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2012高三数学(理)二轮复习练习:第一篇 专题3 第2课时



专题 3

第 2 课时

(本栏目内容,在学生用书中以活页形式分册装订!) 一、选择题 1.已知数列{an}的通项公式是 an=(-1)n(n+1),则 a1+a2+a3+…+a10=( A.-55 C.5 解析: B.-5 D.55 ∵an=(-1)n(n+1),∴a1+a2+a3+…+a10=-2+3-…-10+11=(-2+3)+

)

(-4+5)+(-6+7)+(-8+9)+(-10+11)=1+1+1+1+1=5,故选 C. 答案: C
2 a n a n+ 1 ? ,v 是直线 y=x 的方向向量,a1=5,则数列{an}的前 10 项 2.向量 v=?an+1- , 2 2an ? ?

和为(

)

[来源:学科网]

A.50 C.150

B.100 D.200

a n+ 12 an 解析: 依题意得 =an+1- ,an+1=an.又 a1=5,所以 an=5,数列{an}的前 10 项和 2an 2 为 5×10=50,选 A. 答案: A 3.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且对任意的 n∈N*,点(n,Sn)均在函数 y=ax2+x(a∈ N*)的图象上,则( ) B.n 与 an 的奇偶性相同 D.a 与 an 的奇偶性相同

A.n 与 an 的奇偶性相异 C.a 与 an 的奇偶性相异

解析: Sn=an2+n,an=Sn-Sn-1=an2+n-a(n-1)2-(n-1)=2an+1-a(n≥2),an 与 1 -a 的奇偶性相同,故选 C. 答案: C 1 1 4. (2011·江南十校二模)数列{an}的前 n 项和为 Sn, Sn=2an-1(n∈N*), Tn= 若 则 + a 1a 2 a 2a 3 +…+ 1 的结果可化为( a na n+ 1 ) 1 B.1- n 2 1 2 D. ?1-2n? ? 3?

1 A.1- n 4 1 2 C. ?1-4n? ? 3? 解析: 由 Sn=2an-1 得,

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1, ∴an=2an-1,由 a1=2a1-1 得 a1=1, 1 - 1 1 - 1 - ∴an=2n 1,则 =?2?n 1·?2?n=?2?2n 1, ? ? ? ? ? ? a na n+ 1 1 1? 1- n? 4? 1 - 2? 1 1 ∴Tn= +?2?3+…+?2?2n 1= ? ? 2 ? ? 1 1- 4 1 2 = ?1-4n? , 故选 C. ? 3? 答案: C 5.已知数列{a n}中,a1=1,an+ an+1=2n,则数列{an+1-an}的前 10 项和 T10 等于( A.0 C.10 B.5 D.20 )

解析: 由题意 T10=a11-a1=a11-1,由 a1=1,an+an+1=2n,∴an+1=2n-an,得 a2 =1,a3=2×2-a2=3,a4=2×3-a3=3,a5=2×4-a4=5,a6=2×5-a5=5,a7=2× 6- a6=7,a8=7,a9=9,a10=9,a11=11. ∴T10=11-1=10.故选 C. 答案: C 6.甲、乙两个工厂 2011 年 1 月份的产值相等,甲厂的产值逐月增加,且每月增加的产值 相同;乙厂的产值逐月增加,且每月增长的百分率相同,已 知 2012 年 1 月份两 厂的产值又相 等,则 2011 年 7 月份产值高的工厂是( A.甲厂 C.产值一样 ) B.乙厂 D.无法确定

解析: 设甲、乙两厂自 2011 年 1 月份开始 的产值分别构成数列{an}与{bn},由已知得 {an}为等差数列,{bn}为等比数列,且 a1=b1,a13=b13, a1+a13 b1+b13 ∴a7= = > b1b13= b72=b7. 2 2 答案: A 二、填空题 1 7.数列{an}中,a1=1,an,an+1 是方程 x2-(2n+1)x+ =0 的两个根,则数列{bn}的前 bn n 项和 Sn 等于________. 解析: 由 an+an+1=2n+1,a1 =1 知,an=n, 1 1 1 1 又∵ =an·an+1,∴bn= = - , bn a na n+ 1 a n a n+ 1

1 n 故 Sn=1- = . an+1 n+1 答案: n n+1

1 8.(2011·北京卷)在等比数列{an}中,若 a1= ,a4=-4,则公比 q=________;|a1|+|a2| 2 +…+|an|=________. 1 解析: ∵{an}为等比数列,且 a1= ,a4=-4, 2 a4 ∴q3= =-8, a1 1 - - ∴q=-2,∴an= ·(-2)n 1,∴|an|=2n 2, 2
n 1 (1-2 ) 1 n 1 - = (2 -1)=2n 1- . ∴|a1|+|a2| +|a3|+…+|an|= = 2 1-2 2 2
[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

答案: -2

1 - 2n 1- 2

Sn 9.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a4-a2=8,a3+a5=26,记 Tn= 2,如果存在正整 n 数 M,使得对一切正整数 n,Tn≤M 都成立,则 M 的最小值是________. 解析: 由 a4-a2=8,得 2d=8,∴d=4. 又 a3+a5=26,得 a4=13,∴a1=1. n(n-1) ·4=(2n-1)n, 于是 Sn=n+ 2 Sn 1 Tn= 2=2- <2. n n 要使 M≥Tn 恒成立,只需 M≥2, ∴M 的最小值是 2. 答案: 2 三、解答题 3 10.设函数 f(x)=x3,在等差数列{an}中,a3=7,a1+a2+a3=12,记 Sn=f ( an+1),令
?1? bn=anSn,数列?b ?的前 n 项和为 Tn. ? n?
[来源:Z+xx+k.Com]

(1)求{an}的通项公式和 Sn; 1 (2)求证:Tn< . 3 解析: (1)设数列{an}的公差为 d,由 a3=a1+2d=7,a1+a2+a3=3a1+3d=12,解得 a1=1,d=3,∴an=3n-2.

3 ∵f(x)=x3,∴Sn=f( an+1)=an+1=3n+1. (2)证明:∵bn=anSn=(3n-2)(3n+1), 1 1 ∴ = bn (3n-2)(3n+1) 1 1 1 = ?3n-2-3n+1?. 3? ? 1 1 1 ∴Tn= + +…+ b1 b2 bn 1 1 1 1 1 1 = ?1-4+4-7+…+3n-2-3n+1?, 3? ? 1 1 1 ∴Tn= ?1-3n+1?< . 3? ? 3 5 1 1 11.已知等比数列{an}中,公比 q∈(0,1),a2+a4= ,a1a5= ,设 bn= nan(n∈N*). 4 4 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 1 解析: (1)由题意知:a2·a4=a1·a5= , 4

?a +a =4 联立方程得:? 1 ?a ·a =4
2 4 2 4

5 .
[来源:学科网]

∵q∈(0,1),∴a2>a4, 1 ∴解方程组得 a2=1,a4= , 4 1 - 1 - 1 ∴q= ,a1=2,∴an=2×?2?n 1=?2?n 2. ? ? ? ? 2
[来源:学科网]

1 - 1 - (2)由(1)知:an=?2?n 2,所以 bn=n·?2?n 1. ? ? ? ? 1 1 1 1 - 1 - ∴Sn=1×?2?0+2×?2?1+3×?2?2+…+(n-1)?2?n 2+n·?2?n 1①, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 - 1 - 1 1 Sn=1×?2?1+2×?2?2 +…+(n-2)?2?n 2+(n-1)·?2?n 1+n·?2?n②, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 1 1 1 - 1 - 1 1 ∴①-②得: Sn=?2?0+?2?1+?2?2+…+?2?n 2+?2?n 1-n·?2?n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 1×?1-?2?n? ? ? ?? 1 = -n·?2?n, ? ? 1 1- 2 1 - 1 - ∴Sn=4-?2?n 2-n·?2?n 1. ? ? ? ?

12.(2011·湖南卷)某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M,M 的价值在使 用过程中逐年减少.从第 2 年到第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年开 始,每年初 M 的价值为上年初的 75%. (1)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; a1+a2+…+an (2)设 An= ,若 An 大于 80 万元,则 M 继续使用,否则须在第 n 年初对 M n 更新.证明:须在第 9 年初对 M 更新. 解析: (1)当 n≤6 时,数列{an}是首项为 120,公差为-1 0 的等差数列,an=120-10(n -1)=130-10n; 3 3 当 n≥6 时,数列{an}是以 a6 为首项,为公比 的等比数列,又 a6=70,所以 an=70×?4? ? ? 4
n- 6

. 因此,第 n 年初,M 的价值 an 的表达式为

?130-10n,n≤6, ? an=? ?3?n-6 ?70×?4? ,n≥7. ?
(2)证明:设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和,由等差及等比数列的求和公式得 当 1≤n≤6 时,Sn=120n-5n(n-1), An=120-5(n-1)=125-5n; 3 - 3 当 n≥7 时,由于 S6=570,故 Sn=S6+(a7+a8+…+an) =570+70× ×4×?1-?4?n 6?= ? ? ? ? 4 3 - 780-210×?4?n 6 ? ? 3?n-6 780-210×?4? ,An= . ? n 易知{An}是递减数列, 3 780-210×?4?2 ? ? 47 =82 >80, 又 A 8= 64 8 3 780-210×?4?3 ? ? 79 A 9= =76 <80, 9 96 所以须在第 9 年初对 M 更新.
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