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2016年全国高中数学联赛湖北预赛试题及答案【高二】



2016 年全国高中数学联赛湖北预赛(高二)
一、填空题(本大题共 10 小题,每小题 9 分,共 90 分) 1.已知函数 f ? x ? 满足: f ?1? ? 2 , f ? x ? 1? ?

1? f ? x? 对定义域内任意 x 都成立.那么 1? f ? x?

f ? 2016? ? __________.

/>3.从五个正整数 a, b, c, d , e 中任取四个求和,得到的和值构成集合 ?44,45,46,47? ,则

a ? b ? c ? d ? e ? __________. 3.已知 ?ABC 实等边三角形,椭圆 ? 的一个焦点为 A ,另一焦点 F 在线段 BC 上,如果 椭圆 ? 恰好经过 B, C 两点,则它的离心率为__________.

x2 ? y 2 ? 1, 则 P ? 2x ? y ? 4 ? 4 ? x ? 2 y 的取值范围是________. 3 5.袋子中有 5 个白球、 4 个红球和 3 个黄球,从中任意取出 4 的球,各种颜色的球都有的
4. 已知实数 x, y 满足 概率为__________. 6.以正十二边形的顶点为顶点的形状不同的三角形共有__________个. (说明:全等的三角 形视为形状相同. ) 7.已知质数 p, q 满足 q ? 2 p ? 1,则 p ? q ? __________.
5 2

8. 已知四面体的一条棱长为 6 , 其余棱长均为 5 , 则这个四面体的外接球的半径为________. 9.已知 MN 是边长为 2 6 的等边 ?ABC 的外接圆的一条动弦, MN ? 4 , P 为 ?ABC 的 边上动点,则 MP ? PN 的最大值为__________. 10.设 ? a ? 表示不大于 a 的最大整数,则方程 ? ? ? ? ? ? 1 的最大正整数解为__________. 7 8 二、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分)
2 2 11.已知 A ? x | x ? x , B ? x | x ? log a x ,且 B ? A ,求实数 a 的取值范围.

???? ????

?x? ? ?

?x? ? ?

?

?

?

?

12.已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足: f ?1? ?

10 ,且对任意实数 x, y ,恒有 3

f ? x ? f ? y ? ? f ? x ? y ? ? f ? x ? y ? ,若数列 ?an ? 满足 an ? 3 f ? n? ? f ? n ?1? , n ? N * .
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ?

? 3an ? 8?

24an

2

, n ? N , Sn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和,求证: Sn ? 1 .
*

2 13.过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )外一点 P 向抛物线作两条切线,切点为 M 、 N , F 为

抛物线的焦点.证明: (1) PF
2

? MF ? NF ;

(2) ?PMF ? ?FPN .



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