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2012年霍邱县高中数学竞赛试题答案



2012 年霍邱县高中数学竞赛试题
(参考答案)
第Ⅰ卷答题卡: 一.选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
题 答 号 案 1 D 2 C 3 B 4 C 5 A 6 B

二.填空题(本题满分 48 分,每小题 8 分) 7. 2 ?
2

8.

6 3

r />9. 32

10. 8 11.2 12. 1980 三.解答题(本大题共 4 小题,共 66 分)要求必须写出必要的演算或证明的过程) 13. (本题满分 15 分)设 f ( x ) ? x ? bx ? c ( b , c ? R ) .若 | x |? 2 时, f ( x ) ? 0 ,且 f ( x ) 在
2

区间 ( 2 , 3 ] 上的最大值为 1,求 b ? c 的最大值和最小值.
2 2

解: 由题意函数图象为开口向上的抛物线, f ( x ) 在区间 ( 2 , 3 ] 上的最大值只能在闭端点取得, 且 故有 f ( 2 ) ? f ( 3 ) ? 1 ,从而 b ? ? 5 且 c ? ? 3 b ? 8 .…………………………5 分

ⅰ)若 f ( x ) ? 0 有实根,则 ? ? b ? 4 c ? 0 ,则 b ? ? 4 或 b ? ? 8 ①
2

4 ? ? b ? ? ?4 ? 2b ? c ? 0 ? ? f (?2) ? 0 5 ? ? ? 在区间 [ ? 2 , 2 ] 有 ? f ( 2 ) ? 0 即 ? 4 ? 2 b ? c ? 0 , c ? ? 3 b ? 8 代入, 将 解出 ? b ? ? 4 ② ? b ? ? 4 ? b ? 4 ?? 4 ? b ? 4 ? 2 ? ?? 2 ? ? 2 ? ?

综合①②得 b ? ? 4 ,这时 c ? 4 ,且 ? ? 0 .
2

…………………………10 分

ⅱ)若 f ( x ) ? 0 无实根,则 ? ? b ? 4 c ? 0 ,将 c ? ? 3 b ? 8 代入解得 ? 8 ? b ? ? 4 . 综上上得: ? 5 ? b ? ? 4 . 所以 b ? c
2 2

…………………………13 分
2

? b

2

? ( ? 3b ? 8 )

? 10 b

2

? 48 b ? 64 ,单调递减

故 b ? c 最小值为 32 ,最大值为 74 .
2 2

…………………………15 分

高 中 数 学 竞 赛 试 卷 第 1 页 共 5 页

14. (本题满分 15 分)已知整数数列 ? a n ? 满足 a 3 ? ? 1 , a 7 ? 4 ,前 6 项依次成等差数列,从第
5 项起依次成等比数列.

(1) 求数列 ? a n ? 的通项公式; (2) 求出所有的正整数 m , 使得 a m ? a m ? 1 ? a m ? 2 ? a m a m ? 1 a m ? 2 . 解:(1) 设数列前 6 项的公差为 d,则 a5=-1+2d,a6=-1+3d,d 为整数. 又 a5,a6,a7 成等比数列,所以(3d-1)2=4(2d-1), 即 9d2-14d+5=0,得 d =1. 当 n≤6 时,an =n-4, 由此 a5=1,a6=2,数列从第 5 项起构成的等比数列的公比为 2, 所以,当 n≥5 时,an =2n-5.
? ?n-4,n≤4, 故 an =? n-5 ?2 , n≥5. ?

…………………4 分

…………………7 分 等)

(注:也可写成 a n ? ?

?n ? 4, n ? 6 ?2
n?5

,n ? 7

(2) 由(1)知,数列 ? a n ? 为:-3,-2,-1,0,1,2,4,8,16,… 当 m=1 时等式成立,即 -3-2-1=―6=(-3)(-2)(-1); 当 m=3 时等式成立,即 -1+0+1=0; 当 m=2、4 时等式不成立;
3

…………………10 分

当 m≥5 时,amam+1am+2 =23m-12, am +am+1+am+2=2m-5(2 -1)=7×2m-5, 7×2m-5≠23m-12, 所以 am +am+1+am+2≠amam+1am+2 . 故所求 m= 1,或 m=3. …………………15 分

15. (本题满分 18 分)若不等式 x+ y≤k 2x+y对于任意正实数 x,y 成立,求 k 的取值范围.
高 中 数 学 竞 赛 试 卷 第 2 页 共 5 页

解法一:显然 k>0.( x+ y)2≤k2(2x+y)?(2k2-1)x-2 xy+(k2-1)y≥0 对于 x,y>0 恒 成立. …………………4 分 不等式两边同除以 y ,令 t= x >0,则得 f(t)=(2k2-1)t2-2t+(k2-1)≥0 对一切 t>0 恒 y …………………8 分 …………………12 分

成立. 当 2k2-1≤0 时,不等式不能恒成立,故 2k2-1>0.

2k4-3k2 k2(2k2-3) 1 1 2 此时当 t= 2 时,f(t)取得最小值 2 - 2 +k2-1= 2 = . 2k -1 2k -1 2k -1 2k -1 2k2-1 当 2k2-1>0 且 2k2-3≥0,即 k≥ ∴ k∈[ 6 ,+∞). 2
2

6 时,不等式恒成立,且当 x=4y>0 时等号成立. 2 …………………18 分
2 x 1 2 t +2t+1 >0,则 k ≥ 2 = (1 y 2 2t +1

( x+ y)2 x+2 xy+y 解法二:显然 k>0,故 k ≥ = .令 t= 2x+y 2x+y 4t+1 + 2 ). 2t +1

u-1 8u 令 u=4t+1>1,则 t= .只要求 s(u)= 2 的最大值. 4 u -2u+9 s(u)= 8 ≤ 9 u+ -2 2 u 8 9 u·-2 u 4t+1 1 1 3 =2,于是, (1+ 2 )≤ (1+2)= . 2 2 2 2t +1

3 6 ∴k2≥ ,即 k≥ 时,不等式恒成立(当 x=4y>0 时等号成立). 2 2 又:令 s(t)= 4t+1 8t2+4-4t(4t+1) -8t2-4t+4 1 ,则 s?(t)= = ,t>0 时有驻点 t= .且在 2 2t2+1 (2t2+1)2 (2t2+1)2

1 1 1 1 0<t< 时,s?(t)>0,在 t> 时,s?(t)<0,即 s(t)在 t= 时取得最大值 2,此时有 k2≥ (1+ 2 2 2 2 1 3 s( ))= . 2 2 1 解法三:由 Cauchy 不等式,( x+ y)2≤( +1)(2x+y). 2 即( x+ y)≤ 当 k< 6 2x+y对一切正实数 x,y 成立. 2

6 1 3 6 6 6 3 时,取 x= ,y=1,有 x+ y= ,而 k 2x+y=k < × = .即不等式不 2 4 2 2 2 2 2 6 6 时,由于对一切正实数 x,y,都有 x+ y≤ 2x+y≤k 2x+y,故不等式恒 2 2

能恒成立. 而当 k≥ 成立.

高 中 数 学 竞 赛 试 卷 第 3 页 共 5 页

(注:解法二、三、酌情给分) 16. (本题满分 18 分)如图,已知两点 A ( ? 5 , 0 ) 、 B ( 5 , 0 ) , ? ABC 的内切圆的圆心 在直线 x ? 2 上移动。 (1) 求点 C 的轨迹方程; (2).过点 M ( 2 , 0 ) 作两条射线,分别交(1)中所求轨迹于 P 、 Q 两点,且 MP ? MQ =0, 判断直线 PQ 是否过定点,若过定点,请求出定点的坐标,若不过定点,请说明理由。

( 第 16 题图)

5

8

18

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