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一元二次方程根的判别式


在中考中,代数占 60-65 分,统计与概率占 15 分左右,几何占 40-45 分,其中一元二次方程占 10 分左右。一元二次方程的内容包括一元二次方程的解 法、一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系, 今天我们主要学习一元二次方程的根的判别式。

1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程; 2.能运用根的判别式,判别方程根的情况和进行 有关的推理论证; 3.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数 的范围.

一元二次方程的一般形式:

ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

二次项系数 a,一次项系数b ,常数项c .
解一元二次方程的方法:
直接开平方法 因式分解法 配方法 公式法

对于一元二次方程 吗?

ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

一定有解

b 2 b2 用配方法变形上述方程得到: a( x ? ) ? ?c , 2a 4a
b 2 b 2 ? 4ac 即 (x ? ) ? 2a 4a 2


一元二次方程的根的情况:
1.当 ? ? b2 ? 4ac ? 0时,方程有两个不相等的实数根 2.当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,方程有两个相等的实数根 3.当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,方程没有实数根
2

反过来:
? ? b2 ? 4ac ? 0 1.当方程有两个不相等的实数根时, 2 ? ? b ? 4ac ? 0 2.当方程有两个相等的实数根时,

3.当方程没有实数根时,? ? b2 ? 4ac ? 0

b2 ? 4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的

判别式,通常用“△”表示。
当△>0 时,方程有两个不等的实数根;

当△=0 时,方程有两个相等的实数根;
当△<0 时,方程没有实数根。

问题一:不解方程,判断下列方程是否有解?
2 2 x ? 5x ? 7 ? 0 ; (1)

2 3 x ?x ?0; (2)
2 (3) x ? 4kx ? 2k ? 3 。

提示:步骤:第一步:写出判别式△;第二步 根据△的正负写结论。

解: (1)因为△=b -4ac=5 -4×2×7=-31<0, 所以原方程无解。
因为△ = b2 ? 4ac=1 ? 0 ,所以原方 (2) 程有两个不等的实根。

2

2

(3)因为△= b2 ? 4ac=(4k+1)2 ? 11 ? 0 , 所以原方程有两个不等的实根。

问题二:已知方程及其根的情况,求字母的取值范围。
2 2 mx ? 8m( x ?1) ? ? x , 二次方程 当 m 为何值时,

(1) 方程有两个不相等的实数根; (2) 有两个相等的实数根; (3) 没有实数根。
2 2 mx ? (8m ? 1) x ? 8m ? 0 , 提示: 先把方程变形: 再看△。

解:因为 ? =b2 ? 4ac ? 16m ? 1 ,所以
1 (1)当 ? ? 16m ? 1 ? 0 ,即 m ? ? 时,方程有两 16

个不等的实数根;
1 ? ? 16 m ? 1 ? 0 (2)当 ,即 m ? ? 时,方程有两 16

个相等的实数根;
1 (3)当 ? ? 16m ? 1 ? 0 ,即 m ? ? 16 时,方程没有

实数根.

问题三:解含有字母系数的方程。
2 ax ? 5x ? 5 ? 0 。 解方程:

提示:分类讨论:当 a=0 时,方程变为:

?5 x ? 5 ? 0
当 a≠0 时,方程为一元二次方程,再利用△确 定方程的根的个数,用求根公式求出解。

解: 当a=1时,x=1. 当a≠0时,方程为一元二次方程.
△=25-20a.
当△>0,即
5 a< 4

时, x ?

5 ? 25 ? 20a ; 2a

5 当△=0,即 a= 4 时,x=2;

当△<0,即

5 a> 4

时,方程无解。

2 x 提升 1:求方程 ? 3 x ? 2 ? 0 的最小根的倒数。

提示:可以先换元:令 t=|x|,转化为关于 t 的一 元二次方程,求 t,再求 x。

3 ? 17 3 ? 17 (舍正号) t? (舍负号) x ? ? 2 2

1 2 -2 (3 ? 17) 3 ? 17 ?? ? ? xmin 9-17 4 3 ? 17

2 x 提升 2:方程 ? ax ? b ? 0 与 x2 ? bx ? a ? 0 只有一个相等的实

数根,求此根。
提示:先降幂,将一元二次方程转化为一元一次方 程,再求 x。

当a+b≠0时,x=-1

2 提升 3 :若方程 3x ? 4 x ? k ? 1 ? 0 无实数根,化简:

2 1 1 k 2 ? k ? ? ? 2k 。. 3 9 3

提示:先利用判别式求 k 的范围,再化简。

2 3k ? 3

动不如



2 m x ? 3 ( m? 1 ) x? 2m? 3? 0 x 已知:关于 的一元二次方程

(m为实数)

(1) 若方程有两个不相等的实数根,求 m 的取值范围; (2)求证:无论 m 为何值,方程总有一个固定的根; (3)若 m 为整数,且方程的两个根均为正整数,求 m 的值.

(1)解:

? ? b 2 ? 4ac ? ? ?3(m ? 1) ? ? 4m(2m ? 3) ? (m ? 3) 2
2

∵方程有两个不相等的实数根,
2 ∴ (m ? 3) ? 0 且 m ? 0

∴ m ?3且 m ? 0 ∴ m 的取值范围是 m ? 3 且 m ? 0

?b ? b2 ? 4ac 3(m ? 1) ? (m ? 3) ? (2)证明:由求根公式 x ? 2a 2m



x1 ?

3m ? 3 ? m ? 3 2m ? 3 3 ? ? 2? 2m m m

x2 ?

3m ? 3 ? m ? 3 ?1 2m

∴无论 m 为何值,方程总有一个固定的根是 1。

(3)∵ m 为整数,且方程的两个根均为正整数 ∴ x1 ? 2 ?
3 m 必为整数

∴ m ? ?1 或 m ? ? 3 当 m ? 1 时 , x1 ? ?1 ;当 m ? ?1 时, x1 ? 5 ; 当 m ? 3 时, ∴
m ? ?1
x1 ? 1

; 当 m ? ?3 时, x

1

? 3.

或 m ? ?3

结束寄语
同学们:
学无止境! 没有最好,只有更好!!! 再见


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