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2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(山东卷)



2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(山东卷)
第Ⅰ卷(共 50 分)
一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的 (1)若复数 z 满足 2z ? z ? 3 ? 2i, 其中 i 为虚数单位,则 z= (A)1+2i 【答案】B 【知识点】复数的有关概念、复数相等、共轭复数

【考察能力】运算求解能力 【 解 析 】 设 . z ? a ? bi , z ? a ? bi , 则 2z ? z ? 2a ? 2bi ? a ? bi ? 3a ? bi ? 3 ? 2i, 则 (B)1 ? 2i (C) ?1? 2i (D) ?1? 2i

a ? 1, b ? ?2, 故 z ? 1 ? 2i ,选 B.
【难度】易 【分值】5 分
x 2 (2)设集合 A ? { y | y ? 2 , x ? R}, B ? {x | x ? 1 ? 0}, 则 A ? B =

(A) ( ?1,1) 【答案】C

(B) (0,1)

(C) (?1, ??)

(D) (0, ??)

【知识点】并集的求法,一元二次不等式解法,指数函数的图象与性质 【考察能力】运算求解能力 【解析】集合 A ? (0, ??), B ? ( ?1,1) ,故 A ? B ? (?1, ??) ,选 C. 【难度】易 【分值】5 分 (3) 某高校调查了 200 名学生每周的自习时间 (单 位:小时) ,制成了如图所示的频率分布直方图, 其中自习时间的范围是 [17.5, 30],样本数据分组 为
[17.5, 20),[20, 22.5),[22.5, 25),[25, 27.5),[27.5,30]

.

根据直方图,这 200 名学生中每周的自习时间不

少于 22.5 小时的人数是 (A)56 (C)120 (B)60 (D)140

【答案】D 【知识点】频率分布直方图的特点及应用 【考察能力】数据处理能力 【解析】图中每周自习时间不少于 22.5 的学生所占频率为 (0.16 ? 0.08 ? 0.04) ? 2.5 ? 0.7 , 故每周自习时间不少于 22.5 的学生人数为 200 ? 0.7 ? 140 ,故选 D. 【难度】易 【分值】5 分
ì x + y ? 2, ? ? ? 2 2 2 (4)若变量 x,y 满足 ? í x - 3 y ? 9, 则 x + y 的最大值是 ? ? 锍 ? ? x 0,

(A)4 (B)9 (C)10 (D)12 【答案】C 【知识点】线性规划的有关概念,距离问题 【考察能力】运算求解能力 【解析】可行域如图:

x 2 + y 2 所代表的是可行域的点到原点距离的平方,距离最大值在 B 处取得, OB ? 10 ,故 x 2 + y 2 最大值为 10,选 C.

【难度】易 【分值】5 分 (5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为

(A) 【答案】C

1 2 1 2 2 1 2 ? π (B) ? π (C) ? π (D) 1 ? π 3 3 3 3 3 6 6

【知识点】三视图,简单组合体的结构特征,几何体的体积 【考察能力】空间想象能力 【解析】原图上方为一半球,下方为一正四棱锥,正四棱锥底面对角线为上半球的直径,上 半球的半径为

1 4 2 3 2 2 ) ? ? ,正四棱锥的体积为 , 半 球 的 体 积 为 ? ?( 2 3 2 6 2

1 2 1 1 ? 1? 1? 1 ? ,故总体积为 ? ? ,选 C 3 3 3 6
【难度】易 【分值】5 分 (6)已知直线 a,b 分别在两个不同的平面 α,β 内.则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和 平面 β 相交”的 (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 【答案】A
?

【知识点】充分条件与必要条件,直线与直线的位置关系,平面与平面的位置关系 【考察能力】推理论证能力 【解析】直线 a 平行于直线 b,面 ? 与面? 显然相交,故充分性成立;而 ? 与面? 相交,直

线 a 与直线 b 还可以平行或异面,故必要性不成立,故选 A. 【难度】易 【分值】5 分 (7)函数 f(x)=( 3 sinx+cosx) ( 3 cosx –sinx)的最小正周期是 (A) 【答案】B 【知识点】正弦型函数的周期性,二倍角的余弦公式,利用三角公式进行化简与求值,辅助 角公式的应用 【考察能力】运算求解能力 【解析】函数化简为:

π (B)π 2

(C)

3π (D)2π 2

f ( x) ? 3sin x cos x ? 3 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? sin x cos x ? 2sin x cos x ? 3 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 3
故函数的最小正周期为 【难度】易 【分值】5 分 (8)已知非零向量 m,n 满足 4│m│=3│n│,cos<m,n>= 值为 (A)4 【答案】B
?

?

2? ? ? ,故选 B. 2

1 .若 n⊥(tm+n) ,则实数 t 的 3

(B)–4

(C)

9 9 (D)– 4 4

【知识点】与向量有关的基本概念,平面向量数量积的概念及几何意义,平面向量数量积的 运算律,有关向量数量积的综合问题 【考察能力】运算求解能力 【解析】因为 n⊥(tm+n) ,故 n ?(tm+n)=0,即 tm ? n+ n ? n=0, t│m││n│cos<m,n>+│n││n│=0,│m│=

3 3 1 │n│带入得:t │n││n│ +│n││n│=0, 3 4 4

t ? 1 ? 0 故 t ? ?4 ,选 B. 4

【难度】易 【分值】5 分
3 (9) 已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时,f ( x) ? x ?1 ; 当 ?1 ? x ? 1 时,f (? x) ? ? f ( x) ;

当x?

1 1 1 时, f ( x ? ) ? f ( x ? ) .则 f(6)= 2 2 2

(A)?2(B)?1(C)0(D)2 【答案】D 【知识点】奇偶性的应用,函数周期性的应用 【考察能力】运算求解能力 【解析】当 x ?

1 1 1 时, f ( x ? ) ? f ( x ? ) 则函数周期为 1, f ? 6? ? f (1) , 2 2 2

而函数为奇函数,故 f (1) ? ? f (?1) ? ?(?1 ? 1) ? 2 ,故选 D. 【难度】中 【分值】5 分

(10)若函数 y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称 y=f(x)具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是

A)y ? sinx(B)y ? lnx(C)y ? ex(D)y ? x3
【答案】A 【知识点】正弦函数的图象及图象变换,导数的几何意义与物理意义,函数的单调性与导数 【考察能力】运算求解能力 【解析】B,C,D 选项函数均为单调递增函数,故其任一点导数值为非负值,任一点切线斜率 均为正值, 而图象上存在两点, 使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直需要斜率乘积为 -1,故 B,C,D 选项函数不可能具有 T 性质,而 y ? sinx 在 x ? 0, x ? ? 处的切线就是互相垂 直的,故选 A 【难度】中 【分值】5 分

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 (11)执行右边的程序框图,若输入的 a,b 的值分别为 0 和 9,则输出的 i 的值 为________. 【答案】3 【知识点】循环结构,循环语句,基本算法语句的综合应用 【考察能力】运算求解能力 【解析】

a ? 0, b ? 9, i ? 1 a ? 0 ? 1 ? 1, b ? 9 ? 1 ? 8, a ? b, i ? 1 ? 1 ? 2 a ? 1 ? 2 ? 3, b ? 8 ? 2 ? 6, a ? b, i ? 2 ? 1 ? 3 a ? 3 ? 3 ? 6, b ? 6 ? 3 ? 3, a ? b,
故输出 i ? 3 . 【难度】易 【分值】5 分

(12)若 (ax ?
2

1 5 ) 的展开式中 x5 的系数是 ?80 ,则实数 a ? _______. x

【答案】-2 【知识点】二项式的系数与项问题,二项式定理的内容及相关概念 【考察能力】运算求解能力 【解析】展开式中 x 的项是 C( 5 ax ) ( 【难度】易 【分值】5 分 (13)已知双曲线 E1:
5

3

2 3

1 2 ) ? 10a 3 x5 ,故10a3 ? ?80 , a ? ?2 . x

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0) ,若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上,AB, a 2 b2

CD 的中点为 E 的两个焦点,且 2|AB|=3|BC|,则 E 的离心率是_______. 【答案】2 【知识点】双曲线的定义及其应用,双曲线的几何性质及其应用,双曲线的综合问题

【考察能力】运算求解能力 【解析】由题意可知|AB|为通经长度
2 2 2

2b 2 4b 2 , | BC |? 2c ,2|AB|=3|BC|,故 ? 6c , a a
2
2

整理:2b ? 3ac ,2c ? 2a ? 3ac , 两边同除以 a ,2e ? 2 ? 3e 解得:e ? 2, ? 故e ? 2. 【难度】易 【分值】5 分
, 1 ] (14) 在 [- 1

1 (舍) , 2

上随机地取一个数 k, 则事件“直线 y=kx 与圆 ( x - 5)2 + y 2 = 9 相交”发生的概 .

率为 【答案】

3 4

【知识点】几何概型及其特点,长度问题,直线与圆的位置关系及其判定方法 【考察能力】运算求解能力 【解 析】 直线 y=kx 与圆 ( x - 5)2 + y 2 = 9 相交 , 圆心 到直线的距离小于半径即: ( 5, 0 )

d?

3 3 ? 3 ,解得 ? ? k ? ,故事件“直线 y=kx 与圆 ( x - 5)2 + y 2 = 9 相交”发生的 4 4 k ?1
2

5k

3 3 概率为 2 ? . 2 4
【难度】中 【分值】5 分
x?m ?| x |, (15)已知函数 f ( x) ? ? 2 其中 m ? 0 ,若存在实数 b,使得关于 x 的方程 ? x ? 2mx ? 4m, x ? m

f(x)=b 有三个不同的根,则 m 的取值范围是________________. 【答案】C 【知识点】分段函数及其应用,一元二次不等式解法,函数的图象 【考察能力】运算求解能力 【解析】数形结合

在 m 处二次函数值满足 4m ? m ? m ,则 m ? 3 .
2

【难度】中 【分值】5 分 三、解答题:本答题共 6 小题,共 75 分。 (16) (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2(tan A ? tan B) ? (Ⅰ)证明:a+b=2c; (Ⅱ)求 cosC 的最小值. 【答案】 (I)见解析(II)

tan A tan B ? . cos B cos A

1 2

【知识点】两角和与差的正弦公式,使用正弦定理需要注意的问题,使用余弦弦定理需要注 意的问题,用基本不等式求最值的变形技巧 【考察能力】运算求解能力 【解析】 (I) 2(tan A ? tan B) ?

tan A tan B ? ., cos B cos A

故 2(

sin A sin B sin A sin B ? )? ? . cos A cos B cos A cos B cos B cos A ………………2 分

2(

sin A cos B cos A sin B sin A sin B ? )? ? . cos A cos B cos A cos B cos A cos B cos B cos A 2sin( A ? B) ? 2sin C ? sin A ? sin B ,
………………4 分

由正弦定理 2

c a b ? ? , 2 R 2 R 2 R ………………

即 2c ? a ? b . ………………6 分

(II) cos C ?

a ?b ?c ? 2ab
2 2 2

a 2 ? b2 ? (

a?b 2 ) 2 2ab

?

a 2 ? b2 ? 2ab ? (

a?b 2 3 ) ? 2ab (a ? b)2 ? 2ab 2 9分 ?4 2ab 2ab ………………

3 3 (a ? b)2 ? 2ab ? 4ab ? 2ab 1 4 4 因为 a ? b ? 2 ab , 11 分 ? ? , 2ab 2ab 2 …………
故 cosC 的最小值为 【难度】中 【分值】12 分 17.在如图所示的圆台中,AC 是下底面圆 O 的直径,EF 是上底面圆 O ' 的直径,FB 是圆台 的一条母线. (I)已知 G,H 分别为 EC,FB 的中点,求证:GH∥平面 ABC; (II)已知 EF=FB=

1 . 12 分 2 ………………

1 AC= 2 3 AB=BC.求二面角 F ? BC ? A 的余弦值. 2

【答案】 (I)见解析(II)

7 7

【知识点】 面面平行的判定, 面面平行的性质, 空间直角坐标系, 空间向量运算的坐标表示, 用空间向量处理夹角问题 【考察能力】空间想象能力

【解析】 (I)取 FC 中点 M,连接 MG,MH, MH 为三角形 FCB 的中位线,故 MH//BC, BC 在底面 ABC 中,而 MH 不在底面 ABC 中,故 MH//面 ABC,……………… 1 分 MG 是三角形 CEF 的中位线,故 MG//EF, EF 在上底面中,而 MH 不在上底面中,故 M G//上底面,………………3 分 而上下底面是平行的,故故 M G//面 ABC, MH 与 MG 相交,故面 MGH//面 ABC, 而 GH 在面 MGH 中,故 GH∥平面 ABC;………………5 分

(II)由 F 点往 OB 引垂线,垂足为 N,则 N 在 OB 中点, NB=

3 ,FB= 2 3 ,故 FN=3;
??? ? ??? ? ???? ?

以 O 为坐标原点, 以 OA 、 OB与OO? 方向分别为 x 轴 y 轴 z 轴的正方向建立空间直角坐标系; 则 F (0 ,3,3), B(0,2 3,0),C(?2 3,0,0), A(2 3,0,0), ………………8 分 底面 ABC 一个法向量可以为 n1 ? (0,0,1) ………………9 分 设面 FBC 的法向量为 n2 ? ( x, y, z)

??

?? ?

??? ? ??? ? FB ? (0, 3, ?3), CB ? (2 3, 2 3,0) ?? ? ??? ? ? n ? FB ? 3 y ? 3z ? 0 ? 2 ? ??? ? ? ?? CB ? 2 3x ? 2 3 y ? 0 ? ?n2 ?
令 x ? 1, 得y ? ?1, z ? ?

? 3 3 ?? ) ………………11 分 , n2 ? (1, ?1, ? 3 3

?? ?? ? cos ? n1 , n2 ??

?

3 3 1 3

??

1?1?

7 7

因为二面角是锐角,故二面角 F ? BC ? A 的余弦值为 【难度】中 【分值】12 分

7 .………………12 分 7

(18) (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn=3n2+8n, ?bn ? 是等差数列,且 an ? bn ? bn?1. (Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项公式;

(an ? 1) n?1 (Ⅱ)另 cn ? . 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn. (bn ? 2) n
【答案】 (I) bn ? 3n ? 1 (II) Tn ? 12n ? 2
n

【知识点】通项与前 n 项和的关系,等差数列的通项公式,错位相减法 【考察能力】运算求解能力 【解析】 (I)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 11 ; 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 3n ? 8n ? 3(n ?1) ? 8(n ?1) ? 6n ? 5;
2 2

当 n ? 1 时,也满足此通项公式,故 an ? 6n ? 5 .………………2 分

?b1 ? b2 ? a1 ? 11 an ? bn ? bn?1. 故 ? ?b2 ? b3 ? a2 ? 17
下式减去上式, b3 ? b1 ? 2d ? 6 , d ? 3 ;

b1 ? b2 ? 2b1 ? 3 ? 11, b1 ? 4,


bn ? 3n ? 1 .………………………………………………5 分

(II) cn ?

(an ? 1)n?1 (6n ? 6)n?1 ? ? 6(n ? 1)2n. n n (bn ? 2) (3n ? 3)

Tn ? 6[2 ? 21 ? 3? 22 ? 4 ? 23 ???? ? n ? 2n?1 ? (n ?1) ? 2n ] ① 2Tn ? 6[2 ? 22 ? 3? 23 ? 4 ? 24 ????? n ? 2n ? (n ? 1) ? 2n?1 ] ②
………………7 分 ①-②得

?Tn ? 6[4 ? 22 ? 23 ? 24 ? ??? ? 2n ? (n ? 1) ? 2n ?1 ] ? 6[4 ? 4(1 ? 2n ?1 ) ? (n ? 1) ? 2n?1 ] 1? 2
n

……………………………11 分

整理得 Tn ? 12n ? 2 ………………………………12 分

【难度】中 【分值】12 分 (19) (本小题满分 12 分) 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中, 如果两人都猜对,则“星队”得 3 分;如果只有一个人猜对,则“星队”得 1 分;如果两人都没 猜对,则“星队”得 0 分。已知甲每轮猜对的概率是

3 2 ,乙每轮猜对的概率是 ;每轮活动 4 3

中甲、乙猜对与否互不影响。各轮结果亦互不影响。假设“星队”参加两轮活动,求: (I)“星队”至少猜对 3 个成语的概率;

(II)“星队”两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX 【答案】 (I)

13 24

(II)X 的分布列为: X P 0 1 2 3 4 6

1 144 23 数学期望 EX= .. 6

5 72

25 144

1 12

5 12

1 4

【知识点】基本事件及其特点,离散型随机变量的分布列的求法,离散型随机变量均值的求 法 【考察能力】数据处理能力 【解析】 (I)设事件 A=“星队”至少猜对 3 个成语 则事件 A 包括猜对四个成语或者只猜对 3 个两种情况:

3 2 3 2 1 2 3 2 3 1 3 2 13 P( A) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? , 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 24 13 故“星队”至少猜对 3 个成语的概率为 .………………4 分 24
(II)X 可能取的值为 0,1, 2,3, 4, 6. ………………5 分

1 1 1 1 1 P ( X ? 0) ? ? ? ? ? ; 4 3 4 3 144 3 1 1 1 1 1 1 2 5 P ( X ? 1) ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; 4 3 4 3 4 3 4 3 72 3 1 1 2 1 2 1 2 3 1 3 1 25 P ( X ? 2) ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 144 3 2 1 1 1 P ( X ? 3) ? ? ? ? ? 2 ? ; 4 3 4 3 12 1 2 3 2 3 1 3 2 5 P ( X ? 4) ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? ; 4 3 4 3 4 3 4 3 12 3 2 3 2 1 P ( X ? 6) ? ? ? ? ? . 4 3 4 3 4
………………10 分 X 的分布列为: X P 0 1 2 3 4 6

1 144

5 72

25 144

1 12

5 12

1 4

………………11 分 数学期望 EX= 【难度】中 【分值】12 分 (20)(本小题满分 13 分) 已知 f ( x) ? a ? x ? ln x ? ?

10 25 12 60 36 23 ? 2? ? 3? ? 4? ? 6? ? ..………………12 分 144 144 144 144 144 6

2x ?1 ,a?R . x2

(I)讨论 f ( x ) 的单调性; (II)当 a ? 1 时,证明 f ( x)>f ' ? x ? ?

3 对于任意的 x ??1, 2? 成立 2

【答案】 (I)1、若 a ? 0 ,则 f ( x ) 在 (1, ??) 是减函数,在 (0,1) 是增函数; 2、若 0 ? a ? 2 , f ( x ) 在 [1,

2a 2a , ??) 递增; ] 递减; f ( x) 在 (0.1), ( a a

3、若 a ? 2 , f ( x ) 在 (0, ??) 单调递增; 4、若 a ? 2 , f ( x ) 在 [

2a 2a ,1] 递减; f ( x) 在 (0. ),(1, ??) 递增. a a

(II)见解析 【知识点】导数公式及运算法则,函数的单调性与导数,用导数处理不等式恒成立问题 【考察能力】运算求解能力 【解析】 (I) f ?( x) ? a(1 ? ) ? 若 a ? 0 ,则 ax ? 2 ? 0 ,
2

1 x

2 ? 2 x ( x ? 1)(ax 2 ? 2) ? ( x ? 0) ;………………2 分 x3 x3

当 x ? 1 , f ?( x) ? 0, f ( x) 是减函数; 当 0 ? x ? 1 , f ?( x) ? 0, f ( x) 是增函数. ………………3 分

若 a ? 0 , f ?( x) ?

a( x ? 1)( x ?

2a 2a 2a )( x ? ) a( x ? ) a a ( x ? 0) ;其中 a ? 0, x3 x3
………………4 分



2a ? 1 ,即 a ? 2 , f ?( x) ? 0 恒成立, f ( x) 在定义域单调递增;………………5 分 a 2a 2a 2a 即 0 ? a ? 2 ,f ?( x ) 在 [1, , ??) ? 1, ] 小于 0,f ( x) 递减;f ?( x ) 在 (0.1), ( a a a
………………………………6 分



大于 0, f ( x ) 递增;



2a 2a 2a 即 a ? 2 , f ?( x ) 在 [ ? 1, ,1] 小于 0, f ( x) 递减; f ?( x ) 在 (0. ),(1, ??) 大 a a a

于 0, f ( x ) 递增. 综上所述:1、若 a ? 0 ,则 f ( x ) 在 (1, ??) 是减函数,在 (0,1) 是增函数; 2、若 0 ? a ? 2 , f ( x ) 在 [1,

2a 2a , ??) 递增; ] 递减; f ( x) 在 (0.1), ( a a

3、若 a ? 2 , f ( x ) 在 (0, ??) 单调递增; 4、若 a ? 2 , f ( x ) 在 [

2a 2a ,1] 递减; f ( x) 在 (0. ),(1, ??) 递增. ………………7 分 a a
3 对于任意的 x ??1, 2? 成立, 2

(II) a ? 1, 要证 f ( x)>f ' ? x ? ?

2x ?1 1 2 ? 2x 3 ? 1? ? ? ,两边同乘以 x3 整理得: 2 3 x x x 2 5 x 4 ? (ln x ? ) x3 ? 2 x 2 ? x ? 2 ? 0 ;………………8 分 2 1 设 g ( x) ? ln x ? x ? 1, g ?( x ) ? ? 1 在 x ??1, 2? g ?( x) ? 0, x
即 x ? ln x ? 故在 x ? 1, 2 g ( x) ? ln x ? x ? 1是递减的,最大值为 g (1) ? 0 , 所以 g ( x) ? 0, 即 ln x ? x ? 1 恒成立仅在 x=1 时取等号;………………9 分 令 h( x) ? x ? ( x ? 1 ? ) x ? 2 x ? x ? 2 ? x ? (ln x ? ) x ? 2 x ? x ? 2 ,仅在 x=1 时取
4 3 2 4 3 2

? ?

5 2

5 2

等号;

5 h( x ) ? x 4 ? ( x ? 1 ? ) x 3 ? 2 x 2 ? x ? 2 2 3 ? x3 ? 3x 2 ? x ? 2 2

9 2 h?( x) ? ? x 2 ? 6 x ? 1,对称轴为 x ? , h?(1) ? 0, h?(2) ? 0 , 2 3 9 2 故 h?( x) ? ? x ? 6 x ? 1在 [1, 2] 存在一个由正变负的零点, 2
h( x) 存在一个极大值,………………………………10 分
在 [1, 2] h( x) 最小值为 h(1) 或 h(2) ,经计算最小值为 h(2) ? 0 , 在 [1, 2] h( x) 大于等于 0,且在 x=2 处取等号………………………………12 分 因为 h( x) ? x ? (ln x ? ) x ? 2 x ? x ? 2 ,仅在 x=1 时取等号;
4 3 2

5 2
2

故 x ? (ln x ? ) x ? 2 x ? x ? 2 ? 0 在 [1, 2] 成立,
4 3

5 2

所以 f ( x)>f ' ? x ? ? 【难度】难 【分值】13 分

3 对于任意的 x ??1, 2? 成立. ………………13 分 2

(21)本小题满分 14 分) 平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:

x2 y 2 3 2 ? 2 ? 1? a>b>0 ? 的离心率是 ,抛物线 E: x ? 2 y 的焦点 F 是 C 的一个顶点。 2 a b 2
(I)求椭圆 C 的方程; (II)设 P 是 E 上的动点,且位于第一象限,E 在点 P 处的切线 l 与 C 交与不同的两点 A, B,线段 AB 的中点为 D,学科&网直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M. (i)求证:点 M 在定直线上; (ii)直线 l 与 y 轴交于点 G,记 ? PFG 的面积为 S1 , ? PDM 的面积为 S2 ,求 值及取得最大值时点 P 的坐标.

S1 的最大 S2

【答案】 (I) x ? 4 y ? 1 (II) (i)M 点在直线 y ? ?
2 2

1 S 2 1 上.(ii)当 P( , ) 时, 1 取 4 2 4 S2

最大值

9 . 4

【知识点】椭圆的标准方程及其求法,抛物线的几何性质及其应用,直线与圆锥曲线的位置 关系,定点、定值、最值等问题 【考察能力】运算求解能力
2 【解析】 (I)抛物线 x ? 2 y 的焦点 F (0, ) ,故 b ?

1 2

1 ,………………1 分 2

因为 e ?

1 1 c 3 2 2 ( 2m ) ? ( 3m ) + ,m ? ,设 a ? 2m, c ? 3m ,则 ? 4 2 a 2

a ? 1 ,故椭圆标准方程为 x2 ? 4 y 2 ? 1 .………………………………4 分
(II)(i)设 P(t ,

1 t2 ) ,抛物线化为二次函数 y ? x 2 , y? ? x ;………………5 分 2 2

l:y?
2

t2 t2 ? t ( x ? t ) 即 l : y ? tx ? ………………6 分 2 2
2 2 2 3 4

与 x ? 4 y ? 1 联立: (1 ? 4t ) x ? 4t x ? t ?1 ? 0 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

4t 3 ?t 2 2 x1 ? x2 ? , y1 ? y2 ? t ( x1 ? x2 ) ? t ? ;………………8 分 1 ? 4t 2 1 ? 4t 2

? 2t 3 1 ?t 2 ? 1 1 D? , , lOD : y ? ? x , x ? t , y ? ? , 2 2 ? 4t 4 ? 1 ? 4t 2 1 ? 4t ?
故 M (t , ? ) ,M 点在直线 y ? ? (ii) G (0, ?

1 4

1 上. ………………9 分 4

t2 ), 2

1 ? 1 t2 ? t3 ? t S1 ? ? ? ? t ? ; 2?2 2 ? 4 ………………11 分 1 ? t 2 1 ?? 2t 3 ? 1 t (1 ? 2t 2 ) 2 S2 ? ? ? ?? t ? ; ?? 2 ? 2 4 ?? 1 ? 4t 2 ? 8 1 ? 4t 2
S1 (t 2 ? 1)(1 ? 4t 2) 4t 4 ? 5t 2 ? 1 ?2 ?2 4 S2 (1 ? 2t 2 ) 2 4t ? 4t 2 ? 1 ? ? ? ? t2 1 ? 2 ?1 ? 4 ? ? 2 ?1 ? 2 ? 4t ? 4t ? 1 ? ? 4t 2 ? 4 ? 1 t2 ?
4t 2 ? 4 ?

? ………………12 分 ? ? ? ?

1 S 2 1 9 ? 8 当且仅当 t ? 时成立, 1 ? 2(1 ? ) ? ,………………13 分 2 t 2 S2 8 4

经验证 t ?

2 时 P 点在椭圆内部,直线 l 与椭圆有两个焦点, 2

故当 P(

9 S 2 1 , ) 时, 1 取最大值 .………………14 分 4 2 4 S2

【难度】难 【分值】14 分



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