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2.自主招生专题之函数与方程(答案)



2.自主招生专题之函数与方程
一、典型例题 例 1.解下列方程: (1)

3x ? 1 1 ; ? x 9 ?1 3 ? 31 ? x

(2) 6 ? 7

|x|

? 7? x ? 1 ? 0 ;

(3) 2 ? 9

x

? 22 x ? 1 ? 5 ? 6 x ;

(4) 3

x

? 5 x ?2 ? 3 x ? 4 ? 5 x ?3 ;

(5) 2

x ?1

? 3 x ? 22 x ? 32 x

2

2

?1

? 5 ; (6) log2(9 x ?1 ? 5) ? log2(3 x ?1 ? 2) ? 2 ;

例 2.解下列关于 x 的方程: (1) log2(5 x2 ? 1) ? 1 ? log2 x ? log2(2 x);

(2) log4(3 ? x) ? log 1(3 ? x) ? log 4(1 ? x) ? log 1(2 x ? 1) ;
4 4

1

(3) log 3(3

x

? 1) ? log 3(3 x ?1 ?

1 ) ? 2 ; (4) log2 | 0.5 x ? 2 |? | log0.5(? x)|; 3

(5)

lg[a( x 2 ? a 2 )] ? 3; lg( x ? a)

(6) x

log a x

?

x4 x ; a2

(7) log12( x ?

4

x) ?

1 log 9 x ; 2

(8) log5(3 x ? 4 x ) ? log4(5 x ? 3 x ) ;

(9) x ? x ? 1 ? xe
2

x2 ?1

? ( x2 ? 1)e x ;

2

(10) log 9 x ? log 4 3 ? (log3 4 ? log 4 3)2 ? (

log 4 3 log3 4 ? )。 log3 4 log 4 3

?(x-1)3+1997(x-1)=-1, 例 3.(1)设 x,y 为实数,且满足? 则 x+y ? . 3 ?(y-1) +1997(y-1)=1. 3 ?x +sinx-2a=0, π π (2)已知 x,y∈[- , ],a∈R 且? 3 则 cos(x+2y) = . 4 4 ? 4y +sinycosy+a=0 3 ?(x-1) +1997(x-1)+1=0, 解析: (1)原方程组即? 3 ?(1-y) +1997(1-y)+1=0. 3 取 f(t)=t +1997t+1,f ?(t)=3t2+1987>0.故 f(t)单调增,现 x-1=1-y,x+y=2. (2)2a=x3+sinx=(-2y)3-sin(-2y), π π π π 令 f(t)=t3+sint,t∈[- , ],f ?(t)=3t2+cost>0,即 f(t)在[- , ]上单调增.∴ x=-2y. 2 2 2 2 ∴ cos(x+2y)=1. b ?1 例 4.设函数 f ( x) ?| lg(x ? 1) | ,实数 a, b(a ? b) 满足 f (a) ? f (? ) , f (10a ? 6b ? 21) ? 4 lg 2 ,求 a , b b?2 的值. b ?1 b ?1 1 解:因为 f (a) ? f (? ) ,所以 | lg(a ? 1) |?| lg(? ? 1) |?| lg( ) |?| lg(b ? 2) | , b?2 b?2 b?2 所以 a ? 1 ? b ? 2 或 (a ? 1)(b ? 2) ? 1 ,又因为 a ? b ,所以 a ? 1 ? b ? 2 ,所以 (a ? 1)(b ? 2) ? 1 . 又由 f (a) ?| lg(a ? 1) | 有意义知 0 ? a ?1,从而 0 ? a ? 1 ? b ? 1 ? b ? 2 , 于是 0 ? a ? 1 ? 1 ? b ? 2 . 10 所以 (10a ? 6b ? 21) ? 1 ? 10(a ? 1) ? 6(b ? 2) ? 6(b ? 2) ? ? 1. b?2 10 10 从而 f (10a ? 6b ? 21) ?| lg[6(b ? 2) ? ] |? lg[6(b ? 2) ? ]. b?2 b?2 又 f (10a ? 6b ? 21) ? 4 lg 2 ,

所以 lg[6(b ? 2) ? 故 6(b ? 2) ?

10 ] ? 4 lg 2 , b?2

1 10 . ? 16 .解得 b ? ? 或 b ? ? 1 (舍去) 3 b?2 1 2 把 b ? ? 代入 (a ? 1)(b ? 2) ? 1 解得 a ? ? . 3 5 2 1 所以 a ? ? , b ? ? . 5 3 例 5. (2009年南京大学)解方程 x3 ? 3x ? x ? 2.
解:如果x ? ?2, 则方程的右边无定义,此时方程无解;

3

如果x ? 2 , f x ( ? ) x3 ? x 3 ? x? f ?( x )? 3 x2 ? ? 3

2,

1 ? 0 2 x?2 且f (2) ? 0, 从而知在(2, ??)上没有根.
所以,如果方程的解存在,则一定位于[? 2 , 中 2]
令x ? 2 c o?s , ? 0? ? ?

. 2,

则方程变为8 c o3 s ??

6 c?o? s

2?c? os

2 c o?s , ( 于是 0 ) 3? ? ? 2n? (n ? Z ) 2 2 ? 7? 又因为3? ? ? [ 0 , ,所以 ] n? 或 0 n? 1. 2 2 4 4 从而得? ? 0, ? , ? . 5 7 4 4 因此方程的解为x ? 2, 2cos ? , 2cos ? . 5 7 三倍角公式: 即2 c o s ?3 ?
sin 3? ? 3sin ? ? 4sin 3 ? ? sin( ? ? )sin ? sin( ? ? ) 3 3 cos 3? ? 4 cos3 ? ? 3cos ? ? cos( ? ? ) cos ? cos( ? ? ) 3 3 tan 3? ? tan( ? ? ) tan ? tan( ? ? ) 3 3

?

?

?

?

?

?

?

?

例6. (2009年上海交通大学)求方程x ? x ? 2 x ? ... ? 2 x ? 2 3x (等式右边有n个根号)的 实根. 令3x ? x ? 2 x , x ? 2 y1 ? y22 , 解法一: ......,x ? 2 yn?1 ? yn2
( y1 , y2 ,..., yn ? 0) ? x ? yn 现证明:y1 ? x 则2 x ? 2 y1 ? x ? 2x ? x ? 2 y1 ? y12 ? y22 ? y1 ? y2 若x ? y1, 矛盾; 依此类推y1 ? y2 ? y3 ? ... ? yn ? x, 矛盾. 同理y1 ? y2 ? y3 ? ... ? yn ? x, 若x ? y1,
提示:这里对 n 取何值并没有加以限制,我们可以先从 n=1 时出发来寻找一般规律。
解法二: 先证 3x ? x.

若 3x ? x, 则 x ? 2 3x ? x ? 2x ? 3x ? x.

故x ? 2 x ? 2 3x ? x ? 2x ? 3x. ??,
x ? 2 x ? ? ? 2 x ? 2 3x ? ? ? x ? 2 x ? 3x ? x, 矛盾!
同理,若 3x ? x也会产生矛盾!
故 3x ? x. 解得x=0或x ? 3.
经检验知x ? 0或x ? 3均为原方程的解.

例 7. (2008年同济大学) 求满足方程组 ?

9 ? 2 2 2 ?x ? y ? z ? , 的x, y, z的值. 4 ? ??8 x ? 6 y ? 24 z ? 39
4

解:设P( x, y)是直线l : ?8x ? 6 y ? (24 z ? 39) ? 0上的点,

则原点O到直线l的距离d ?| OP | .



| 24 z ? 39 | 8 ?6
2 2

? x2 ? y 2 ?

9 2 ?z 4

从而 | 24z ? 39 |? 225 ?100 z 2 , 两边平方,得 (13z ? 18)2 ? 0,

18 . 13 6 18 同样的方法可解得:x ? ? , y ? ? . 13 13 所以 13z ? 18 ? 0,解得z ? ?

例 8.(2012 年上海财经)对任意的正实数 a ,已知关于 x 的方程 xe ? a 的解存在。 (1)证明:该方程的解唯一; (2)将该方程的解 x 记为 lw a 。我们可以用符号“lw”来表示一些方程的解,例如方程
x x tan x ? e tan x ? 2 的解为 k? ? arctan (lw2) , k ? Z 。试解方程 2 ? ?7 x 。 1 lw(7ln2) 答案: (2) x ? ? e 7

二、课堂练习

1.方程 3x ? 4x ? 12x ? 13x的实根有 A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
? x x? y ? y x? y 有___B___解。 ? y x ?1
C、三个;
x x x

(

C

)

2.(2008 年复旦千分考)方程组 ? A、一个; B、两个;

D、四个。

3.(2000 年上海交大保送)方程 3 ?16 ? 2 ? 81 ? 5 ? 36 的解 x=__________. 0, 4.实数 x , y 满足 ?

? x ? sin y ? 2008, ? . (0 ? y ? ) .则 x ? y = 2 ? x ? 2008cos y ? 2007 ? 解析:把两个方程相减得 sin y ? 1 ? 2008cos y ,由 0 ? y ? ,知 1 ? 2008cosy ? 1,因此只能是 2 ? ? sin y ? 1,cos y ? 0 .故 y ? .进而 x ? 2007 .因此, x ? y = 2007 ? . 2 2
5

1 2 ? 2007 ? 2

5.(2008 年浙江大学) a ? 0, b ? 0,log9 a ? log12 b ? log16 (a ? b) ,求

b 的值。 a

6.解下列关于 x 的方程: (1) x
lg x

? 10 ;

(2) log2( x ? 1) ? log4(2 ? x) ? 1 ;

(3) 8

log6( x2 ? 7 x ?15)

? 5log6 8 ; (4) 2lg x ? xlg 2 ? 3 xlg 2 ? 21?lg x ? 4 ? 0 ;

(5)( x ? 20 x ? 38) ? x ? 4 x ? 84 x ? 152 ;
2 3 3 2

(6)

x2 ?

1 x ?1 ? 2

x2 ?

2 x ?1 ? 1? 3

30 。 6

6

三、课后作业 1.方程 x lg 3 x – 5 lg x = 0.0001 的解集是 。{

1 1 , ,10,100 } 100 10

2.方程 3log x 4 ? 2log4 x 4 ? 3log16 x 4 ? 0 的解集为________. { , } 3.若 ( x ? 5)2011 ? x2011 ? 2 x ? 5 ? 0 ,则 2 x ? 7 x ? 1 的值等于 。 2006 2 4 2004 2005 4.方程(x +1)(1+x +x +?+x )=2006x 的实数解的个数为 . 1 解析:(x2006+1)(1+x2+x4+?+x2004)=2006x2005?(x+ 2005)(1+x2+x4+?+x2004)=2006 x 1 1 1 1 ?x+x3+x5+?+x2005+ 2005+ 2003+ 2001+?+ =2006,故 x>0,否则左边<0. x x x x 1 1 1 ?2006=x+ +x3+ 3+?+x2005+ 2005≥2×1003=2006. x x x 等号当且仅当 x=1 时成立. 所以 x=1 是原方程的全部解.因此原方程的实数解个数为 1.
2

1 1 8 2

5.若 f ? x ? ? 2 x ? 2 x ? 53 x ? 57 x ? 54
5 4 3

?

?

2006

,则 f ? ?

? 111 ? 1 ? ? ? =___________. 2 ? ?

解析:令 t ?

故 f (t ) ? [ 2t 2 ? 2t ? 55 t 3 ? t ?1 ?1]2006 ? ??1?
2 2

111 ? 1 ,则 2t 2 ? 2t ? 55 ? 0 , 2

?

??

?

2006

?1
。 ( 0, 4–2 3)

6.关于 x 的方程 ( x ? 4 x ? 3) = p x 有 4 个不同的实数根, 则 p 的取值范围是 7.(2002 年复旦大学)参数 a 取何值时:

log a x log x ? 2a ? x ? 1 ①有解?②仅有一解? ? ? log a 2 log x 2 log a2 ?1 2

8. 解方程:x ? 2kx ? k x ? 9k ? 27 ? 0 (k ? 9).
3 2 2

解:方程可化为:xk 2 ? (9 ? 2x2 )k ? x3 ? 27 ? 0 [k ? ( x ? 3 ) ]x [ k? 2 x ( ? 3 x? 9 ? )] 0 2 x ? k ? 3 ? 0 或x ? ( k ? 3 ) x ? 9 ? 0
? x ? ? k ? 3, x?

3? k ?

( k ? 32)? 3 6 2
7

9.(2005 年上海复旦)在实数范围内求方程: 4 10 ? x ? 4 7 ? x ? 3 的实数根.

10. (2012 北约)求

x ? 11 ? 6 x ? 2 ?

x ? 27 ? 10 x ? 2 ? 1 的实数根的个数。

8



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