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直线与抛物线的位置关系 教案



2.4.2 直线与抛物线的位置关系 教学目标 1、知识与技能 掌握直线与抛物线的位置关系及判断方法; 2、过程与方法 联立方程组的解析法与坐标法 3、情感态度价值观 让学生体验研究解析几何的基本思想,培养学生主动探索的精神 教学重点:直线与抛物线的位置关系及其判断方法 教学难点: 直线与抛物线的位置关系的判断方法的应用 教学方法:多媒体教学、学案式教学 教学过程 一、课题引入 师

: 之前我们学习了直线与椭圆和双曲线的位置关系, 请位同学说说如何判断直线与椭圆 和双曲线的位置关系. 提问的目的: 1、类比直线与椭圆及双曲线的位置关系得出直线与抛物线的三种位置关系; 2、“直线与双曲线有一个交点不一定是切点”和“直线与抛物线有一个交点不一定是相切 的情形”类似,为后面总结直线与抛物线的位置关系的“特殊性”做铺垫.) 师: 在学案给出的抛物线图中, 画直线, 观察直线与抛物线的位置关系, 从交点个数入手, 有几种情况?(培养学生动手和归纳总结的能力) 在研究直线与椭圆和双曲线位置关系时, 除了从几何图形入手研究位置关系外, 我们还可以 用什么方法来研究直线与圆锥曲线的位置关系?(引出代数法) 二、新课讲授 例 1: 已知抛物线的方程为 y ? 4 x 动直线 l 过定点 P(-2,1),斜率为 k.。 当 k 为何值时,直线 l
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与抛物线 y ? 4 x 。 (1)只有一个公共点。 (2)有两个公共点; (3)没有公共点
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例题设计思路及目的: 在本例中, 学生会用几何判断法和解方程组的方法.对于几何判断法, 随着斜率 k 的变化,直线与抛物线的位置关系在不断变化,但是对应的 k 的具体取值范围无 法确定。 另一方面在学完直线与椭圆及双曲线位置关系后, 几何法行不通学生自然会想到利 用方程联立得到新的一元二次方程,通过判断 ? 及判断交点的个数,即把几何图形的问题 转化为了代数问题.这个思维过程体现了转化与化归的思想、数形结合的思想. 那么该方程组的解的个数问题又可以转化为一个什么问题呢?此处引导学生消元 (消去 x 或 y )得到关于 y 或 x 的方程,同时注意消元方法的选择(板书过程中,引导学生消元,消 去哪一个未知数在下一步计算当中更方便一些,通过比较得出最好的一种消元方法).消元 后的方程 ky ? 4 y ? 4(2k ? 1) ? 0 ①这样由于方程组解的个数与导出的方程解的个数相同,
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我们只需讨论消元后的方程①解的个数.提问学生,该方程一定是关于 y 的一元二次方程吗? 学生意识到系数符号不同,方程的类型也不同.若系数为零,则是一次方程,此时消元后的 方程只有一个解,对应的方程组只有一个解,从而直线与抛物线只有一个公共点.若系数不 为零,则消元后的方程是二次方程,由于二次方程的解的个数与判别式符号有关,故只需讨 论判别式的符号.当判别式 ? ? 0 时,方程有两个解,对应的方程组就有两个解,此时直线 与抛物线有两个公共点;当判别式 ? ? 0 时,方程只有一个解,对应的方程组只有一个解, 此时直线与抛物线有一个公共点;当 ? ? 0 时,方程没有解,对应的方程组没有解,此时直 线与抛物线没有公共点.该环节体现了转化的思想与分类讨论的思想. 根据上述分析过程,教师在黑板上示范整个书写过程,同时让学生总结出“直线与抛物线的
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位置关系”及“相应的判断方法” :直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形,一种是 直线平行于抛物线的对称轴,另一种是直线与抛物线相切.后一种反映在代数上是一元二次 方程的两根相等(根的判别式 ? ? 0 ),所利用的方法叫代数方法.教师在学生总结的基础上 归纳出整个解题的基本步骤. 课堂练习 1 变式训练 已知抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ,直线 l 过定点 P(0,1) ,斜率为 k . k 为何值时,直线 l 与抛物 线 y 2 ? 4 x :只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点? 在例题的基础上做相应的变式训练,强化解题的过程及解题要点,叫一名同学到板前解题, 解题结束后做相应的点评. 要点一:求直线的方程 要点二:消元的基本方法(简单) 要点三:对系数进行分类讨论 要点四:解一元二次不等式,注意取“交集” 2、(1)过点(3,1)与抛物线 y ? 4 x 只有一个公共点的直线有 ____条
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(2)过点(1,2)与抛物线 y ? 4 x 只有一个公共点的直线有 ____条
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(3)过点(0,2)与抛物线 y ? 4 x 只有一个公共点的直线 有____条
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(4)已知直线 y ? kx ? k 及抛物线 y ? 2 px( p ? 0) ,则(
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A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点 3、思维拓展 在抛物线 y ? 4 x 上是否存在一点,使它到直线 l : y ? x ? 3 的距离最短,并求此距离.
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课堂总结 本节课我们学习了 1、直线与抛物线的位置关系,以及用代数的方法来判断其位置关系要注意直线与抛物线位 置关系的特殊性. 2、数学思想:转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想. 作业:

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