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【2016版】新步步高 人教B版 大一轮复习讲义 数学(理)精品课件:第二章 2.6对数与对数函数



数学 B(理)

第二章

函数概念与基本初等函数Ⅰ

§2.6 对数与对数函数

? 基础知识·自主学习
? 题型分类·深度剖析 ? 思想方法·感悟提高

? 练出高分

基础知识·自主学习
1.对数的概念

知识梳



如果ab=N(a>0且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作 b=logaN ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数.

基础知识·自主学习
2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)=

知识梳理

logaM+logaN




②loga M= logaM-logaN

n logaM n m n ③logaM = nlogaM (n∈R);④ logam M =

N

.

基础知识·自主学习
(2)对数的性质 ① a log a N = N ;②logaaN= N (a>0且a≠1).

知识梳理

(3)对数的重要公式

logaN logbN= logab (a,b均大于零且不等于1); ①换底公式:

②logab=

1 ,推广log b· logcd= logad a logbc· logba

.

基础知识·自主学习
3.对数函数的图象与性质

知识梳理

a>1

0<a<1

图象

基础知识·自主学习
(0,+∞) (1)定义域: (2)值域: R (3)过定点 (1,0)

知识梳理

,即x= 1 时,y= 0 (5)当x>1时, y<0

性质

(4)当x>1时, y>0

当0<x<1时, y<0
(6)在(0,+∞)上是 增函数

当0<x<1时, y>0
(7)在(0,+∞)上是 减函数

基础知识·自主学习

知识梳理

4.反函数
指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数,它们的图象关于 直线 y=x 对称.

基础知识·自主学习
? 思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若log2(log3x)=log3(log2y)=0,则x+y=5.( √ )

知识梳理

(2)2log510+log50.25=5.( × )
(3)已知函数f(x)=lg x,若f(ab)=1,则f(a2)+f(b2)=2.( √ )

基础知识·自主学习

知识梳理

(4)当x>1时,logax>0.( × )

(5)当x>1时,若logax>logbx,则a<b.( × )

x-2 (6)函数f(x)=lg 与g(x)=lg(x-2)-lg(x+2)是同一个函 x+2
数.( × )

基础知识·自主学习 题号
1

考点自测

答案
C B

解析

2
3

D
? 1? ?0, ?∪(2,+∞) 2? ?

4

∵f(x)是R上的偶函数, ∴它的图象关于y轴对称.
∵f(x)在[0,+∞)上为增函数,∴f(x)在(-∞,0]上为减函数,
由f
?1? ? ?=0,得 ?3?
1 8

f

? 1? ?- ?=0. ? 3?
1 8

1 1 1 ∴f(log x)>0?log x<- 或 log 8 x> 3 3
? 1? 1 ?x>2 或 0<x< ,∴x∈?0,2?∪(2,+∞). 2 ? ?

题型分类·深度剖析
题型一 对数式的运算
解析
答案 思维升华

例1 (1)若x=log43,

则(2x-2-x)2等于(
9 A. 4 10 C. 3 5 B. 4 4 D. 3

)

题型分类·深度剖析
题型一 对数式的运算
解析
答案 思维升华

例1 (1)若x=log43,

由x=log43,得4x=3,

则(2x-2-x)2等于(
9 A. 4 10 C. 3 5 B. 4 4 D. 3

)

3 即 2 = 3,2 = , 3
x
-x

2 32 4 所以(2 -2 ) =( )= . 3 3
x
-x 2

题型分类·深度剖析
题型一 对数式的运算
解析
答案 思维升华

例1 (1)若x=log43,

由x=log43,得4x=3,
3 即 2 = 3,2 = , 3
x
-x

则(2x-2-x)2等于( D )
9 A. 4 10 C. 3 5 B. 4 4 D. 3

2 32 4 所以(2 -2 ) =( )= . 3 3
x
-x 2

题型分类·深度剖析
题型一 对数式的运算
解析
答案 思维升华

例1 (1)若x=log43,

在对数运算中,要熟练掌握
对数的定义,灵活使用对数

则(2x-2-x)2等于( D )
9 A. 4 10 C. 3 5 B. 4 4 D. 3

的运算性质、换底公式和对
数恒等式对式子进行恒等变

形,多个对数式要尽量先化
成同底的形式再进行运算.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例1 (2)已知函数
?log2x,x>0, f(x)=? -x ?3 +1,x≤0,

1 则 f(f(1))+f(log3 )的值是( 2

)

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例1 (2)已知函数
?log2x,x>0, f(x)=? -x ?3 +1,x≤0,

因为f(1)=log21=0, 所以f(f(1))=f(0)=2.

1 则 f(f(1))+f(log3 )的值是( 2

)

1 因为 log3 <0, 2 1 ? log 3 1 2 3 所以 f(log3 )= +1 2
log3 2 3 = +1=2+1=3.

1 所以 f(f(1))+f(log3 )=2+3=5. 2

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例1 (2)已知函数
?log2x,x>0, f(x)=? -x ?3 +1,x≤0,

因为f(1)=log21=0, 所以f(f(1))=f(0)=2.

1 则 f(f(1))+f(log3 )的值是( A ) 2

1 因为 log3 <0, 2 1 ? log 3 1 2 3 所以 f(log3 )= +1 2
log3 2 3 = +1=2+1=3.

1 所以 f(f(1))+f(log3 )=2+3=5. 2

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例1 (2)已知函数
?log2x,x>0, f(x)=? -x ?3 +1,x≤0,

在对数运算中,要熟练掌握
对数的定义,灵活使用对数

的运算性质、换底公式和对
数恒等式对式子进行恒等变

1 则 f(f(1))+f(log3 )的值是( A ) 2

形,多个对数式要尽量先化
成同底的形式再进行运算.

题型分类·深度剖析
跟踪训练1

1 24 值为________ .

1x ? ?? ? ,x≥4, 已知函数 f(x)=? 2 则 f(2+log23)的 ? ?f?x+1?,x<4,

解析 因为2+log23<4, 所以f(2+log23)=f(3+log23), 而3+log23>4,

所以

1 3? log 2 3 1 1 log 2 3 1 1 1 ( ) ( ) f(3+log23)= 2 =8× 2 =8×3=24.

题型分类·深度剖析
题型二
例2 大致是(

对数函数的图象和性质
)

解析

答案

思维升华

(1) 函数 y = 2log4(1 - x) 的图象

题型分类·深度剖析
题型二
例2 大致是(

对数函数的图象和性质
)

解析

答案

思维升华

(1) 函数 y = 2log4(1 - x) 的图象

函数 y = 2log4(1 - x) 的定义域 为(-∞,1),排除A、B; 又函数y=2log4(1-x)在定义 域内单调递减,排除D.选C.

题型分类·深度剖析
题型二
例2

对数函数的图象和性质

解析

答案

思维升华

(1) 函数 y = 2log4(1 - x) 的图象

大致是( C )

函数 y = 2log4(1 - x) 的定义域 为(-∞,1),排除A、B; 又函数y=2log4(1-x)在定义 域内单调递减,排除D.选C.

题型分类·深度剖析
题型二
例2

对数函数的图象和性质

解析

答案

思维升华

(1) 函数 y = 2log4(1 - x) 的图象 研究对数型函数的图象时, 大致是( C ) 一般从最基本的对数函数的

图象入手,通过平移、伸缩、
对称变换得到对数型函数的 图象.

题型分类·深度剖析
例2 (2) 已知 f(x) 是定义在 ( - ∞ ,
解析 答案 思维升华

+∞)上的偶函数,且在(-∞,0] 上是增函数,设a=f(log47),b= f(log 13),c=f(0.2-0.6),则a,b,
2

c的大小关系是(
A.c<a<b

)
B.c<b<a

C.b<c<a

D.a<b<c

题型分类·深度剖析
例2 (2) 已知 f(x) 是定义在 ( - ∞ ,
解析 答案 思维升华

+∞)上的偶函数,且在(-∞,0] 上是增函数,设a=f(log47),b= f(log 13),c=f(0.2-0.6),则a,b,
2

log 1 3=-log23=-log49,
2

b = f(log 1 3) = f( - log49) =
2

f(log49),

c的大小关系是(
A.c<a<b

)
B.c<b<a

log47<log49,0.2
5 5

- 0.6



?1? ? ? ?5?

?

3 5



C.b<c<a

D.a<b<c

125> 32=2>log49,

题型分类·深度剖析
例2 (2) 已知 f(x) 是定义在 ( - ∞ ,
解析 答案 思维升华

+∞)上的偶函数,且在(-∞,0] 上是增函数,设a=f(log47),b= f(log 13),c=f(0.2-0.6),则a,b,
2

又 f(x) 是定义在 ( - ∞ ,+ ∞)
上的偶函数,

且在(-∞,0]上是增函数,
故f(x)在[0,+∞)上是单调

c的大小关系是(
A.c<a<b

)
B.c<b<a

递减的,
2

C.b<c<a

D.a<b<c

∴f(0.2 - 0.6)<f(log 1 3)<f(log47) , 即c<b<a.

题型分类·深度剖析
例2 (2) 已知 f(x) 是定义在 ( - ∞ ,
解析 答案 思维升华

+∞)上的偶函数,且在(-∞,0] 上是增函数,设a=f(log47),b= f(log 13),c=f(0.2-0.6),则a,b,
2

又 f(x) 是定义在 ( - ∞ ,+ ∞)
上的偶函数,

且在(-∞,0]上是增函数,
故f(x)在[0,+∞)上是单调

c的大小关系是( B )
A.c<a<b B.c<b<a

递减的,
2

C.b<c<a

D.a<b<c

∴f(0.2 - 0.6)<f(log 1 3)<f(log47) , 即c<b<a.

题型分类·深度剖析
例2 (2) 已知 f(x) 是定义在 ( - ∞ ,
解析 答案 思维升华

+∞)上的偶函数,且在(-∞,0] 对数函数值大小的比较一般 上是增函数,设a=f(log47),b= f(log 13),c=f(0.2-0.6),则a,b,
2

有三种方法:①单调性法,
在同底的情况下直接得到大

c的大小关系是( B )
A.c<a<b B.c<b<a

小关系,若不同底,先化为
同底.②中间值过渡法,即

C.b<c<a

D.a<b<c

寻找中间数联系要比较的两

题型分类·深度剖析
例2 (2) 已知 f(x) 是定义在 ( - ∞ ,
解析 答案 思维升华

+∞)上的偶函数,且在(-∞,0] 上是增函数,设a=f(log47),b= f(log 13),c=f(0.2-0.6),则a,b,
2

个数,一般是用 “0” , “1”

或其他特殊值进行 “ 比较传
递 ” .③图象法,根据图象 观察得出大小关系.

c的大小关系是( B )
A.c<a<b B.c<b<a

C.b<c<a

D.a<b<c

题型分类·深度剖析
跟踪训练2 A.c<b<a
? ?

(1)已知a=21.2,b= ? ?-0.8,c=2log
?2? ? ?

?1?

52,则a,b,c的大

小关系为( A ) B.c<a<b

C.b<a<c

D.b<c<a

1?-0.8 解析 b=? 0.8 1.2 ? ? = 2 <2 =a, 2
c=2log52=log522<log55=1<20.8=b, 故c<b<a.

题型分类·深度剖析
(2)已知函数f(x)=loga(x+b) (a>0且a≠1)的图象过两点(-1,0)
2 2 和(0,1),则a=________ ,b=________.

解析 f(x)的图象过两点(-1,0)和(0,1).
则f(-1)=loga(-1+b)=0且f(0)=loga(0+b)=1,
? ?b-1=1, ∴? ? ?b=a, ? ?b=2, 即? ? ?a=2.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

题型三
例3

对数函数的应用

已知函数f(x)=loga(3-ax).

(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意
义,求实数a的取值范围;

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

题型三
例3

对数函数的应用

解 ∵a>0且a≠1,
设t(x)=3-ax, 则t(x)=3-ax为减函数, x∈[0,2]时, t(x)最小值为3-2a,

已知函数f(x)=loga(3-ax).

(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意
义,求实数a的取值范围;

当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

题型三
例3

对数函数的应用

即x∈[0,2]时,3-ax>0恒成 立.

已知函数f(x)=loga(3-ax).

(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意
义,求实数a的取值范围;

3 ∴3-2a>0.∴a< . 2

又 a>0 且 a≠1,
? 3? ∴a∈(0,1)∪?1,2?. ? ?

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

题型三
例3

对数函数的应用
解决对数函数综合问题时,

已知函数f(x)=loga(3-ax).

无论是讨论函数的性质,还
是利用函数的性质 (1)要分清函数的底数是

(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意
义,求实数a的取值范围;

a∈(0,1),还是a∈(1,+∞);

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

题型三
例3

对数函数的应用

(2) 确定函数的定义域,无论

已知函数f(x)=loga(3-ax). 研究函数的什么性质或利用函 数的某个性质,都要在其定义 (1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意 域上进行; 义,求实数a的取值范围;
(3)如果需将函数解析式变形, 一定要保证其等价性,否则结 论错误.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

例3

(2)是否存在这样的实数a,

使得函数f(x)在区间[1,2]上为减
函数,并且最大值为 1 ?如果存 在,试求出 a 的值;如果不存在,

请说明理由.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

例3

(2)是否存在这样的实数a, 解 t(x)=3-ax,∵a>0,
∴函数t(x)为减函数. ∵f(x) 在区间 [1,2] 上为减函 数, ∴a>1,x∈[1,2]时,t(x)最 小值为3-2a,f(x)最大值为

使得函数f(x)在区间[1,2]上为减
函数,并且最大值为 1 ?如果存

∴y=logat为增函数, 在,试求出 a 的值;如果不存在,

请说明理由.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

例3

(2)是否存在这样的实数a,

使得函数f(x)在区间[1,2]上为减
函数,并且最大值为 1 ?如果存

? ?3-2a>0, ∴? ? ?loga?3-a?=1,

? 3 ?a<2, 即? ?a=3. ? 2

在,试求出 a 的值;如果不存在,函数f(x)在区间[1,2]上为减函

故不存在这样的实数 a ,使得 数,并且最大值为1.

请说明理由.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

例3

(2)是否存在这样的实数a,

使得函数f(x)在区间[1,2]上为减
函数,并且最大值为 1 ?如果存 在,试求出 a 的值;如果不存在,

解决对数函数综合问题时,

无论是讨论函数的性质,还
是利用函数的性质 (1)要分清函数的底数是

请说明理由.

a∈(0,1),还是a∈(1,+∞);

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

例3

(2)是否存在这样的实数a,

(2) 确定函数的定义域,无论 数的某个性质,都要在其定义 域上进行; 一定要保证其等价性,否则结 论错误.

使得函数f(x)在区间[1,2]上为减 研究函数的什么性质或利用函
函数,并且最大值为 1 ?如果存

(3)如果需将函数解析式变形, 在,试求出 a 的值;如果不存在,

请说明理由.

题型分类·深度剖析
跟踪训练3 已知函数f(x)=log1 (x2-2ax+3).
2

(1)若函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞),求实数a的值;
解 由x2-2ax+3>0的解集为(-∞,1)∪(3,+∞),
得2a=1+3,所以a=2,即实数a的值为2.

题型分类·深度剖析

(2)若函数f(x)的定义域为R,值域为(-∞,-1],求实数a的值;
解 因为函数f(x)的值域为(-∞,-1],

则f(x)max=-1,
所以y=x2-2ax+3的最小值为ymin=2,

由y=x2-2ax+3=(x-a)2+3-a2,
得3-a2=2,

所以a2=1,所以a=±1.

题型分类·深度剖析
(3)若函数f(x)在(-∞,1]上为增函数,求实数a的取值范围.
解 f(x) 在( -∞,1] 上为增函数,则 y =x2 - 2ax + 3 在 ( -∞ ,1] 上

为减函数,且y>0,
? ?a≥1, 所以? ? ?1-2a+3>0, ? ?a≥1, 即? ? ?a<2,

故 1≤a<2.

所以实数a的取值范围是[1,2).

题型分类·深度剖析 高频小考点2
系是( A.c<b<a ) B.a<b<c C.b<a<c
解 析

利用函数性质比较幂、对数的大小

典例:(1)设a=0.50.5,b=0.30.5,c=log0.30.2,则a,b,c的大小关 D.a<c<b
温 馨 提 醒

思 维 点 拨

题型分类·深度剖析 高频小考点2
系是( A.c<b<a ) B.a<b<c C.b<a<c
解 析

利用函数性质比较幂、对数的大小

典例:(1)设a=0.50.5,b=0.30.5,c=log0.30.2,则a,b,c的大小关 D.a<c<b
温 馨 提 醒

思 维 点 拨

利用幂函数y = x0.5 和对数函数 y =log0.3x 的单调性,结合中间值

比较a,b,c的大小;

题型分类·深度剖析 高频小考点2
系是( C ) A.c<b<a B.a<b<c C.b<a<c
解 析

利用函数性质比较幂、对数的大小

典例:(1)设a=0.50.5,b=0.30.5,c=log0.30.2,则a,b,c的大小关 D.a<c<b
温 馨 提 醒

思 维 点 拨

根据幂函数y=x0.5的单调性, 可得0.30.5<0.50.5<10.5=1,即b<a<1; 根据对数函数y=log0.3x的单调性,

可得log0.30.2>log0.30.3=1,即c>1.所以b<a<c.

题型分类·深度剖析 高频小考点2
系是( C ) A.c<b<a B.a<b<c C.b<a<c
解 析

利用函数性质比较幂、对数的大小

典例:(1)设a=0.50.5,b=0.30.5,c=log0.30.2,则a,b,c的大小关 D.a<c<b
温 馨 提 醒

思 维 点 拨

(1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数 单调性两种方法.

题型分类·深度剖析 高频小考点2
系是( C ) A.c<b<a B.a<b<c C.b<a<c
解 析

利用函数性质比较幂、对数的大小

典例:(1)设a=0.50.5,b=0.30.5,c=log0.30.2,则a,b,c的大小关 D.a<c<b
温 馨 提 醒

思 维 点 拨

(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调性进

行比较,如果指数相同,而底数不同则构造幂函数,若底数相同
而指数不同则构造指数函数,若引入中间量,一般选0或1.

题型分类·深度剖析
(2)已知a= 5
log 2 3.4

,b= 5

log 4 3.6

A.a>b>c
C.a>c>b
思 维 点 拨

B.b>a>c

1 log3 0.3 ( ,c= ) ,则( 5

)

D.c>a>b
解 析

温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
(2)已知a= 5
log 2 3.4

,b= 5

log 4 3.6

A.a>b>c
C.a>c>b
思 维 点 拨

B.b>a>c

1 log3 0.3 ( ,c= ) ,则( 5

)

D.c>a>b
解 析

温 馨 提 醒

化成同底的指数式,只需比较log23.4、log43.6、-log30.3=log310 3

的大小即可,可以利用中间值或数形结合进行比较;

题型分类·深度剖析
(2)已知a= 5
log 2 3.4

,b= 5

log 4 3.6

A.a>b>c
C.a>c>b
思 维 点 拨

B.b>a>c

1 log3 0.3 ( ,c= ) ,则( 5

)

D.c>a>b
解 析
10 log3 3

温 馨 提 醒

1 log3 0.3 ? log3 0.3 ?5 ?5 c=( ) . 5 方法一 在同一坐标系中分别作出函数
y=log2x,y=log3x,y=log4x的图象,如图所示.

题型分类·深度剖析
(2)已知a= 5
log 2 3.4

,b= 5

log 4 3.6

A.a>b>c
C.a>c>b
思 维 点 拨

B.b>a>c

1 log3 0.3 ( ,c= ) ,则( 5

)

D.c>a>b
解 析

温 馨 提 醒

10 由图象知:log23.4>log3 >log43.6. 3 10 10 方法二 ∵log3 >log33=1,且 <3.4, 3 3 10 ∴log3 <log33.4<log23.4. 3

题型分类·深度剖析
(2)已知a= 5
log 2 3.4

,b= 5

log 4 3.6

A.a>b>c
C.a>c>b
思 维 点 拨

B.b>a>c

1 log3 0.3 ( ,c= ) ,则( 5

)

D.c>a>b
解 析

温 馨 提 醒

10 ∵log43.6<log44=1,log3 >1, 3 10 ∴log43.6<log3 . 3 10 ∴log23.4>log3 >log43.6. 3

题型分类·深度剖析
(2)已知a= 5
log 2 3.4

,b= 5

log 4 3.6

A.a>b>c
C.a>c>b
思 维 点 拨

B.b>a>c

1 log3 0.3 ( ,c= ) ,则( C ) 5

D.c>a>b
解 析
log3 10 3

温 馨 提 醒

由于 y=5x 为增函数,∴ 5log2 3.4 ? 5
即 5log2 3.4

? 5log4 3.6 .

?1? ?? ? ?5?

log3 0.3

? 5log4 3.6 ,故 a>c>b.

题型分类·深度剖析
(2)已知a= 5
log 2 3.4

,b= 5

log 4 3.6

A.a>b>c
C.a>c>b
思 维 点 拨

B.b>a>c

1 log3 0.3 ( ,c= ) ,则( C ) 5

D.c>a>b
解 析

温 馨 提 醒

(1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数 单调性两种方法.

题型分类·深度剖析
(2)已知a= 5
log 2 3.4

,b= 5

log 4 3.6

A.a>b>c
C.a>c>b
思 维 点 拨

B.b>a>c

1 log3 0.3 ( ,c= ) ,则( C ) 5

D.c>a>b
解 析

温 馨 提 醒

(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调性进

行比较,如果指数相同,而底数不同则构造幂函数,若底数相同
而指数不同则构造指数函数,若引入中间量,一般选0或1.

题型分类·深度剖析
(3)已知函数y=f(x)的图象关于 y轴对称,且当x∈(-∞,0)时,f(x) + xf′(x)<0 成 立 , a = (20.2)· f(20.2) , b = (logπ3)· f(logπ3) , c = (log39)· f(log39),则a,b,c的大小关系是( A.b>a>c B.c>a>b C.c>b>a
解 析

) D.a>c>b
温 馨 提 醒

思 维 点 拨

题型分类·深度剖析
(3)已知函数y=f(x)的图象关于 y轴对称,且当x∈(-∞,0)时,f(x) + xf′(x)<0 成 立 , a = (20.2)· f(20.2) , b = (logπ3)· f(logπ3) , c = (log39)· f(log39),则a,b,c的大小关系是( A.b>a>c B.c>a>b C.c>b>a
解 析

) D.a>c>b
温 馨 提 醒

思 维 点 拨

先判断函数φ(x)=xf(x)的单调性,再根据20.2,logπ3,log39的大

小关系求解.

题型分类·深度剖析
(3)已知函数y=f(x)的图象关于 y轴对称,且当x∈(-∞,0)时,f(x) + xf′(x)<0 成 立 , a = (20.2)· f(20.2) , b = (logπ3)· f(logπ3) , c = (log39)· f(log39),则a,b,c的大小关系是( A.b>a>c B.c>a>b C.c>b>a
解 析

) D.a>c>b
温 馨 提 醒

思 维 点 拨

因为函数y=f(x)关于y轴对称,

所以函数y=xf(x)为奇函数.
因为[xf(x)]′=f(x)+xf′(x),且当x∈(-∞,0)时,

题型分类·深度剖析
(3)已知函数y=f(x)的图象关于 y轴对称,且当x∈(-∞,0)时,f(x) + xf′(x)<0 成 立 , a = (20.2)· f(20.2) , b = (logπ3)· f(logπ3) , c = (log39)· f(log39),则a,b,c的大小关系是( A.b>a>c B.c>a>b C.c>b>a
解 析

) D.a>c>b
温 馨 提 醒

思 维 点 拨

[xf(x)]′=f(x)+xf ′(x)<0,则函数y=xf(x)在(-∞,0)上单调递减; 因为y=xf(x)为奇函数, 所以当x∈(0,+∞)时,函数y=xf(x)单调递减.

题型分类·深度剖析
(3)已知函数y=f(x)的图象关于 y轴对称,且当x∈(-∞,0)时,f(x) + xf′(x)<0 成 立 , a = (20.2)· f(20.2) , b = (logπ3)· f(logπ3) , c = (log39)· f(log39),则a,b,c的大小关系是( A ) A.b>a>c B.c>a>b C.c>b>a
解 析

D.a>c>b
温 馨 提 醒

思 维 点 拨

因为1<20.2<2,0<logπ3<1,log39=2, 所以0<logπ3<20.2<log39, 所以b>a>c,选A.

题型分类·深度剖析
(3)已知函数y=f(x)的图象关于 y轴对称,且当x∈(-∞,0)时,f(x) + xf′(x)<0 成 立 , a = (20.2)· f(20.2) , b = (logπ3)· f(logπ3) , c = (log39)· f(log39),则a,b,c的大小关系是( A ) A.b>a>c B.c>a>b C.c>b>a
解 析

D.a>c>b
温 馨 提 醒

思 维 点 拨

(1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数 单调性两种方法.

题型分类·深度剖析
(3)已知函数y=f(x)的图象关于 y轴对称,且当x∈(-∞,0)时,f(x) + xf′(x)<0 成 立 , a = (20.2)· f(20.2) , b = (logπ3)· f(logπ3) , c = (log39)· f(log39),则a,b,c的大小关系是( A ) A.b>a>c B.c>a>b C.c>b>a
解 析

D.a>c>b
温 馨 提 醒

思 维 点 拨

(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调性进

行比较,如果指数相同,而底数不同则构造幂函数,若底数相同
而指数不同则构造指数函数,若引入中间量,一般选0或1.

思想方法·感悟提高
1.对数值取正、负值的规律 当a>1且b>1或0<a<1且0<b<1时,logab>0; 当a>1且0<b<1或0<a<1且b>1时,logab<0. 2.对数函数的定义域及单调性 在对数式中,真数必须是大于0的,所以对数函数y= logax的定义域应为{x|x>0}.对数函数的单调性和a的 值有关,因而,在研究对数函数的单调性时,要按 0<a<1和a>1进行分类讨论.

方 法 与 技 巧

思想方法·感悟提高
方 法 与 技 巧

3 .比较幂、对数大小有两种常用方法: (1) 数形结合; (2)找中间量结合函数单调性.

4 .多个对数函数图象比较底数大小的问题,可通过
比较图象与直线y=1交点的横坐标进行判定.

思想方法·感悟提高
1.在运算性质logaMα=αlogaM中,要特别注意条件,在无 M>0的条件下应为logaMα=αloga|M|(α∈N+,且α为偶数). 且a≠1)互为反函数,应从概念、图象和性质三个方面理解 它们之间的联系与区别.

失 误 与 防 范

2.指数函数y=ax (a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,

3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点:(1)务必 先研究函数的定义域;(2)注意对数底数的取值范围.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

练出高分
1 2 3

A组
4

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5 6 7 8 9 10

1.(2014· 福建)若函数y=logax(a>0,且a≠1)的 图象如图所示,则下列函数图象正确的是( )

练出高分
1 2 3

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4

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5 6 7 8 9 10

由题意得 y = logax(a>0 ,且 a≠1) 的图象过 (3,1) 点,可 1 解得a=3.选项A中,y=3-x=( )x,显然图象错误; 3 选项B中,y=x3,由幂函数图象可知正确; 解析

选项C中,y=(-x)3=-x3,显然与所画图象不符;
选项 D 中, y = log3( - x) 的图象与 y = log3x 的图象关于 y 轴对 称.显然不符.故选B. 答案 B

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1 2 3

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4

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1 2.若 f(x)= ,则 f(x)的定义域为( A ) log 1 ?2x+1? 2 1 1 A.(- ,0) B.(- ,0] 2 2 1 C.(- ,+∞) D.(0,+∞) 2
解析 依题意得log 1 (2x+1)>0而0<2x+1<1, 2 1 解得 x∈(- ,0). 2

练出高分
1 2 3

A组
4

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5
? 1 2

6

7

8

9

10

3.已知x=ln π,y=log52,z=e A.x<y<z C.z<y<x

,则( D )

B.z<x<y D.y<z<x

1 解析 ∵x=ln π>ln e,∴x>1. ∵y=log52<log5 5,∴0<y< . 2 1 1 1 1 1 ? 2 ∵z=e = > = ,∴ <z<1. 2 e 4 2
综上可得,y<z<x.

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1 2 3

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4.若 loga(a2+1)<loga2a<0,则 a 的取值范围是( C ) 1 A.(0,1) B.(0, ) 2 1 C.( ,1) D.(0,1)∪(1,+∞) 2
解析 由题意得a>0且a≠1,故必有a2+1>2a. 又loga(a2+1)<loga2a<0,所以0<a<1, 1 1 同时 2a>1,∴a> ,综上,a∈( ,1). 2 2

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1 2 3

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? ?log2x,x>0, 5.设函数f(x)= ? 若 f(a)>f( - a) ,则实数 a 的取 log 1 ?-x?,x<0, ? ? 2 值范围是( )

A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

练出高分
1 2 3

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解析

? ?a>0, f(a)>f(-a)?? ? ?log2a> log 1
2

a
? ?a<0, 或? ? ?-1<a<0

? ?a<0, 或? ? ? log 1? ?-a?>log2?-a?
2

? ?a>0, ?? ? ?a>1

?a>1或-1<a<0.

答案 C

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1 2 3

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-20 6.计算(lg 1 -lg 25)÷100 =________. 4 1 ? 1 1 2 解析 (lg -lg 25)÷ 100 =(lg )÷ 10-1 4 100 =-2×10=-20.

?

1 2

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1 2 3

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7.已知函数f(x)=

x|-1<x≤0或x>2}. =1上方的x的取值范围是{ ________________

x+1 ? ,x≤0, ?3 ? ? ?log2x,x>0,

则使函数f(x) 的图象位于直线 y

解析 当x≤0时,3x+1>1?x+1>0,∴-1<x≤0;
当x>0时,log2x>1?x>2,∴x>2. 综上所述,x的取值范围为-1<x≤0或x>2.

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1+a2 8.若log2a <0,则a的取值范围是____________. 1+a
解析 1+a2 当 2a>1 时,∵log2a <0=log2a1, 1+a

1+a2 ∴ <1.∵1+a>0,∴1+a2<1+a, 1+a

1 ∴a -a<0,∴0<a<1,∴ <a<1. 2
2

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1 2 3

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1+a2 当 0<2a<1 时,∵log2a <0=log2a1, 1+a 1+a2 ∴ >1.∵1+a>0,∴1+a2>1+a, 1+a
∴a2-a>0,∴a<0 或 a>1,此时不合题意.
?1 ? 综上所述,a∈?2,1?. ? ?

答案

?1 ? ? ,1? ?2 ?

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1 2 3

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9.已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0且a≠1. (1)求f(x)的定义域;

解 要使函数f(x)有意义.
? ?x+1>0, 则? ? ?1-x>0,

解得-1<x<1.

故所求函数f(x)的定义域为{x|-1<x<1}.

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;

解 由(1)知f(x)的定义域为{x|-1<x<1},
且f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x) =-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x),

故f(x)为奇函数.

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(3)当a>1时,求使f(x)>0的x的解集.

解 因为当a>1时,f(x)在定义域{x|-1<x<1}内是增函数,
x+1 所以 f(x)>0? >1,解得 0<x<1. 1-x

所以使f(x)>0的x的解集是{x|0<x<1}.

练出高分
1 2 3

A组
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10.已知函数y=log 1 (x2-ax+a)在区间(-∞, 2 )上是增函数,

求a的取值范围.
2

2

解 函数y=log 1 (x2-ax+a)是由函数y=log 1 t和t=x2-ax+a复
合而成.
2

因为函数y=log 1 t在区间(0,+∞)上单调递减,
2

a 而函数 t=x -ax+a 在区间(-∞, )上单调递减, 2
2

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A组
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2 又因为函数 y=log 1 ( x -ax+a)在区间(-∞, 2)上是增函数, 2

a ? ? 2≤ , 2 所以? 2 ? ?? 2? - 2a+a≥0,
? ?a≥2 2, 解得? ? ?2- 2a+a≥0,

即 2 2≤a≤2( 2+1).

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

4x+1 11.函数f(x)= ( D ) x 2 A.既是奇函数又是偶函数
C.为奇函数

B.为非奇非偶函数 D.为偶函数

4-x+1 1+4x 解析 f(-x)= -x = x =f(x), 2 2
故f(x)为偶函数.

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

12.设函数f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当x≥1时, f(x)=ln x,则有( )

1 1 A.f( )<f(2)<f( ) 3 2 1 1 C.f( )<f( )<f(2) 2 3

1 1 B.f( )<f(2)<f( ) 2 3 1 1 D.f(2)<f( )<f( ) 2 3

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11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

2-x+x 解析 由 f(2-x)=f(x)知 f(x)的图象关于直线 x= =1 对称, 2

又当x≥1时,f(x)=ln x,所以离对称轴x=1距离大的x的函数值大,

1 1 ∵|2-1|>| -1|>| -1|, 3 2
1 1 ∴f( )<f( )<f(2). 2 3

答案

C

练出高分
11

B组
12

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13

14

15

13 .函数 f(x) = |log3x| 在区间 [a , b] 上的值域为 [0,1] ,则 b - a 的最 2 小值为________ . 3

解析 由题意可知求b-a的最小值即求区间[a,b]的长度的最小值, 1 当 f(x)=0 时 x=1,当 f(x)=1 时 x=3 或 , 3 1 2 所以区间[a,b]的最短长度为 1- = , 3 3 2 所以 b-a 的最小值为 . 3

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11

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13

14

15

14.函数f(n)=logn+1(n+2)(n∈N+),定义使f(1)· f(2)· f(3)· ?· f(k)为 整数的数 k(k∈N + ) 叫做企盼数,则在区间 [1,2 015] 内这样的企 盼数共有________个.
解析 ln?n+2? ∵logn+1(n+2)= , ln?n+1?

ln?k+2? ln 3 ln 4 ln 5 ∴f(1)· f(2)· f(3)· ?· f(k)= · · · ?· ln 2 ln 3 ln 4 ln?k+1?

练出高分
11

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12

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13

14

15

ln?k+2? = =log2(k+2), ln 2

∵1 024=210,2 048=211,且log24=2, ∴使f(1)· f(2)· f(3)· ?· f(k)为整数的数有10-1=9个.

答案 9

练出高分
11

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13

14

15

15.设f(x)=|lg x|,a,b为实数,且0<a<b.

(1)求方程f(x)=1的解;

解 由f(x)=1得,lg x=±1,
1 所以 x=10 或 . 10

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11

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13

14

15

a+b (2)若a,b满足f(a)=f(b),求证:ab=1, >1. 2
从而-lg a=lg b,即ab=1.
1 1 · b a+b b+b 2 b 1 又 = > =1(因 ≠b). 2 2 2 b a+b 故 ab=1, >1. 2

证明 结合函数图象,由f(a)=f(b)可判断a∈(0,1),b∈(1,+∞),

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11

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12

专项能力提升
13

14

15

a+b (3)在(2)的条件下,求证:由关系式 f(b)=2f( )所得到的关于 b 2 的方程 g(b)=0,存在 b0∈(3,4),使 g(b0)=0.

a+b 2 证明 由已知可得 b=( ), 2
1 得 4b=a +b +2ab,得 2+b2+2-4b=0, b
2 2

1 g(b)= 2+b2+2-4b, b

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

因为g(3)<0,g(4)>0, 根据零点存在性定理可知,函数g(b)在(3,4)内一定存在零点,即

存在b0∈(3,4),使g(b0)=0.

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