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专题10 立体几何(选择填空)-三年高考(2014-2016)数学(理)试题分项版解析(原卷版)



德馨教育

三年高考(2014-2016)数学(理)试题分项版解析 第十章 立体几何
一、选择题 1.
【2014 高考北京理第 8 题】如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2,动点 E,F 在棱 A1B1 上,动点 P, )

Q 分别在棱 AD,CD 上.若 EF=1,A1E=x,DQ=y,DP=z(

x,y,z 大于零),则四面体 P—EFQ 的体积(

A.与 x,y,z 都有关 B.与 x 有关,与 y,z 无关 C.与 y 有关,与 x,z 无关 D.与 z 有关,与 x,y 无关

2.【 2014 高考北京理第 7 题】在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A(2,0,0)B(2, 2,0), C(0, 2,0), D(1,1, 2) .
若 S1 , S2 , S3 分别是三棱锥 D ? ABC 在 xOy, yOz, zOx 坐标平面上的正投影图形的面积,则( A. S1 ? S2 ? S3 C. S3 ? S1 且 S3 ? S2 B. S2 ? S1 且 S2 ? S3 D. S3 ? S2 且 S3 ? S1
[来源:学科网 ZXXK]



3. 【2016 高考新课标 1 卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.
若该几何体的体积是 (A) 17?

28? ,则它的表面积是( 3
(C) 20?



(B) 18?

(D) 28?

4. 【2014 高考广东卷.理.7】若空间中四条直线两两不同的直线 l1 . l2 . l3 . l4 ,满足 l1 ? l2 ,l2 //l3 ,l3 ? l4 ,
则下列结论一定正确的是( A. l1 ? l4 B. l1 //l4 ) C. l1 . l4 既不平行也不垂直 D. l1 . l4 的位置关系不确定 ).

5.

【2013 高考广东卷.理.5】某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是(

1

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A.4

B.

14 3

C.

16 3

D.6

5.


【2016 高考新课标 2 理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为 )

(A) 20?

(B) 24?

(C) 28?

(D) 32?

6.【

2014 湖南 7】一块石材表示的几何体的三视图如图 2 所示,将该石材切削、打磨、加工成球,则能得 ) D.4

到的最大球的半径等于( A.1 B.2 C.3

2

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7.【2015 高考山东,理 7】在梯形 ABCD 中, ?ABC ?
2? 3 4? 3

?
2

, AD / / BC, BC ? 2 AD ? 2 AB ? 2 .将梯 )

形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( (A) (B) (C)

5? 3

(D) 2?

8.

【2016 年高考北京理数】某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()

A.

1 6

B.

1 3


C.

1 D. 1 2

9.【2014 高考陕西版理第 5 题】已知底面边长为 1,侧棱长为 2 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,
则该球的体积为(

A.

32? 3

B.4?

C .2?

D.

4? 3
) D. 3? ? 4

10.

【2015 高考陕西,理 5】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( B. 4? C. 2? ? 4

A. 3?

3

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11. 【2016 高考新课标 3 理数】如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实现画出的是某多面体的三视图,
则该多面体的表面积为( )

12.
1 8

【2015 高考新课标 2,理 6】一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截 ) D.

去部分体积与剩余部分体积的比值为( A. B.

1 7

C.

1 6

1 5

13.

【2014 新课标,理 6】如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm),图中粗线画出的是某零件

的三视图, 该零件由一个底面半径为 3cm, 高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到, 则切削掉部分的体积与原来 毛 坯体积的比值为( A. ) B. 5

17 27

9

C. 10

27

D.

1 3

4

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14.

【2015 高考新课标 2,理 9】已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90,C 为该球面上的动点,若三 )

棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( A.36π B.64π C.144π D.256π

15.

【2014 新课标,理 11】直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点, ) D.

BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( A. 1 B. 2 C.

10

5

30 10

2 2

16.


【2016 高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为 )

5

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(A)

1 2 ? π 3 3

(B)

1 2 ? π 3 3

(C)

1 2 ? π 3 6

(D) 1 ?

2 π 6

17. 【2014 四川,理 8】如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 O 为线段 BD 的中点.设点 P 在线段 CC1
sin ? 的取值范围是( 上,直线 OP 与平面 A 1BD 所成的角为 ? ,则
A. [ )

3 ,1] 3

B. [

6 ,1] 3

C. [

6 2 2 , ] 3 3

D. [

2 2 ,1] 3

18. 【2016 高考浙江理数】 已知互相垂直的平面 ?,? 交于直线 l.若直线 m, n 满足 m∥? , n⊥?,则 (
[来源:学科网 ZXXK]



A.m∥l

B.m∥n

C.n⊥l

D.m⊥n

19. 【2015 高考新课标 1,理 6】 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今
有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆 为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米 堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约 有( ) (A)14 斛 (B)22 斛 (C)36 斛 (D )66 斛

20.

【 2016 高考新课标 1 卷】平面 ? 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A, ? // 平面 CB1D1, ? I 平面

ABCD=m, ? I 平面 AB B1A1=n,则 m、n 所成角的正弦值为 (A)

3 2

(B)

2 2

(C)

3 3

(D)

1 3

21.

【2014 课 标Ⅰ,理 12】如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图, )
6

则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为(

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(A) 6 2

(B) 6

(C) 6 2

(D) 4

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22. 【2015 高考新课标 1,理 11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几
何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16 + 20 ? ,则 r=( )

(A)1

(B)2

(C)4

(D)8

23.

【2014 年.浙江卷.理 3】某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是
2

A. 90 cm

B. 129 cm

2

C. 132 cm

2

D. 138 cm

2

24.【2015 高考浙江,理 2】某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的体积是(
A. 8cm
3



B. 12cm

3

C.

32 3 cm 3

D.

40 3 cm 3

7

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25. 【2016 高考新课标 3 理数】在封闭的直三棱柱 ABC ? A1B1C1 内有一个体积为 V
AB ? 6 , BC ? 8 , AA1 ? 3 ,则 V 的最大值是(
(A)4π (B) ) (C)6π (D)

的球,若 AB ? BC ,

9? 2

32? 3

26.

【2015 高考浙江,理 8】如图,已知 ?ABC , D 是 AB 的中点,沿直线 CD 将 ?ACD 折成 ?A?CD ,

所成二面角 A? ? CD ? B 的平面角为 ? ,则( ) A. ?A?DB ? ? B. ?A?DB ? ? C. ?A?CB ? ? D. ?A?CB ? ?

27.

【2013 高考重庆理第 5 题】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

).

8

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A.

560 3

B.

580 3

C.200

D.240

28.

【2014 高考 重庆理第 7 题】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(



A.54

B.60

C.66

D.72

29.

【2015 高考重庆,理 5】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

1 ?? 3 1 ? 2? C、 3
A、

B、

2 ?? 3 2 D、 ? 2? 3
( )

30.

【2014,安徽理 7】一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为

9

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A.21+ 3

B.18+ 3

C.21

D.18 )

31. 【2014,安徽理 8】从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为 60? 的共有(
A.24 对 B.30 对 C.48 对 D.60 对

32.【2015 高考安徽,理 5】已知 m , n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,则下列命题正确的是
( ) (A)若 ? , ? 垂直于同一平面,则 ? 与 ? 平行 (B)若 m , n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 (C)若 ? , ? 不平行,则在 ? 内不存在与 ? 平行的直线 (D)若 m , n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面

33.

【2015 高考安徽,理 7】一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( (B) 2 ? 3 (D) 2 2



(A) 1 ? 3 (C) 1 ? 2 2

34.

【2014 年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷 5】在如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz 中,一个

四面体的顶点坐标分别是(0,0,2) , (2,2,0) , (1,2,1) , (2,2,2) ,给出编号①、②、③、④的四个图, 则该四面体的正视图和俯视图分别为( )

10

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A.①和②

B.③和①

C. ④和③

D.④和② )

35.

【2014 福建,理 2】某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是(

A. 圆柱

B. 圆锥

C. 四面体

D. 三棱柱
是两条不同的直线,m 垂直于平面 ? ,则“ l ? m ”是“ l / /? 的

37.【2015 高考福建,理 7】若 l , m
( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件 )

? 是两个不同的平面, 37.【2015 高考北京, 理 4】 设? , “ m ∥ ? ”是“ ? ∥ ? ”的 ( m 是直线且 m? ? .
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

38.

【2015 高考北京,理 5】某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是(

1 2 正(主)视图 1 1 侧(左)视图

俯视图

A. 2 ? 5

B. 4 ? 5

C. 2 ? 2 5

D.5 )

39.

【2014 辽宁理 4】已知 m,n 表示两条不同直线, ? 表示平面,下列说法正确的是( B.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n
11

A.若 m / /? , n / /?, 则 m / / n

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C.若 m ? ? , m ? n ,则 n / /?

D.若 m / /? , m ? n ,则 n ? ? )

40.

【2014 辽宁理 7】某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( B. 8 ? ? C. 8 ?

A. 8 ? 2?

? 2

D. 8 ?

? 4

41.

【2015 湖南理 2】某工件的三视图如图 3 所示,现将该工件通过切割,加工成一个体积尽可能大的长

方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率 =

新工件的体积 ) ( 原工件的体积



A.

8 9?

B.

16 9?

C.

4( 2 ? 1)3

?

D.

12( 2 ? 1)3

?

二、填空题
3 1.【2014 天津,理 10】已知一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体积为_______ m .

12

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2

4

2 4

2 4

正视图

侧视图

俯视图

2.

【2016 年高考四川理数】已知三棱锥的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所 .

示,则该三棱锥的体积是

1 3

3

正视图

3.

【2016 高考浙江理数】某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的表面积是 cm .
3

cm ,体

2

积是

4. 【2014 江苏,理 8】设甲,乙两个圆柱的底面面积分别为 S1 , S2 ,体积为 V1 , V2 ,若它们的侧面积相等且
S1 9 V ? ,则 1 的值是 S2 4 V2
.
[来源:学科网 ZXXK]

5. 【2015 江苏高考,9】现有橡皮泥制作的底面半径为 5、高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各
13

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一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个,则新的底 面半径为

6. 【2014 山东.理 13】三棱锥 P ? ABC 中, D , E 分别为 PB , PC 的中点,记三棱锥 D ? ABE 的体积
为 V1 , P ? ABC 的体积为 V2 ,则

V1 ? ________. V2

7.

【2016 高考新课标 2 理数】

? , ? 是两个平面, m, n 是两条直线,有下列四个命题:

(1)如果 m ? n, m ? ? , n / / ? ,那么 ? ? ? . (2)如果 m ? ? , n / /? ,那么 m ? n . (3)如果 ? / / ? , m ? ? ,那么 m / / ? . (4)如果 m / / n, ? / / ? ,那么 m 与 ? 所成的角和 n 与 ? 所成的角相等. 其中正确的命题有 . (填写所有正确命题的编号)

8.

【2016 高考浙江理数】如图,在△ABC 中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC .

上的点 D,满足 PD=DA,PB=BA,则四面体 PBCD 的体积的最大值是

9. 【2015 高考四川,理 14】如图,四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点
M 在线 段 PQ 上,E、F 分别为 AB、BC 的中点。设异面直线 EM 与 AF 所成的角为 ? ,则 cos ? 的最大值 为 .

10. 【2016 高考天津理数】已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m) ,
则该四棱锥的体积为_______m3.

14

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AB ? AC ? BD ? CD ? 3, AD ? BC ? 2 , 11. 【2015 高考浙江, 理 13】 如图, 三棱锥 A ? BCD 中, 点M,N
分别是 AD, BC 的中点,则异面直线 AN , CM 所成的角的余弦值是 .

12.【2014 上海,理 6】若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍,则其母线与底面角的大小为
角函数值表示).

(结果用反三

13.【2015 高考天津,理 10】一个几何体的三视图如图所示(单位: m ) ,则该几何体的体积为
m3 .
1 1 1 2 正视图 1 1 1

1

侧视图

1 1 俯视图

1 1

三、解答题
15

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1.

【 2015 高 考 天 津 , 理 17 】 ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 如 图 , 在 四 棱 柱 ABCD - A 1B 1C1 D 1 中,侧棱

, AB ? AC , AB = 1 , A1 A ? 底面 ABCD

AC = AA1 = 2, AD = CD = 5 ,且点 M 和 N 分别为 B1C和D1D 的中点.
(I)求证: MN // 平面 ABCD ; (II)求二面角 D1 - AC - B1 的正弦值; (III)设 E 为棱 A1B1 上的点,若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为

1 ,求线段 A 1E 的长 3

2.

【2016 高考 新课标 1 卷】 (本小题满分为 12 分)如图,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为
? ?

正方形,AF=2FD, ?AFD ? 90 ,且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60 . (I)证明:平面 ABEF ? 平面 EFDC; (II)求二面角 E-BC-A 的余弦值.

D

C

?
F
3.

?
?

【2014 天津,理 17】如图,在四棱锥 P - ABCD 中, PA ^ 底面 ABCD , AD ^ AB , AB // DC , AD = DC = AP = 2 , AB = 1 ,点 E 为棱 PC 的中点. P
E D C

A

B

(Ⅰ)证明: BE ^ DC ; (Ⅱ)求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值; (Ⅲ)若 F 为棱 PC 上一点,满足 BF ^ AC ,求二面角 F - AB - P 的余弦值.

4. 【2016 高考新课标 2 理数】 如图, 菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ,AB ? 5, AC ? 6 , 点 E, F
分别在 AD, CD 上, AE ? CF ?

5 ,EF 交 BD 于点 H .将 ?DEF 沿 EF 折到 ?D?EF 位置,OD? ? 10 . 4
16

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(Ⅰ)证明: D ?H ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 B ? D?A ? C 的正弦值.

[来源:学&科&网]

5.

【2014 高考北京理第 17 题】 (本小题满分 13 分)

如图,正方体 MADE 的边长为 2 , B , C 分别为 AM , MD 的中点,在五棱锥 P ? ABCDE 中, F 为棱

PE 的中点,平面 ABF 与棱 FD , PC 分别交于 G , H .
(1)求证: AB // FG ; (2)若 PA ? 底面 ABCDE ,且 PA ? AE ,求直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小,并求线段 PH 的长.

6. 【2015 高考北京,理 17】如图,在四棱锥 A ? EFCB 中,△AEF 为等边三角形,平面 AEF ? 平面 EFCB ,
EF ∥ BC , BC ? 4 , EF ? 2a , ?EBC ? ?FCB ? 60? , O 为 EF 的中点.

(Ⅰ) 求证: AO ? BE ; (Ⅱ) 求二面角 F ? AE ? B 的余弦值; (Ⅲ) 若 BE ? 平面 AOC ,求 a 的值.

17

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A

F

C

O E B

7.

【2014 高考广东卷.理 .18】 (本小题满分 13 分)如图 4,四边形 ABCD 为正方形, PD ? 平 面 ABCD ,

?DPC ? 30? , AF ? PC 于点 F , FE //CD ,交 PD 于点 E .
(1)证明: CF ? 平面ADF ; (2)求二面角 D ? AF ? E 的余弦值.

A

B

D E P F
图4

C

8.

【2016 高考山东理数】在如图所示的圆台中,AC 是下底面圆 O 的直径,EF 是上底面圆 O ' 的直径,

FB 是圆台的一条母线. (I)已知 G,H 分别为 EC,FB 的中点,求证:GH∥平面 ABC; (II)已知 EF=FB=

1 AC= 2 3 ,AB=BC.求二面角 F ? BC ? A 的余弦值. 2

图(1)
PD = PC = 4 , 9. 【2015 高考广东, 理 18】 如图 2, 三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直,
AB = 6 , BC = 3 .点 E 是 CD 边的中点,点 F 、 G 分别在线段 AB 、 BC 上,且 AF = 2FB , CG = 2GB .

(1)证明: PE ? FG ;
18

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(2)求二面角 P - AD - C 的正切值; (3)求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值.

10.

【 2014 湖南 19】如图 6,四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的所有棱长都相

等, AC ? BD ? O, AC 1 1?B 1D 1 ?O 1 ,四边形 ACC1 A 1 和四边形 BDD 1B 1 为矩形. (1)证明: O1O ? 底面 ABCD ; (2)若 ?CBA ? 60 ,求二面角 C1 ? OB1 ? D 的余弦值.
0

11.

【2016 高考江苏卷】(本小题满分 14 分)

如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, D, E 分别为 AB, BC 的中点, 点 F 在侧棱 B1B 上, 且 B1D ? A 1F ,

AC 1 1 ? A 1B 1.
求证: (1)直线 DE∥平面 A1C1F; (2)平面 B1DE⊥平面 A1C1F.

19

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G’g’g’g’g’g’g’g’g’g’g’g’g’g’g’g’g’g’g

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