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2014高考数学第一次模拟试卷



2014 高考数学第一次模拟试卷
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上. ) 1.复数

1 ? 2i 在复平面上对应的点位于第 3 ? 4i

象限. .

2.设全集 U ? {1,3,5,7} ,集合 M ? {1, a ? 5} ,

M ? U , ? U M ? ?5,7? ,则实数 a 的值为 3.过点 ?1,0 ? 且倾斜角是直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的倾斜角的两倍的直线方程是 .
2

4.若连续投掷两枚骰子分别得到的点数 m 、 n 作为点 P 的坐标 ?m、n ? ,求点 P 落在圆 x ? y ? 16 内的概率 为 .
2

5.若双曲线

x 2 16 y 2 ? 2 ? 1 的左焦点在抛物线 y 2 ? 2 px 的准线上,则 p 的值为 3 p



6.如图所示,设 P、Q 为△ABC 内的两点,且 AP ? △ABQ 的面积之比为 .

??? ?

? 1 ???? ???? 2 ??? ? 1 ???? 2 ??? AB ? AC , AQ = AB + AC ,则△ABP 的面积与 3 4 5 5 Read x If x ? 0 Then
y ?1? x

C

Else
Q P A B

y ?1? x
End If Print y (第 7 题)

(第 6 题)

7.下图是根据所输入的 x 值计算 y 值的一个算法程序,若 x 依次取数 ? 得 y 值中的最小值为 .

? n ? ? 1? (n ? N ? ) 中的前 200 项,则所 ?100 ?

2 2 8.在 ?ABC 中,若 AB ? AC, AC ? b, BC ? a ,则 ?ABC 的外接圆半径 r ? a ? b ,将此结论拓展到空间,可得 2

出的正确结论是:在四面体 S ? ABC 中,若 SA 、 SB 、 SC两两垂直, SA ? a, SB ? b, SC ? c ,则四面体

S ? ABC的外接球半径 R ?



9.若 a 是 1 ? 2b 与 1 ? 2b 的等比中项,则

2ab 的最大值为 a ?2 b



10 .空间直角坐标系中,点 A( 6, 4sin ? , ?3sin ? ), B(0,3cos ? , 4cos ? ) ,则 A 、 B 两点间距离的最大值 为 . 11.下列表中的对数值有且仅有一个是错误的:

x
lg x

3

5

8

9

15

2a ? b

a?c

3 ? 3a ? 3c
1

4a ? 2b

3a ? b ? c ? 1

请将错误的一个改正为 lg

=



12 . 如 图 , l1 、 l2 、 l3 是 同 一 平 面 内 的 三 条 平 行 直 线 , l1 与 l2 间 的 距离是 1,l2 与 l3 间的距离是 2,正三角形 ABC 的三顶点分别在 l1、l2、l3 上,则 △ABC 的边长是 .

13 .已知数列 ? an ? 、 ?bn ? 都是等差数列, S n , Tn 分别是它们的前 n 项和,并且

S n 7n ? 1 a ? a5 ? a17 ? a 22 ? ,则 2 = Tn n?3 b8 ? b10 ? b12 ? b16



[2 ,2 ] 14. 已知函数 f ( x) 的值域为 ? 0, 4? ( x ? ? ?2, 2?) , 函数 g ( x) ? ax ? 1, x ?[?2, 2] ,?x1 ? [?2, 2] , 总 ?x0? ?
使得 g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,则实数 a 的取值范围是 .



二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是三内角 A、B、C 的对应的三边,已知 b2 ? c2 ? a 2 ? bc 。 (Ⅰ)求角 A 的大小: (Ⅱ)若 2sin 2

B C ? 2sin 2 ? 1 ,判断 ?ABC 的形状。 2 2

16. (本小题满分 15 分) 如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的中点. (Ⅰ)求证: EF //平面 ABC1 D1 ; (Ⅱ)求证: EF ? B1C ; (Ⅲ)求三棱锥 VB1 ? EFC 的体积.
A1 E B1 D1

C1

D F A
2

C B

17. (本小题满分 14 分) 某化工企业 2007 年底投入 100 万元,购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是 0.5 万元,此 外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为 2 万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增 加 2 万元. (Ⅰ)求该企业使用该设备 x 年的年平均污水处理费用 y (万元) ; (Ⅱ)问为使该企业的年平均污水处理费用最低,该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备?

18. (本小题满分 15 分) 如图,已知圆 O 的直径 AB=4,定直线 L 到圆心的距离为 4,且直线 L 垂直直线 AB。点 P 是圆 O 上异 于 A、B 的任意一点,直线 PA、PB 分别交 L 与 M、N 点。 M (Ⅰ)若∠PAB=30° ,求以 MN 为直径的圆方程; (Ⅱ)当点 P 变化时,求证:以 MN 为直径的圆必过圆 O 内的一定点。 P L

A

O

B

N

3

19. (本小题满分 15 分) 设常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x ? ln x ? 2a ln x ? 1 ( x ? (0, ??)) .
2

(Ⅰ)令 g ( x) ? xf ?( x) ( x ? 0) ,求 g ( x) 的最小值,并比较 g ( x) 的最小值与零的大小; (Ⅱ)求证: f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数; (Ⅲ)求证:当 x ? 1 时,恒有 x ? ln 2 x ? 2a ln x ? 1 .

20. (本小题满分 16 分) 定义:若数列 ?An ?满足 An ?1 ? An ,则称数列 ?An ?为“平方递推数列” 。已知数列 ?a n ? 中, a1 ? 2 ,
2

(Ⅱ)设(Ⅰ)中“平方递推数列”的前 n 项之积为 Tn ,即 Tn ? (2a1 ? 1)(2a2 ? 1)? (2an ? 1) ,求数列 ?a n ? (Ⅲ)记 bn ? log 2 an ?1 Tn ,求数列 ?bn ?的前 n 项之和 S n ,并求使 S n ? 2008 的 n 的最小值。 的通项及 Tn 关于 n 的表达式。

(Ⅰ)证明:数列 ?2a n ? 1?是“平方递推数列” ,且数列 ?lg(2a n ? 1)? 为等比数列。

点 (a n , a n ?1 ) 在函数 f ( x) ? 2 x ? 2 x 的图像上,其中 n 为正整数。
2

4

参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.三 5. 4 2. 8 3. 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 7. 1 8. 11. 12. 4.

6.

4 5

a 2 ? b2 ? c2 2
2 21 3

9.

1 3

10. 8

13.

14. ? ??, ? ? ? ? , ?? ? 2 2

? ?

5? ?

?5 ?

? ?

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)在 ?ABC 中, b2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc cos A ,又 b2 ? c2 ? a 2 ? bc

1 ? , A ? ???????????????????6 分 2 3 B C (Ⅱ)∵ 2sin 2 ? 2sin 2 ? 1 ,∴ 1 ? cos B ? 1 ? cos C ? 1 ????????8 分 2 2 2? 2? 2? ∴ cos B ? cos C ? 1, cos B ? cos( ? B) ? 1 , cos B ? cos cos B ? sin sin B ? 1 , 3 3 3
∴ cos A ?

3 1 ? sin B ? cos B ? 1 ,∴ sin( B ? ) ? 1 , 2 2 6
∵ 0 ? B ? ? ,∴ B ? 16. (本小题满分 15 分) 证明: (Ⅰ)连结 BD1 ,在 ?DD1 B 中, E 、 F 分别为 D1 D , DB 的中点,则

?
3

,C ?

?
3

, ∴ ?ABC 为等边三角形。?????14 分

? ? D1 B ? 平面ABC1 D1 ? ? EF // 平面ABC1D1 EF ? 平面ABC1 D1 ? ? EF // D1 B
(Ⅱ)

D1 A1 E B1

C1

? ? B1C ? BC1 ? ?? AB, B1C ? 平面ABC1D1 ? ? AB ? BC1 ? B ?

B1C ? AB

D F A B

C

B1C ? BD1 ? B1C ? 平面ABC1 D1 ? ?? ? ? EF ? B1C EF // BD1 ? BD1 ? 平面ABC1 D1 ?
5

(Ⅲ)? CF ? 平面BDD1B1

? CF ? 平面EFB1
? EF ?