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第3章3.1.1同步训练及解析



人教 A 高中数学必修 5 同步训练

1.实数 x 大于 10,用不等式表示为( ) A.x< 10 C.x> 10 答案:C 2.设 a=3x2-x+1,b=2x2+x,x∈R,则( A.a>b C.a≥b

B.x≤ 10 D.x≥ 10 ) B.a<b D.a≤b

解析:选 C.∵a-b=x2-2x+1=(x-

1)2≥0,∴a≥b. 3.某品牌酸奶的质量检查规定:酸奶中脂肪的含量 f 应不少于 2.5%,蛋白质的含量 p 应不少于 2.3%,则上述关系可用不等式组表示为________. ? ?f≥2.5% 答案:? ?p≥2.3% ? 4.比较 x6+1 与 x4+x2 的大小,其中 x∈R. 解:x6+1-(x4+x2) =x6-x4-x2+1 =x4(x2-1)-(x2-1) =(x2-1)(x4-1) =(x2-1)2(x2+1)≥0. ∴当 x=± 1 时,x6+1=x4+x2; 当 x≠± 1 时,x6+1>x4+x2. 综上所述,x6+1≥x4+x2, 当且仅当 x=± 1 时取等号. 一、选择题 1.某隧道入口竖立着“限高 4.5 米”的警示牌,是指示司机要想安全通过隧道,应使 车载货物高度 h 满足关系为( ) A.h<4.5 B.h>4.5 C.h≤4.5 D.h≥4.5 答案:C 2.实数 x 的绝对值不大于 2,则可用不等式表示为( ) A.|x|>2 B.|x|≥2 C.|x|<2 D.|x|≤2 答案:D 3.下列不等式中不成立的是( ) A.-1>-2 B.-1<2 C.-1≥-1 D.-1≤-2 答案:D 4.某高速公路对行驶的各种车辆的速度 v 的最大限速为 120 km/h,行驶过程中,同一 车道上的车间距 d 不得小于 10 m,则可用不等式表示为( ) ? ?v≤120?km/h? A.? B.v≤120(km/h)或 d≥10(m) ?d≥10?m? ?
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C.v≤120(km/h) D.d≥10(m) 答案:A 5.若 A=a2+3ab,B=4ab-b2,则 A、B 的大小关系是( A.A≤B B.A≥B C.A<B 或 A>B D.A>B 解析:选 B.∵A-B=a2+3ab-(4ab-b2) b 3 =(a- )2+ b2≥0, 2 4

)

∴A≥B. 6.已知 M=x2+y2-4x+2y,N=-5,若 x≠2 或 y≠-1,则( A.M>N B.M<N C.M=N D.不能确定 解析:选 A.∵M=x2+y2-4x+2y

)

=(x-2)2+(y+1)2-5>-5=N,∴M>N. 二、填空题 7.一个棱长为 2 的正方体的上底面有一点 A,下底面有一点 B,则 A、B 两点间的距离 d 满足的不等式为________. 解析:最短距离是棱长 2,最长距离是正方体的体对角线长 2 3.故 2≤d≤2 3. 答案:2≤d≤2 3 1 1 8.若 a>b>0,则 ________ . a b 1 1 b-a 解析:∵ - = ,b-a<0,ab>0, a b ab b-a ∴ <0, ab 1 1 ∴ < . a b 答案:< 9.若实数 a>b,则 a2-ab________ba-b2.(填“>”或“<”) 解析:因为(a2-ab)-(ba-b2)=(a-b)2,又 a>b,所以(a-b)2>0,即 a2-ab>ba-b2. 答案:> 三、解答题 10.有粮食和石油两种物资,可用轮船与飞机两种方式运输,每天每艘轮船和每架飞机 运输效果如下表: 效果方式种类 轮船运输量/t 飞机运输量/t 300 150 粮食 250 100 石油 现在要在一天内至少运输 2000 t 粮食和 1500 t 石油.写出安排轮船艘数和飞机架数所 满足的所有不等关系的不等式. 解:设需要安排 x 艘轮船和 y 架飞机.则 300x+150y≥2000, ? ?250x+100y≥1500, ?x∈N, ? ?y∈N, 6x+3y≥40, ? ?5x+2y≥30, 即? x∈N, ? ?y∈N.

11.在等比数列{an}和等差数列{bn}中,a1=b1>0,a3=b3>0,a1≠a3,试比较 a5 与 b5
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的大小. 解:设等比数列{an}的公比为 q,等差数列{bn}的公差为 d,∵a1=b1>0,a3=a1q2,b3 =b1+2d, 又 a3=b3,∴a1q2=a1+2d,∴2d=a1(q2-1). ∵a1≠a3,∴q2≠1.而 b5-a5=(a1+4d)-a1q4=a1+2a1(q2-1)-a1q4=-a1q4+2a1q2-a1 =-a1(q2-1)2<0,∴b5<a5. 12.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如领队买全票一张,其 余人可享受 7.5 折优惠”.乙车队说:“你们属团体票,按原价的 8 折优惠”.这两车队的 原价、车型都是一样的,试根据单位去的人数,比较两车队的收费哪家更优惠. 解:设该单位有职工 n 人(n∈N*),全票价为 x 元,坐甲车需花 y1 元,坐乙车需花 y2 元, 3 则 y1=x+ x(n-1) 4 1 3 = x+ xn, 4 4 4 y2= nx. 5 所以 y1-y2 1 3 4 = x+ xn- nx 4 4 5 1 1 = x- nx 4 20 1 n = x(1- ). 4 5 当 n=5 时,y1=y2; 当 n>5 时,y1<y2; 当 0<n<5 时,y1>y2. 因此当单位去的人数为 5 时,两车队收费相同;多于 5 人时,选甲车队更优惠;少于 5 人时,选乙车队更优惠.

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