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反正弦函数



6.4
y 2

反正弦函数

1
o

?

2?
y = sinx

x

-1
-2

正弦函数在定义域R内是否有反函数?
y

c

c

/>
0

c

c

c

c

x

y ? sin x

对于定义域R上的每一个 x的值,在[-1,1]上y 都有唯一确定的值sinx与其对应 但对于[-1,1]上每一个y,在x在R上有无数 多个值与其对应 所以,函数 y=sinx (x∈R) 没有反函数。

正弦函数在定义域内是否有反函数?
y

c

c

0

c

c

c

c

x

y ? sin x

函数 y=sinx (x∈R) 没有反函数。

讨论:
应该选取怎样的区间A,使得y=sinx ( x ? A) 存在反函数呢?

讨论:
应该选取怎样的区间A,使得y=sinx ( x ? A) 存在反函数呢? 3? y 1
?

5? ? 2 ?2?

?

2

2

2?

x
5? 2

3? ? 2

??

O ?1

? 2

?

反函数的定义: 只要选取函数y=sinx的任意一个单调闭区间做A, 对于函数 y ? f (x) ,设它的定义域为D,值域为A。如 ? ? 即y ? sin x, x ? [k? ? , k? ? ], (k ? Z )都有反函数 果对A 中任意一个值 y,在D中总有唯一确定的 x 值与它 2 2 ? X与y一一对应 对应,且满足 y=f(x),这样得到的x关于 y 的函数叫做 y=f(x) ? ? y ? sin x, x ? [? , ?] 要 ? 值域仍为[-1,1] 1 的反函数,记做 x 2 f2 ( y )。在习惯上,自变量常用x表示, ? 求 y ? 包含锐角集合 而函数用 y 表示,所以把它改写为 ? f ?1 ?x ? (x ? A)

定义

? ? 函数 y ? sin x, x ? [? , ] 的反函数 2 2 叫做反正弦函数 , 记作:y ? arcsin x ? ?
[ 1] 定义域是 ?1, 值域是[ ?
, ] 2 2

? ? 函数 y ? sin x, x ? [? , ] 的反函数 2 2 叫做反正弦函数 , 记作:y ? arcsin x ? ?
定义域是 [?1,,值域是 [? 1] , ] 2 2

(2) x ?[?1,1]

arcsin x 的意义 ? ? ?? (1) arcsin x 是 ?? 2 , 2 ?上的一个角 ? ? arcsin x的正弦值是 x ,即 sin(arcsin x) ? x

(3)角

练习

2 2 (1) sin(arcsin ) ? 3 3 1 1 (2) sin[arcsin (? )] ? ? 2 2

(3) sin(arcsin2) ? 无 解

sin(arcsin x) ? x, x ? [?1,1]

? ? ? ? ? ? 图像 1.图象: y ? arcsin x , ? x ? ? ?1,1? , y ? ? ? , ? ?的图象 图像 y ? 2 2?? ? ? ? ? ? ? ?? 和y ? sin x, ? x ? ? ? , ? ,y ? ? ?1,1? ? 2 ? 2 2? ? ? ? 的图像 的图象关于直线y = x对称; 1 ? 2 ?1 2. y ? arcsin x的性质 (1)定义域:x ? ? ?1,1?; O 1 ? ? ?? ?1 (2)值域:y ? ? ? , ? ; ? 2 2? ? ? (3)奇偶性 : 奇函数, arcsin ? ? x ? ? ? arcsin x; 2 (4)单调性 : y ? arcsin x在x ? ? ?1,1? 上是增函数; ? (5)最值 : x ? ?1时, y最小 ? arcsin ? ?1? ? ? 2 , ? x ? 1时, y最大 ? arcsin1 ? . 2

反正弦函数图像和性质 (二)反正弦函数的图象和性质

y? x

?
2

x

性质

y ? sin x

, x ? [?

? ?

定义域
值域 奇偶性 单调性
在[?

x ? [?

? ?

, ] 2 2

y ? arcsin x, x ?[?1,1] x ?[?1,1]
y ? [?

, ] 2 2

y ?[?1,1]
? ?
奇函数

? ?

, ] 2 2

奇函数

, ]上单调递增 2 2

在[?1,1]上单调递增

y ? sin x, x ? [?
y 1

? ?

, ] 2 2

y ? arcsin x, x ?[?1,1]
? 2

y

图象
?

? 2

0 1

? 2

x

1

0 1
?

x

? 2

例1 求下列反正弦函数的值

3 (1) arcsin 2

(2) arcsin0
1 (3) arcsin( ? ) 2

(4) arcsin1

例2 用反正弦函数值表示下列各式中的x:

3 (1) sin x ? 5
1 (2) sin x ? ? 3 2 (3) sin x ? 2

x ? [?
x ? [?

, ] 2 2 ? ?
, ] 2 2

? ?

x ? [o, ? ]

3 (4) sin x ? 3

x ? [0, ? ]

例2 用反正弦函数值表示下列各式中的x:
3 (4) sin x ? x ? [0, ? ] 3 ? 3 3 解: 当? x ?[0, 2 ], sin x ? 3 ? x ? arcsin 3

3 ? ? ? x ? arcsin 3 sin(? ? x) ? sin x ? 3 3 3 ? x ? ? ? arcsin 3 3 3 综上: x ? arcsin 或 ? x ? ? ? arcsin 3 3

当? x ? [ , ? ], 2

?

? ? x ? [0, ],
2

?

巩 固 练 习
判断下列各式是否成立?简述理由. ? 3 3 ? (1) arcsin ? (2) arcsin ? 2 3 3 2 ? (3) arcsin 1 ? 2k? ? , k ? Z 2 ? ? (4) arcsin( ? ) ? ? arcsin 3 3

(5) sin(arcsin 2 ) ? 2
1 (6) arcsin ? 6 2

?

拓展
求函数 f ( x) ? 2 arcsin 2 x 的反函 ?1 数 f ( x) ,并指出反函数的定义域和 值域.

反正弦函数 课时小结
函数 y ? sin x, x ? [?

正弦函数y=sinx (x∈R) ,不存在反函数 ? ?

, ] ? y ? arcsin x, x ? [?1,1]互为反函数 2 2 ?它们的定义域和值域互换 ?它们在定义域上都是奇函数,图像都关于原点中心对称
?它们在定义域上都是单调递增函数

sin(arcsinx) ? x
arcsin(? x) ? ? arcsin x

x ?[?1,1] x ?[?1,1]
x ? [?

arcsin(sinx) ? x

? ?

, ] 2 2

函数

y ? arcsin x

反函数 y ? sin x, x ? [? 图形 定义域 值域
[?

? ?

y ? arccos x
y ? cos x, x ?[0, ? ]

, ] 2 2

[?1,1] ? ?
, ] 2 2
?

[?1,1]
[0, ? ]

最值
单调性

y 当 x ? ?1时, min ? ? 2

当 x ? 1 时, ymin ? 0 当 x ? ?1时,ymax ? ?

当 x ? 1 时,y max

? ? 2

增函数

减函数 非奇非偶函数 arccos( x) ? ? ? arccosx ?

奇偶性 奇函数

arcsin(? x) ? ? arcsin x

函数 反函数 图形

y ? arctan x
y ? tan x, x ? (?

? ?

, ) 2 2

定义域 值域
最值 单调性 奇偶性

R

? ? (? , ) 2 2 无

增函数
? 奇函数 arctan( x) ? ? arctanx

例1.(1)直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的倾斜角为

1 (2)已知 cos x ? ,?? ? x ? 0, 则 x ? 3

2 3 例2.计算 tan[arccos? ( ) ? arcsin ] 2 3
例3.求下列函数的定义域和值域

1 (1) y ? arcsin x 2 (2) y ? arccos(x ? x )

7.7最简三角方程(一)
三角方程:含有未知数的三角函数的方 程叫做三角方程

最简三角方程:在三角方程中
sinx=a, cosx=a, tgx=x

称为最简三角方程

1 想一想 求方程sinx= 的解集 2 1 2k ? 解: sinx= 的一切解是: ? 2k? ? (?1) 2 6 6 (k∈ Z) 和 ? 5? ? 2k? ? (? ? ) x ? 2k? ? 6 6
? (2k ? 1)? ?

x ? 2 k? ?

?

?

6
2 k ?1

? (2k ? 1)? ? (?1)

?
6

1 想一想 求方程sinx= 的解集 2 解: 1 2k ? sinx= 的一切解是: ? 2k? ? (?1) 6
2

6 (k∈ Z) 和 2 k ?1 ? 5? ? (2k ? 1)? ? (?1) x ? 2k? ? 6 6 1 ? 即sinx= 的解集是 ?x x ? 2k? ? , k ? Z ??
2
6

x ? 2 k? ?

?

5? k ? ?x x ? 2k? ? , k ? Z ? = x x ? k? ? (?1) , k ? Z ? 6 6

?

试一试

求方程sinx=

1 3

的解集

解:原方程的解集为:
1 ?x x ? 2k? ? arcsin , k ? Z ? 3 1 ? ?x x ? 2k? ? (? ? arcsin ), k ? Z ? 3 1 k 即?x x ? k? ? (?1) arcsin , k ? Z ? 3

方程sinx=

1 2

的解集
? 1 ,k ?x?x x ? ?????1)1)arcsin ? ,Zk?? Z ? x ? k k ( (? 6 2
k k

1 方程sinx= 的解集 3

1 ?x x ? k? ? (?1) arcsin , k ? Z ? 3
k

方程sinx=a ( a ? 1 ) 的解集

?x x ? k? ? (?1)

k

arcsina, k ? Z ?

方程sinx=a ( a ? 1) 的解集 x x ? k? ? (?1)k arcsina, k ? Z ?

?

练 一 练

求下列方程的解集
3 (1) sin x ? 2
(3) sin x ? 0
3 (5) sin x ? 2
1 ( 2) sin x ? ? 2

(4) sin x ? 1 (6) sin x ? ?2

(7) sin x ? a

方程sinx=a ( a ? 1) 的解集 x x ? k? ? (?1)k arcsina, k ? Z ?

?

练 3 一 (1) sin x ? 2 练 ?x x ? k? ? (?1)
(3) sin x ? 0
3 (5) sin x ? 2

求下列方程的解集
1 ( 2) sin x ? ? 2
k

?
3

, k ? Z?

(4) sin x ? 1 (6) sin x ? ?2

(7) sin x ? a

方程sinx=a ( a ? 1) 的解集 x x ? k? ? (?1)k arcsina, k ? Z ?

?

练 一 练

求下列方程的解集
3 (1) sin x ? 2
1 ( 2) sin x ? ? 2

?x x ? k? ? (?1)
(3) sin x ? 0
3 (5) sin x ? 2

k

(?

?
6

), k ? Z ?

(4) sin x ? 1 (6) sin x ? ?2

(7) sin x ? a

方程sinx=a ( a ? 1) 的解集 x x ? k? ? (?1)k arcsina, k ? Z ?

?

练 一 练

求下列方程的解集
3 (1) sin x ? 2 (3) sin x ? 0
1 ( 2) sin x ? ? 2

(4) sin x ? 1

?x x ? k? , k ? Z?
3 (5) sin x ? 2

(6) sin x ? ?2

(7) sin x ? a

方程sinx=a ( a ? 1) 的解集 x x ? k? ? (?1)k arcsina, k ? Z ?

?

练 一 练

求下列方程的解集
3 (1) sin x ? 2 (3) sin x ? 0
k

1 ( 2) sin x ? ? 2

(4) sin x ? 1
?
2 , k ? Z?

?x x ? k? ? (?1)
3 (5) sin x ? 2

或?x x ? 2k? ?

?
2

, k ? Z?

(6) sin x ? ?2

(7) sin x ? a

方程sinx=a ( a ? 1) 的解集 x x ? k? ? (?1)k arcsina, k ? Z ?

?

练 3 一 (1) sin x ? 2 练 (3) sin x ? 0
3 (5) sin x ? 2

求下列方程的解集
1 ( 2) sin x ? ? 2 (4) sin x ? 1

(6) sin x ? ?2

Φ
(7) sin x ? a

?x x ? k? ? (?1)

k

?
3

, k ? Z?

方程sinx=a ( a ? 1) 的解集 x x ? k? ? (?1)k arcsina, k ? Z ?

?

练 一 练

求下列方程的解集
3 (1) sin x ? 2 (3) sin x ? 0 3 (5) sin x ? 2
1 ( 2) sin x ? ? 2

(4) sin x ? 1 (6) sin x ? ?2

Φ

(7) sin x ? a

方程sinx=a ( a ? 1) 的解集 x x ? k? ? (?1)k arcsina, k ? Z ?

?

练 一 练

求下列方程的解集
3 (1) sin x ? 2 (3) sin x ? 0 3 (5) sin x ? 2
(7) sin x ? a
1 ( 2) sin x ? ? 2

(4) sin x ? 1 (6) sin x ? ?2

当 a >1时,解集为Φ
a ? 1时,解集为?x x ? k? ? (?1)k arcsina, k ? Z ? 当

方程sinx=a ( a ? 1) 的解集 x x ? k? ? (?1)k arcsina, k ? Z ?

?

拓展

求下列方程的解集
3 (1) 2 sin(3x ? ) ? 4 2

?

(2) sin(5x ?15? ) ? 3 ? 0
(3) sin x ? 0
3 (5) sin x ? 2

(4) sin x ? 1 (6) sin x ? ?2

(7) sin x ? a



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