 1 r ? ? ? 1 2 , r

2r0? ,

T 4 1, 6C ?

15 20

5 ? x ( 2 ?1 ?C x )

15 20

30

2 2 2 2 先排首末,从五个奇数中任取两个来排列有 A5 ,其余的 A7 ,共有 A5 ? A7 ? 840

4 当 x ? 0 时,有 A4 ? 24 个四位数,每个四位数的数字之和为 1? 4 ? 5 ? x

2 4 ( ? ? ?5x ? ) 1 4
8. 11040 三、解答题

2x8?8 , ;当2 ? 0 时, 288 不能被 10 整除,即无解 x

3 2 5 3 1 4 不考虑 0 的特殊情况,有 C5 C5 A5 ? 12000, 若 0 在首位,则 C5 C4 A4 ? 960,

3 5 3 1 4 C5 C52 A5 ? C5 C4 A4 ? 12000 ? 960 ? 11040
2 2 1.解: (1)①是排列问题,共通了 A11 ? 110 封信;②是组合问题,共握手 C11 ? 55 次。 2 2 (2)①是排列问题,共有 A10 ? 90 种选法;②是组合问题,共有 C10 ? 45 种选法。 2 2 (3)①是排列问题,共有 A8 ? 56 个商;②是组合问题,共有 C8 ? 28 个积。 6 6 2.解: (1)甲固定不动,其余有 A6 ? 720 ,即共有 A6 ? 720 种; 1 6 1 6 (2)甲有中间 5 个位置供选择,有 A5 ,其余有 A6 ? 720 ,即共有 A5 A6 ? 3600 种;

(3)先排甲、乙、丙三人,有 A3 ,再把该三人当成一个整体,再加上另四人,相当于 5 人的
5 5 3 全排列,即 A5 ,则共有 A5 A3 ? 720 种;

3

(4)从甲、乙之外的 5 人中选 2 个人排甲、乙之间,有 A5 ,甲、乙可以交换有 A2 , 把该四人当成一个整体,再加上另三人,相当于 4 人的全排列,
·8·

2

2

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则共有 A A A ? 960 种;
2 5 2 2 4 4

(5)先排甲、乙、丙之外的四人,有 A4 ,四人形成五个空位,甲、乙、丙三人排
3 3 4 这五个空位,有 A5 ,则共有 A5 A4 ? 1440 种;

4

(6)不考虑限制条件有 A7 ,甲在乙的左边(不一定相邻) ,占总数的一半,

7

1 7 A7 ? 2520 种; 2 4 (7)先在 7 个位置上排甲、乙、丙之外的四人,有 A7 ,留下三个空位,甲、乙、丙三人按从

4 高到矮,自左向右的顺序自动入列,不能乱排的,即 A7 ? 840

(8)不考虑限制条件有 A7 ,而甲排头有 A6 ,乙排当中有 A6 ,这样重复了甲排头,乙排当
5 7 6 5 中 A5 一次,即 A7 ? 2 A6 ? A5 ? 3720

7

6

6

?2 x ? 1 ? 4 ?x ? 3 ? 4 3 3.解: (1) A2 x ?1 ? 140 Ax ? ? ?x ? N ?(2 x ? 1)2 x(2 x ? 1)(2 x ? 2) ? 140 x( x ? 1)( x ? 2) ? ?x ? 3 ? ? ?x ? N ?(2 x ? 1)(2 x ? 1) ? 35( x ? 2) ?
?x ? 3 ? ? ?x ? N ?4 x 2 ? 35 x ? 69 ? 0 ?
得x ?3

(2)C

2 n ?3

?C

2 n ?1

1 2 2 1 2 2 ? Cn ?1 ? Cn , Cn ? 2 ? Cn ? 2 ? Cn ? 2 ? Cn

n(n ? 1) ,n ? 4 2 8 1 r ? 2 1? r 2 8? r r r 16?3r 4.解: 2n ? 27 ? 128, n ? 8 , ? x ? ? 的通项 Tr ?1 ? C8 ( x ) (? ) ? (?1) C8 x x? x ? 4 当 r ? 4 时,展开式中的系数最大,即 T5 ? 70 x 为展开式中的系数最大的项;
1 2 Cn ? 2 ? Cn , n ? 2 ?
7 当 r ? 3, 或5 时,展开式中的系数最小,即 T2 ? ?56 x , T6 ? ?56 x 为展开式中

的系数最小的项。
2 5 5.解: (1)由已知得 Cn ? Cn ? n ? 7

1 3 5 n ?1 (2)由已知得 Cn ? Cn ? Cn ? ... ? 128, 2 ? 128, n ? 8 ,而展开式中二项式

系数最大项是 T4?1 ? C8 ( x x ) ( 3
4 4

1 4 ) ? 70 x 4 3 x 2 。 x
50

50 50 6.解:设 f ( x) ? (2 ? 3 x) ,令 x ? 1 ,得 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a50 ? (2 ? 3)

令 x ? ?1 ,得 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a50 ? (2 ? 3)
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(a0 ? a2 ? a4 ? ? ? a50 ) ? (a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a49 ) ?
2 2

(a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a50 )(a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a50 ) ? (2 ? 3)50 (2 ? 3)50 ? 1

《选修 2-3》第一章 计数原理
一、选择题 1.C 2.D 3.B 4.A 5.A 6.D 7 . A
8 ? 2r ? ?2, r ? 5, T6 ?
1 1 3 1 1 3 个位 A2 ,万位 A3 ,其余 A3 ,共计 A2 A3 A3 ? 36 3 相当于 3 个元素排 10 个位置, A10 ? 720

[综合训练 B 组]

从 55 ? n 到 69 ? n 共计有 15 个正整数,即 A69? n
15 2 3 2 3 从 c, d , e, f 中选 2 个,有 C4 ,把 a, b 看成一个整体,则 3 个元素全排列, A3 ,共计 C4 A3 ? 36 1 C5 (C82 ? 4) ? 120

7 T8 ? C10 ( 3i)3 (? x)7 ? 360 3ix7 ,系数为 360 3i
2 n ?1 n ?1 1 Tr ?1 ? C2rn (2 x)2n?r ( )r ? 22n?r C2rn x2n?2r , 令 2n ? 2r ? 2, r ? n ? 1 , 则 2 C2 n ? 224, C2 n ? 56, n ? 4 , 再 令 2x

C83 ?2 14 x ? 2 4 x

8.D 1. 2n 2. 60 3. 23 4. 3 5. ?51

5 2 (1 ? x3 )(1 ? x)10 ? (1 ? x)10 ? x 3 (1 ? x)10 ? (C10 ? C10 ) x 5 ? ... ? 207 x 5 ? ...

二、填空题 每个人都有通过或不通过 2 种可能,共计有 2 ? 2 ?...? 2(n个2) ? 2n
1 3 3 1 四个整数和为奇数分两类:一奇三偶或三奇一偶,即 C5C4 ? C5 C4 ? 60
1 1 2 C3 C4 A2? 1 ? 2 3 ,其中 (1,1) 重复了一次 n ? 1 ,k ? 2

? 1 ? ( x ? )? ? x

' r r r 5?r ?2r ? ,令 5 ? r ? 2r 1 的通项为 (?1) C5 C5?r x ? ?
5
' '

? 0 得 r ' ? 5 ? r ,当 r ? 1 时, r' ? 2 ,得常
2

' 数 为 ?30 ; 当 r ? 3 时 , r ? 1 , 得 常 数 为 ?20 ; 当 r ? 5 时 , r ? 0 , 得 常 数 为 ? 1 ;

'

??30 ? (?20) ? (?1) ? ?51
5

6. 4186

3 2 4 1 3 件次品,或 4 件次品, C4 C46 ? C4 C46 ? 4186
6

7. 15 原式 ? ( x ?1)[1? ( x ?1) ] ? ( x ?1) ? ( x ?1) , (x ?1)6 中含有 x 4 的项是 C62 x 4 (?1)2 ? 15 x 4 ,所以展开式中的 x 3 的系数 1 ? ( x ?1) x 是 15 8. 105
2 3 3 2 4 1 5 5 4 1 直接法:分三类, C4 C5 ? C4 C5 ? C4 C5 ? 105 ;间接法: C9 ? C5 ? C5 C4 ? 105

三、解答题 1.解: A ? B 中有元素 7 ?10 ? 4 ? 13

C13 3? C 36 ? C 33 ? 8 6 ? 2 0 ? 1 ? 2。 5 2 6

3 2 3 3 3 3 3 3 2.解: (1)原式 ? (C100 ? C100 ) ? A101 ? C101 ? A101 ? A101 ? A101 ? 1 ? A3 ? 1 。 3 A3 6

3 4 4 4 4 4 4 4 (2)原式 ? C3 ? C5 ? C4 ? C6 ? C5 ? ? ? C11 ? C10 ? C11 ? 330 。

另一方法:
3 3 3 3 3 4 3 4 原式 ? C44 ? C4 ? C53 ? ? ? C10 ? C53 ? ? C10 ? C64 ? C6 ? ? ? C10 ? ? ? C10 ? C10 ? C11 ? 330

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C ?C C C C ? ? 1? ? ?1 m Cn C C C 3.证明:左边 ? n ! ? m ? n ! ? (n ? m ? 1) ? n !? m ? n ! ? (n ? 1)! ? Anm?1 ? 右边, 所以等式成立。 (n ? m)! (n ? m ? 1)! (n ? m ? 1)! [(n ? 1) ? m]!
(3)原式 ?
m n

m ?1 n

m ?1 n m n

m ?1 n m n

m ?1 n m n

3 6 3 3 4.解: ( x ? 1 ? 2)3 ? (1 ? x ) ,在 (1 ? x )6 中, x 的系数 C6 ( ?1) ? ?20 就是展开式中的常数项。 3

x

x

3 另一方法: 原式 ? ( x ? 1 )6 , T4 ? C6 (?1)3 ? ?20 x

1 1 5.解:抛物线经过原点,得 c ? 0 ,当顶点在第一象限时, a ? 0, ? b ? 0,即 ?a ? 0 ,则有 C3 C4 种; ?

2a ?b ? 0 ? a ? 0 ,则有 A2 种;共计有 C 1C 1 当顶点在第三象限时, a ? 0, ? b ? 0,即 ? 3 4 4 2a ?b ? 0
4

2 ? A4 ? 24 种。

6.解:把 4 个人先排,有 A4 ,且形成了 5 个缝隙位置,再把连续的 3 个空位和 1 个空位
2 4 2 当成两个不同的元素去排 5 个缝隙位置,有 A5 ,所以共计有 A4 A5 ? 480 种。

《选修 2-3》
一、选择题 1.B 2.D

第一章 计数原理

[提高训练 C 组]

n! n! ? 6? , n ? 3 ? 4, n ? 7 (n ? 3)! (n ? 4)!? 4! 2 3 3 2 男生 2 人,女生 3 人,有 C30C20 ;男生 3 人,女生 2 人,有 C30C20
2 3 3 2 共计 C30C20 ? C30 C20

3.A 4.B

甲得 2 本有 C6 ,乙从余下的 4 本中取 2 本有 C4 ,余下的 C2 ,共计 C6 C4
10 含有 10 个元素的集合的全部子集数为 S ? 2 ,由 3 个元素组成的子集数

2

2

2

2

2

5.A

3 T C10 15 ? ? 为T ? C S 210 128 (a0 ? a2 ? a4 ) 2 ? (a1 ? a3 ) 2 ? (a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 )(a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 )
3 10 ,

? (2 ? 3) 4 ? (2 ? 3) 4 ? 1
6.D 分三种情况: (1)若仅 T7 系数最大,则共有 13 项, n ? 12 ; (2)若 T7 与 T6 系数相等且最大, 则共有 12 项, n ? 11 ; (3)若 T7 与 T8 系数相等且最大,则共有 14 项, n ? 13 ,所以 n 的 值可能等于 11,12,13 7.D 四个点分两类: (1)三个与一个,有 C 4 ; (2)平均分二个与二个,有
1 4
1

2 C4 2

8.D 二、填空题 1. 9

2 C4 ?7 共计有 C ? 2 复数 a ? bi, (a, b ? R) 为虚数,则 a 有 10 种可能, b 有 9 种可能,共计 90 种可能

分三类:第一格填 2 ,则第二格有 A3 ,第三、四格自动对号入座,不能自由排列; 第一格填 3 ,则第三格有 A3 ,第一、四格自动对号入座,不能自由排列; 第一格填 4 ,则第撕格有 A3 ,第二、三格自动对号入座,不能自由排列;
1 共计有 3 A3 ? 9
1 1

1

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2. 165 3. 180,30 4. 4

C ? C ? C ? 165
3 12 3 6 3 7
1 1 1 a ? 0 , C6C6C5 ? 180 ; b ? 0, A62 ? 30

5. 13

a 9? r x r 2 r 9?r r 32r ?9 3r r Tr ?1 ? C ( ) (? ) ? (?1) ( ) a C9 x ,令 ? 9 ? 3, r ? 8 2 x 2 2 2 9 9 8 (?1)8 ( )8 aC9 ? a ? , a ? 4 2 16 4 3 2 2 2 2 C3 ? C 32 ? C 4? C 52 ? ? Cn ? 3 6 3 1 , ?3C ?4C ? ? ? Cn ? 2 3 6 4 , ? ? C 4 5
r 9
3 2 3 C5 ? C52 ? ? ? Cn ? ... ? Cn ?1 ? 364, n ? 13

6. 28

6! 7 7! ? ? , m2 ? 2 3 ? 4 ? m 2 !? m (6 ) ! m 0 ? m! ( 7 1 )! m 2 而 0 ? m ? 5 ,得 m ? 2, C8 ? C8 ? 28

5! ? m! ( 5 m ) ! m ?

0

7. 0.956

0.9915 ? (1? 0.009)5 ? 1? 5? 0.009 ?10 ? (0.009)2 ? ... ? 1 ? 0.045 ? 0.00081 ? 0.956 7 8. ?2 设 f ( x) ? (1? 2x)n ,令 x ? 1 ,得 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ? (1 ? 2) ? ?1 令 x ? 0 ,得 a0 ? 1 , a1 ? a2 ??? a7 ? ?1? a0 ? ?2
三、解答题 1.解: 6 个人排有 A6 种, 6 人排好后包括两端共有 7 个“间隔”可以插入空位.
4 (1)空位不相邻相当于将 4 个空位安插在上述 7 个“间隔”中,有 C7 ? 35 种插法, 6 C4 故空位不相邻的坐法有 A6 ? 7 ? 25200 种。

6

(2)将相邻的 3 个空位当作一个元素,另一空位当作另一个元素,往 7 个“间隔”里插
2 6 2 有 A7 种插法,故 4 个空位中只有 3 个相邻的坐法有 A6 A7 ? 30240 种。

(3) 4 个空位至少有 2 个相邻的情况有三类: ① 4 个空位各不相邻有 C7 种坐法; ② 4 个空位 2 个相邻,另有 2 个不相邻有 C 7 C 6 种坐法; ③ 4 个空位分两组,每组都有 2 个相邻,有 C7 种坐法.
6 4 1 2 2 综合上述,应有 A6 (C7 ? C7C6 ? C7 ) ? 118080 种坐法。 4 2.解:分三类:若取 1 个黑球,和另三个球,排 4 个位置,有 A4 ? 24 ; 2 1 2 4

若取 2 个黑球,从另三个球中选 2 个排 4 个位置, 2 个黑球是相同的,
2 2 自动进入,不需要排列,即有 C3 A4 ? 36 ;

若取 3 个黑球,从另三个球中选 1 个排 4 个位置, 3 个黑球是相同的,
1 1 自动进入,不需要排列,即有 C3 A4 ? 12 ;

所以有 24 ? 36 ?12 ? 72 种。 3.解: (1? 2x)5 (1? 3x)4 ? ?(2x ?1)5 (3x ?1)4
1 1 ? ?[(2 x)5 ? C5 (2 x) 4 ? ...][(3 x) 4 ? C4 (3 x)3 ? ...]

? ?(32x5 ? 80x4 ? ...)(81x4 ?108x3 ? ...) ? ?(2592 x 9 ? 81? 80 x8 ? 32 ? 108 x8 ? ...)
? ?2592 x 9 ? 3024 x8 ? ...
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4.解: 3

? 8n ? 9 ? 9 ? 8n ? 9 ? (8 ?1) ? 8n ? 9 1 n ?1 n n ?1 ? C 8 ? Cn?18n ? ? ? Cn?1 82 ? Cn?18 ? Cn?1 ? 8n ? 9
0 n ?1 n ?1 0 1 n ?1 ? 64(Cn ?18n?1 ? Cn?18n?2 ? ? ? Cn?1 ) ? 8(n ? 1) ? 1 ? 8n ? 9

2n?2

n?1

n?1

0 1 n ?1 ? M ? 64(记M ? Cn ?18n?1 ? Cn?18n?2 ? ? ? Cn?1 ) ? M 为整数 ,? 64M 能被64整除. 0 1 2 n 5.证明: Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ... ? ( n ? 1)Cn
0 1 2 n 1 2 n ? (Cn ? Cn ? Cn ? ... ? Cn ) ? (Cn ? 2Cn ? ... ? nCn )

1 2 n ?1 ? 2n ? n(1 ? Cn ?1 ? Cn ?1 ? ... ? Cn ?1 )

? 2n ? n ? 2n ?1
3 1 6.解: (1) Cn ? 7Cn ,

n(n ? 1)(n ? 2) ? 7n, n2 ? 3n ? 40 ? 0,由n ? N * ,得n ? 8 ; 6 5 2 3 4 4 3 2 4 3 (2) C7 a ? C7 a ? 2C7 a , 21a ? 35a ? 70a , a ? 0
得 5a ? 10a ? 3 ? 0 ? a ? 1 ?
2
4 4 lg x 4 4(1? lg x ) (3) C8 (2 x) ( x ) ? 1120, x

10 ; 5 ? 1, lg 2 x ? lg x ? 0

得 lg x ? 0 ,或 lg x ? ?1 所以 x ? 1, 或x ?

1 。 10

离散型随机变量解答题精选(选修 2--3) 1.人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,假设拨过了的号码不再重复,试求下列事 件的概率: ⑴第 3 次拨号才接通电话; ⑵拨号不超过 3 次而接通电话. 解:设 Ai ? {第 i 次拨号接通电话}, i ? 1, 2,3 ⑴第 3 次才接通电话可表示为 A1 A2 A3 于是所求概率为 P( A1 A2 A3 ) ? 9 ? 8 ? 1 ? 1 ; 10 9 8 10 ⑵拨号不超过 3 次而接通电话可表示为: A1 ? A1 A2 ? A1 A2 A3 于是所求概率为

P( A1 ? A1 A2 ? A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? 1 ? 9 ? 1 ? 9 ? 8 ? 1 ? 3 .
10 10 9 10 9 8 10

2.出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗,假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的, 并且概率都是 . ⑴求这位司机遇到红灯前,已经通过了两个交通岗的概率; ⑵求这位司机在途中遇到红灯数ξ 的期望和方差。 解:⑴因为这位司机第一,二个交通岗未遇到红灯,在第三个交通岗遇到红灯, 所以
1 1 1 4 P ? (1 ? )(1 ? ) ? ? . 3 3 3 27

1 3

⑵易知 ? ~ B(6, ).

1 3

∴ E? ? 6 ? 1 ? 2. 3

1 1 4 D? ? 6 ? ? (1 ? ) ? . 3 3 3
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3.奖器有 10 个小球,其中 8 个小球上标有数字 2 , 2 个小球上标有数字 5 ,现摇出 3 个小球,规定所 得奖金(元)为这 3 个小球上记号之和,求此次摇奖获得奖金数额的数学期望 解:设此次摇奖的奖金数额为 ? 元,当摇出的 3 个小球均标有数字 2 时, ? ? 6 ; 当摇出的 3 个小球中有 2 个标有数字 2 ,1 个标有数字 5 时, ? ? 9 ; 当摇出的 3 个小球有 1 个标有数字 2 , 2 个标有数字 5 时, ? ? 12 。
3 1 2 2 1 所以, P (? ? 6) ? C8 ? 7 , P(? ? 9) ? C8 C 2 ? 7 , P (? ? 12 ) ? C 8 C 2 ? 1 , E? ? 6 ? ( 7 ? 9 ? 7 ? 12 ? 1 ? 39 ) 15 C130 15 C130 15 15 15 5 15 C130

答:此次摇奖获得奖金数额的数字期望是

39 元 5

4.某学生语、数、英三科考试成绩,在一次考试中排名全班第一的概率:语文为 0.9 ,数学为 0.8 , 英语为 0.85 ,问一次考试中 ⑴三科成绩均未获得第一名的概率是多少? ⑵恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少 解 : 分 别 记 该 生 语 、 数 、 英 考 试 成 绩 排 名 全 班 第 一 的 事 件 为 A, B, C , 则

P( A)? 0 . 9 , B? P (


)

0.8, P C ?

(

)

0.85

P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C )

? [1 ? P( A)][1 ? P( B)][1 ? P(C )] ? (1 ? 0.9)(1 ? 0.8)(1 ? 0.85) ? 0.003 答:三科成绩均未获得第一名的概率是 0.003 ⑵ P( A ? B ? C ? A ? B ? C ? A ? B ? C ) ? P( A ? B ? C ) ? P( A ? B ? C ) ? P( A ? B ? C )
? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? [1 ? P( A)]P( B) P(C ) ? P( A)[1 ? P( B)]P(C ) ? P( A) P( B)[1 ? P(C )]

? (1 ? 0.9) ? 0.8 ? 0.85 ? 0.9 ? (1 ? 0.8) ? 0.85 ? 0.9 ? 0.8 ? (1 ? 0.85) ? 0.329 答:恰有一科成绩未获得第一名的概率是 0.329 5.如图, A, B 两点之间有 6 条网线并联,它们能通过的最大信息量分别为 1,1, 2, 2,3, 4 .现从中任取
三条网线且使每条网线通过最大的信息量. ⑴设选取的三条网线由 A 到 B 可通过的信息总量为 x ,当 x ? 6 时, 则保证信息畅通.求线路信息畅通的概率; ⑵求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望. 1 1 1 ? C2 ? C2 1 5 1 解:⑴ ?1 ? 1 ? 4 ? 1 ? 2 ? 3 ? 6,? P( x ? 6) ? ? ,?1 ? 2 ? 4 ? 2 ? 2 ? 3 ? 7,? P( x ? 7) ? ? 3 4 C6 20 4
?1 ? 3 ? 4 ? 2 ? 2 ? 4 ? 8,? P( x ? 8) ? ? P( x ? 6) ? 1 1 3 1 3 ? ? ? ? 4 4 20 10 4 3 20

,

? 2 ? 3 ? 4 ? 9,? P( x ? 9) ?

2 1 ? 20 10

,

1 3 ,?1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 2 ? 2 ? 5, P( x ? 5) ? 10 20 1 3 1 1 3 1 ∴线路通过信息量的数学期望 ? 4 ? ? 5 ? ? 6? ? 7 ? ? 8? ? 9 ? ? 6.5 10 20 4 4 20 10
⑵?1 ? 1 ? 2 ? 4, P( x ? 4) ? 答:⑴线路信息畅通的概率是

3 . 4

⑵线路通过信息量的数学期望是 6.5

6.三个元件 T , T2 , T3 正常工作的概率分别为 1 , 3 , 3 , 将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接 1 2 4 4
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入电路. ⑴在如图的电路中,电路不发生故障的概率是多少? ⑵三个元件连成怎样的电路,才能使电路中不发生故障的概率最大? 请画出此时电路图,并说明理由. 解:记“三个元件 T , T2 , T3 正常工作”分别为事件 A , A2 , A3 ,则 1 1

1 3 3 , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? . 2 4 4 ⑴不发生故障的事件为 ( A2 ? A3 ) A . 1 P( A1 ) ?
∴不发生故障的概率为 P ? P[( A2 ? A3 ) A1 ] ? P( A1 ? A3 ) ? P( A ) 1 1

1 1 1 15 ? [1 ? P( A2 ) ? P( A3 )] ? P( A1 ) ? [1 ? ? ] ? ? 4 4 2 32
⑵如图,此时不发生故障的概率最大.证明如下: 图 1 中发生故障事件为 ( A ? A2 ) A3 1 ∴不发生故障概率为

P2 ? P[( A1 ? A2 ) A3 ] ? P( A1 ? A2 ) ? P( A3 ) ? [1 ? P( A1 ) ? P( A2 )]P( A3 ) ?

图 2 不发生故障事件为 ( A ? A3 ) A2 ,同理不发生故障概率为 P ? P ? P 1 3 2 1

21 ,? P ? P 2 1 32

7.要制造一种机器零件,甲机床废品率为 0.05 ,而乙机床废品率为 0.1 ,而它们的生产是独立的, 从它们制造的产品中,分别任意抽取一件,求: ⑴其中至少有一件废品的概率;⑵其中至多有一件废品的概率. 解:设事件 A ? “从甲机床抽得的一件是废品” B ? “从乙机床抽得的一件是废品”.则 ;

P( A) ? 0.05, P( B) ? 0.1

⑴至少有一件废品的概率 P( A ? B) ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ? P( A) ? P( B) ? 1 ? 0.95 ? 0.90 ? 0.145 ⑵ 至 多 有 一 件 废 品 的 概



P ? P( A ? B ? A ? B ? A ? B) ? 0.05 ? 0.9 ? 0.95 ? 0.1 ? 0.95 ? 0.9 ? 0.995 8.甲乙两人独立解某一道数学题,已知该题被甲独立解出的概率为 0.6 ,被甲或乙解出的概率为 0.92 ,⑴求该题被乙独立解出的概率;⑵求解出该题的人数 ? 的数学期望和方差 解:⑴记甲、乙分别解出此题的事件记为 A, B .
设甲独立解出此题的概率为 P ,乙为 P .则 P( A) ? P ? 0.6, P(B) ? P 1 2 1 2

P( A ? B) ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ? (1 ? P )(1 ? P2 ) ? P ? P2 ? PP2 ? 0.92,?0.6 ? P2 ? 0.6P2 ? 0.92, 1 1 1

则0.4P ? 0.32即P ? 0.8 2 2


P(? ? 0) ? P( A) ? P( B) ? 0.4 ? 0.2 ? 0.08 P(? ? 1) ? P( A) P( B) ? P( A) P( B) ? 0.6 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.8 ? 0.44

,

P(? ? 2) ? P( A) ? P( B) ? 0.6 ? 0.8 ? 0.48 ?的概率分布为: ? 0 1 0.08 0.44 P E? ? 0 ? 0.08 ? 1 ? 0.44 ? 2 ? 0.48 ? 0.44 ? 0.96 ? 1.4

2 0.48

D? ? (0 ? 1.4) 2 ? 0.08 ? (1 ? 1.4) 2 ? 0.44 ? (2 ? 1.4) 2 ? 0.48 ? 0.1568? 0.0704? 0.1728? 0.4 或利用D? ? E (? 2 ) ? ( E? ) 2 ? 2.36 ? 1.96 ? 0.4
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9.某保险公司新开设了一项保险业务,若在一年内事件 E 发生,该公司要赔偿 a 元.设在一年内 E 发生的概率为 p ,为使公司收益的期望值等于 a 的百分之十,公司应要求顾客交多少保险金? 解:设保险公司要求顾客交 x 元保险金,若以 ? 表示公司每年的收益额,则 ? 是一个随机变量,其分布 列为:

? x x ?a p 1? p P 因此,公司每年收益的期望值为 E? ? x(1 ? p) ? ( x ? a) p ? x ? ap . p 1 . a 为使公司收益的期望值等于 a 的百分之十, 只需 E? ? 0.1a , x ?a ? 0 即 即顾客交的保险金为 a ( p ? 0.1) 时,可使公司期望获益 0.1a .

, 故可得 x ? a ( p ? 0.1) .

10.有一批食品出厂前要进行五项指标检验,如果有两项指标不合格,则这批食品不能出厂.已知 每项指标抽检是相互独立的,且每项抽检出现不合格的概率都是 0.2 . ⑴求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字); ⑵求直至五项指标全部验完毕,才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字).
5 1 4 解:⑴这批食品不能出厂的概率是: P ? 1 ? 0.8 ? C5 ? 0.8 ? 0.2 ? 0.263 .
1 3 ⑵五项指标全部检验完毕,这批食品可以出厂的概率是: P ? C4 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.8 1 1 3 五项指标全部检验完毕,这批食品不能出厂的概率是: P2 ? C4 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.2

由互斥事件有一个发生的概率加法可知,五项指标全部检验完毕,才能确定这批产品是否出厂的概
1 3 率是: P ? P ? P2 ? C4 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.4096 . 1

11.高三(1)班、高三(2)班每班已选出 3 名学生组成代表队,进行乒乓球对抗赛. 比赛规则是: ①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛; ②代表队中每名队员至少参加一盘比赛,不得参加 两盘单打比赛. 已知每盘比赛双方胜出的概率均为

1 . 2

⑴根据比赛规则,高三(1)班代表队共可排出多少种不同的出场阵容? ⑵高三(1)班代表队连胜两盘的概率是多少?
1 解:⑴参加单打的队员有 A3 种方法.参加双打的队员有 C2 种方法.
2 1 所以,高三(1)班出场阵容共有 A3 ? C 2 ? 12 (种) 2

⑵高三(1)班代表队连胜两盘,可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负,其余两盘胜,

1 1 1 1 1 3 ? ? ? ? ? . 2 2 2 2 2 8 12.袋中有大小相同的 5 个白球和 3 个黑球,从中任意摸出 4 个,求下列事件发生的概率. ⑴摸出 2 个或 3 个白球;⑵至少摸出一个黑球. 解:⑴设摸出的 4 个球中有 2 个白球、 3 个白球分别为事件 A, B ,则 C2 ?C2 3 C 2 ? C1 3 P( A) ? 5 4 3 ? , P( B) ? 5 4 3 ? 7 7 C8 C8 6 ∵ A, B 为两个互斥事件, ∴ P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? 7 6 即摸出的 4 个球中有 2 个或 3 个白球的概率为 7 C54 1 ⑵设摸出的 4 个球中全是白球为事件 C , P (C ) ? 4 ? 则 至少摸出一个黑球为事件 C 的对立事件 C8 14
所以,连胜两盘的概率为
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其概率为 1 ?

1 13 ? 14 14

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