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江西省宜春市萍乡中学、万载中学、宜春中学2015届高三上学期第一次联考数学(理)试题



2015 届高三年级第一次联考数学(理)试卷
萍乡中学
命题人:李雯 是符合题目要求. 1.设 z 的共轭复数是 z ,若 z ? z ? 4, z ? z ? 8 ,则 A. i

万载中学

宜春中学
总分:150 分

审题人:余启莉

考试时间:120 分

/>
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项

z ?( z



B. ?i C. ?1 D. ?i ? ? ? ? ? 2.已知 a , b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,则 | a ? 3b |? ( ) A. 7 B. 10 C. 13 D.4

3.从某地高中男生中随机抽取 100 名同学,将他们的体重(单位:kg) 数据绘制成频率分布直方图(如图).由图中数据可知体重的平均值为 ( ) B.59.5 C.69.5 D.50 A.64.5

4、宜春为 “月亮文化节”招募了 20 名志愿者,他们的编号分别是 1 号、2 号、?、19 号、20 号.若要从中任意选取 4 人再按编号大小分成 两组去做一些预备服务工作,其中两个编号较小的人在一组,两个编号较大的在另一组.那 么确保 5 号与 14 号入选并被分配到同一组的选取种数是( ) A.16 B.21 C.24 D.90 ) 5. 已知两定点 A(?1, 0) 和 B(1, 0) ,动点 P ( x, y ) 在直线 l : y ? x ? 2 上移动,椭圆 C 以 A, B 为焦点且经过点 P ,记椭圆 C 的离心率为 e( x) ,则函数 y ? e( x) 的大致图像是(

6.如图是一几何体的三视图,正视图是一等腰直角三角形,且斜边 BD 长为 2;侧视图一直 角三角形; 俯视图为一直角梯形, 且 AB=BC=1, 则异面直线 PB 与 CD 所成角的正切值是 ( A.1 B. 2 C. )

1 2

D.

1 2


7.已知实数 x∈,执行如图所示的流程图,则输出的 x 不小于 55 的概率为( A.

5 8

B.

3 8

C.

2 3

D.

1 3

8. 若方程

的任意一组解 ( x, y ) 都满足不等式 ) C. [

x ? y ,则 ? 的取值范围是(
A. [

? 5?
4 , 4

]

B. [

5? 13? , ] 12 12

? 7?
4 6 ,

]

D. [

7? 7? , ] 12 6

9.已知 F1, F2 分别为双曲线

的左右焦点,P 为双曲线上除顶 )

点外的任意一点,且△F1PF2 的内切圆交实轴于点 M,则|F1M|?|MF2|的值为( A.b
2

B.a

2

C.c

2

D.

10.已知函数 f ( x) ? x | x ? 4 | ( x ? R) ,若存在正实数 k ,使得方程 f ( x) ? k 在区间 (2,+ ? )上有两个根 a , b ,其中 a ? b ,则 ab ? 2(a ? b) 的取值范围是( A. (2,2 ? 2 2 ) B. (?4,0) C. (?2,2) D. (?4,2) ,则实数 a 的值 )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
2 11 . 设 随 机 变 量 X ~ N 1, 5

?

? , 且 P ? X ? 0? ? P ? X ? a ? 2 ?





13、已知数列{an}为等差数列,公差 d≠0{an}的部分项组成的数列 ak1,ak2,?,akn 恰为等比数列, 其中 k1=1,k2=5,k3=17,则 kn= .

14. 已知 f ( x) 是定义在 [-1, 1] 上的奇函数且 f (1) ? 1 , 当 x1 、x2 ? [-1, 1] , 且 x1 ? x 2 ? 0 时,有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,若 f ( x) ? m 2 ? 2am ? 1 对所有 x ? [?1,1] 、 a ? [?1,1] 恒成立, x1 ? x2
.

则实数 m 的取值范围是

三.选做题:请在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按第一题评阅计分.本题共 5 分.
? 3 ? 15 . (1) ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 极 坐 标 系 中 , 定 点 A ? 2, ? ? , 点 B 在 直 线 ? 2 ?

? cos ? ? 3? sin ? ? 0 上运动,当线段 AB 最短时,点 B 的极坐标为
(2) (不等式选讲选做题)对于任意 ? ? R, sin ? ? 2 ? sin ? ? 3 ? a ? 的取值范围______.



2 恒成立,则实数 a a

四.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知 a ? (2sin x, 2 cos( x ?

?

?

? ? ? ? ) ? 1) , b ? (cos x, 2 cos( x ? ) ? 1) ,设 f ( x) ? a? b. 2 2

(1)求 f ( x ) 的最小正周期和单调增区间;

(2)在 ?ABC 中, a , b, c 分别为 A, B, C 的对边,且 a ? 2 , f ( A) ? 1 , b ? 17. (本小题满分 12 分)

6 ,求边 c .

某商场共五层,从五层下到四层有 3 个出口,从三层下到二层有 4 个出口,从二层下到一层 有 4 个出口,从一层走出商场有 6 个出口。安全部门在每层安排了一名警员值班,负责该层 的安保工作。假设每名警员到该层各出口处的时间相等,某罪犯在五楼犯案后,欲逃出商场, 各警员同时接到指令,选择一个出口进行围堵。逃犯在每层选择出口是等可能的。已知他被 三楼警员抓获的概率为

1 . 9

(Ⅰ)问四层下到三层有几个出口? (Ⅱ)天网恢恢,疏而不漏,犯罪嫌疑人最终落入法网。设抓到逃犯时,他已下了 ? 层楼,写 出 ? 的分布列,并求 E? . 18. (本小题满分 12 分) 如图正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,底面边长为 a ,侧棱长为 与对角线 BC1 平行的平面交上底面于 DB1 。 (1)试确定 D 点的位置,并证明你的结论; (2)求二面角 A1 ? AB1 ? D 的大小; 19、 (本小题满分 12 分) 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , . S n ? an ? ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;
2013 2 1 n ci ? ci ? 1 c ? ( ) ? a (Ⅱ)若 n ,求不超过 P 的最大的整数值 n, p ? ? 2 ci2 ? ci i ?1

2 a ,若经过对角线 AB1 且 2

C1 A1
C

B1

1 2 3 n ? n ? 1(n ? N ? ) 2 2

A

B

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) P (2, n) , Q(2,?n) 是椭圆 C 上两个定点,A、B 是椭圆 C 上位于直线 PQ 两侧的动点。 ① 若直线 AB 的斜率为

1 ,短轴长为 4 3 。 2

1 ,求四边形 APBQ 面积的最大值; 2

② 当 A、B 两点在椭圆上运动,且满足∠APQ=∠BPQ 时,直线 AB 的斜率是否为定值, 说明理由。

y

P B O Q 21. (本小题满分 14 分) 设 f ( x) ? e ? a( x ? 1) .
x

x

A

20 题

(1)若 a ? 0, f ( x) ? 0 对一切 x ? R 恒成立,求 a 的最大值. (2)设 g ( x) ? f ( x) ?

a ,且 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )( x1 ? x2 ) 是曲线 y ? g ( x) 上任意两点,若 ex

对任意的 a ? ?1 ,直线 AB 的斜率恒大于常数 m ,求 m 的取值范围;

三校联考卷答案
一、 题号 答案 二、 选择题 1 2 D 填空题 12、-1 ; 13、 2 ? 3n?1 ? 1 ; C 3 A 4 B 5 A 6 C 7 B 8 B 9 A 10 B

11、 4 ;

14、 m ? ?2或m ? 2或m ? 0 ; 三、解答题 16、解: (1)

( 1, 15、 (1)

11? ) ; (2) (??, 0) ? [1, 2] 6

? ? ? f ( x ) ? a ?b ? 2sin x cos x ? 2 cos2 ( x ? ) ? 1 ? sin 2 x ? cos(2 x ? ? ) 2
? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ?
所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? 由 2k? ?

?

?
2

? 2x ?

?
4

2? ?? 2

4

)

? 2k? ?

?

[k? ?

?
8

, k? ?

3? ], k ? Z 8

2

, k ? Z 得单调增区间为:

(2)? a ? 2 , b ?

6 ,a ? b

?0 ? A ?

?
2

? f ( A) ? 2 sin(2 A ?
又?

?
4

) ?1

? 2 ? sin(2 A ? ) ? 4 2
?2 A ?

?
4

? 2A ?

?
4

?

3? 4

?
4

?

?
4

,A?
2

?
4
2

2 2 2 由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A 得: 4 ? 6 ? c ? 3c 即 c ? 2 3c ? 2 ? 0

?c ? 3 ? 1 或 c ? 3 ? 1

17.解: (1)设四层下到三层有 n 个出口,恰好被三楼的警员抓获,说明五层及四层的警员均 没有与他相遇。

1 1 1 1 ? (1 ? )(1 ? ) ? ? ,解得 n ? 3 3 n 4 9 (2) ? 可能取值为 0,1,2,3,4,5 1 1 1 2 p (? ? 0) ? , p(? ? 1) ? (1 ? ) ? ? 3 3 3 9

1 1 1 1 p (? ? 2) ? (1 ? )(1 ? ) ? ? 3 3 4 9 1 1 1 1 1 p (? ? 3) ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? ? 3 3 4 4 12 1 p (? ? 4) ? 4
所以,分布列为

?
p

0

1

2

3
1 12

4
1 4

1 3

2 9

1 9

1 2 1 1 1 61 E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 3 9 9 12 4 36

18、解: (1) D 为 AC 1 B 与 AB1 交于 E , 1 1 的中点.连结 A 则 E 为 A1 B 的中点, DE 为平面 AB1D 与平面 A 1 BC1 的交线, ∵ BC1 //平面 AB1D ∴ BC1 // DE ,∴ D 为 AC 1 1 的中点。 (2)过 D 作 DF ? A1B1 于 F ,由正三棱柱的性质,

C1

D
A1

F E
C

B1

A

B

AA1 ? DF ,? DF ? 平面 AB1 ,连结 EF, DE ,在正 ?A1 B1C1 中,?D 是 A1C1 的中点,
? B1 D ? 3 3 A1 B1 ? a, 2 2 AA12 ? A1 D 2 ?
又 在 直 角 三 角 形

AA1 D





? AD ?

3 a, ? AD ? B1 D.? DE ? AB1 , 所以可得 2
3 a, 4
z

EF ? AB1 .则 ?DEF 为二面角 A1 ? AB1 ? D 的大小,可求得 DF ? ? ?B1 FE ∽ ?B1 AA1 ,
得 EF ?

? 3 a ,∴ ?DEF ? .即所求. 4 4

D
A1

C1
B1

(2)解法(二) (空间向量法)

E C

A

O

B

y

x

建立如图所示空间直角坐标系,则 A(0,?

1 a,0), 2

1 2 3 2 1 2 B1 (0, a, a), C1 (? a,0, a), A1 (0,? a, a) , 2 2 2 2 2 2
D( ? 3 1 2 a, ? a, a). 4 4 2

? AB1 ? (0, a,

2 3 3 a), B1 D ? (? a,? a,0) 。 2 4 4

设 n1 ? ( x, y, z) 是平面 AB1 D 的一个法向量,则可得

? 2 ay ? az ? 0 ? ? n ? AB ? 0 ? 1 ? 1 2 ,所以 ? .所以可得 n1 ? (? 3,1,? 2 ). ? 3 3 ? n ? B D ? 0 ? ? 1 1 ? ax ? ay ? 0 ? 4 ? 4
又平面 AB1 的一个法向量 n2 ? OC ? (?

3 则 a,0,0), 设 n1与n2的夹角是 ?, 2

cos? ?

n1 ? n2 n1 ? n2

?

2 . 又可知二面角 A1 ? AB1 ? D 是锐角 , 所以二面角 A1 ? AB1 ? D 2

的大小是

? . 4
1 2 3 2

19、解: (Ⅰ)因为 an ? S n ? ? n 2 ? n ? 1 , 所以

1 ① 当 n ? 1 时, 2a1 ? ?1 ,则 a1 ? ? , 2 1 3 ② 当 n ≥ 2 时, an ?1 ? S n ?1 ? ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 1 , 2 2 所以 2an ? an ?1 ? ?n ? 1 ,即 2(an ? n) ? an ?1 ? n ? 1 , bn ? an ? n
所以 bn ?

1 1 bn ?1 (n ≥ 2) ,而 b1 ? a1 ? 1 ? , 2 2
n n

1 1 ?1? ?1? 所以数列 ?bn ? 是首项为 ,公比为 的等比数列,所以 bn ? ? ? . a n ? ? ? ? n 2 2 ?2? ?2?

?1? ? cn ? n (Ⅱ)由(1)知 a n ? ? ? ? n ?2? cn 2 ? cn ? 1 1 1 1 1 ? ? 1? 2 ? 1? ? 1? ? , 2 cn ? cn cn ? cn n(n ? 1) n n ?1

n

ci 2 ? ci ? 1 所以 P ? ? ci 2 ? ci i ?1
2013

1 1 1 1 1 1 1 1 1 , ? (1 ? ? ) ? (1 ? ? ) ? (1 ? ? ) ? L ? (1 ? ? ) ? 2014 ? 1 2 2 3 3 4 2013 2014 2014 故不超过 P 的最大整数为 2013 .

20、解: (Ⅰ)设 C 方程为 由已知 b= 2 3 得a ? 4

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
c 1 2 ? , a ? b2 ? c2 a 2

离心率 e ?

所以,椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ?1 16 12

(Ⅱ)①由(Ⅰ)可求得 P、Q 的坐标为 P(2,3) , Q(2,?3) ,则 | PQ |? 6 , 设 A ?x1 , y1 ?, B( x 2 , y 2 ),直线 AB 的方程为 y ?

1 x2 y2 x ? t ,代人 ? ?1 2 16 12

2 2 得 x ? tx ? t ? 12 ? 0 由△>0,解得 ? 4 ? t ? 4 ,由根与系数的关系得

? x1 ? x2 ? ?t 四边形 APBQ 的面积 ? 2 ?x1 x2 ? t ? 12
S? 1 ? 6 ? x1 ? x 2 ? 3 48 ? 3t 2 2

故,当 t ? 0, S max ? 12 3 ②∠APQ=∠BPQ 时,PA、PB 的斜率之和为 0,设直线 PA 的斜率为 k , 则 PB 的斜率为 ? k , PA 的直线方程为 y ? 3 ? k ( x ? 2) 与

x2 y2 ? ? 1 联立解得 16 12

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8(3 ? 2k )kx ? 4(3 ? 2k ) 2 ? 48 ? 0 ,
x1 ? 2 ? 8(2k ? 3)k 3 ? 4k 2 8( 2k ? 3) k 3 ? 4k 2

同理 PB 的直线方程 y ? 3 ? ?k ( x ? 2) ,可得 x 2 ? 2 ?

16k 2 ? 12 ? 48k , x1 ? x2 ? 所以 x1 ? x 2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

k AB ?

y1 ? y 2 k ( x1 ? 2) ? 3 ? k ( x2 ? 2) ? 3 ? x1 ? x2 x1 ? x2

16k 3 ? 12k ? 12k ? 16k 3 k ( x1 ? x2 ) ? 4k ? 24k 1 3 ? 4k 2 ? ? ? ? ? 48k x1 ? x2 ? 48k 2 3 ? 4k 2
1 2 x 21. 解:(1)∵ f ( x) ? e ? a( x ? 1) ,∴ f ?( x) ? e x ? a , ∵ a ? 0 , f ?( x) ? ex ? a=0 的解为 x ? ln a ,
所以直线 AB 的斜率为定值 ∴ f ( x)min ? f (ln a) ? a ? a(ln a ? 1) ? ?a ln a , ∵ f ( x) ? 0 对一切 x∈R 恒成立,∴ ? a ln a ? 0 ,∴ a ln a ? 0 ,∴ amax ? 1 . (2)设 x1、x2 是任意的两实数,且 x1 ? x2

g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? m ,故 g ( x2 ) ? mx2 ? g ( x1 ) ? mx1 x 2 ? x1 ∴不妨令函数 F ( x) ? g ( x) ? m x ,则 F ( x ) 在 上单调递增, ( ? ?, ? ?) ∴ F ?( x) ? g ?( x) ? m ? 0 恒成立 ∴对任意的 a ? ?1,x ? R , m ? g ?( x) 恒成立

g ?( x) ? e x ? a ?
故m ? 3
x

a a ? 2 e x ? (? x ) ? a = ? a ? 2 ? a ? ( ? a ? 1)2 ?1 ? 3 , x e e

i i ? ? i 2n ? i n i 2n 2 ? e ,即 ( ) ?e , (3)由(1)知 e ≥x+1,取 x= ? , i ? 1,3,?2n ? 1, 得 12n 2n 2n
2 n ?1 2 n ?3 1 ? ? ? 1 3 2n ? 1 n e 2 (1 ? e? n ) e 累加得: ( )n ? ( )n ? ? ? ( ) ? e 2 ? e 2 ??? e 2 ? ? ?1 2n 2n 2n e ?1 1? e ? 1

∴ 1n ? 3n ? ? ? (2n ? 1) n ?

e (2n) n e ?1

班级: 姓名: 学号: 班级: 姓名: 学号: 班级: 姓名: 学号: 密 封 线 内 不 要 答 题 密密 封封 线线 内内 不不 要要 答答 题题 ??????????装?????????????订???????????线????????????? ????????????装?????????????订???????????线????????????? ????????????装?????????????订???????????线????????????? 14、 11、

学校: 学校: 学校:

题号 1

18、 (12 分) 2 3 12、 15、(1)

17、 (12 分)

三、解答题(75 分) 16、 (12 分)

答案 二、填空题(5×5=25 分)

一、选择题(10×5=50 分)

萍乡中学

4 5 6

万载中学

13、 7 (2)

A1

2015 届高三年级第一次联考数学(理)答卷

A

宜春中学

8

c

9

C1

B

B1

10
座位号

19、 (12 分)

20、 (13 分)

y

P B O Q 20 题 x

A

21、 (14 分)



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