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2.3.4 平面向量共线的坐标表示 课件(人教A版必修4)


第二章

平面向量

平面向量共线的坐标表示

栏目 导引

第二章

平面向量

复习回顾:
1. 取特殊基底: i , j a = xi+yj = (x, y) 2. O为坐标原点, 则OA=(xA, yA) 3. a=(x1, y1), b=(x2, y2), 则 a+b = (x1+ x2, y1 + y2) a -b = (x1 - x2, y1 - y2) λa = (λ x1, λ y1, ) 4. AB=(xB – xA, yB - yA) 5. a =(x1 , y1)=(x2 , y2)=b x1=x2, y1=y2
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第二章

平面向量

问题: 如果向量 a , 共线(其中 b ≠ 0 ),那么 b

a , 满足什么关系? b

a ? ?b
思考: 设 a =(x1,y1),b =(x2,y2),若向量 a , b 共线(其中 b ≠ 0 ),这两个向量的坐标会不会 满足什么关系呢?
向量共线的坐标表示:

a // b(b ? 0) ? x1 y 2 ? x 2 y1 ? 0
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第二章

平面向量

2.3.4 平面向量共线的坐标表示

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第二章

平面向量

新知初探思维启动
两个共线向量的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则 x1y2-x2y1=0 a∥b?a=λb?_____________________.

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第二章

平面向量

做一做
已知 a=(1,2),b=(x,4),若 a∥b,则 x 等 于( ) 1 A.- 2 C.-2 1 B. 2 D.2

解析:选D.∵a∥b,∴4-2x=0,∴x=2.

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第二章

平面向量

想一想
已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),若 a∥b,是否 x1 y1 有 = 成立? x2 y2 x1 y 1 提示:由于 = 的意义与 x1y2-x2y1=0 的意 x2 y 2
义不同,前者不允许 x2 和 y2 为零,而后者允 许,所以当向量 a、b 之一为零向量或向量 a、 b 与坐标轴平行时,该方法便行不通了.

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第二章

平面向量

练一练 设点P是线段P1P2上的一点,P1 、P2的 坐标分别是(x1,y1),(x2,y2) (1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P 的坐标; (2)当的P是线段P1P2的一个三分点时, 求点p的坐标

牢记:中点坐标公式

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第二章

平面向量

典题例证技法归纳
题型探究 向量共线的判断
例1 已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为 何值时,ka+b与a-3b平行?平行时,它们

是同向还是反向?

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第二章

平面向量

【解】 由已知得,ka+b=(k-3,2k+2), a-3b=(10,-4), ∵ka+b 与 a-3b 平行, ∴(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0, 1 解得 k=- . 3

?-1-3,-2+2? 此时 ka+b=? 3 3 ?
?-10,4?=-1(a-3b), =? 3 3? 3
1 ∴当 k=- 时,ka+b 与 a-3b 平行,并且反向. 3
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第二章

平面向量

互动探究

1.保持本例条件不变,是否存在实数k,使a
+kb与3a-b平行? 解:∵a=(1,2),b=(-3,2), ∴a+kb=(1,2)+k(-3,2) =(1-3k,2+2k).

3a-b=(3,6)-(-3,2)=(6,4),
又∵a+kb∥3a-b, ∴(1-3k)×4-(2+2k)×6=0.
1 解得 k=- . 3 1 即存在实数 k=- 时,a+kb 与 3a-b 平行. 3
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平面向量

三点共线问题
→ → 其中 例2 如果向量AB=i-2j,BC=i+mj, i、j 分别是 x 轴、y 轴正方向上的单位向量, 试确定实数 m 的值使 A、B、C 三点共线.
【解】 法一:A、B、C 三点共线, → → 即AB、BC共线, → → ∴存在实数 λ,使得AB=λ BC. 即 i-2j=λ(i+mj),
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平面向量

?λ =1, ? 于是? ∴m=-2, ?λ m=-2, ?

即 m=-2 时,A、B、C 三点共线. 法二:依题意知 i=(1,0),j=(0,1), → 而AB=(1,0)-2(0,1)=(1,-2), → BC=(1,0)+m(0,1)=(1,m),

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第二章

平面向量

→ → 而AB、BC共线, ∴1×m-1×(-2)=0, ∴m=-2, 故当 m=-2 时,A、B、C 三点共线.

【名师点评】

利用向量平行证明三点共线

需分两步完成:(1)证明向量平行;(2)证明
两个向量有公共点.

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平面向量

变式训练
2.设 A(x,1),B(2x,2),C(1,2x),D(5,3x), → → 当 x 为何值时,AB与CD共线且方向相同,此 时,A,B,C,D 能否在同一条直线上? → 解:AB=(2x,2)-(x,1)=(x,1),

→ BC=(1,2x)-(2x,2)=(1-2x,2x-2), → CD=(5,3x)-(1,2x)=(4,x).
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平面向量

→ → 由AB与CD共线,∴x2=1×4,∴x=±2. → → 又AB与CD方向相同,∴x=2. → → 此时,AB=(2,1),BC=(-3,2), 而 2×2≠-3×1, → → ∴AB与BC不共线, ∴A,B,C 三点不在同一条直线上. ∴A,B,C,D 不在同一条直线上.
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平面向量

向量共线的应用
已知点 例3 (本题满分 10 分)在△AOB 中, → 1→ → O(0,0),A(0,5),B(4,3),OC= OA,OD 4 1→ = OB, 与 BC 交于点 M, AD 求点 M 的坐标. 2 【解】 ∵点 O(0,0),A(0,5),B(4,3),
→ → ∴OA=(0,5),OB=(4,3).

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第二章

平面向量

1 → ? 5? → ∵OC=(xc,yc)= OA=?0,4?, 4

?0,5?. ∴点 C 的坐标为? 4? ?2,3?.3 分 同理可得点 D 的坐标为? 2?
设点 M 的坐标为(x,y), → 则AM=(x,y-5), 7? → ? 而AD=?2,-2?.
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第二章

平面向量

∴A,M,D 三点共线, → → ∴AM与AD共线. 7 ∴- x-2(y-5)=0. 2 即 7x+4y=20. ①6 分 5? → ? 而CM=?x,y- ?, 4 5? ? 7? → ? CB=?4-0,3- ?=?4, ?. 4 4

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第二章

平面向量

→ → ∵C,M,B 三点共线,∴CM与CB共线. 7 ?y-5?=0, ∴ x-4? 4? 4 即 7x-16y=-20. ②8 分 12 由①②得 x= ,y=2. 7

?12,2?.10 分 ∴点 M 的坐标为? 7 ?
名师微博 关键抓住三点共线

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平面向量

变式训练
→ → 3.已知向量AB=(4,3),AD=(-3,-1),点 A(-1,-2). (1)求线段 BD 的中点 M 的坐标; → → (2)若点 P(2,y)满足PB=λ BD(λ∈R),求 y 与 λ 的值.
解:(1)设点 B 的坐标为(x1,y1). → ∵AB=(4,3),A(-1,-2),

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平面向量

∴(x1+1,y1+2)=(4,3).
?x1+1=4 ?x1=3, ? ? ? ∴ ,∴? ∴B(3,1). ?y1+2=3 ?y1=1. ? ?

同理可得 D(-4,-3). 设线段 BD 的中点 M 的坐标为(x2,y2) 3-4 1-3 1 则 x2= =- ,y2= =-1, 2 2 2

?-1,-1?. ∴M? ? 2

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平面向量

→ (2)由PB=(3,1)-(2,y)=(1,1-y), → BD=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). → → 又PB=λBD,∴(1,1-y)=λ(-7,-4),
?1=-7λ, ? 即? ∴ ?1-y=-4λ. ?

? ? 3 ?y=7.

1 λ=- , 7

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平面向量

备选例题
1. 已 知 a = ( - 2 , 1 - cos θ ) , b =

?1+cosθ ,-1? ,且 a∥b,则锐角 θ 等于 ? 4?
( ) B.30° D.15°

A.45° C.60°

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平面向量

?-1?-(1-cos 解析:选 A.由 a∥b 得(-2)×? 4?
θ )(1+cosθ )=0 1 2 2 2 即 =1-cos θ =sin θ ,∴sinθ =± , 2 2 2 又∵θ 为锐角,∴sinθ = ,θ =45°,故 2 选 A.

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平面向量

2.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两 → → 点 A(3, B(-1, 若点 C 满足OC=α OA 1), 3), → +β OB,其中 α、β ∈R,且 α+β=1,则点 C 的轨迹形状是________.
解析:∵α+β=1, ∴β =1-α . → → → ∴OC=α OA+(1-α)OB.

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平面向量

→ → → → ∴OC-OB=α (OA-OB). → → ∴BC=α BA. ∴A、B、C 三点共线. ∴点 C 的轨迹形状是直线 AB.

答案:直线AB

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平面向量

小结:
1,向量平行(共线)等价条件的两种形式:

? ? ? ? ? ? (1)a//b(b≠0)? a =λb; ? ? ? ? ? ? (2)a//b(a =(x1, 1), =(x2, 2 ), y b y b≠0)

? x1y2 -x2y1 = 0
2,中点坐标公式; 3,三点共线定理
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平面向量

祝同学们学业有成

一帆风顺

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平面向量

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