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山东省武城县第二中学2016届高三数学下学期第一次月考试题 理



高三数学 (理) 月考试题
2016.02 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将有关信息填在答题卡规定的位置上,按要求贴好条形码。 2.第 I 卷答案请用 2B 铅笔把答题纸上对应的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再 选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题纸各题目指定区域;如 需改动,先划掉原来的解答,然后再写上新的解答;不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上 要求作答的答案无效. 第 I 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分;在每小题给出的四个选项中只有一个是符 合题目要求的。 1.设集合 A ? ? x

? 1 ? ) ? 1? , B ? x y ? 2 x ? 16 ,则 A ? ?CR B? 等于( x ? ? A. ? ??,1? B. ? 0, 4 ? C. ? 0,1? D. ?1, 4 ?

?

?

a ? 3i ( a ? R, i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为( ) 1? i 3 A.3 B. ?3 C.0 D. 2 ? ? ? ? ? ? ? 3.平面向量 a 与 b 的夹角为 , a ? (2,0), | b |? 1 ,则 | a ? 2b | =( ) 3 A. 2 3 B.0 C. 6 D.2 2 2 4. 已知椭圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? a ? 0 上有且仅有一个 直线 3x ? 4 y ? 15 ? 0 的距离为 1, 则实数 a 的取值情况
2.若复数 ( ) A.

点 到 为

? ??,5?
3 2

B. ?4 )

C. ?4或 ? 20 D. ?11 5.阅读右侧的算法框图,输出的结果 S 的值为( A. B.0 C.
a

3
b

D. ?

3 2
1 1 ? a b
的 最

6.设 a ? 0, b ? 0 , 若 2 是 2 与2 的等比中项, 则 小值为( A.8 ) B.4
2 2

C.2

D.1

7.已知双曲线
2

x y ? 2 ? 1 的一个实轴端点恰与抛物线 y 2 ? ?4x 的焦点重合,且双曲线的离心率等 2 a b

2

于 2,则该双曲线的方程为( A.

x y ? ?1 4 12

B.

x y2 ? ?1 12 4
1

2

x2 y 2 y2 2 ?1 ? ?1 D. x ? 3 3 1 u u r uu u r u 2 2 2 8.在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a, b, c ,若 b ?c ? a ?bc ,且 AC g AB ? 4 则 ?ABC 的
C. 面积等于( A. 4 3 ) B.

2 3 C. 3 D. 2 3 3 9.不等式 x ? 3 ? x ?1 ? a2 ? 3a 有解的实数 a 的取值范围是(
A.

) D.

? ??, ?1? ? ? 4, ???
? ?


B.

? ?1, 4?

C.

? ??, ?4? ? ?1, ???

? ?4,1?

10.若 a , b 在区间 ?0, 3 ? 上取值,则函数 f ? x ? ? 率是( A.

1 3 1 ax ? bx 2 ? ax 在 R 上有两个相异极值点的概 3 4
D.

1 4

B. 1 ?

3 2

C.

3 4

3 2

第 II 卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.甲、乙、丙 3 人站到共有 6 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一级台阶上的人不区分站的 位置,则不同的站法种数是____________(用数字作答). 12.若 a ? ? ? , b ? ? ? , c ? log3
?
2 0

? 3? ?5?

4

? 3? ?5?

3

3 ; , 则a, b, c 三者的大小关系为___________.(用<表示) 5
n

2? ? 13.设 n ? ? 4sin xdx ,则二项式 ? x ? ? 的展开式的常数项是__________. x? ? 2 2 14.双曲线 kx ? y ? 1 的一条渐近线与直线 2 x ? y ? 3 ? 0 垂直, 则双曲线的离心率是___________. ?x ? y ? 4 ? 15.已知 O 是坐标原点,点 A 的坐标为 ? 2,1? ,若点 B ? x, y ? 为平面区域 ? x ? 1 上的一个动点, ?y ? x ? ??? ? ??? ? 则 z ? OA ? OB 的最大值是____________.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

?

对称中心的距离为

(I)求 y ? f ? x ? 的单调递增区间; (II)在 ?ABC 中角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c 满足 ? 2b ? a ? cos C ? c ? cos A ,且f ? B ? 恰是

? 4

1 3 sin ? x ? cos ? x ? cos ? x ? (其中 ? ? 0 ) ,若 f ? x ? 的一条对称轴离最近的 2

?

f ? x ? 的最大值,试判断 ?ABC 的形状.

17. (本小题满分 12 分) 某精密仪器生产有两道相互独立的先后工序,每道工序都要经过相互独立的工序检查,且当第一道 工序检查合格后才能进入第二道工序,两道工序都合格,产品才完全合格,经长期监测发现,该仪
2

器第一道工序检查合格的概率为

8 9 ,第二道工序检查合格的概率为 ,已 知该厂三个生产小组分 9 10

别每月负责生产一台这种仪器. (I)求本月恰有两台仪器完全合格的概率; (II)若生产一台仪器合格可盈利 5 万元,不合格则要亏损 1 万元,记该厂每月的赢利额为 ? ,求 ? 的分布列和每月的盈利期望.

18. (本小题满分 12 分) (I)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (II)是否存在正整数 n,使得 不存在,说明理由.

? 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1, S n ? nan ? 3n ? n ? 1? , n ? N .

?

?

S 3 S1 S 2 S3 2 ? ? ? ??? ? n ? ? n ? 1? ? 2016 ?若存在,求出 n 值;若 1 2 3 n 2

19. (本小题满分 12 分) 四棱锥 P ? ABCD中,PD ? 平面 ABCD,2AD=BC=2a ? a ? 0 ? , AD / / BC, PD ? 3a,

?DAB ? ? (I)若 ? ? 60 ?, AB ?2 a , Q 为 PB 的中点, 求证: DQ ? PC ;
(II)若 ? ? 90? , AB ? a ,求平面 PAD 与 平面 PBC 所成二面角的大小. (若非特殊角,求 出所成角余弦即可)

20. (本小题满分 13 分)

已 知 A ? x0 ,1? , B ? 0, y0 ? 两 点 分 别 在 x 轴 和 y 轴 上 运 动 , 且 AB ? 1 , 若 动 点 P ? x, y ? 满 足

??? ? ??? ? ??? ? OP ? 2OA ? 3OB .

(I)求出动点 P 的轨迹对应曲线 C 的标准方程; (II)一条纵截距为 2 的直线 l1 与曲线 C 交于 P,Q 两点,若以 PQ 直径的圆恰过原点,求出直线方 程; (III)直线 l2 : x ? ty ? 1 与曲线 C 交于 A、B 两点, E ? ?1 , 0? ,试问:当 t 变化时,是否存在一直 线 l2 ,使 ?ABE 的面积为 2 3 ?若存在,求出直线 l2 的方程;若不存在,说明理由

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? a ln x ? x ? bx (a 为实常数).
2

3

(I)若 a ? ?2, b ? ?3,求f ? x ? 的单调区间;
2

(II)若 b ? 0,且a ? ?2e ,求函数 f ? x ? 在 ?1, e? 上的最小值及相应的 x 值;

(III)设 b=0,若存在 x ??1, e? ,使得 f ? x ? ? ? a ? 2? x 成立,求实数 a 的取值范围.

4

级 名 号

高三数学 (理) 月考试题·答题卷 2016.02

二.填空题 班 姓 考 考场 11. 12.

13. 15. 三、解答题 16.

14.

请在各题规定的黑色矩形区域内答题,超出该区域的答案无效! 17.

5

请在各题规定的黑色矩形区域内答题,超出该区域的答案无效! 18.

6

座号 请在各题规定的黑色矩形区域内答题,超出该区域的答案无效! 19.

7

请在各题规定的黑色矩形区域内答题,超出该区域的答案无效! 20.

8

请在各题规定的黑色矩形区域内答题,超出该区域的答案无效! 21.

9

10

高三数学(理 )月考试题参考答案 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分;在每小题给出的四个选项中只有一个是符 合 题目要求的. 1-5 CADBB 6-10 CDDAC 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 210 12. c ? a ? b 13. 24 14.

5 2

15. 6

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)因为

f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x ? cos 2 ? x ?

1 3 1 ? sin 2? x ? (2cos 2 ? x ? 1) 2 2 2

3 1 ? sin 2? x ? cos 2? x ? sin(2? x ? ) ………………3 分 2 2 6 ? f ( x) 的对称轴离最近的对称中心的距离为 4 2? ? ? ,所以 ? ? 1 所以 T ? ? ,所以 2? ? f ( x) ? sin(2 x ? ) ……………………………………………5 分 6 ? ? ? 解 ? ? 2 k? ? 2 x ? ? ? 2 k? 2 6 2 ? ? 得: ? ? k? ? x ? ? k? 6 3 ? ? 所以函数 f ( x ) 单调增区间为 [? ? k? , ? k? ](k ? Z ) …6 分 6 3 (Ⅱ) 因为 (2b ? a) cos C ? c ? cos A ,由正弦定理, 得 (2sin B ? sin A) cos C ? sin C ? cos A 2sin B cos C ? sin A cos C ? sin C cos A ? sin( A ? C ) 因为 sin( A ? C ) ? sin(? ? B) ? sin B ? 0 2sin B cos C ? sin B ,所以 sin B(2cos C ? 1) ? 0 1 ? 0 ? C ? ? ,所以 C ? …………9 分 所以 cos C ? 2 3 2? 4? 0 ? 2B ? 所以 0 ? B ? 3 3 ? ? 7? ? ? 2B ? ? 6 6 6 根据正弦函数的图象可以看出, f ( B ) 无最小值,有最大值 ymax ? 1 , ? ? ? ? 此时 2 B ? ? ,即 B ? ,所以 A ? 6 2 3 3 ? ABC 所以 为等边三角形…………………………………12 分 ?
17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 设恰有两台仪器完全合格的事件为 A ,每台仪器经两道工序检验完全合格的概率为 p

8 9 4 P ? ? = …………………………………………………2 分 9 10 5 4 48 2 2 2 4 2 所以 P( A) ? C3 p (1 ? p) ? C3 ( ) (1 ? ) ? ………5 分 5 5 125 (Ⅱ) 每月生产的仪器完全合格的台数可为 3, 2,1, 0 四种 所以赢利额 ? 的数额可以为 15,9,3, ?3 ……………………7 分 64 3 4 3 当 ? ? 15 时, P (? ? 15) ? C3 ( ) ? 5 125 4 1 48 2 2 ? 当 ? ? 9 时, P(? ? 9) ? C3 ( ) 5 5 125 12 1 4 1 2 当 ? ? 3 时, P(? ? 3) ? C3 ( ) ? 5 5 125 1 0 1 3 当 ? ? ?3 时, P (? ? ?3) ? C3 ( ) ? …………………10 分 5 125 64 48 12 1 57 ? 9 ? ? 3 ? ? (?3) ? ? 10.14 每月的盈利期望 E? ? 15 ? 125 125 125 125 5 所以每月的盈利期望值为 10.14 万元……………12 分
18. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) Sn ? nan ? 3n(n ? 1)

(n ? N* ) 所以 n ? 2 时, Sn?1 ? (n ?1)an?1 ? 3(n ?1)(n ? 2) 两式相减得: an ? Sn ? Sn?1 ? nan ? (n ?1)an?1 ? 3(n ?1)[n ? (n ? 2)] 即 (n ?1)an ? (n ?1)an?1 ? 6(n ?1) 也即 an ? an?1 ? 6 ,所以 {an } 为公差为 6 的等差数列 a1 ? 1 所以 an ? 6n ? 5 ……………………………………………6 分
(Ⅱ) Sn ? nan ? 3n(n ?1)=n(6n ? 5) ? 3n(n ?1) ? 3n2 ? 2n 所以

Sn ? 3n ? 2 n S S1 S2 S3 3n(n ? 1) 3 1 ? ? ? ... ? n ? 3(1 ? 2 ? 3 ? ... ? n) ? 2n ? ? 2n ? n 2 ? n 1 2 3 n 2 2 2
S 3 S1 S2 S3 3 1 3 5n 3 ? ? ? ... ? n ? (n ? 1)2 ? n2 ? n ? (n ? 1)2 ? ? ? 2016 1 2 3 n 2 2 2 2 2 2

所以

所以 5n ? 4035 所以 n ? 807

即当 n ? 807 时,

S 3 S1 S2 S3 ? ? ? ... ? n ? (n ? 1)2 ? 2016 …12 分 1 2 3 n 2

19 . (本小题满分 12 分)

证明 (Ⅰ) 连结 BD , ?ABD 中, AD ? a, AB ? 2a, ?DAB ? 60? 由余弦定理:

BD2 ? DA2 ? AB2 ? 2DA ? AB cos 60? , 解得 BD ? 3a 所以 ?ABD 为直角三角形, BD ? AD 因为 AD // BC ,所以 BC ? BD 又因为 PD ? 平面 ABCD 所以 BC ? PD ,因为 PD ? BD ? D 所以 BC ? 平面 PBD BC ? 平面 PBC 所以,平面 PBD ? 平面 PBC 又因为 PD ? BD ? 3a , Q 为 PB 中点 所以 DQ ? PB z 因为平面 PBD ? 平面 PBC ? PB P 所以 DQ ? 平面 PBC PC ? 平面 PBC 所以 DQ ? PC ……………6 分
(Ⅱ)

? ? 90? , AB ? a

可得 BD ? CD ? 2a M 取 BC 中点 M A B 可证得 ABMD 为矩形 x 第Ⅱ问图 以 D 为坐标原点分别以 DA, DM , DP 所在直线为 x, y, z 轴 , 建立 D ? xyz 空间直角坐标系, A(a,0,0), B(a, a,0)

D

y

C

DM ? 平面 PAD ???? ? ???? ? 所以面 DM 是平面 PAD 的法向量, DM ? (0, a,0)
设平面 PBC 的法向量为 n ? ( x, y, z)

?

P(0,0, 3a), B(a, a,0), C(?a, a,0) ??? ? ??? ? 所以 PB ? (a, a, ? 3a), BC ? (?2a,0,0) ? ??? ? ? n ? PB ?0 ? ,令 z ? 1 ? ? ? ??? n ? BC ? 0 ? ? ? ?ax ? ay ? 3a ? 0 可得 ? ? ??2ax ? 0 ? 解得: n ? (0, 3,1) ???? ? ? DM ? n 3a 3 ? ? ? 所以 cos ? ? ???? ? 2 | DM || n | 2a
所以平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角为

? ……………12 分 6

解法 2 本题也可以采用作出两平面的交线,再作出二面角平面角的方法. 评分标准,作角证角 4 分,求角 2 分. 20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) 因为 OP ? 2OA ? 3OB 即 ( x, y) ? 2( x0 ,0) ? 3(0, y0 ) ? (2x0 , 3 y0 ) 所以 x ? 2x0 , y ? 3 y0

??? ?

??? ?

??? ?

1 3 x, y0 ? y 2 3 又因为 | AB |? 1 ,所以 x02 ? y02 ? 1
所以 x0 ?

x2 y 2 3 2 ?1 y) ? 1,即 ? 4 3 3 x2 y 2 ? ? 1 …………………………4 分 所以椭圆的标 准方程为 4 3 (Ⅱ) 直线 l1 斜率必存在,且纵截距为 2 ,设直线为 y ? kx ? 2
即: ( x) ? (
2

1 2

? y ? kx ? 2 ? 联立直线 l1 和椭圆方程 ? x 2 y 2 ?1 ? ? 3 ?4 得: (3 ? 4k 2 ) x2 ? 16kx ? 4 ? 0 1 2 由 ? ? 0 ,得 k ? ? ?? 4 设 P( x1, y1 ), Q( x2, y2 )
则 x1 ? x2 ? ?

16k 4 , x1 x2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

(1)

以 PQ 直径的圆恰过原点 即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0

所以 OP ? OQ , OP ? OQ ? 0 也即 x1 x2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? 0 即 (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0

??? ? ??? ?

4(1 ? k 2 ) 32k ? ?4?0 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 即 4(1 ? k 2 ) ? 32k 2 ? 4(3 ? 4k 2 ) ? 0
将(1)式代入,得

4 2 3 ,满足(*)式,所以 k ? ? …………………8 分 3 3 ? x ? ty ? 1 ? 2 2 (Ⅲ)由方程组 ? x 2 y 2 ,得 (3t ? 4) y ? 6ty ? 9 ? 0 ??? ?1 ? ? 3 ?4 6t 9 , y1 ? y2 ? ? 2 ?0 设 A( x1 , y1 ), B( x2, y2 ) ,则 y1 ? y2 ? ? 2 3t ? 4 3t ? 4
解得 k ?
2

所以

y1 ? y2 ?

? y1 ? y2 ?

2

? 4 y1 y2 ? (?

6t 2 9 12 t 2 ? 1 因为直线 l : x ? ty ? 1 过点 F (1, 0) ) ? 4( ? ) ? 3t 2 ? 4 3t 2 ? 4 3t 2 ? 4

所以 ?ABE 的面积 S?ABE ?

1 1 12 t 2 ? 1 12 t 2 ? 1 EF ? y1 ? y2 ? ? 2 ? 2 ? 2 2 2 3t ? 4 3t ? 4

2 12 t 2 ? 1 ? 2 3 ,则 t 2 ? ? 不成立 2 3 3t ? 4 不存在直线 l 满足题意……………………………………13 分



21. (本小题满分 14 分)

解:(Ⅰ) a ? ?2, b ? ?3 时, f ( x) ?? 2ln x ? x2 ? 3x , 定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? ? ? 2 x ? 3 ?

2 x

2 x 2 ? 3x ? 2 ( x ? 2)(2 x ? 1) ? x x

在 (0, ??) 上, f ' (2) ? 0 ,当 x ? (0, 2) 时, f ' ( x) ? 0 当 x ? (2, ??) 时, f ' ( x) ? 0 所 以 , 函 数 f ( x) 的 单 调 增 区 间 为(2, ??) ; 单 调 减 区 间 为(0, 2) ……4 分 (Ⅱ)因为 b ? 0 ,所以 f ( x) ? a ln x ? x2

f ?( x) ?

2x2 ? a ( x ? 0) , x ? [1, e] , 2x2 ? a ?[a ? 2, a ? 2e2 ] x (i) 若 a ? ?2 , f ?( x ) 在 [1, e] 上非负(仅当 a ? ?2, x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ) , 故函数 f ( x) 在 [1, e] 上是增函数, 此时 [ f ( x)]min ? f (1) ? 1 ………………………6 分
(ii)若 ?2e2 ? a ? ?2 , a ? 2 ? 0, a ? 2e2 ? 0 ,

a a a 2[ x 2 ? (? )] 2( x ? ? )( x ? ? ) 2 2 , x ? [1, e] 2 ? f ?( x) ? x x ?a ?a 2 当x? 时, f ?( x) ? 0 , ?2e ? a ? ?2 ,1 ? ?e 2 2
当1 ? x ? 当

?a 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 是减函数; 2

?a ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 是增函数. 2 ?a a a a 故 [ f ( x)]min ? f ( ) ? ln(? ) ? ………………9 分 2 2 2 2 2 (Ⅲ) b ? 0 , f ( x) ? a ln x ? x 2 不等式 f ( x) ? (a ? 2) x ,即 a ln x ? x ? (a ? 2) x 2 可化为 a( x ? ln x) ? x ? 2x . 因为 x ? [1, e] , 所以 ln x ? 1 ? x 且等号不能同时取,
2 所以 ln x ? x ,即 x ? ln x ? 0 ,因而 a ? x ? 2 x ( x ? [1, e] )11 分 x ? ln x 2 ln x) , 令 g ( x) ? x ? 2 x ( x ? [1, e] ) ,又 g ?( x) ? ( x ? 1)( x ? 2 ? 2 2 x ? ln x ( x ? ln x) 当 x ? [1, e] 时, x ? 1 ? 0, ln x ? 1 , x ? 2 ? 2 ln x ? 0 ,

从而 g ?( x) ? 0 (仅当 x ? 1 时取等号) ,所以 g ( x) 在 [1, e] 上为增函数, 故 g ( x) 的最小值为 g (1) ? ?1 ,所以实数 a 的取值范围 是 [?1, ??) ……………………14 分



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