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2014版高中数学复习方略课时提升作业:3.8正弦定理、余弦定理的应用举例(北师大版)



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课时提升作业(二十四)
一、选择题 1.某水库大坝的外斜坡的坡度为 ,则坡角α 的正弦值为( (A) (B) (C) (D) )

2.(2013

·太原模拟 ) 如图 ,D,C,B 三点在地面同一直线 上,DC=a,从 C,D 两点测得 A 点的仰角分别是β ,α (α <β ), 则 A 点离地面的高度 AB 等于( (A) (C) (B) (D) )

3.在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,若角 A,B,C 依次成等差数列, 且 a=1,b= ,则 S△ABC 等于( (A) (B) ) (C) (D)2

4.(2013·咸阳模拟)如图所示,在山底 A 处测得山顶 B 的仰角∠CAB=45°,沿倾 斜角为 30°的山坡向山顶走 1000 米到达 S 点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山 高 BC 为( )

(A)500 m

(B)200m

(C)1000 m
-1-

(D)1000m

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5.如图,一货轮航行到 M 处,测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15°,与 货轮相距 20 海里,随后货轮按北偏西 30°的方向航行,30 分钟后 又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮航行的速度为( (A)20( + )海里/小时 (B)20( - )海里/小时 (C)20( + )海里/小时 (D)20( - )海里/小时 6.(2013·宜春模拟)从某电视塔的正东方向的 A 处,测得塔顶仰角是 60°,从电 视塔的西偏南 30°的 B 处,测得塔顶仰角为 45°,A,B 间距离是 35m,则此电视塔 的高度是( (A)5 (C) m m ) (B)10m (D)35m )

二、填空题 7.(2013·延安模拟)在△ABC 中,A=60°,AC=8,S△ABC=4 ,则 BC= .

8.江岸边有一炮台高 30m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水面上,由炮台顶 部测得俯角分别为 45°和 60°,而且两条船与炮台底部连线成 30°角,则两条船 相距 m.

9.(2013· 长沙模拟)如图,一艘船上午 9:30 在 A 处测得灯塔 S 在 它的北偏东 30°方向上,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午 10:00 到达 B 处,且与灯塔 S 相距 8 n mile.此船的航速是 32n mile/h,则灯塔 S 对于点 B 的方向角是 .

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三、解答题 10.(2013 · 宝 鸡 模拟 ) 在 △ ABC 中 , 角 A,B,C 的 对边分 别 为 a,b,c, 且满 足 (2b-c)cosA-acosC=0. (1)求角 A 的大小. (2)求 sinB+sinC 的取值范围. (3)若 a= ,S△ABC= ,试判断△ABC 的形状,并说明理由.

11.如图,某观测站 C 在城 A 的南偏西 20°的方向,从城 A 出发有一条走向为南偏东 40°的公路,在 C 处观测到距离 C 处 31km 的公路上的 B 处有一辆汽车正沿公路向 A 城驶去, 行驶了 20km 后到达 D 处,测得 C,D 两处的距离为 21km,这 时此车距离 A 城多少千米? 12.(能力挑战题)某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上, 在小艇出发时,轮船位于港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正 以 30 海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以 v 海 里/时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/时,试设计航行方案(即确定航行 方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.

答案解析
1.【思路点拨】坡角的正切值是坡度,故利用此关系可解.
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【解析】选 B.由 tanα= ,得 sinα=cosα,代入 sin2α+cos2α=1,得 sinα= . 2.【解析】选 A.由已知得∠DAC=β-α, 由正弦定理得, 所以 AC= = = , . ,

故 AB=AC·sinβ=

3.【思路点拨】由角 A,B,C 依次成等差数列可得 B,由正弦定理得 A,从而得 C, 再用面积公式求解即可. 【解析】选 C.∵角 A,B,C 依次成等差数列, ∴A+C=2B,∴B=60°. 又 a=1,b= ,∴ ∴sinA= = ,

= × =.

又∵a<b,∴A<B, ∴A=30°,∴C=90°. ∴S△ABC= ×1× = . 【变式备选】 在△ABC 中三条边 a,b,c 成等比数列,且 b= ,B= ,则△ABC 的面积 为( (A) ) (B) (C) (D)

【解析】选 C.由已知可得 b2=ac,又 b= ,则 ac=3, 又 B= , ∴S△ABC= acsinB= ×3× = .

4.【解析】选 D.∵∠SAB=45°-30°=15°, ∠SBA=∠ABC-∠SBC=45°-(90°-75°)=30°,
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在△ABS 中,AB=

=

=1000 ,

∴BC=AB·sin45°=1000 × =1000(m). 5.【解析】选 B.由题意知 SM=20,∠SNM=105°,∠NMS=45°, ∴∠MSN=30°. 在△MNS 中利用正弦定理可得, ∴MN= =10( - )(海里), = ,

∴货轮航行的速度 v= =20( - )(海里/小时).

6.【思路点拨】画出示意图,将条件转化为三角形的边和角,然后利用三角函数 和余弦定理求解. 【解析】选 A.作出示意图(如图所示).

设塔高为 hm.在 Rt△AOC 中,tan∠OAC= , ∴OA= = = .

在△AOB 中,∠AOB=150°,OB=h,AB=35. 由余弦定理得 AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos∠AOB, 即 352=( )2+h2-2× ·h·cos150°, .
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整理得 h2=352,解得 h=5

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【方法技巧】测量高度的一般思路 解决高度的问题主要是根据条件确定出所利用的三角形 ,准确地理解仰角和俯 角的概念并和三角形中的角度相对应;分清已知和待求的关系,正确地选择定理 和公式,特别注意高度垂直地面构成的直角三角形. 7.【解析】由条件知 S△ABC= bcsinA= bc·sin60° = bc=4 .∴bc=16. 又 b=AC=8,∴c=2. 由余弦定理得, a2=b2+c2-2bccosA=82+22-2×8×2cos60°=52. ∴a=2 答案:2 8.【解析】如图,OM=OAtan45°=30, ON=AOtan30°=30× =10 , 由余弦定理得 ,即 BC=2 .

MN= = =10 (m).

答案:10 9.【解析】由已知可得, AB=32n mile/h× h=16n mile, BS=8 n mile,∠BAS=30°, 由正弦定理得 ∴sin∠ASB= = = , = .
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又 0°<∠ASB<180°,得∠ASB=45°或 135°, 若∠ASB=45°,则∠ABS=105°, 此时,S 在点 B 的北偏东 75°方向上; 若∠ASB=135°,则∠ABS=15°, 此时,S 在点 B 的南偏东 15°方向上. 答案:北偏东 75°或南偏东 15° 【方法技巧】测量角度问题的一般步骤 (1)在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角 和距离. (2)用正弦定理或余弦定理解三角形. (3)将解得的结果转化为实际问题的解. 同时注意把所求量放在有关三角形中,有时直接解此三角形时条件不具备,需要 先在其他三角形中求解相关量. 10.【解析】(1)∵(2b-c)cosA-acosC=0,由正弦定理 得,(2sinB-sinC)cosA-sinAcosC=0, ∴2sinBcosA-sin(A+C)=0, 即 sinB(2cosA-1)=0.∵0<B<π, ∴sinB≠0,∴cosA= . ∵0<A<π,∴A= . (2)sinB+sinC=sinB+sin( -B) = sin(B+ ).

∵B∈(0, ),
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∴B+ ∈( , ),∴sin(B+ )∈( ,1], ∴ <sinB+sinC≤ (3)∵S△ABC= bcsinA= 即 bcsin = ,∴bc=3 . . ① ②

∵a2=b2+c2-2bccosA,∴b2+c2=6 由①②得 b=c= ,

∴a=b=c,∴△ABC 为等边三角形. 11.【解析】在△BCD 中, BC=31,DB=20,DC=21,由余弦定理得 cos∠BDC= = =- . .

所以 cos∠ADC= ,故 sin∠ADC=

在△ACD 中,由条件知 CD=21,∠BAC=60°, 所以 sin∠ACD=sin(60°+∠ADC)= × + × 在△ACD 中, 由正弦定理得 即 = , =15(km). = , = .

所以 AD= ×

所以此车距离 A 城 15 千米. 12.【思路点拨】第(1)问建立航行距离与时间的函数关系式 .第(2)问建立速度 与时间的函数关系式. 【解析】(1)设相遇时小艇航行的距离为 s 海里,则
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s= = = ,

故当 t= 时,smin=10 (海里), 此时 v= =30 (海里/时),

即小艇以 30 海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.

(2)设小艇与轮船在 B 处相遇,则 v2t2=400+900t2-2·20·30t·cos(90°-30°),
600 400 ? 2 , t t 600 400 ? 2 ≤900, ∵0<v≤30,∴900t t

故 v2=900-

即 - ≤0,解得 t≥ . 又 t= 时,v=30 海里/时, 故 v=30 海里/时时,t 取得最小值,且最小值等于 . 此时,在△OAB 中,有 OA=OB=AB=20 海里,故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东 30°,航行速度为 30 海里/时,小艇能以最短时间与轮船相遇.

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