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2014高考数学第一次模拟试卷



2014 高考数学第一次模拟试卷
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上. ) 1.复数

1 ? 2i 在复平面上对应的点位于第 3 ? 4i

象限. .

2.设全集 U ? {1,3,5,7} ,集合 M ? {1, a ? 5} ,

M ? U , ? U M ? ?5,7? ,则实数 a 的值为 3.过点 ?1,0 ? 且倾斜角是直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的倾斜角的两倍的直线方程是 .
2

4.若连续投掷两枚骰子分别得到的点数 m 、 n 作为点 P 的坐标 ?m、n ? ,求点 P 落在圆 x ? y ? 16 内的概率 为 .
2

5.若双曲线

x 2 16 y 2 ? 2 ? 1 的左焦点在抛物线 y 2 ? 2 px 的准线上,则 p 的值为 3 p



6.如图所示,设 P、Q 为△ABC 内的两点,且 AP ? △ABQ 的面积之比为 .

??? ?

? 1 ???? ???? 2 ??? ? 1 ???? 2 ??? AB ? AC , AQ = AB + AC ,则△ABP 的面积与 3 4 5 5 Read x If x ? 0 Then
y ?1? x

C

Else
Q P A B

y ?1? x
End If Print y (第 7 题)

(第 6 题)

7.下图是根据所输入的 x 值计算 y 值的一个算法程序,若 x 依次取数 ? 得 y 值中的最小值为 .

? n ? ? 1? (n ? N ? ) 中的前 200 项,则所 ?100 ?

2 2 8.在 ?ABC 中,若 AB ? AC, AC ? b, BC ? a ,则 ?ABC 的外接圆半径 r ? a ? b ,将此结论拓展到空间,可得 2

出的正确结论是:在四面体 S ? ABC 中,若 SA 、 SB 、 SC两两垂直, SA ? a, SB ? b, SC ? c ,则四面体

S ? ABC的外接球半径 R ?



9.若 a 是 1 ? 2b 与 1 ? 2b 的等比中项,则

2ab 的最大值为 a ?2 b



10 .空间直角坐标系中,点 A( 6, 4sin ? , ?3sin ? ), B(0,3cos ? , 4cos ? ) ,则 A 、 B 两点间距离的最大值 为 . 11.下列表中的对数值有且仅有一个是错误的:

x
lg x

3

5

8

9

15

2a ? b

a?c

3 ? 3a ? 3c
1

4a ? 2b

3a ? b ? c ? 1

请将错误的一个改正为 lg

=



12 . 如 图 , l1 、 l2 、 l3 是 同 一 平 面 内 的 三 条 平 行 直 线 , l1 与 l2 间 的 距离是 1,l2 与 l3 间的距离是 2,正三角形 ABC 的三顶点分别在 l1、l2、l3 上,则 △ABC 的边长是 .

13 .已知数列 ? an ? 、 ?bn ? 都是等差数列, S n , Tn 分别是它们的前 n 项和,并且

S n 7n ? 1 a ? a5 ? a17 ? a 22 ? ,则 2 = Tn n?3 b8 ? b10 ? b12 ? b16



[2 ,2 ] 14. 已知函数 f ( x) 的值域为 ? 0, 4? ( x ? ? ?2, 2?) , 函数 g ( x) ? ax ? 1, x ?[?2, 2] ,?x1 ? [?2, 2] , 总 ?x0? ?
使得 g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,则实数 a 的取值范围是 .



二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是三内角 A、B、C 的对应的三边,已知 b2 ? c2 ? a 2 ? bc 。 (Ⅰ)求角 A 的大小: (Ⅱ)若 2sin 2

B C ? 2sin 2 ? 1 ,判断 ?ABC 的形状。 2 2

16. (本小题满分 15 分) 如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的中点. (Ⅰ)求证: EF //平面 ABC1 D1 ; (Ⅱ)求证: EF ? B1C ; (Ⅲ)求三棱锥 VB1 ? EFC 的体积.
A1 E B1 D1

C1

D F A
2

C B

17. (本小题满分 14 分) 某化工企业 2007 年底投入 100 万元,购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是 0.5 万元,此 外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为 2 万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增 加 2 万元. (Ⅰ)求该企业使用该设备 x 年的年平均污水处理费用 y (万元) ; (Ⅱ)问为使该企业的年平均污水处理费用最低,该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备?

18. (本小题满分 15 分) 如图,已知圆 O 的直径 AB=4,定直线 L 到圆心的距离为 4,且直线 L 垂直直线 AB。点 P 是圆 O 上异 于 A、B 的任意一点,直线 PA、PB 分别交 L 与 M、N 点。 M (Ⅰ)若∠PAB=30° ,求以 MN 为直径的圆方程; (Ⅱ)当点 P 变化时,求证:以 MN 为直径的圆必过圆 O 内的一定点。 P L

A

O

B

N

3

19. (本小题满分 15 分) 设常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x ? ln x ? 2a ln x ? 1 ( x ? (0, ??)) .
2

(Ⅰ)令 g ( x) ? xf ?( x) ( x ? 0) ,求 g ( x) 的最小值,并比较 g ( x) 的最小值与零的大小; (Ⅱ)求证: f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数; (Ⅲ)求证:当 x ? 1 时,恒有 x ? ln 2 x ? 2a ln x ? 1 .

20. (本小题满分 16 分) 定义:若数列 ?An ?满足 An ?1 ? An ,则称数列 ?An ?为“平方递推数列” 。已知数列 ?a n ? 中, a1 ? 2 ,
2

(Ⅱ)设(Ⅰ)中“平方递推数列”的前 n 项之积为 Tn ,即 Tn ? (2a1 ? 1)(2a2 ? 1)? (2an ? 1) ,求数列 ?a n ? (Ⅲ)记 bn ? log 2 an ?1 Tn ,求数列 ?bn ?的前 n 项之和 S n ,并求使 S n ? 2008 的 n 的最小值。 的通项及 Tn 关于 n 的表达式。

(Ⅰ)证明:数列 ?2a n ? 1?是“平方递推数列” ,且数列 ?lg(2a n ? 1)? 为等比数列。

点 (a n , a n ?1 ) 在函数 f ( x) ? 2 x ? 2 x 的图像上,其中 n 为正整数。
2

4

参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.三 5. 4 2. 8 3. 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 7. 1 8. 11. 12. 4.

6.

4 5

a 2 ? b2 ? c2 2
2 21 3

9.

1 3

10. 8

13.

14. ? ??, ? ? ? ? , ?? ? 2 2

? ?

5? ?

?5 ?

? ?

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)在 ?ABC 中, b2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc cos A ,又 b2 ? c2 ? a 2 ? bc

1 ? , A ? ???????????????????6 分 2 3 B C (Ⅱ)∵ 2sin 2 ? 2sin 2 ? 1 ,∴ 1 ? cos B ? 1 ? cos C ? 1 ????????8 分 2 2 2? 2? 2? ∴ cos B ? cos C ? 1, cos B ? cos( ? B) ? 1 , cos B ? cos cos B ? sin sin B ? 1 , 3 3 3
∴ cos A ?

3 1 ? sin B ? cos B ? 1 ,∴ sin( B ? ) ? 1 , 2 2 6
∵ 0 ? B ? ? ,∴ B ? 16. (本小题满分 15 分) 证明: (Ⅰ)连结 BD1 ,在 ?DD1 B 中, E 、 F 分别为 D1 D , DB 的中点,则

?
3

,C ?

?
3

, ∴ ?ABC 为等边三角形。?????14 分

? ? D1 B ? 平面ABC1 D1 ? ? EF // 平面ABC1D1 EF ? 平面ABC1 D1 ? ? EF // D1 B
(Ⅱ)

D1 A1 E B1

C1

? ? B1C ? BC1 ? ?? AB, B1C ? 平面ABC1D1 ? ? AB ? BC1 ? B ?

B1C ? AB

D F A B

C

B1C ? BD1 ? B1C ? 平面ABC1 D1 ? ?? ? ? EF ? B1C EF // BD1 ? BD1 ? 平面ABC1 D1 ?
5

(Ⅲ)? CF ? 平面BDD1B1

? CF ? 平面EFB1
? EF ?



C F? B F ? 2

1 BD1 ? 3 , B1 F ? BF 2 ? BB12 ? ( 2) 2 ? 22 ? 6 2

B1 E ? B1 D12 ? D1 E 2 ? 12 ? (2 2) 2 ? 3
∴ EF 2 ? B1 F 2 ? B1E 2 即 ?EFB1 ? 90?

1 1 1 ?VB1 ? EFC ? VC ? B1EF ? ? S?B1EF ? CF = ? ? EF ? B1 F ? CF 3 3 2
=

1 1 ? ? 3? 6 ? 2 ?1 3 2

17. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) y ?

100 ? 0.5 x ? (2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 x) x 100 即y ? x? ;------------------------------------------------7 分 ? 1.5 ( x ? 0 ) x * (不注明定义域不扣分,或将定义域写成 x ? N 也行)
由均值不等式得:

(Ⅱ) y ? x ?

100 100 ? 1.5 ? 2 x ? ? 1.5 ? 21.5 (万元)-----------------------11 分 x x 100 当且仅当 x ? ,即 x ? 10 时取到等号.----------------------------------------13 分 x

答:该企业 10 年后需要重新更换新设备.------------------------------------------14 分 18. (本小题满分 15 分) 解:建立如图所示的直角坐标系, ⊙O 的方程为 x ? y ? 4 ,
2 2

y M P

直线 L 的方程为 x ? 4 。 (Ⅰ)∵∠PAB=30° ,∴点 P 的坐标为 (1, 3) ,

3 ( x ? 2) , lBP : y ? ? 3( x ? 2) 。 3 将 x=4 代入,得 M (4, 2 3), N (4, ?2 3) 。
∴ l AP : y ? ∴MN 的中点坐标为(4,0) ,MN= 4 3 。 ∴以 MN 为直径的圆的方程为 ( x ? 4) ? y ? 12 。
2 2

A

O

B

x

同理,当点 P 在 x 轴下方时,所求圆的方程仍是 ( x ? 4) ? y ? 12 。
2 2

N
2 0。

(Ⅱ)设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,∴ x ? y ? 4 ( y0 ? 0 ) ,∴ y ? 4 ? x
2 0 2 0 2 0

∵ lPA : y ?

y0 y0 ( x ? 2), lPB : y ? ( x ? 2) , x0 ? 2 x0 ? 2
6

将 x=4 代入,得 yM ?

6 y0 , x0 ? 2

yN ?

4 x0 ? 4 6 y0 2 y0 2 y0 6 y0 2 y0 ? ? 。∴ M (4, 。 ), N (4, ) ,MN= x0 ? 2 x0 ? 2 y0 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2

MN 的中点坐标为 (4, ?
/

4( x0 ? 1) )。 y0
4( x0 ? 4) 2 16( x0 ? 1) 2 4 ? ? 2 2 y0 y0 y0
2 12 ? 3 x0

以 MN 为直径的圆 O 截 x 轴的线段长度为 2

?
/

4 3 4 3 2 4 ? x0 ? y0 ? 4 3 为定值。 y0 y0

∴⊙ O 必过⊙O 内定点 (4 ? 2 3, 0) 。 19. (本小题满分 15 分) 解(Ⅰ)∵ f ( x) ? x ? (ln x)(ln x) ? 2a ln x ?1, x ? (0, ??) ∴ f ?( x) ? 1 ? [ ? ln x ? (ln x) ? ] ?

1 1 2a 2 ln x 2a , ? 1? ??2 分 ? , x x x x x ∴ g ( x) ? xf ?( x) ? x ? 2ln x ? 2a , x ? (0, ??) 2 x?2 ∴ g ?( x) ? 1 ? ? ,令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 2 , ??4 分 x x
列表如下:

x g ?( x) g ( x)

(0, 2)

2 0 极小值 g (2)

?


(2, ? ∞) ?
↗ ??6 分 ??8 分 ??10 分 ??11 分 ??12 分 ??13 分 ??14 分

∴ g ( x) 在 x ? 2 处取得极小值 g (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a , 即 g ( x) 的最小值为 g (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a .

g (2) ? 2(1 ? ln 2) ? 2a , ∵ ln 2 ? 1 ,∴ 1 ? ln 2 ? 0 ,又 a ? 0 ,∴ g (2) ? 0 . 证明(Ⅱ)由(Ⅰ)知, g ( x) 的最小值是正数, ∴对一切 x ? (0, ??) ,恒有 g ( x) ? xf ?( x) ? 0 , 从而当 x ? 0 时,恒有 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x) 在 (0, ? ∞) 上是增函数. 证明(Ⅲ)由(Ⅱ)知: f ( x) 在 (0, ? ∞) 上是增函数, ∴当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ,
又 f (1) ? 1 ? ln 1 ? 2a ln1 ? 1 ? 0 ,
2

∴ f ( x) ? 0 ,即 x ? 1 ? ln x ? 2a ln x ? 0 ,
2

∴ x ? ln x ? 2a ln x ? 1
2

故当 x ? 1 时,恒有 x ? ln x ? 2a ln x ? 1 .
2

??15 分

20. (本小题满分 16 分) (Ⅰ)由条件 an+1=2an2+2an, 得 2an+1+1=4an2+4an+1=(2an+1)2.∴{bn}是“平方递推数列” .∴lgbn+1= lg(2an+1+1) 2lgbn.∵lg(2a1+1)=lg5≠0,∴ =2.∴{lg(2an+1)}为等比数列. lg(2an+1) (Ⅱ)∵lg(2a1+1)=lg5,∴lg(2an+1)=2n 1?lg5,∴2an+1=5


2n

-1

1 2n-1 ,∴an= (5 -1). 2

7

lg5?(1-2n) ∵lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+?+lg(2an+1)= =(2n-1)lg5. 1-2 ∴Tn=5
2n-1



(2n-1)lg5 2n-1 lgTn 1 n-1 (3)cn= = n- 1 = n-1 =2-? ? , ?2? lg(2an+1) 2 lg5 2 1 1 1 ∴Sn=2n-[1+ +? ? +?+? ? 2 ?2? ?2?
2 n-1

1 n 1-? ? ? 2? 1 n 1 n ]=2n- =2n-2[1-? ? ]=2n-2+2? ? . 1 ?2? ?2? 1- 2

1 n 1 n 由 Sn>2008 得 2n-2+2? ? >2008,n+? ? >1005, ?2? ?2? 1 n 1 n 当 n≤1004 时,n+? ? <1005,当 n≥1005 时,n+? ? >1005,∴n 的最小值为 1005. ?2? ?2?

8



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