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陕西省安康市2015届高考数学三模试卷(理科)



陕西省安康市 2015 届高考数学三模试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知全集 U={1,2,3,4,5},A={1,2,5},B={2,3,5},则(?UA)∩B 等于( A.{2,3} B.{2,5} C.{3} D.{2,3,5} 2.已知 1+i= ,则在复

平面内,复数 z 所对应的点在( A.第一象限 3.已知 sin( A.﹣ B.第二象限 )= 则 cos(x B.﹣ C.第三象限 )等于( C. ) D. ) D.第四象限 )

4.已知双曲线 x ﹣

2

=1(b>0)的一条渐近线的方程为 y=2x,则 b 的值等于(

)

A.

B.1

C .2

D.4

5.已知向量 =(1,2x) , =(4,﹣x) ,则“x= A.充分不必要条件 C.充要条件

”是“ ⊥ ”的(

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.对具有线性相关关系的变量 x,y,测得一组数据如下表: x 2 4 5 6 y 20 40 60 70

8 80 )

根据上表,利用最小二乘法得它们的回归直线方程为 =10.5x+a,则 a 的值等于( A.1 B.1.5 C .2 ) D.2.5

7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是(

A.90

B.92

C.98

D.104

8.在(

+

) 的展开式中,x 项的系数为(

12

)

A.C

B.C

C.C

D.C

9.如图,四边形 ABCD 为矩形,AB= ,BC=1,以 A 为圆心,1 为半径画圆,交线段 AB 于 E,在圆弧 DE 上任取一点 P,则直线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为( )

A.

B.

C.

D.

10.某程序框图如图所示,若输出的 S=57,则判断框内应填(

)

A.k>4?

B.k>5?
2

C.k>6?

D.k>7?

11.已知点 A(0,2) ,抛物线 C1:y =ax(a>0)的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于 点 M,与其准线相交于点 N,若|FM|:|MN|=1: ,则 a 的值等于( ) A. B. C .1 D.4

12.已知直线 y=kx 与函数 f(x)=

的图象恰好有 3 个不同的公共点,

则实数 k 的取值范围是( A. ( ﹣1,+∞)

) B. (0, ﹣1)

C. (﹣

﹣1,

﹣1)

D. (﹣∞,﹣

﹣1)∪(

﹣1,+∞)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.计算: dx=__________.

14.从 1=1,1﹣4=﹣(1+2) ,1﹣4+9=1+2+3,1﹣4+9﹣16=﹣(1+2+3+4) ,…,推广到第 n 个等式为__________.

15.设变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x﹣3y 的最小值__________.

16.在斜三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若

,则

=__________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知数列{an}是公比大于 1 的等比数列,且 a1=1,a3=9. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn=log3an+n+2,且 b1+b2+…+bn≥80,求 n 的最小值. 18.已知函数 f(x)=sinx+ cosx,x∈[0, ].

(1)当函数取得最大值时,求自变量 x 的值; (2)若方程 f(x)﹣a=0 有两个实数根,求 a 的取值范围. 19.已知正方形 ABCD 的边长为 1,AC∩BD=O,将正方形 ABCD 沿对角线折起,使 AC=1, 得到三棱锥 A﹣BCD,如图所示. (1)求证:AO⊥平面 BCD; (2)求平面 ABC 与平面 BCD 夹角的余弦值.

20.某网站用“10 分制”调查一社区人们的治安满意度,现从调查人群中随机抽取 16 名,以 下茎叶图记录了他们的治安满意度分数 (以小数点前的一位数字为茎, 小数点后的一位数字 为叶) :

(1)若治安满意度不低于 9.5 分,则称该人的治安满意度为“极安全”.求从这 16 人中随机 选取 3 人,至多有 1 人是“极安全”的概率; (3)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选 3 人,记 X 表示抽到“极安全”的人数,求 X 的分布列及数学期望.

21.已知椭圆 C:

的离心率为

,直线 l:y=x+2 与以原点为圆心,

椭圆的短半轴为半径的圆 O 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 C 与曲线|y|=kx(k>0)的交点为 A、B,求△ OAB 面积的最大值. 22.已知函数 f(x)=lnx﹣ax. (1)当 a=1 时,求 f(x)的最大值; (2)试讨论函数 y=f(x)的零点情况; (3)设 ak,bk,…(k=1,2,…,n)均为正数,若 a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn,求证: … ≤1.

陕西省安康市 2015 届高考数学三模试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知全集 U={1,2,3,4,5},A={1,2,5},B={2,3,5},则(?UA)∩B 等于( ) A.{2,3} B.{2,5} C.{3} D.{2,3,5} 考点:交、并、补集的混合运算. 专题:集合. 分析:直接利用补集与交集的运算得答案. 解答: 解:∵U={1,2,3,4,5},A={1,2,5}, ∴?UA={3,4}, 又 B={2,3,5}, ∴(?UA)∩B={3,4}∩{2,3,5}={3}. 故选:C. 点评:本题考查了交、并、补集的混合运算,是基础的计算题.

2.已知 1+i= ,则在复平面内,复数 z 所对应的点在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

) D.第四象限

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数的运算法则和几何意义即可得出. 解答: 解:∵1+i= , ∴z= = = 在复平面内, 复数 z 所对应的点 在第一象限.

故选:A. 点评:本题考查了复数的运算法则和几何意义,属于基础题.

3.已知 sin( A.﹣

)= 则 cos(x B.﹣

)等于( C.

) D.

考点:两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数. 专题:计算题;三角函数的求值. 分析:由诱导公式化简后即可求值. 解答: 解:cos(x )=sin[ ﹣(x )]=sin( ﹣x)= .

故选:D. 点评:本题主要考察了诱导公式的应用,属于基础题.

4.已知双曲线 x ﹣

2

=1(b>0)的一条渐近线的方程为 y=2x,则 b 的值等于(

)

A.

B.1

C .2

D.4

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:利用双曲线 x ﹣ 的值. 解答: 解:∵双曲线 x ﹣
2 2

=1(b>0)的一条渐近线的方程为 y=2x,可得 =2,即可求出 b

=1(b>0)的一条渐近线的方程为 y=2x,

∴ =2, ∴b=2, 故选:C. 点评:本题考查双曲线的渐近线的方程,考查学生的计算能力,比较基础.

5.已知向量 =(1,2x) , =(4,﹣x) ,则“x= A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:先求出 ⊥ 的充要条件是 x=±
2

”是“ ⊥ ”的(

)

,从而得到答案. ,

解答: 解: ⊥ ? ? =0?4﹣2x =0?x=± 故 x=± 是 ⊥ 的充分不必要条件,

故选:A. 点评:本题考查了充分必要条件的定义,考查了向量垂直的性质,是一道基础题. 6.对具有线性相关关系的变量 x,y,测得一组数据如下表: x 2 4 5 6 y 20 40 60 70

8 80 )

根据上表,利用最小二乘法得它们的回归直线方程为 =10.5x+a,则 a 的值等于( A.1 B.1.5 C .2 D.2.5

考点:线性回归方程. 专题:计算题;概率与统计. 分析:求出横标和纵标的平均数,写出样本中心点,把样本中心点代入线性回归方程,得到 关于 a 的方程,解方程求出 a. 解答: 解:∵ = =5, = =54

∴这组数据的样本中心点是(5,54) 把样本中心点代入回归直线方程 =10.5x+a,∴54=10.5×5+a, ∴a=1.5, 故选:B. 点评:本题考查线性回归方程,解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点,这是求解线 性回归方程的步骤之一. 7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( )

A.90

B.92

C.98

D.104

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:由三视图知几何体为一四棱柱,且四棱柱的高为 4,底面为直角梯形,直角梯形的直 角腰为 4,两底边长分别为 2,5,求得另一腰长,把数据代入表面积公式计算. 解答: 解:由三视图知几何体为一四棱柱,且四棱柱的高为 4, 底面为直角梯形,直角梯形的直角腰为 4,两底边长分别为 2,5,另一腰长为 ∴几何体的表面积 S=S 底面+S 侧面=2× ×4+(2+4+5+5)×4=92. =5;

故选:B. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的表面积, 由三视图判断几何体的形状及数据所对应的 几何量是解题的关键.

8.在(

+

) 的展开式中,x 项的系数为(

12

)

A.C

B.C

C.C

D.C

考点:二项式系数的性质. 专题:计算题;二项式定理. 分析:在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 1,求出 r 的值,即可求得 x 的系数. 解答: 解: ( + ) 的展开式的通项公式为 Tr+1=
12



令 6﹣ r=1,求得 r=6, 故 x 的系数为 ,

故选:A. 点评:本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数, 二项式系数的性质,属于中档题. 9.如图,四边形 ABCD 为矩形,AB= ,BC=1,以 A 为圆心,1 为半径画圆,交线段 AB 于 E,在圆弧 DE 上任取一点 P,则直线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为( )

A.

B.

C.

D.

考点:几何概型. 专题:概率与统计. 分析:由题意知本题是一个几何概型,由题意,试验包含的所有事件是∠BAD,而满足条 件的事件是直线 AP 在∠CAB 内时 AP 与 BC 相交时,即直线 AP 与线段 BC 有公共点,根 据几何概型公式得到结果. 解答: 解:由题意知本题是一个几何概型, 试验包含的所有事件是∠BAD, 如图,连接 AC 交弧 DE 于 P, 则 tan∠CAB= ,

∴∠CAB=30°, 满足条件的事件是直线 AP 在∠CAB 内时 AP 与 BC 相交时,即直线 AP 与线段 BC 有公共 点 ∴概率 P= 故选:C. = ,

点评:本题考查了几何摡型知识,几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得 到. 10.某程序框图如图所示,若输出的 S=57,则判断框内应填( )

A.k>4?

B.k>5?

C.k>6?

D.k>7?

考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析:执行程序框图,依次写出每次循环得到的 k,S 的值,当 k=5 时,根据题意此时满足 条件,退出循环,输出 S 的值为 57,从而即可判断. 解答: 解:执行程序框图,可得 k=2,S=4; k=3,S=11; k=4,S=26; k=5,S=57; 根据题意此时,满足条件,退出循环,输出 S 的值为 57. 故判断框内应填 k>4. 故选:A. 点评:本题主要考察了程序框图和算法,正确得到退出循环时 k,S 的值是解题的关键,属 于基础题. 11.已知点 A(0,2) ,抛物线 C1:y =ax(a>0)的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于 点 M,与其准线相交于点 N,若|FM|:|MN|=1: ,则 a 的值等于( ) A. B. C .1 D.4
2

考点:抛物线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:作出 M 在准线上的射影,根据|KM|:|MN|确定|KN|:|KM|的值,进而列方程求得 a. 解答: 解:依题意 F 点的坐标为( ,0) , 设 M 在准线上的射影为 K,

由抛物线的定义知|MF|=|MK|, ∴|KM|:|MN|=1: , 则|KN|:|KM|=2:1, kFN= =﹣ ,

kFN=﹣

=﹣2

∴ =2,求得 a=4,

故选 D.

点评: 本题主要考查了抛物线的简单性质. 抛物线中涉及焦半径的问题常利用抛物线的定义 转化为点到准线的距离来解决.

12.已知直线 y=kx 与函数 f(x)=

的图象恰好有 3 个不同的公共点,

则实数 k 的取值范围是( ) A. ( ﹣1,+∞) B. (0, ﹣1) C. (﹣ ﹣1, ﹣1) D. (﹣∞,﹣ 考点:函数的零点与方程根的关系. 专题:计算题;作图题;函数的性质及应用.

﹣1)∪(

﹣1,+∞)

分析:作直线 y=kx 与函数 f(x)=

的图象,结合图象,由排除法确

定选项即可.

解答: 解:作直线 y=kx 与函数 f(x)=

的图象如下,

由图象可知,k 不可能是负数, 故排除 C,D; 且 k 可以取到 1,故排除 B; 故选 A. 点评:本题考查了函数的图象的作法及应用,属于基础题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.计算: dx=6.

考点:定积分. 专题:导数的概念及应用. 分析:找出被积函数的原函数,然后代入上下限,计算. 解答: 解: dx=3lnx| =3(lne ﹣ln1)=6;
2

故答案为:6. 点评:本题考查了定积分的计算,关键是正确写出被积函数的原函数. 14.从 1=1,1﹣4=﹣(1+2) ,1﹣4+9=1+2+3,1﹣4+9﹣16=﹣(1+2+3+4) ,…,推广到第 n n+1 2 n+1 个等式为 1﹣4+9﹣16+…+(﹣1) ?n =(﹣1) ?(1+2+3+…+n) . 考点:归纳推理. 分析: 本题考查的知识点是归纳推理, 解题的步骤为, 由 1=1, 1﹣4=﹣ (1+2) , 1﹣4+9=1+2+3, 1﹣4+9﹣16=﹣(1+2+3+4) ,…,中找出各式运算量之间的关系,归纳其中的规律,并大胆 猜想,给出答案. 1+1 解答: 解:∵1=1=(﹣1) ?1 2+1 1﹣4=﹣(1+2)=(﹣1) ?(1+2) 3+1 1﹣4+9=1+2+3=(﹣1) ?(1+2+3) 4+1 1﹣4+9﹣16=﹣(1+2+3+4)=(﹣1) ?(1+2+3+4)

… 所以猜想:1﹣4+9﹣16+…+(﹣1) ?n =(﹣1) ?(1+2+3+…+n) n+1 2 n+1 故答案为:1﹣4+9﹣16+…+(﹣1) ?n =(﹣1) ?(1+2+3+…+n) 点评:归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相 同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想) .
n+1 2 n+1

15.设变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x﹣3y 的最小值﹣8.

考点:简单线性规划. 专题:计算题. 分析:作出变量 x,y 满足约束条件所对应的平面区域,采用直线平移的方法,将直线 l: 平移使它经过区域上顶点 A(﹣2,2)时,目标函数达到最小值﹣8 解答: 解:变量 x,y 满足约束条件所对应的平面区域为△ ABC 如图,化目标函数 z=x﹣ 3y 为 将直线 l: 平移,因为直线 l 在 y 轴上的截距为﹣ ,所以直线 l 越向上

移, 直线 l 在 y 轴上的截距越大,目标函数 z 的值就越小,故当直线经过区域上顶点 A 时, 将 x=﹣2 代入,直线 x+2y=2,得 y=2,得 A(﹣2,2) 将 A(﹣2,2)代入目标函数,得达到最小值 zmin=﹣2﹣3×2=﹣8

故答案为:﹣8 点评: 本题考查了用直线平移法解决简单的线性规划问题, 看准直线在 y 轴上的截距的与目 标函数 z 符号的异同是解决问题的关键.

16. 在斜三角形 ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若

, 则

=3.

考点:余弦定理;正弦定理. 专题:计算题. 分析:先把已知条件利用切化弦,所求的式子是边的关系,故考虑利用正弦定理与余弦定理 把式子中的三角函数值化为边的关系,整理可求 解答: 解:由题设知: ,即 ,

由正弦定理与余弦定理得



即 故答案为:3 点评:本题主要考查了三角函数化简的原则:切化弦.考查了正弦与余弦定理等知识综合运 用解三角形,属于基础知识的简单综合. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知数列{an}是公比大于 1 的等比数列,且 a1=1,a3=9. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn=log3an+n+2,且 b1+b2+…+bn≥80,求 n 的最小值. 考点:数列的求和;等比数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)设等比数列{an}的公比 q>1,由 a1=1,a3=9.利用等比数列的通项公式即可得 出; (2)bn=log3an+n+2=n﹣1+n+2=2n+1,利用等差数列的前 n 项和公式及其一元二次不等式的 解法即可得出. 2 解答: 解: (1)设等比数列{an}的公比 q>1,∵a1=1,a3=9.∴9=q ,解得 q=3. ∴ .

(2)bn=log3an+n+2=n﹣1+n+2=2n+1, ∴b1+b2+…+bn= =n +2n≥80,
2

解得 n≥8, ∴n 的最小值为 8. 点评: 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、 一元二次不等式的解 法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. cosx,x∈[0, ].

18.已知函数 f(x)=sinx+

(1)当函数取得最大值时,求自变量 x 的值; (2)若方程 f(x)﹣a=0 有两个实数根,求 a 的取值范围. 考点:两角和与差的正弦函数;正弦函数的图象. 专题:三角函数的求值. 分析: (1)化简可得 f(x)=2sin(x+ ) ,易得当 x= 时,函数取最大值;

(2)问题等价于 f(x)与 y=a 有两个不同的交点,作图象易得 a 的取值范围. 解答: 解: (1)化简可得 f(x)=sinx+ cosx =2( sinx+ cosx)=2sin(x+ ], 时,函数取最大值; ) ,

∵由已知可得 x∈[0, ∴当 x+ = 即 x=

(2)方程 f(x)﹣a=0 有两个实数根, 等价于 f(x)与 y=a 有两个不同的交点, 作图象可得 a 的取值范围为:[ ,2)

点评: 本题考查两角和与差的三角函数公式, 等价转化并作图是解决问题的关键, 属中档题. 19.已知正方形 ABCD 的边长为 1,AC∩BD=O,将正方形 ABCD 沿对角线折起,使 AC=1, 得到三棱锥 A﹣BCD,如图所示. (1)求证:AO⊥平面 BCD; (2)求平面 ABC 与平面 BCD 夹角的余弦值.

考点:二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 专题:空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1) 由勾股定理得 AO⊥CO, 由正方形性质得 AO⊥BD, 由此能证明 AO⊥平面 BCD. (2)以 O 为原点,建立空间直角坐标系,求出平面 ABC 的一个法向量和平面 BCD 的一个 法向量,利用向量法能求出平面 ABC 与平面 BCD 的夹角的余弦值.

解答: 解: (1)证明:在△ AOC 中,∵
2 2 2



∴AC =AO +CO ,AO⊥CO, 又∵AC、BD 是正方形 ABCD 的对角线,∴AO⊥BD, 又 BD∩CO=O,∴AO⊥平面 BCD. (2)解:由(1)知 AO⊥平面 BCD,则 OC、OA、OD 两两互相垂直, 如图,以 O 为原点,建立空间直角坐标系, 则 O(0,0,0) ,A(0,0, B(0,﹣ =( ,0) ,D(0, ) , ) ,C( ,0) , =( ,0) , ,0,0) ,

设平面 ABC 的一个法向量 =(x,y,z) ,



,取 x=1,得 =(1,﹣1,1) ,

=(0,0,

)是平面 BCD 的一个法向量,

从而 cos<

>=

=



∴平面 ABC 与平面 BCD 的夹角的余弦值为



点评:本小题主要考查立体几何的相关知识,具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角 的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较 高要求. 20.某网站用“10 分制”调查一社区人们的治安满意度,现从调查人群中随机抽取 16 名,以 下茎叶图记录了他们的治安满意度分数 (以小数点前的一位数字为茎, 小数点后的一位数字 为叶) : (1)若治安满意度不低于 9.5 分,则称该人的治安满意度为“极安全”.求从这 16 人中随机 选取 3 人,至多有 1 人是“极安全”的概率; (3)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选 3 人,记 X 表示抽到“极安全”的人数,求 X 的分布列及数学期望.

考点:离散型随机变量的期望与方差;茎叶图;离散型随机变量及其分布列. 专题:概率与统计. 分析: (1)设 Ai 表示所取得人中有 i 个人是“极安全”,至多有一人是“极安全”记为事件 A, 则 P(A)=P(A0)+P(A1) ,由此能求出至多有 1 人是“极安全”的概率. (2)X 的可能取值为 0,1,2,3,由已知得 X~B(3, ) ,由此能求出 X 的分布列及数 学期望. 解答: 解: (1)设 Ai 表示所取得人中有 i 个人是“极安全”, 至多有一人是“极安全”记为事件 A, 则 P(A)=P(A0)+P(A1)= + = .

(2)X 的可能取值为 0,1,2,3, 由已知得 X~B(3, ) , P(X=0)=( ) = P(X=1)= p(X=2)= P(X=3)= ∴X 的分布列为: X P EX=3× = . 点评:本题主要考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识,考查运用概率统计知 识解决简单实际问题的能力,考查数据处理能力. 0 1 2 3 ,
3

, , ,

21.已知椭圆 C: 椭圆的短半轴为半径的圆 O 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

的离心率为

,直线 l:y=x+2 与以原点为圆心,

(Ⅱ)设椭圆 C 与曲线|y|=kx(k>0)的交点为 A、B,求△ OAB 面积的最大值. 考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题:函数思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)写出圆 O 的方程,根据直线与圆相切可求得 b 值,根据所给斜率及 a,b,c 的 平方关系可求得 a 值; (Ⅱ)设点 A(x0,y0) , (x0>0,y0>0) ,AB 交 x 轴于点 D,由对称性知 S△ OAB=2S△ OAD, 根据点 A 在直线 OA、椭圆上可用 k 表示出 x0,从而可把△ OAB 面积表示为关于 k 的函数, 利用基本不等式即可求得其最大值. 2 2 2 解答: 解: (Ⅰ)由题设可知,圆 O 的方程为 x +y =b , 因为直线 l:x﹣y+2=0 与圆 O 相切,故有 =b,

所以 b=
2

,已知
2 2 2



所以有 a =3c =3(a ﹣b ) , 2 解得 a =3, 所以椭圆 C 的方程为 .

(Ⅱ)设点 A(x0,y0) , (x0>0,y0>0) ,则 y0=kx0, 设 AB 交 x 轴于点 D,由对称性知: S△ OAB=2S△ OAD=2× x0y0= ,



,解得



所以 S△ OAB=k

=





当且仅当

,即 k=

时取等号, .

所以△ OAB 面积的最大值为

点评:本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解,考查函数思想,解决(Ⅱ) 问的关键是把三角形 OAB 面积表示为函数,正确运用基本不等式是解决基础. 22.已知函数 f(x)=lnx﹣ax. (1)当 a=1 时,求 f(x)的最大值; (2)试讨论函数 y=f(x)的零点情况; (3)设 ak,bk,…(k=1,2,…,n)均为正数,若 a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn,求证: … ≤1.

考点:根的存在性及根的个数判断;不等式的证明. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)利用导数研究函数的单调性,可得函数 f(x)=lnx﹣ax 在(0,1)上是增函数, 在(1,+∞)上是减函数,故 fmax(x)=f(1) . (2)由 y=f(x)=0 可得 lnx=ax,故函数 y=f(x)的零点个数即为 y=lnx 与 y=ax 的交点 的个数.结合图象可得,当 a≤0 或 a= (x)有 2 个零点; 当 a> 时,y=f(x)有 1 个零点; 当 0<a< 时,y=f

时,y=f(x)没有零点.

(3)由(1)可得,当 x∈(0,+∞)时,lnx≤x﹣1,可得 lnak<ak﹣1,故 bk?lnak<bk(ak ﹣1) =bk?ak﹣bk. 可得 ln 再由已知条件证得 +ln … +…+ln ≤1 成立. <a1b1+a2b2+…+anbn ﹣ ( b1+b2+…+bn) ,

解答: 解: (1)当 a=1 时,f′(x)= ﹣1,当 x>1 时,f′(x)<0,当 0<x<1 时,f′(x) >0. 故函数 f(x)=lnx﹣ax 在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数. 故 fmax(x)=f(1)=ln1﹣1=﹣1. (2)由 y=f(x)=0 可得 lnx=ax,故函数 y=f(x)的零点个数即为 y=lnx 与 y=ax 的交点 的个数. 结合图象可得,当 a≤0 时,f(x)的零点个数仅有一个. 当 a>0 时,令 f′(x)= ﹣a=0,可得 x= . 由于 当 x> 时,f′(x)<0,当 0<x< 时,f′(x)>0. 故 f(x)在(0, )上是增 函数,在( ,+∞)上是减函数. 故 fmax(x)=f( )=﹣lna﹣1. 故当﹣lna﹣1>0 时,即 0<a< 零点; 当 a> 时,y=f(x)有 2 个零点;当 a= 时,y=f(x)有 1 个

时,y=f(x)没有零点. 时,y=f(x)有 1 个零点; 当 0<a< 时,y=f(x)有 2 个零

综上可得,当 a≤0 或 a= 点; 当 a>

时,y=f(x)没有零点.

(3)由(1)可得,当 x∈(0,+∞)时,lnx≤x﹣1. ∵ak,bk 都是正数,∴lnak<ak﹣1, ∴bk?lnak<bk(ak﹣1)=bk?ak﹣bk. ∴ln +ln +…+ln <a1b1+a2b2+…+anbn ﹣( b1+b2+…+bn) .

又因为 a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn, ∴ln 故 +ln … +…+ln ≤1 . ≤0,即 ln( ? … )≤0,

点评:本题主要考查方程的根的存在性及个数判断,利用导数研究函数的单调性,用放缩法 证明不等式,属于中档题.



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