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高一必修一第二章对数运算之换底公式


§2.2.2对数的运算法则

如果看到 log a N ? b 这个式子 你会有什么感想?

如果a ? 0,且a ? 1,M ? 0,N ? 0,那么:

loga ?M ? N ? ? loga M ? loga N ; M log a ? log a M ? log a N ; N n loga M ? n loga M .
同底,同系数!

log2(32× 64)
解:原式

=log232+ log264 5 6 =log22 +log22 =5+2 =7

1 log 3 5 ? log 3 5 1 解:原式 ? log5 (5 ? ) 5 ? log5 1 ?0

10 (1) lg 100

解: (1)原式 ? lg10 ? lg100 ? 1? 2 ? ?1
20 (2)原式 ? lg 2 ? lg 10 ?1

(2) lg 20 ? lg 2

巩固练习
(1) log9 3 ? log9 27
1 (3) lg ? 2 lg 5 4

(2) lg 100

5

(4) log2 (4 ? 4)

log2 3 ? log3 2 ?

探究
你能根据对数的定义推导出下面的 换底公式吗?

log c b log a b ? log c a (a ? 0,且a ? 1; c ? 0,且c ? 1; b ? 0)

log c b log a b ? log c a 证明:
设左边 ? log a b ? x ?a ? b
x

?两边取以c为底的对数,得?

log c a x ? log c b ? x log c a ? log c b log c b ?x ? ? 右边 log c a log c b ? log a b ? 得证。 log c a

换底公式
log c b log a b ? log c a (a ? 0,且a ? 1; c ? 0,且c ? 1; b ? 0)
注:一般化为以10为底。

log2 3 ? log3 2
log 2 2 解:原式 ? log 2 3 ? ? log 2 2 ? 1 log 2 3 log 3 3 解:原式 ? ? log 3 2 ? log 3 3 ? 1 log 3 2

lg 3 lg 2 解:原式 ? ? ?1 lg 2 lg 3

注:一般化为以10为底。

利用对数的换底公式化简下列各式:

(1) loga c ? logc a; (2) log2 3 ? log3 4 ? log4 5 ? log5 2; (3)(log4 3 ? log8 3)(log3 2 ? log9 2).

已知lg 2 ? a, lg 3 ? b, 求下列各式的值:

(1) lg 6 (3) log2 12

(2) log3 4 3 (4) lg 2

思考
设a,b>0,且均不为1,则

log a b ? log b a ? 1 n n log a m b ? log a b m

(1) log3 4 ? log4 3

(2) log8 9

log27 4 (3) log3 2

公式总结
基 本 运 算 性 质

loga ?M ? N ? ? loga M ? loga N ;
M log a ? log a M ? log a N ; N

loga M ? n loga M . log c b 换底公式 log a b ? log c a
n

( 1 ) log a b ? log b a ? 1

n (2) log a m b ? log a b m
n


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