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第五章 三角函数-5.6 三角函数的图像与性质修改



5. 6. 1 教学目标

正弦函数的图像和性质(1)

(1)理解正弦函数的定义,周期。 (2)理解用“五点法”画正弦函数的简图的方法;

教学重点
(1)正弦函数的图像及性质; (2)用“五点法”做出出函数 y=sinx 在 ?0,2π? 上的简图.

教学难点 周期性的理解. 课时安排


1 课时.

教学方法 讲授型 教学过程
一、组织教学 二、揭示课题 三、兴趣导入 问题:观察钟表,如果当前的时间是 2 点,那么时针走过 12 个小时后,显示的时间是多 少呢?再经过 12 个小时后,显示的时间是多少呢? 解决:每间隔 12 小时,当前时间 2 点重复出现. 推广:类似这样的周期现象还有哪些? 四、探索新知 1.周期的定义 对于函数 y ? f ( x) ,如果存在一个不为零的常数 T ,当 x 取定义域 D 内的每一个值时, 都有 x ? T ? D ,并且等式 f ( x ? T ) ? f ( x) 成立,那么,函数 y ? f ( x) 叫做周期函数,常 数 T 叫做这个函数的一个周期. 由于正弦函数的定义域是实数集 R,对 ? ?R ,恒有 ? ? 2kπ ? R(k ? Z) ,并且
4 π , 6 π , 及 ?2π , ?4π , sin(? ? 2kπ)=sin? (k ? Z) , 因此正弦函数是周期函数, 并且 2 π ,

5.6.1 正弦函数的图像和性质



都是它的周期. 2.最小正周期 通常把周期中最小的正数叫做最小正周期,简称周期,仍用 T 表示.今后我们所研究的 函数周期,都是指最小正周期.因此,正弦函数的周期是 2 ? . 3.正弦函数的图像 问题:用“描点法”作函数 y ? sin x 在 ?0,2?? 上的图像 推广:将函数 y ? sin x 在 ?0,2?? 上的图像向左或向右平移 2 ? , 4 ? , ,就得到

这个图像叫做正弦曲线. (见教材第 117 页图 5-29) 观 y ? sin x在(-?, ??)上 的图像, 察发现,正弦函数 y ? sin x 在 ?0,2?? 上的图像中有五个关键点: (0,0) ,
? 3? ? ? , ?1 ? , 2 ? ? ?? ? ? ,1 ? , ?2 ?

? ?,0 ? ,

? 2?,0? .描出这五个点后,正弦函数 y ? sin x , 在?0, 2π?上 的图像的形状就基

本上确定了.因此,在精确度要求不高时,经常首先描出这关键的五个点,然后用光滑的曲 线把它们联结起来,从而得到正弦函数在 ?0,2π? 上的简图.这种作图方法叫做“五点法” . 五.典型例题 例 1 利用“五点法”作函数 y ? 1 ? sin x 在 ?0,2π? 上的图像. 分析 y ? sin x 图像中的五个关键点的横坐标分别是 0,

? ?? ,? , , ?? ,这里要求 2 2

出 y ? 1 ? sin x 在五个相应的函数值,从而得到五个点的坐标,最后用光滑的曲 线联结这五个点,得到图像. 解 列表

x
sin x

0 0 1

π 2
1 2

π
0 1

3π 2
?1 0



0 1

y ? 1 ? sin x

以表中每组对应的 x,y 值为坐标,描出点 ( x, y ) ,用光滑的曲线顺次联 结各点,得到函数 y ? 1 ? sin x 在 ?0,2π? 上的图像. 六、作业设计 课本第 120 页 练习 5.6.1 1,2,3,4 本节知识梳理 七、课后反思

5. 教学目标

6.

2 正弦函数的图像及性质(2)

(1) 用“五点法”画正弦函数的简图的方法; (2)理解正弦函数的定义域,值域,最值,周期性的意义

教学重点
(1)正弦函数的性质的理解与应用; (2)用“五点法”做出出函数 y=sinx 在 ?0,2π? 上的简图.

教学难点 周期性的理解. 课时安排
1 课时.

教学方法 讲授型 教学过程 一. 复习提问 1. 正弦函数的定义,定义域是什么? 2. 正弦函数 y=sinx 在 ?0,2π? 上的五个关键点是那些?图像是什么? 3. 把 y=six 在 ?0,2π? 上的图像以 ?? 为单位左右平移得 y=sinx,x∈R 上的图像
二.讲授新课

观察正弦曲线,对正弦曲线总是夹在 两条直线 y=1 和 y = -1 之间,即对于 任意的 X,都有-1≤sinx≤1 ,即︱sinx︴≤1 1.有界函数,无界函数
一般的,设函数对于函数 y ? f ( x) 在区间(a , b)内有意义,如果存在一个正数 M,对 于任意的 x∈(a , b)都有 f (x) <M 成立,那么函数 f (x)叫区间(a, b)内的有界函数, 如果 M 不存在,函数 f (x)叫区间(a , b)内的无界函数。 2. 正弦函数的性质. 由单位圆中的正弦线得正弦函数的性质: (1)值域: [-1,1] π π 当 y= +2 kπ,k ? Z 时,y=sin x 取得最大值 1;即 y max =1;当 y=- +2 kπ, 2 2 k ? Z 时,y=sin x 取得最小值-1,即 ymin=-1; (2)周期性 定义:对于函数 f (x),如果存在一个非零常数 T,使得定义域内的每一个 x 的值, 都满足 f (x+T)=f (x),那么函数 f (x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个 函数的周期. 对于一个周期函数 f (x),如果在它的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小

正数就叫做它的最小正周期. 结论:正弦函数是一个周期函数, 2 k π (k ? Z,且 k≠0)都是它的周期,2 π 是其最小 正周期. (3)奇偶性 由公式 sin(-x)=-sin x 得知,正弦函数是奇函数,图象关于坐标原点对称. (4)单调性 正弦函数在闭区间 π π [- +2 k π, +2 k π](k?Z)上是增函数;在闭区间 2 2 [ π 3π +2 k π, +2 k π](k?Z)上是减函数. 2 2

三.例题解析 例 2 求使函数 y=2+sin x 取最大值和最小值的 x 的集合,并求这个函数的最大值、最 小值和周期. 四.课堂练习 五.课时小节: 本节课你学会了那些知识? 六.布置作业 : 课本第 120 页第 3.4 题 七.课后反思 : 课本第 122 页第 2 题



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