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2016-2017学年高中数学第四章圆与方程4.2.2圆与圆的位置关系练习新人教A版必修2(新)



4.2.2

圆与圆的位置关系
课后训 练案 巩固提 升

A组 1.圆 x +y +4x-4y+7=0 与圆 x +y -4x+10y+13=0 的公切线的条数是(
2 2 2 2

)

A.1 B.2 C.3 D.4 解析:两圆的圆心分别为(-2,2),(2,-5),则两圆的

圆心距 d=.又两圆半径分别为 1 和 4,则 d>1+4=5, 即两圆外离,因此它们有 4 条公切线. 答案:D 2 2 2 2 2.若圆 x +y =4 与圆 x +y +ay-2=0 的公共弦的长度为 2,则常数 a 的值为( ) A.±2 B.2 C.-2 D.±4 解析:两圆方程左右两边分别相减得公共弦所在直线方程为 ay+2=0,由题意知 a≠0. 2 2 圆 x +y =4 的圆心到直线 ay+2=0 的距离为.又公共弦长为 2,所以 2=2,解得 a=±2. 答案:A 2 2 2 3.设集合 A=,B={(x,y)|(x-1) +(y-1) ≤r (r>0)},当 A∩B=B 时,r 的取值范围是( ) A.(0,-1) B.(0,1] C.(0,2-] D.(0,) 2 2 2 2 2 解析:由题意知,圆(x-1) +(y-1) =r (r>0)在圆 x +y =4 内,∴d=≤2-r,∴0<r ≤2-. 答案:C 2 2 4.半径为 6 的圆与 x 轴相切,且与圆 x +(y-3) =1 内切,则此圆的方程为( ) 2 2 A.(x-4) +(y-6) =16 2 2 B.(x±4) +(y-6) =16 2 2 C.(x-4) +(y-6) =36 2 2 D.(x±4) +(y-6) =36 解析:设所求圆心坐标为(a,b),则|b|=6. 2 2 2 由题意,得 a +(b-3) =(6-1) =25. 若 b=6,则 a=±4;若 b=-6,则 a 无解. 2 2 故所求圆方程为(x±4) +(y-6) =36. 答案:D 2 2 2 2 5.若点 P 在圆 O:x +y =1 上运动,点 Q 在圆 C:(x-3) +y =1 上运动,则|PQ|的最小值为( ) A.3 B.2 C.1 D.4 解析:|PQ|的最小值应为圆心距减去两圆半径, 即(|PQ|)min=|OC|-2=3-2=1. 答案:C 2 2 2 2 2 2 6.若圆 x +y -2ax+a =2 和圆 x +y -2by+b =1 相离,则 a,b 满足的条件是 . 解析:两圆的连心线的长为 d=. ∵两圆相离,∴d>+1,∴a2+b2>3+2. 2 2 答案:a +b >3+2 2 2 2 2 2 2 7.若点 A(a,b)在圆 x +y =4 上,则圆(x-a) +y =1 与圆 x +(y-b) =1 的位置关系是 . 2 2 2 2 解析:∵点 A(a,b)在圆 x +y =4 上,∴a +b =4. 2 2 又圆 x +(y-b) =1 的圆心 C1(0,b),半径 r1=1,

1

圆(x-a) +y =1 的圆心 C2(a,0),半径 r2=1, 则|C1C2|==2, ∴|C1C2|=r1+r2.∴两圆外切. 答案:外切 2 2 8.过原点 O 作圆 x +y -4x-8y+16=0 的两条切线,设切点分别为 P,Q,则直线 PQ 的方程为 . 2 2 解析:设圆 x +y -4x-8y+16=0 的圆心为 C,则 C(2,4), ∵CP⊥OP,CQ⊥OQ,∴过四点 O,P,C,Q 的圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.两圆方程相减得直线 PQ 的方程为 x+2y-8=0. 答案:x+2y-8=0 2 2 9.求过点 A(4,-1),且与圆 C:(x+1) +(y-3) =5 相切于点 B(1,2)的圆的方程. 解:设所求圆的圆心 M(a,b),半径为 r, 已知圆的圆心为 C(-1,3), 因为切点 B 在连心线上,即 C,B,M 三点共线, 所以,即 a+2b-5=0.① 由于 AB 的垂直平分线为 x-y-2=0, 圆心 M 在 AB 的垂直平分线上,所以 a-b-2=0.② 联立①②解得 故圆心坐标为 M(3,1),r=|MB|=, 2 2 所以所求圆的方程为(x-3) +(y-1) =5. 10. 导学号 96640124 已知两圆 C1:x +y +4x-6y+12=0,C2:x +y -2x-14y+k=0(k<50).当两圆有如下位置 关系时: (1)外切;(2)内切;(3)相交;(4)内含;(5)外离. 试确定上述条件下 k 的取值范围. 2 2 2 2 解:将两圆的方程化为标准方程:C1:(x+2) +(y-3) =1;C2:(x-1) +(y-7) =50-k. 则圆 C1 的圆心坐标 C1(-2,3),半径 r1=1, 圆 C2 的圆心坐标 C2(1,7),半径 r2=. 从而圆心距 d==5. (1)当两圆外切时,d=r1+r2,即 1+=5, 解得 k=34. (2)当两圆内切时,d=|r1-r2|, 即|1-|=5,解得 k=14. (3)当两圆相交时,|r1-r2|<d<r1+r2, 即|1-|<d<1+, 解得 14<k<34. (4)当两圆内含时,d<|r1-r2|, 即|1-|>5, 解得 k<14. (5)当两圆外离时,d>r1+r2,即 1+<5,解得 k>34. B组 2 2 1.已知半径为 1 的动圆与圆(x-5) +(y+7) =16 相切,则动圆圆心的轨迹方程是( 2 2 A.(x-5) +(y+7) =25 2 2 2 2 B.(x-5) +(y+7) =17 或(x-5) +(y+7) =15 2 2 C.(x-5) +(y+7) =9 2 2 2 2 D.(x-5) +(y+7) =25 或(x-5) +(y+7) =9
2 2 2 2

2

2

)

2

解析:设动圆圆心(x,y),则若两圆内切,则有=4-1=3,即(x-5) +(y+7) =9;若两圆外切,则有=4+1=5, 2 2 即(x-5) +(y+7) =25. 答案:D 2 2 2 2 2.若圆 C1:x +y =4 和圆 C2:x +y +4x-4y+4=0 关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为( ) A.x+y=0 B.x+y=2 C.x-y=2 D.y=x+2 解析:因为=-1,C2C1 的中点为(-1,1),所以 C2C1 的垂直平分线即为所求直线 l,其方程为 y=x+2. 答案:D 3. 导学号 96640125 若直线 y=x+b 与曲线 y=3-有公共点,则 b 的取值范围是( ) A.[1-2,1+2] B.[1-,3] C.[-1,1+2] D.[1-2,3] 2 2 解析:数形结合,利用图形进行分析.由 y=3-,得(x-2) +(y-3) =4(0≤x≤4,1≤y≤3),它表示以(2,3) 为圆心,2 为半径的下半圆,如图所示,令=2,得 b=1-2(b=1+2 舍去),故选 D.

2

2

答案:D 2 2 2 2 4.圆 x +y -x+y-2=0 和圆 x +y =5 的公共弦长为 解析:由 ②-①得,两圆的公共弦所在直线方程为 x-y-3=0, ∴圆 x2+y2=5 的圆心到该直线的距离为

.

d=.
设公共弦长为 l,∴l=2. 答案: 2 2 2 2 5.已知圆 C1:x +y -6x-7=0 与圆 C2:x +y -6y-27=0 相交于 A,B 两点,则线段 AB 的中垂线方程 为 . 解析:AB 的中垂线即为圆 C1、圆 C2 的连心线 C1C2,又 C1(3,0),C2(0,3),直线 C1C2 的方程为 x+y-3=0, 即线段 AB 的中垂线方程为 x+y-3=0. 答案:x+y-3=0 2 2 2 2 6.与圆 x +y -ax-2y+1=0 关于直线 x-y-1=0 对称的圆的方程是 x +y -4x+3=0,则 a= . 解析:利用两圆圆心连线与对称轴垂直,圆心连线中点在对称轴上,可得 a=2. 答案:2 2 2 2 7.求过圆 C:(x-a) +(y-b) =r 上一点 M(x0,y0)的圆的切线方程. 解:设 x0≠a,且 y0≠b,所求的切线斜率为 k,则由圆的切线垂直于过切点的半径,得 k=-=-. 故切线方程为 y-y0=-(x-x0). 2 2 整理,得(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=(x0-a) +(y0-b) . 2 2 2 因为 M(x0,y0)在圆上,所以(x0-a) +(y0-b) =r , 2 即(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r . 当 x0=a 或 y0=b 时,经验证上式仍成立. 2 故经过圆上一点 M 的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r .

3

8. 导学号 96640126 已知圆 M:x +y =10 和圆 N:x +y +2x+2y-14=0,求过两圆交点,且面积最小的圆的 方程. 解:设两圆交点为 A,B,则以 AB 为直径的圆就是所求的圆. 直线 AB 的方程为 x+y-2=0. 两圆圆心连线的方程为 x-y=0. 解方程组 得圆心坐标为(1,1). 圆心 M(0,0)到直线 AB 的距离为 d=, 弦 AB 的长为|AB|=2=4, 所以所求圆的半径为 2. 2 2 所以所求圆的方程为(x-1) +(y-1) =8.

2

2

2

2

4



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