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4.3.1对数的概念



不要以感伤的眼光去看过去, 因为过去再也不会回来了,最聪 明的办法,就是好好对付你的现 在--现在正握在你的手里,你要 以堂堂正正的大丈夫气概去迎接 如梦如幻的未来。 ---朗费罗

复 一、实数指数幂及其运算 (一)根式 1.定义:形如


a (n ? N * 且n ? 1) 叫做根式,

n

>
2. 根式的运算性质 ( ( n a )n ? a 1) (2)当n为奇数时 a ? a
n n

当n为偶数时

n

(二)分数指数幂
m n

(1)a ? n a (a ? 0)

1 n

? a ( a ? 0) a ? a ?? ? ? a ( a ? 0)
n

( 2)a ? n a m (a ? 0, m, n ? N *, 且n ? 1)
( 3)a
? m n

?

1
m n

(a ? 0, m , n ? N *, 且n ? 1)

a (三)实数指数幂的运算法则

(1)a ? a ? a ( 3)( a m )n ? a mn
m n

m?n

(2)a m ? a n ? a m ? a ? n ? a m ? n (4)(ab)n ? a nb n





三、指数函数的定义 (一)指数函数的定义

一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量, 函数的定义域是R。 ⑴定义域是R;⑵规定a>0且a≠1; ⑶形式上的严格性: y ? a x ? y ②指数函数:y ? a (4)注意与幂函数的区别: ①幂函数: ? x
x

(二)指数函数的图象
y?( 1 ) 10
x

y 8

7
6 5

y=10x

1 y?( ) 3

x

y=3x
y=2x
1 2
3

4
3

0<a<1

1 y ? ( )x 2

2 1

?4 ? 3 ?2 ?1

o

4

x

a>1

(三)指数函数的性质
a>1 0<a<1
y
1



y
1



0

x

0

x

(1)定义域: R 性 (2)值域:(0,+∞)

(3)过点(0,1)即x=0时y=1 质
(4)在R上是增函数 (5)当x>0时,y>1 当x<0时,0<y<1 (4)在R上是减函数 (5)当x>0时,0<y<1 当x<0时, y>1

一、教材P45习题4.2

2.8 3 1.3 2.8 < 1.33 y ? 1.3 x 在R上是增函数? 2.8 ? 3 ? 1.3 ? 1.3 1. (1) 1.5 1.5 4 y ? 0.006 x 在R上是减函数 1.5 ? 4 ? 0.006 ? 0.0064 ? (2) 0.006 > 0.006

(3) 9 ? 1 ? 90 解法2.
(0.99)?3 > (4)

0 .5

> 1

作y ? 9 x 的图象 解法1.
(1.01)?3

1 0.5

∴只须比较 9 0.5 与 9 0 的大小

?3 分析:这组数的指数相同,底数不同,∴函数模型是幂函数 y ? x

解: 幂函数 y ? x ?3 的指数-3<0,∴它在 (0,??) 上为减函数
? 0.99 ? 1.01
? (0.99)?3 ? (1.01)?3

两个指数幂比较大小小结:
1.若底数相同而指数不同,则为指数函数模型,用指数函数的单调性 2.若指数相同而底数不同,则为幂函数模型,用幂函数的单调性 3.若指数与底数都不同,则可选用中间值来比较(通常选用1). 0.5 3 如: 3 > 0.5
1 0.5

?3

0.5

?1

1

3

? 0 ? 0.53 ? 1

2. (1) 1.5a ? 1.5b
y ? 1.5 x 在R上是增函数 ?a ? b 4 4 ( )a ? ( )b (2) 5 5 4 x y ? ( ) 在R上是减函数 5 ?a ? b
1 y ? ( )x 6 y

y ? 6x

6

3.

图象如右图

1 -1 o 1 x

4.
5 解: 粮食总产量 y ? 150 ? (1 ? 5.2%)

? 150 ? 1.0525 ? 193.35(亿kg )

答:5年后的年粮食总产量为193.35亿kg

§4.3 §4.3.1





对数的概念

本节课内容: 1.对数的概念 (重点) 2.常用对数和自然对数

引例

我们知道: 如:已知x+2=6,则x=6-2 如:已知x×2=6,则x=6÷2 如:已知 x 3 ? 8, 则x ? 3 8

1.减法是加法的逆运算, 2.除法是乘法的逆运算, 3.开方是乘方的逆运算, 4.指数的逆运算是什么呢?

例如:某市去年的GDP总值为a,计划从今年开始,每年比上 年平均增长12%,求多少年GDP总值能翻两番?
x 解:设x年翻两番,则 a(1 ? 12%) ? 4a ? 1.12 x ? 4 x=? 上述问题,实质就是已知 底数 和 幂 的值,求 指数 .

想一想,可用开方运算求x吗? 1.12 x ? 4 ? 1.12 4 ? x ? ×
1.12 x ? 4 ? 4 1.12 ? x ? ×

1.12 x ? 4 ? x 4 ? 1.12 但,怎样求x?



课:

一、对数的概念 1.定义: 如果ab=N,那么数b叫作以a为底N的对数,记作 其中 a 叫做对数的底数, 叫做真数 N 例如32=9,写作log39=2,读作以3为底9的对数等于2 1 1 1 ?2 又如 2 ? ,写作 l og2 ? ?2 ,读作以2为底 的对数等于-2 4 4 4 书写: 根据对数定义再思考: 真数 怎样口头描述 x 对数 log a N 若2 x ? 16, 则x ? ? log 2 16 1 1 x 底数 若 2 ? , 则x ? ? log 2 4 4 log 3 9 若3 x ? 9, 则x ? ? 若1.12x ? 4, 则x ? ? log 1.12 4

logaN=b

2、由对数的定义,思考下列各式中 a、b、N

对数式与指数的关系

当a ? 0且a ? 1时
指数式

指数
b

对数
对数式

a ? N ? b ? loga N
幂 底数(a>0,a≠1) 真数

幂底数

? a ?对数底数 指数 ????? 对数 b


?N?

真数

3、探究、交流讨论:由指数和对数的这个关系式,思考下列问题

当a ? 0且a ? 1时

a x ? N ? x ? log a N

1、对数式中a的取值范围? ∵指数式中a>0且≠1,∴对数式中也 有a>0且≠1; 2、对数式中N的取值值围? ∵当a>0且≠1,N=ax>0 ∵a0=1,∴loga1=0

3、对数式中,当N=1时, l oga 1 ? ? 即

4、对数式中,当N=a时, 即 loga a ? ? ∵a1=a,∴logaa=1

结论:(对数的性质) 1、底数a大于0且不等于1

2、负数和零没有对数。即真数N>0 3、1的对数是0, 即 log a 1 ? 0
4、底数与真数相同时,对数为1 即 log a a ? 1

思考

?5?a

loga N

与N有 么 系 ? 什 关

令b=logaN b=N 知 a 即

a

logaN

=N

(对数的定义式)





例1(教材P46例1)写出下列指数式对应的对数式
4 解: 2 ? 16 ? log 2 16 ? 4 (1)2 ? 16 1 4 1 1 1 4 1 ?4 ( 2)( ) ? 解: ( ) ? ? log 1 2 16 16 2 16 2
4

(3)10?2 ? 0.01 解:10?2 ? 0.01 ? log 10 0.01 ? ?2

例2(教材P46例2)写出下列对数式写成指数式
(1) log2 8 ? 3

(2) log10 1000? 3
( 3) log3 1 ? ?2 9 1 (4) log8 2 ? 3 (5) log 3 1 ? 0

23 ? 8 10 3 ? 1000 1 3? 2 ? 9
8 ?2
1 3

( 3 )0 ? 1





例3(教材P46例3)求下列对数的值
(1) log2 2

解: log a a ? 1(a ? 0, 且a ? 1) ?
( 2) log6 36

? log 2 2 ? 1
即log 6 36 ? 2

解: 设log 6 36 ? x
(3) log0.3 0.3

则6 x ? 36 ? 62 ? x ? 2

解: ? log a a ? 1(a ? 0, 且a ? 1) ? log 0.3 0.3 ? 1
1 (4) log2 2

解: 设log 2 1 ? x 则2 x ? 1 ? 2?1 ? x ? ?1 2 2
(5) log0.4 1

1 即log 2 ? ?1 2

解:? log a 1 ? 0(a ? 0, 且a ? 1) ? log 0.4 1 ? 0

课堂练习1
(教材P46练一练) 1.将下列各指数式写成对数式 log 7 7 ? 1 (2)54 ? 625 (1)71 ? 7
0 (3)210 ? 1024 log 2 1024 ? 10 (4)4 ? 1 1 1 ? 1 ?1 1 3 ( 5 )2 ? log 2 ? ?1 (6)27 ? 2 2 3

log 5 625 ? 4

log 4 1 ? 0
1 1 log 27 ? ? 3 3

2.用对数的形式表达下列各式中的x x ( 2)2 x ? 12 x ? log 10 25 (1)10 ? 25
(3)5 ? 6
x

x ? log 2 12
1 x ? log 4 6

x ? log 5 6

1 (4)4 ? 6
x

3.把下列对数式写成指数式
(1) log3 9 ? 2
1 ( 3) log2 ? ?2 4

3 ?9
2

2? 2 ?

1 4

(2) log5 125 ? 3 5 3 ? 125 1 (4) log3 ? ?4 3 ? 4 ? 1 81 81

二、常用对数与自然对数 1、常用对数: 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。 为了简便,N的常用对数 log10 N 例如:log10 5 简记作lg5; 简记作lgN。

log10 3.5 简记作lg3.5.

log10 10
2、自然对数:

简记作lg10

在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… 为底的对数,以e为底的对数叫自然对数。 为了简便,N的自然对数 loge N 例如: loge 3 简记作ln3 ; 简记作lnN。
loge 10 简记作ln10

例 例4(教材P46例4)(略讲) 例5(补例)



1. 用对数的形式表达下列各式中的x x (2)10x ? 0.01 x ? lg 2 (1)10 ? 2
( 3)e ? 10
x

x ? lg 0.01

x ? ln 10
e 2.303 ? 10

(4)e x ? a

x ? ln a

2.将下列对数式写成指数式:
(1) ln10 ? 2.303 ( 2) lg0.1 ? ?1

10?1 ? 0.1

3.求下列各式的值
(1) lg100 ( 2) lg0.01

设lg 100 ? x 则 x ? 100 ? 102 10

?x ? 2

即lg 100 ? 2

?2 10 x 设lg 0.01 ? x 则 ? 0.01 ? 10 ? x ? ?2 即lg 0.01 ? ?2

课堂练习2
(教材P47练一练)3.求下列各式的值
(1) lg10

1
6

( 2) lg106
(3) log7 7

1 1
0
0

(4) log0.5 0.5
(5) ln1 (6) lg1

课堂小结:

一、对数的概念
(一)定义:
当a ? 0, 且a ? 1时,a b ? N ? loga N ? b,

(二)性质: 1.两点注意: (1)底数 a ? 0, 且a ? 1, (2)真数N>0,即0和负数无对数. 2.三个运算式: (1) loga 1 ? 0 (2) loga a ? 1
(3)a loga N ? N

二、常用对数与自然对数 1.常用对数:log10N,简记作lgN 2.自然对数:logeN,简记作lnN 三、本节主要题型 1.互换(对数与指数会互换) 2.简单的求值



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