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第三节 函数的奇偶性与周期性



考纲要求: 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单 函数的周期性. 1.函数的奇偶性 奇函数 偶函数 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x 定义 都有 f(-x)=-f(x) ,那 都有 么函数 f(x)就叫做奇函数 图象特 征 关于 原点 对称 f(-x)=f(x) ,那 么函数 f(x)就叫做偶函数 关于 y轴 对称 2.函数的周期性 (1)周期函数 对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定 义域内的任何值时,都有 f(x+T)=f(x) ,那么就称函数 y=f(x)为 周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 最小 的正数, 那么这个 最小正数 就叫做 f(x)的最小正周期. [自我查验] 1. 判断下列结论的正误. (正确的打“√”, 错误的打“×”) (1)若 f(x)是定义在 R 上的奇函数,则 f(-x)+f(x)=0.( ) (2) 偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原 点.( ) (3)如果函数 f(x),g(x)为定义域相同的偶函数,则 F(x)=f(x) +g(x)是偶函数.( ) (4) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条 件.( ) (5)若 T 是函数的一个周期, 则 nT(n∈Z, n≠0)也是函数的周 期.( ) (6)函数 f(x)在定义域上满足 f(x+a)=-f(x), 则 f(x)是周期为 2a(a>0)的周期函数.( 答案:(1)√ (2)× ) (3)√ (4)√ (5)√ (6)√ 2.下列函数为偶函数的是( A.f(x)=x-1 C.f(x)=2x-2-x 答案:D ) B.f(x)=x2+x D.f(x)=2x+2-x 3.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x) =x(1+x),则 x<0 时,f(x)=________. 答案:x(1-x) 4.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是________. 1 答案: 3 5.已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x∈ (0,2)时,f(x)=2x2,则 f(2 015)=________. 答案:-2 [ 典题 1] ( ) 1 A.y=x (1)(2016· 海淀模拟 ) 下列函数中为偶函数的是 B.y=lg|x| D.y=2x C.y=(x-1)2 (2)判断下列函数的奇偶性: ①f(x)=xlg(x+ x +1); 2 ? ?-x +2x+1 ?x>0?, ③f(x)=? 2 ? ?x +2x-1 ?x<0?; 2 ②f(x)=(1-x) 4-x2 ④f(x)= . |x+3|-3 1+x ; 1-x [听前试做] (1)根据奇、偶函数的定义,可得 A 是 奇函数,B 是偶函数,C,D 非奇非偶. (2)①∵ x2+1>|x|≥0, ∴函数 f(x)的定义域为 R,关于原点对称, 又 f(-x)=(-x)lg(-x+ ?-x?2+1) =-xlg( x2+1-x)=xlg( x2+1+x)=f(x), 即 f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数. 1+ x ②当且仅当 ≥0 时函数有意义,∴-1≤x<1, 1- x 由于定义域关


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