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七宝中学2013学年第一学期高二数学期末考试试卷


七宝中学 2013 学年第一学期高二数学期末考试试卷
一、填空题: (本大题满分 36 分)本大题共有 12 小题,每个小题填对得 3 分,否则一律得 零分。 1. 直线 l : ax ? 3my ? 2a ? 0(m ? 0) 过点(1,-1) ,则直线 l 的倾斜角为 _________ 。 2. 直线 l 过点 (a, 0) 且经过一、二、三象限,它与两坐标轴围成的面积为 S,则直线 l 的方 程为 __________ 。 3. 已 知 直 线 l1 : kx ? (1 ? k ) y ? 3 ? 0, l2 : ( k ? 1) x ? (2k ? 3) y ? 2 ? 0 , 若 l1 ? l2 , 则

k ? _____________ 。
4. 过抛物线 y2=4x 焦点的直线交抛物线于 A 、 B 两点,已知 |AB|=8 , O 为坐标原点,则 △ OAB 的重心的横坐标为____________. 5 抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴且焦点在双曲线 方程为。 6.已知定点 A (4, 2) , O 为坐标原点, P 是线段 OA 的垂直平分线上一点, 若 ?OPA ? 60? , 则点 P 横坐标的取值范围为 _______________ 。 7.设双曲线

y 2 x2 ? ? 1 上,则抛物线的标准 9 4

x2 y2 ? 2 ? 1 的一条渐近线与抛物线 y ? x 2 ? 1 只有一个公共点,且该双曲线的 2 a b
c ? __________ 。 a
2 2

一个焦点为 F(c,0)则

8. 若直线 y ? m( x ? 1) 与曲线 x ? y ? 4 只有一个公共点, 求实数 m 的取值集合是_______ 9. 已知双曲线 的距离为。 10.设 F1 , F2 分别是椭圆 E : x ?
2

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 、 点 M 在双曲线上且 MF1 ? x 轴, 则 F1 到直线 F2 M F2 , 6 3

y2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左右焦点,过 F1 的直线 L 与 E 相交 b2

于 A,B 两点且 AF2 , AB , BF2 成等差数列,则 AB ? _____________ 。
2 11. 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点作直线交抛物线于 E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y2 ) , 若 x1 ? x2 ? 3 p ,

则弦 EF 的长为。 12.若动点 P ( x0 , y0 ) 在圆 C: x ? y ? 1 上运动,则动点 Q( x0 y0 , x0 ? y0 ) 的轨迹方程是
2 2

_______________ 二、选择题: (本大题满分 16 分)本大题共有 4 小题,每小题有且只有一个正确答

案,选对得 4 分,否则一律得零分。 13.函数 y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可找到 n(n≥2)个不同的数 x1,x2,…,xn, 使得

f ( xn ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,则 n 的取值范围为( ? ??? x1 x2 xn

)

A.{3,4} C.{3,4,5}

B.{2,3,4} D.{2,3}
2 2

14.设 m , n ? R ,若直线 ? m ? 1? x ? ? n ? 1? y ? 2 ? 0 与圆 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 相切,则 m ? n 的取值范围是()

? A. ? ?1 ? 3,1 ? 3 ? ? C. ? ? 2 ? 2 2, 2 ? 2 2 ?

? B. ??,1 ? 3 ? ? ? ?1 ? 3, ??

?

? ?

? D. ??, 2 ? 2 2 ? ? ? ? 2 ? 2 2, ??

?

15..双曲线 x2-y2=1 的左焦点为 F,点 P 为左支下半支上任意一点(异于顶点) ,则直线 PF 的斜率的变化范围是 A.(-∞,0)B.(1,+∞)C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 16.已知点 A(?1, 0) , B(1, 0) , C (0,1) ,直线 y ? ax ? b(a ? 0) 将 ?ABC 分割为面积相等 的两部分,则 b 的取值范围是() (A) (0,1) (B) (1 ?

1 1 2 1 2 1 , ) (C) (1 ? , ) (D) [ , ) 3 2 2 2 2 3
2 2

三、解答题: (本大题满分 48 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤。 17. (本题满分 8 分)过点 P(3,1) 作圆 x ? y ? 4 的割线,割线被圆截得的弦长为 2 3 , 求该割线方程

18(本题满分 10 分)已知定点 A(4,0)到等轴双曲线 x2 ? y 2 ? a2 (a ? 0) 上的点的最近距离 为 5 ,求此双曲线的方程,并求此双曲线上到点 A 的距离为 5 的点的坐标。

19.(本题满分 10 分)平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 右焦点 a 2 b2
1 . 2

的直线 x ? y ? 3 ? 0 交 M 于 A, B 两点, P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 (Ⅰ)求 M 的方程;

(Ⅱ) C , D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD ? AB ,求四边形 ACBD 面积 的最大值.

20. (本题满分 10 分) . 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图: 航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆 100 25
? ? 64 ? ? 为顶点的抛物线的实线部分, 7 ?

变为抛物线)后返回的轨迹是以 y 轴为对称轴、 M ? 0,

降落点为 D (8, 0 ) . 观测点 A( 4, 0 )、B( 6, 0 ) 同时跟踪航天器. (1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程; (2)试问:当航天器在 x 轴上方时,观测点 A、B 测得离航天器的距离分别为多少时,应 向航天器发出变轨指令?

21. (本题满分 10 分)如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O ,长轴均为 MN 且在 x 轴上,短轴长分别为 2m , 2n ? m ? n ? ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 , C2 的四个 交点按纵坐标从大到小依次为 A , B , C , D 。记 ? ? 为 S1 和 S2 。 (I)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,求 ? 的值; (II)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l ,使得 S1 ? ? S2 ?并说明理由。

m , ?BDM 和 ?ABN 的面积分别 n

y
A B

M
C

O

N x

D
第 21 题图

高二期末答案
1. ? ? arctan
1 3

2. 2sx ? a 2 y ? 2sa ? 0 6. ?2 ? 3,2 ? 3?
4 3

3.k=1 或 k=-3 7. 5
? ?

4.2
2 3? ? 3 ?

5 x 2 ? ?12y 9.
6 5

8. ?? 1,?
1 2 1 2

10.

11. 4p 14.D

12. y 2 ? 2 x ? 1(? ? x ? ) 15.C 16B

13.B
16 解:分两种情况:

①直线 y = ax +b 与 AC、BC 相交时,如图所示,设 MC = m, NC = n, 1 由条件知 S△MNC = ? mn = 1 2 显然 0 <n≤ 2?m = 所以 2 ≤m 2


1 2 ≥ 又知 0 <m≤ 2, m≠n n 2

y C

m t t n
M A D

2且 m≠1

N x B

t t DN DM D 到 AC、BC 的距离为 t, 则 + = + =1 m n MN MN mn 1 1 ? t = m+n? t = m + m f(m) = m + 1 2 ( ≤m m 2


o

3 2 1 3 2 2 1 2且 m≠1)的值域为(2, ] ?2< ≤ ? 3 ≤t <2 2 t 2 2 1 <b≤ 2 3

因为 b =1?CD =1? 2t ,所以 1???

②:直线 y = ax +b 与 AB、BC 相交时,如图所示, b a+ b b a+ b 易求得 xM= ? , yN= ,由条件知(1+ ) =1 a a+1 a a+1 b ? =a 1?2b b M 在线段 OA 上?0< <1 ?0 <a<b a a+ b N 在线段 BC 上?0< <1 ?b < 1 a+1 b2 1 1 解不等式:0 < <b 得 <b < 3 2 1?2b 综上:1??? 2 1 <b< 2 2
2

y C N

A M

o

x B

17.y=1 或 3x-4y-5=0 18.解:设点 P( x, y) 是双曲线 x2 ? y 2 ? a2 上任意一点,则

| AP |2 ? ( x ? 4)2 ? y 2 ? ( x ? 4)2 ? ( x2 ? a2 ) ? 2( x ? 2)2 ? 8 ? a2
2 (1)当 o ? a ? 2 时,在 x ? 2 时, | AP |2 ?| x |? a , min ? 8 ? a ? 5

? a2 ? 3, a ? 3 ,此时双曲线方程为 x2 ? y 2 ? 3 ,
双曲线上离 A 距离为 5 的点为 (2,1) 或 (2, ?1)
2 2 2 (2)当 a ? 2 时,在 x ? a 时, | AP |min ? 2(a ? 2) ? 8 ? a ? 5,?a ? 4 ? 5

此时双曲线方程为 x2 ? y 2 ? 21 ? 8 5 , 双曲线上离 A 距离为 5 的点的坐标为 (4 +

5, 0) 。

19.解(Ⅰ)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0)
2 2 ? y1? y2 b2(x1 + ?b x1 + a y1 = a b ?? 2 2 =? 2 2 2 2? x1?x2 a2(y1 + ? b x2 + a y 2 = a b ? 2 2 2 2

x2) b2x0 ?kAB = ??? 2 y2) a y0

1 x0 OP 的斜率为 ? = 2,直线 x+y?? 3= 0 的斜率为?1 ?kAB =?1 2 y0 2b2 ??1= ?? a2 ? a2 = 2b2……① 由题意知直线 x+y?? 3= 0 与 x 轴的交点 F( 3,0)是椭圆的右焦点,则才 c = ?a2??b2 = 3 ……② 联立解得①、②解得 a2 = 6,b2 = 3 所以 M 的方程为:—+ — = 1 6 3 3

x2 y2

?x+y? ? (Ⅱ)联立方程组? x2 + ?— 6 ?
CD 与线段 AB 相交???

4 3 3 ,解得 A( , ? )、B(0, 3 3 — =1 3

3=0

y2

3),求得| AB | =

4 6 3

依题意可设直线 CD 的方程为:y = x + m 5 3 <m < 3 3

=x+m ? ?y 2 y2 联立方程组? x 消去 x 得:3x2 + 4mx+2m2?6 = 0 …… (*) — + — = 1 ? ?6 3 16 设 C(x3,y3),D(x4,y4),则| CD |2 = 2(x3 ? x4)2 = 2[(x3 + x4)2 ??4x3x4]= (9 ? m2) 9 1 8 6 2 四边形 ACBD 的面积 S = | AB |? | CD | = 2 9 9?m 8 6 当 n = 0 时,S 最大,最大值为 3 . 8 6 所以四边形 ACBD 的面积最大值为 3 .

2 20. ( 1 )设双曲线方程为 y ? ax ?

64 64 1 ,由题意可知, 0 ? a ? 64 ? ,所以 a ? ? 7 7 7

1 64 ? y ? ? x2 ? 7 7
(2)设变轨点为(x,y),根据题意可知:

? x2 y2 ? ?1 ? ?100 25 得 C(6,4) AC ? 2 5 , BC ? 4 ,当观测点 A,B 测得 AC,BC 距离分别为 ? ? y ? ? 1 x 2 ? 64 ? 7 7 ?
2 5,4 时,应向航天器发出变轨指令
21.【解析】 (Ⅰ)依题意可设椭圆 C1 和 C 2 的方程分别为

x2 y 2 x2 y 2 m ? 2 ? 1 , C 2 : 2 ? 2 ? 1 . 其中 a ? m ? n ? 0 , ? ? ? 1. 2 n a m a n 解法 1:如图 1,若直线 l 与 y 轴重合,即直线 l 的方程为 x ? 0 ,则
C1 :

S1 ?

S | BD | 1 1 1 1 . | BD | ? | OM | ? a | BD | , S2 ? | AB | ? | ON | ? a | AB | ,所以 1 ? S2 | AB | 2 2 2 2
| BD | | yB ? yD | m ? n ? ? 1 ? ? ? . | AB | | y A ? yB | m ? n ? ? 1

在 C1 和 C2 的方程中分别令 x ? 0 ,可得 y A ? m , y B ? n , yD ? ?m , 于是 若

S1 ? ?1 ? ? ,则 ? ? ,化简得 ? 2 ? 2? ? 1 ? 0 . 由 ? ? 1 ,可解得 ? ? 2 ? 1 . S2 ? ?1

故当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S 2 ,则 ? ? 2 ? 1 . 解法 2:如图 1,若直线 l 与 y 轴重合,则
| BD | ? | OB | ? | OD | ? m ? n , | AB | ? | OA | ? | OB | ? m ? n ;

S1 ?

1 1 1 1 | BD | ? | OM |? a | BD | , S2 ? | AB | ? | ON |? a | AB | . 2 2 2 2

y
A B

y
A B
N x

M

O C

M
C

O

N x

D
第 21 题解答图 2

D
第 21 题解答图 1 所以 若
S1 | BD | m ? n ? ? 1 ? ? ? . S2 | AB | m ? n ? ? 1

S1 ? ?1 ? ? ,则 ? ? ,化简得 ? 2 ? 2? ? 1 ? 0 . 由 ? ? 1 ,可解得 ? ? 2 ? 1 . S2 ? ?1

故当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S 2 ,则 ? ? 2 ? 1 .

(Ⅱ)解法 1:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S 2 . 根据对称性, 不妨设直线 l : y ? kx (k ? 0) , 点 M (?a, 0) , N (a, 0) 到直线 l 的距离分别为 d 1 , d 2 ,则 因为 d1 ? 又 S1 ?
| ? ak ? 0 | 1? k
2

?

ak 1? k
2

, d2 ?

| ak ? 0 | 1? k
2

?

ak 1? k2

,所以 d1 ? d2 .

S | BD | 1 1 ? ? ,即 | BD |? ? | AB | . | BD | d1 , S2 ? | AB | d2 ,所以 1 ? 2 2 S2 | AB |

由对称性可知 | AB | ?| CD | ,所以 | BC | ? | BD | ? | AB | ? (? ? 1) | AB | ,
| AD | ? | BD | ? | AB | ? (? ? 1) | AB | ,于是

| AD | ? ? 1 . ? | BC | ? ? 1
将 l 的方程分别与 C1,C2 的方程联立,可求得
xA ? am a k ?m
2 2 2



, xB ?

an a k 2 ? n2
2

.

根据对称性可知 xC ? ? xB , xD ? ? xA ,于是
1 ? k 2 | xA ? xD | 2 xA m a2 k 2 ? n2 | AD | . ? ? ? 2 2 2 | BC | 1 ? k 2 | xB ? xC | 2 xB n a k ? m



从而由①和②式可得
a 2 k 2 ? n2 ? ?1 ? . a 2 k 2 ? m2 ? (? ? 1)



令t ?

n 2 (? 2 t 2 ? 1) ? ?1 ,则由 m ? n ,可得 t ? 1 ,于是由③可解得 k 2 ? 2 . a (1 ? t 2 ) ? (? ? 1) n 2 (? 2 t 2 ? 1) ?0, a 2 (1 ? t 2 )

因为 k ? 0 ,所以 k 2 ? 0 . 于是③式关于 k 有解,当且仅当 等价于 (t 2 ? 1)(t 2 ? 即
1 ) ? 0 . 由 ? ? 1 ,可解得 1 ? t ? 1,

?

2

?

1

?

?

? ?1 ? 1 ,由 ? ? 1 ,解得 ? ? 1 ? 2 ,所以 ? (? ? 1)

当 1 ? ? ? 1 ? 2 时,不存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S 2 ; 当 ? ? 1 ? 2 时,存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S1 ? ? S 2 .


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