河南省商丘市2015届高三第二次模拟考试数学(文)试题

商丘市 2015 年高三第二次模拟考试 （1）已知 R 为实数集，集合 A ? ?x | 2 x ? 3 ? 3x?， B ? ?x | x ? 2? ，则 A ? B ? （A） ?x | x ? 2? （B） ?x | x ? ?3? （C） ?x | 2 ? x ? 3? （D）R （2）已知 (1 ? ) ? a ? bi （ a, b ? R， i 为虚数单位），则 a ? b ?
2

2 i

（A） ?7

（B） 7

（C） ?4

（D） 4

?x ? 2 y ? 1 ， ? （3）已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? y ?1 ? 0 ， ?
（A） ?3 （B） 0
x
2

（C） 1

（D） 3

（4）若 a ? ? ? ， b ? x ， c ? log 2 x ，则当 x ? 1 时， a , b, c 的大小关系是
3

?2? ?3?

（B） c ? b ? a ????（C） a ? b ? c （5）在 ?ABC 中，已知 BC ? 3DC ，则 AD ? （A）

（A） c ? a ? b

（D） a ? c ? b

2 1 AB ? AC 3 3

（B）

2 1 AB ? AC 3 3
? 2 ??? ? 1 ??? AB ? AC 3 3

（C）

? 2 ???? 1 ??? AB ? AC 3 3
x ?1

（D）

（6）已知命题 p：函数 y ? a

? 1（ a ? 0 且 a ? 1 ）的图象恒过

(?1, 2) 点；命题 q：已知平面 ? ∥平面 ? ，则直线 m ∥ ? 是
直线 m ∥ ? 的充要条件. 则下列命题为真命题的是 （A） p ? q （C） ?p ? q （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 （8） 函数 f ? x ? ? cos ? ? x ? 为了得到 f ? x ? 的图象，只 需将函数 g ? x ? ? sin ? ?x ? （A）向左平移 （B） ? p ? ? q （D） p ? ?q

（7）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 k 的值是

? ?

??

? ( x ?R, ? ? 0 )的最小正周期为 ? ， 3?

? ?

??

? 的图象 3?
（B）向右平移

? 个单位长度 2

? 个单位长度 2

（C）向左平移

? 个单位长度 4
??? ?
（B） 2

（D）向右平移

（9）在△ABC 中，已知 | AB |? 4,| AC |? 1 ， S ?ABC （A） ?2 则n? （A） 3 大小为 （A） ? a
2

????

? 个单位长度 4 ??? ? ???? ? 3 ，则 AB ? AC 的值为
（D） ?2

（C） ?4

（10）在递增的等比数列 ?an ? 中，已知 a1 ? an ? 34 ， a3 ? an?2 ? 64 ，且前 n 项和为 Sn ? 42 ， （B） 4 （C） 5 （D） 6

（11）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积 （B） ? a

7 3

2

（C）

11 2 ?a 3

（D） 5? a

2

（12）已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? b 2 x ? 1 ，若 a 是从 1, 2, 3 三个数中任取的一个数， b 是从 3

0,1, 2 三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为
（A）

7 9

（B）

1 3

（C）

5 9

（D）

2 3

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第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部 分。第 13 题-第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题-第 24 题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
? （13） sin ?600 的值为

（14）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ． （15）双曲线 tx ? y ? 1 ? 0 的一条渐近线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直，则双曲线的离心率为
2 2

?

?

.

.

Q 两点,则当 ?CPQ 的 （16） 已知圆 C : ? x ? a ? ? ? y ? a ? ? 1? a ? 0 ? 与直线 y ? 2 x 相交于 P 、
2 2

面积最大时，实数 a 的值为 （17）（本小题满分 12 分） （I）求数列 ?bn ?的通项公式；

.

三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 已知等差数列 ?a n ?的首项 a1 ? 1 ，公差 d ? 1 ，前 n 项和为 S n ， bn ?

1 ， Sn

（II）设数列 ?bn ?前 n 项和为 Tn ，求 Tn

（18） （本小题满分 12 分） 某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间 进行了一次社会实践活动，且每个小组有 5 名同学，在实践活动结 束后， 学校团委会对该班的所有同学都进行了测评， 该班的 A, B 两

个小组所有同学所得分数 （百分制） 的茎叶图如图所示， 其中 B 组一同学的分数已被污损， 但知道 B 组学生的平均分比 A 组学生的平均分高 1分． （I）若在 B 组学生中随机挑选 1人，求其得分超过 85 分的概率； （II）现从 A 组这 5 名学生中随机抽取 2 名同学，设其分数分别为 m, n ， 求 | m ? n |? 8 的概率．

P

A
D
（19）（本小题满分 12 分） 如图，已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为菱形， ?BCD ? 120? ， AB ? PC ? 2 ， AP ? BP ? 2 . （I）求证：AB⊥PC； （II）求点 D 到平面 PAC 的距离.

B

C

（20）（本小题满分 12 分）

1 x （I）若 a ? 2 ，求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程； a （II）设函数 g ( x ) ? ? ．若至少存在一个 x0 ? ?1, e? ，使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立，求实数 a x
已知函数 f ( x ) ? a ( x ? ) ? 2 ln x （ a ?R）． 的取值范围．

（21）（本小题满分 12 分）

已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成 a 2 b2

等腰直角三角形，直线 x ? y ? 1 ? 0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半 径的圆相切. （I）求椭圆 C 的方程； （II）设 P 为椭圆 C 上一点，若过点 M（2，0）的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 S 和 T ， 满足 OS ?OT ?tOP （ O 为坐标原点），求实数 t 的取值范围.

??? ? ??? ?

??? ?

请考生在第 22、23、24 三道题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 （22）（本小题满分 10 分） 选修 4—1：几何证明选讲 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙ O ，过点 A 作⊙ O 的切线

C
D E

EP 交 CB 的延长线于 P ，已知 ?EAD ? ?PCA . 证明：（I） AD ? AB ； 2 （II） DA ? DC ? BP .

?O
A

B P

（23）（本小题满分 10 分） 选修 4—4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 x 轴的正半轴重合，直线 l 的极坐标 方程为： ? sin(? ?

?x ? 2 ? 2 cos? , ? 1 ) ? ，曲线 C 的参数方程为： ? 6 2 ? y ? 2 sin ? .

（I）写出直线 l 的直角坐标方程； （II）求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值.

（24）（本小题满分 10 分） 选修 4—5：不等式选讲 已知关于 x 的不等式 m? | x ? 2 | ?1 ，其解集为 [0, 4] . （I）求 m 的值； （II）若 a ， b 均为正实数，且满足 a ? b ? m ，求 a ? b 的最小值.
2 2
[来源:学,科,网]

商丘市 2015 年第二次模拟考试 高三数学（文科）参考答案
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）

BACA

CDBC

DABD
5 2
10 2

二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）

(13)

3 2

(14) 6? ? 4

(15)

(16)

三、解答题（共 70 分）

(17)解：（I）? 等差数列 ?a n ?中 a1 ? 1 ，公差 d ? 1 ,

? S n ? na1 ?

n?n ? 1? n2 ? n d? 2 2 .

……………………………………………5 分

? bn ?

2 n ?n.
2

………………………………………………………………6 分 ………………… ………………………………8 分

(II) bn ?

2 2 1 1 ? ? 2( ? ), n ? n n(n ? 1) n n ?1
2

? 1 1 1 1 ? ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 2? ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n?n ? 1? ? ? ? ?
1 1 ? ? 1 1 1 1 1 ? 2?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n ? 1? ? 2 2 3 3 4
? 2(1 ? 1 2n )? . n ?1 n ?1

………………………………………10 分

…………………………………………………………………12 分

(18)解： （Ⅰ）A 组学生的平均分为

94 ? 88 ? 86 ? 80 ? 77 ， ? 85 （分） 5

………………………1 分
91 ? 93 ? 83 ? x ? 75 ? 86 ， 5

∴ B 组学生平均分为 86 分，设被污损的分数为 x，由
网]

[来源:学。科。

∴

x ? 88 ， ……………………………………………………………………………………3 分
故 B 组学生的分数分别为 93，91，88，83，75， ………………………4 分 则在 B 组学生随机选 1 人所得分超过 85 分的概率 P ? （Ⅱ）A 组学生的分数分别是 94，88，86，80，77， 在 A 组 学 生 中 随 机 抽 取 2 名 同 学 ， 其 分 数 组 成 的 基 本 事 件 ( m, n ) 有 (94,88),(94,86),(94,80),
3 ． ………………6 分 5

(94,77),(88,86),(88,80),(88,77),(86,80),(86,77),(80,77)共 10 个，……8 分 随机抽取 2 名同学的分数 m, n 满足 | m ? n |? 8 的事件有 (94,88)，(94,86)，(88,86)，(88,80)，(86,80)，(80,77)共 6 个．…………10 分 故学生得分 m, n 满足 | m ? n |? 8 的概率 P ? （19）（Ⅰ）证明：取 AB 的中点 O ， 连接 PO, CO ． ∵ AP ? BP ，∴ PO ? AB , ………1 分
6 3 ? ． ……………………………12 分 10 5

又四边形 ABCD 是菱形，且 ?BCD ? 120? ， ∴ V ACB 是 等 边 三 角 形 ， ∴ C O ? A B. 又 CO I PO ? O ，∴ AB ? 平面 PCO ， 又 PC ? 平面PCO ，∴ AB ? PC . (II)? PA ? PB ? 2, AB ? 2,??APB ? 90? , ? PO ? 1 .…………………6 分

? ?ABC 是边长为 2 的正三角形，?OC ? 3, 又 PC ? 2 ,

? PO 2 ? CO 2 ? PC 2 ,? PO ? OC ,又 PO ? AB , PO ? 平面 ABC ， …………8 分

? 四边形 ABCD 是菱形,? B, D 到平面 PAC 的距离相等，设为 h.

3 2 1 2 7 ?2 ? 3 . ,? S?ABC ? ? S?PAC ? ? 2 ? 22 ? ( )2 ? 4 2 2 2
由 VB? PAC ? VP? ABC ,? S ?PAC ?h ?

1 3

1 S ?ABC ?PO , 3

…………………………10 分

?

7 2 21 h ? 3 ?1 ? , h? . ………………………………………………12 分 2 7
1 x 1 2 ) ? ， ………1 分 2 x x
……………2 分

（20）解：（I） a ? 2 时， f ( x) ? 2( x ? ) ? 2 ln x ，? f ?( x) ? 2(1 ?

? f ?(1) ? 2, 又 f (1) ? 0, ? 在点 (1, 0) 处的切线斜率 k ? f ?(1) ? 2,

? 切线方程为 y ? 2( x ? 1) ，即 2 x ? y ? 2 ? 0 .……………………………………4 分
（II）? g ( x) ? ?

a 1 a , f ( x) ? g ( x) ，? a ( x ? ) ? 2 ln x ? ? ， x x x 2 ln x , ……………………………………………6 分 ?ax ? 2ln x, x ??1, e? ，? a ? x 2 ln x ) min , x ? ?1, e ? ， 依题意 a ? ( ……………………………………………7 分 x

令

h( x ) ?

2 ln x 2(1 ? ln x) , h?( x) ? . x x2

……………………………………………………8 分

由 h?( x) ? 0, 得 x ? e. ? x ??1, e? 时， h?( x) ? 0, ? h( x) 在 ?1, e? 上为增函数.………9 分

? h( x)min ? h(1) ? 0.
? a ? 0.

…………………………………………………………10 分

……………………………………………………………………………12 分

（21）解：（Ⅰ）由题意，以椭圆 C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为

( x ? c) 2 ? y 2 ? a 2 , ∴圆心到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?

c ?1 2

? a （*）

∵椭圆 C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, ∴b ? c ,a ?

2b ? 2c ，
x2 ? y 2 ? 1. 2

代入(*)式得 b ? c ? 1 ， ∴ a ?

2b ? 2 ,

故所求椭圆方程为

………………………………………4 分

（Ⅱ）由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 2) ，设 P ? x0 , y0 ? , 将直线方程代入椭圆方程得： 1 ? 2k 2 x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 , ∴ ? ? 64k ? 4 1 ? 2k
4

?

?

?

2

??8k

2

? 2 ? ?16k 2 ? 8 ? 0 ，∴ k 2 ?
2

?

1 . 2

8k 8k 2 ? 2 , x1 x2 ? 设 S ?x1 , y1 ? , T ?x 2 , y 2 ? ，则 x1 ? x2 ? . 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
由 OS ? OT ? t OP , 当 t ? 0 ,直线 l 为 x 轴， P 点在椭圆上适合题意； ……………7 分
[来源:Z*xx*k.Com]

? 8k 2 tx ? x ? x ? 1 2 ? ? 0 1 ? 2k 2 当 t ? 0 ，得 ? ?ty ? y ? y ? k ( x ? x ? 4) ? ?4k 0 1 2 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?
∴

1 ?4 k 1 8k 2 x0 ? ? , y0 ? ? .…………………………………8 分 2 t 1 ? 2k 2 t 1 ? 2k

将上式代入椭圆方程得：

32k 4 16k 2 ? ? 1， t 2 (1 ? 2k 2 ) 2 t 2 (1 ? 2k 2 ) 2

整理得： t ?
2

16k 2 1 2 ，由 k 2 ? 知， 0 ? t ? 4 ，………………10 分 2 1 ? 2k 2

所以 t ? ? ?2,0? ? (0, 2) ，……………………………………………11 分 综上可得 t ? (?2,, 2) . ………………………………………………12 分

（22）解：（Ⅰ）∵ EP 与⊙ O 相切于点 A ， ∴ ?EAD ? ?DCA .……………………………………2 分 又 ?EAD ? ?PCA ， ∴ ?DCA ? ?PCA ， ∴ AD ? AB . ……………………………………………5 分

C
D E

?O
A

B P

（Ⅱ）∵四边形 ABCD 内接于⊙ O ， ∴ ?D ? ?PBA . …………………………………………6 分

又 ?DCA ? ?PCA ? ?PAB ， ∴ ?ADC ∽ ?PBA .…………………………………………8 分 ∴

DA DC DA DC ? ? ，即 ， BP BA BP DA
2

∴ DA ? DC ? BP . ………………………………………10 分 （23） 解：（Ⅰ） Q ? sin(? ?

?
6

)?

1 3 1 1 sin ? ? cos ? ) ? ，………………3 分 ，? ? ( 2 2 2 2

?

3 1 1 y ? x ? ，即 l : x ? 3 y ? 1 ? 0 .……………………………5 分 2 2 2

（Ⅱ）解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为 (2 ? 2cos ? , 2sin ? ) ， 所以，曲线 C 上的点到直线 l 的距离

d?

2 ? 2 cos ? ? 2 3 sin a ? 1 2

4 cos(? ? ) ? 3 7 3 ? ? . …………………10 分 2 2

?

解法二：曲线 C 为以 (2, 0) 为圆心， 2 为半径的圆.圆心到直线的距离为 所以，最大距离为

3 ， 2

3 7 ?2? . 2 2

……………………………………………10 分 ……………………1 分

（24） 解：（Ⅰ）不等式 m? | x ? 2 | ?1 可化为 | x ? 2 | ? m ? 1 ，

∴ 1 ? m ? x ? 2 ? m ? 1 ，即 3 ? m ? x ? m ? 1 ，

…………………2 分

∵其解集为 [0, 4] ，∴ ? （Ⅱ）由（Ⅰ）知 a ? b ? 3 ，

?3 ? m ? 0 ， m ? 3 .………………………………5 分 ?m ? 1 ? 4

（方法一：利用基本不等式） ∵ (a ? b)2 ? a2 ? b2 ? 2ab ? (a2 ? b2 ) ? (a2 ? b2 ) ? 2(a2 ? b2 ) ， ∴ a ?b ?
2 2

9 9 2 2 ，∴ a ? b 的最小值为 .………………………………10 分 2 2

.

（方法二：利用柯西不等式） ∵ (a2 ? b2 ) ? (12 ? 12 ) ? (a ?1 ? b ?1)2 ? (a ? b)2 ? 9 ， ∴ a ?b ?
2 2

9 9 2 2 ，∴ a ? b 的最小值为 .………………………………10 分 2 2

（方法三：消元法求二次函数的最值） ∵ a ? b ? 3 ，∴ b ? 3 ? a ，
2 2 2 2
[来源:学科网 ZXXK]

∴ a ? b ? a ? (3 ? a ) ? 2a ? 6a ? 9 ? 2(a ? ) ?
2 2

3 2

9 9 ? ， 2 2

∴ a ? b 的最小值为
2 2

9 . 2

…………………………………………………10 分