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河南省商丘市2015届高三第二次模拟考试数学(文)试题

? b ?
2

2 i

（A） ?7

（B） 7

（C） ?4

（D） 4

?x ? 2 y ? 1 ， ? （3）已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? y ?1 ? 0 ， ?
（A） ?3 （B） 0
x
2

（C） 1

（D） 3

（4）若 a ? ? ? ， b ? x ， c ? log 2 x ，则当 x ? 1 时， a , b, c 的大小关系是
3

?2? ?3?

（B） c ? b ? a ????（C） a ? b ? c （5）在 ?ABC 中，已知 BC ? 3DC ，则 AD ? （A）

（A） c ? a ? b

（D） a ? c ? b

2 1 AB ? AC 3 3

（B）

2 1 AB ? AC 3 3
? 2 ??? ? 1 ??? AB ? AC 3 3

（C）

? 2 ???? 1 ??? AB ? AC 3 3
x ?1

（D）

（6）已知命题 p：函数 y ? a

? 1（ a ? 0 且 a ? 1 ）的图象恒过

(?1, 2) 点；命题 q：已知平面 ? ∥平面 ? ，则直线 m ∥ ? 是
直线 m ∥ ? 的充要条件. 则下列命题为真命题的是（A） p ? q （C） ?p ? q （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 （8）函数 f ? x ? ? cos ? ? x ? 为了得到 f ? x ? 的图象，只需将函数 g ? x ? ? sin ? ?x ? （A）向左平移（B） ? p ? ? q （D） p ? ?q

（7）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 k 的值是

? ?

??

? ( x ?R, ? ? 0 )的最小正周期为 ? ， 3?

? ?

??

? 的图象 3?
（B）向右平移

? 个单位长度 2

? 个单位长度 2

（C）向左平移

? 个单位长度 4
??? ?
（B） 2

（D）向右平移

（9）在△ABC 中，已知 | AB |? 4,| AC |? 1 ， S ?ABC （A） ?2 则n? （A） 3 大小为（A） ? a
2

????

? 个单位长度 4 ??? ? ???? ? 3 ，则 AB ? AC 的值为
（D） ?2

（C） ?4

（10）在递增的等比数列 ?an ? 中，已知 a1 ? an ? 34 ， a3 ? an?2 ? 64 ，且前 n 项和为 Sn ? 42 ，（B） 4 （C） 5 （D） 6

（11）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积（B） ? a

7 3

2

（C）

11 2 ?a 3

（D） 5? a

2

（12）已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? b 2 x ? 1 ，若 a 是从 1, 2, 3 三个数中任取的一个数， b 是从 3

0,1, 2 三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为
（A）

7 9

（B）

1 3

（C）

5 9

（D）

2 3

[来源:学科网]

第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题-第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
? （13） sin ?600 的值为

（14）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．（15）双曲线 tx ? y ? 1 ? 0 的一条渐近线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直，则双曲线的离心率为
2 2

?

?

.

.

Q 两点,则当 ?CPQ 的（16）已知圆 C : ? x ? a ? ? ? y ? a ? ? 1? a ? 0 ? 与直线 y ? 2 x 相交于 P 、
2 2

面积最大时，实数 a 的值为（17）（本小题满分 12 分）（I）求数列 ?bn ?的通项公式；

.

三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）已知等差数列 ?a n ?的首项 a1 ? 1 ，公差 d ? 1 ，前 n 项和为 S n ， bn ?

1 ， Sn

（II）设数列 ?bn ?前 n 项和为 Tn ，求 Tn

（18）（本小题满分 12 分）某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动，且每个小组有 5 名同学，在实践活动结束后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测评，该班的 A, B 两

个小组所有同学所得分数（百分制）的茎叶图如图所示，其中 B 组一同学的分数已被污损，但知道 B 组学生的平均分比 A 组学生的平均分高 1分．（I）若在 B 组学生中随机挑选 1人，求其得分超过 85 分的概率；（II）现从 A 组这 5 名学生中随机抽取 2 名同学，设其分数分别为 m, n ，求 | m ? n |? 8 的概率．

P

A
D
（19）（本小题满分 12 分）如图，已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为菱形， ?BCD ? 120? ， AB ? PC ? 2 ， AP ? BP ? 2 . （I）求证：AB⊥PC；（II）求点 D 到平面 PAC 的距离.

B

C

（20）（本小题满分 12 分）

1 x （I）若 a ? 2 ，求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程； a （II）设函数 g ( x ) ? ? ．若至少存在一个 x0 ? ?1, e? ，使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立，求实数 a x
已知函数 f ( x ) ? a ( x ? ) ? 2 ln x （ a ?R）．的取值范围．

（21）（本小题满分 12 分）

已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成 a 2 b2

等腰直角三角形，直线 x ? y ? 1 ? 0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切. （I）求椭圆 C 的方程；（II）设 P 为椭圆 C 上一点，若过点 M（2，0）的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 S 和 T ，满足 OS ?OT ?tOP （ O 为坐标原点），求实数 t 的取值范围.

??? ? ??? ?

??? ?

请考生在第 22、23、24 三道题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。（22）（本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙ O ，过点 A 作⊙ O 的切线

C
D E

EP 交 CB 的延长线于 P ，已知 ?EAD ? ?PCA . 证明：（I） AD ? AB ； 2 （II） DA ? DC ? BP .

?O
A

B P

（23）（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 x 轴的正半轴重合，直线 l 的极坐标方程为： ? sin(? ?

?x ? 2 ? 2 cos? , ? 1 ) ? ，曲线 C 的参数方程为： ? 6 2 ? y ? 2 sin ? .

（I）写出直线 l 的直角坐标方程；（II）求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值.

（24）（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲已知关于 x 的不等式 m? | x ? 2 | ?1 ，其解集为 [0, 4] . （I）求 m 的值；（II）若 a ， b 均为正实数，且满足 a ? b ? m ，求 a ? b 的最小值.
2 2
[来源:学,科,网]

商丘市 2015 年第二次模拟考试高三数学（文科）参考答案
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）

BACA

CDBC

DABD
5 2
10 2

二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）

(13)

3 2

(14) 6? ? 4

(15)

(16)

三、解答题（共 70 分）

(17)解：（I）? 等差数列 ?a n ?中 a1 ? 1 ，公差 d ? 1 ,

? S n ? na1 ?

n?n ? 1? n2 ? n d? 2 2 .

……………………………………………5 分

? bn ?

2 n ?n.
2

………………………………………………………………6 分 ………………… ………………………………8 分

(II) bn ?

2 2 1 1 ? ? 2( ? ), n ? n n(n ? 1) n n ?1
2

? 1 1 1 1 ? ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 2? ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n?n ? 1? ? ? ? ?
1 1 ? ? 1 1 1 1 1 ? 2?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n ? 1? ? 2 2 3 3 4
? 2(1 ? 1 2n )? . n ?1 n ?1

………………………………………10 分

…………………………………………………………………12 分

(18)解：（Ⅰ）A 组学生的平均分为

94 ? 88 ? 86 ? 80 ? 77 ， ? 85 （分） 5

………………………1 分
91 ? 93 ? 83 ? x ? 75 ? 86 ， 5

∴ B 组学生平均分为 86 分，设被污损的分数为 x，由
网]

[来源:学。科。

∴

x ? 88 ， ……………………………………………………………………………………3 分
故 B 组学生的分数分别为 93，91，88，83，75， ………………………4 分则在 B 组学生随机选 1 人所得分超过 85 分的概率 P ? （Ⅱ）A 组学生的分数分别是 94，88，86，80，77，在 A 组学生中随机抽取 2 名同学，其分数组成的基本事件 ( m, n ) 有 (94,88),(94,86),(94,80),
3 ． ………………6 分 5

(94,77),(88,86),(88,80),(88,77),(86,80),(86,77),(80,77)共 10 个，……8 分随机抽取 2 名同学的分数 m, n 满足 | m ? n |? 8 的事件有 (94,88)，(94,86)，(88,86)，(88,80)，(86,80)，(80,77)共 6 个．…………10 分故学生得分 m, n 满足 | m ? n |? 8 的概率 P ? （19）（Ⅰ）证明：取 AB 的中点 O ，连接 PO, CO ． ∵ AP ? BP ，∴ PO ? AB , ………1 分
6 3 ? ． ……………………………12 分 10 5

又四边形 ABCD 是菱形，且 ?BCD ? 120? ， ∴ V ACB 是等边三角形， ∴ C O ? A B. 又 CO I PO ? O ，∴ AB ? 平面 PCO ，又 PC ? 平面PCO ，∴ AB ? PC . (II)? PA ? PB ? 2, AB ? 2,??APB ? 90? , ? PO ? 1 .…………………6 分

? ?ABC 是边长为 2 的正三角形，?OC ? 3, 又 PC ? 2 ,

? PO 2 ? CO 2 ? PC 2 ,? PO ? OC ,又 PO ? AB , PO ? 平面 ABC ， …………8 分

? 四边形 ABCD 是菱形,? B, D 到平面 PAC 的距离相等，设为 h.

3 2 1 2 7 ?2 ? 3 . ,? S?ABC ? ? S?PAC ? ? 2 ? 22 ? ( )2 ? 4 2 2 2
由 VB? PAC ? VP? ABC ,? S ?PAC ?h ?

1 3

1 S ?ABC ?PO , 3

…………………………10 分

?

7 2 21 h ? 3 ?1 ? , h? . ………………………………………………12 分 2 7
1 x 1 2 ) ? ， ………1 分 2 x x
……………2 分

（20）解：（I） a ? 2 时， f ( x) ? 2( x ? ) ? 2 ln x ，? f ?( x) ? 2(1 ?

? f ?(1) ? 2, 又 f (1) ? 0, ? 在点 (1, 0) 处的切线斜率 k ? f ?(1) ? 2,

? 切线方程为 y ? 2( x ? 1) ，即 2 x ? y ? 2 ? 0 .……………………………………4 分
（II）? g ( x) ? ?

a 1 a , f ( x) ? g ( x) ，? a ( x ? ) ? 2 ln x ? ? ， x x x 2 ln x , ……………………………………………6 分 ?ax ? 2ln x, x ??1, e? ，? a ? x 2 ln x ) min , x ? ?1, e ? ，依题意 a ? ( ……………………………………………7 分 x

令

h( x ) ?

2 ln x 2(1 ? ln x) , h?( x) ? . x x2

……………………………………………………8 分

由 h?( x) ? 0, 得 x ? e. ? x ??1, e? 时， h?( x) ? 0, ? h( x) 在 ?1, e? 上为增函数.………9 分

? h( x)min ? h(1) ? 0.
? a ? 0.

…………………………………………………………10 分

……………………………………………………………………………12 分

（21）解：（Ⅰ）由题意，以椭圆 C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为

( x ? c) 2 ? y 2 ? a 2 , ∴圆心到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?

c ?1 2

? a （*）

∵椭圆 C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, ∴b ? c ,a ?

2b ? 2c ，
x2 ? y 2 ? 1. 2

代入(*)式得 b ? c ? 1 ， ∴ a ?

2b ? 2 ,

故所求椭圆方程为

………………………………………4 分

（Ⅱ）由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 2) ，设 P ? x0 , y0 ? , 将直线方程代入椭圆方程得： 1 ? 2k 2 x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 , ∴ ? ? 64k ? 4 1 ? 2k
4

?

?

?

2

??8k

2

? 2 ? ?16k 2 ? 8 ? 0 ，∴ k 2 ?
2

?

1 . 2

8k 8k 2 ? 2 , x1 x2 ? 设 S ?x1 , y1 ? , T ?x 2 , y 2 ? ，则 x1 ? x2 ? . 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
由 OS ? OT ? t OP , 当 t ? 0 ,直线 l 为 x 轴， P 点在椭圆上适合题意； ……………7 分
[来源:Z*xx*k.Com]

? 8k 2 tx ? x ? x ? 1 2 ? ? 0 1 ? 2k 2 当 t ? 0 ，得 ? ?ty ? y ? y ? k ( x ? x ? 4) ? ?4k 0 1 2 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?
∴

1 ?4 k 1 8k 2 x0 ? ? , y0 ? ? .…………………………………8 分 2 t 1 ? 2k 2 t 1 ? 2k

将上式代入椭圆方程得：

32k 4 16k 2 ? ? 1， t 2 (1 ? 2k 2 ) 2 t 2 (1 ? 2k 2 ) 2

整理得： t ?
2

16k 2 1 2 ，由 k 2 ? 知， 0 ? t ? 4 ，………………10 分 2 1 ? 2k 2

所以 t ? ? ?2,0? ? (0, 2) ，……………………………………………11 分综上可得 t ? (?2,, 2) . ………………………………………………12 分

（22）解：（Ⅰ）∵ EP 与⊙ O 相切于点 A ， ∴ ?EAD ? ?DCA .……………………………………2 分又 ?EAD ? ?PCA ， ∴ ?DCA ? ?PCA ， ∴ AD ? AB . ……………………………………………5 分

C
D E

?O
A

B P

（Ⅱ）∵四边形 ABCD 内接于⊙ O ， ∴ ?D ? ?PBA . …………………………………………6 分

又 ?DCA ? ?PCA ? ?PAB ， ∴ ?ADC ∽ ?PBA .…………………………………………8 分 ∴

DA DC DA DC ? ? ，即， BP BA BP DA
2

∴ DA ? DC ? BP . ………………………………………10 分（23）解：（Ⅰ） Q ? sin(? ?

?
6

)?

1 3 1 1 sin ? ? cos ? ) ? ，………………3 分，? ? ( 2 2 2 2

?

3 1 1 y ? x ? ，即 l : x ? 3 y ? 1 ? 0 .……………………………5 分 2 2 2

（Ⅱ）解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为 (2 ? 2cos ? , 2sin ? ) ，所以，曲线 C 上的点到直线 l 的距离

d?

2 ? 2 cos ? ? 2 3 sin a ? 1 2

4 cos(? ? ) ? 3 7 3 ? ? . …………………10 分 2 2

?

解法二：曲线 C 为以 (2, 0) 为圆心， 2 为半径的圆.圆心到直线的距离为所以，最大距离为

3 ， 2

3 7 ?2? . 2 2

……………………………………………10 分 ……………………1 分

（24）解：（Ⅰ）不等式 m? | x ? 2 | ?1 可化为 | x ? 2 | ? m ? 1 ，

∴ 1 ? m ? x ? 2 ? m ? 1 ，即 3 ? m ? x ? m ? 1 ，

…………………2 分

∵其解集为 [0, 4] ，∴ ? （Ⅱ）由（Ⅰ）知 a ? b ? 3 ，

?3 ? m ? 0 ， m ? 3 .………………………………5 分 ?m ? 1 ? 4

（方法一：利用基本不等式） ∵ (a ? b)2 ? a2 ? b2 ? 2ab ? (a2 ? b2 ) ? (a2 ? b2 ) ? 2(a2 ? b2 ) ， ∴ a ?b ?
2 2

9 9 2 2 ，∴ a ? b 的最小值为 .………………………………10 分 2 2

.

（方法二：利用柯西不等式） ∵ (a2 ? b2 ) ? (12 ? 12 ) ? (a ?1 ? b ?1)2 ? (a ? b)2 ? 9 ， ∴ a ?b ?
2 2

9 9 2 2 ，∴ a ? b 的最小值为 .………………………………10 分 2 2

（方法三：消元法求二次函数的最值） ∵ a ? b ? 3 ，∴ b ? 3 ? a ，
2 2 2 2
[来源:学科网 ZXXK]

∴ a ? b ? a ? (3 ? a ) ? 2a ? 6a ? 9 ? 2(a ? ) ?
2 2

3 2

9 9 ? ， 2 2

∴ a ? b 的最小值为
2 2

9 . 2

…………………………………………………10 分

河南省商丘市2015届高三第二次模拟考试数学(文)试题

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