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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第9章 第2节 简单几何体的表面积和体积



第九章

第二节

一、选择题 1.(2014· 广东汕头金山中学摸底)如图是一正方体被过棱的中点 M,N,顶点 A 及过 N, 顶点 D,C1 的两个截面截去两角后所得的几何体,该几何体的正视图是( )

[答案] B [解析] 在原正方体中,此几何体的顶点 A、B、B1、M、N 在正视图中的投影依次为 D、 C、C1、Q、D1(其中 Q 为 C1D1 的中点),能看见的轮廓线用实线,看不见的轮廓线为虚线.故 选 B. 2.纸制的正方体的六个面根据其实际方位分别标记为上、下、东、南、 西、北,现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开,外面朝上展平,得到如 所示的平面图形,则标“△”的面的方位是( A.南 C.西 [答案] A [解析] 将所给图形还原为正方体,如图所示,最上面为上,最右面为东,则前面为△, 可知“△”的实际方位为南. ) B.北 D.下 图

3.(文)(2013· 惠安中学高考适应性训练)一个四棱锥的三视图如图所示,其中正(主)视图是 腰长为 1 的等腰直角三角形,侧(左)视图是直角三角形,其中一条直角边长为 2,则这个几何 体的体积是( )

-1-

1 A. 2 3 C. 2 [答案] A

B.1 D.2

[解析] 由三视图知,该几何体为四棱锥,底面为直角梯形,梯形两底边长分别为 1 和 2, 1 3 2 2 高为 2,面积 S= ×(1+2)× 2= ,锥体高 , 2 2 2

1 3 2 2 1 ∴体积 V= × × = ,故选 A. 3 2 2 2 (理)(2014· 重庆理)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )

A.54 C.66 [答案] B [解析] 如图所示

B.60 D.72

该几何体是将一个直三棱柱截去一个三棱锥得到的,直三棱 柱底面是直角三角形,两直角边长为 3 和 4,柱高为 5,∵EF∥ AC,AC⊥平面 ABDF,∴EF⊥平面 ABDF,∴EF⊥DF,在直角

-2-

梯形 ABDF 中,易得 DF=5,故其表面积为 S=SRt△ABC+S 矩形 ACEF+S 梯形 ABDF+S 梯形 BCED+SRt△
DEF=

3×4 ?5+2?×4 ?2+5?×5 3×5 +3×5+ + + =60. 2 2 2 2

4.(文)(2013· 贵州六校联盟)某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为 2 的 正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是( )

20 A. 3 π C.8- 6 [答案] A

16 B. 3 π D.8- 3

[解析] 由三视图知,该几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥,其中正方体的棱长为 2, 正四棱锥的底面为正方体的上底面,高为 1. 1 4 20 ∴几何体的体积为 V=23- ×2×2×1=8- = . 3 3 3 (理)(2013· 安徽六校教研会联考)四棱锥 P-ABCD 的五个顶点都在一个球面上,该四棱锥 的三视图如图所示,E,F 分别是棱 AB,CD 的中点,直线 EF 被球面截得的线段长为 2 2, 则该球的表面积为( )

A.9π C.2 2π [答案] D

B.3π D.12π

-3-

[解析] 该几何体的直观图如图所示,

该几何体可看作由正方体截得的,则正方体外接球的直径即为 PC.由直线 EF 被球面所截 得的线段长为 2 2,可知正方形 ABCD 的对角线 AC 的长为 2 2,可得 a=2,在△PAC 中, PC= 22+?2 2?2=2 3,∴球的半径 R= 3, ∴S 表=4πR2=4π×( 3)2=12π. 5.(文)(2014· 河北名校名师俱乐部模拟)一个球的球心到过球面上 A、B、C 三点的平面的 距离等于球半径的一半,若 AB=BC=CA=3,则球的体积为( A.8π C.12π [答案] D [解析] 设球心为 O,过 O 作 OM⊥平面 ABC,垂足是 M, ∵△ABC 是边长为 3 的正三角 32 形,∴AM= 3,可得球半径是 2,体积是 π. 3 43π B. 4 32π D. 3 )

(理)如图,已知在多面体 ABC-DEFG 中,AB、AC、AD 两两互相垂直,平面 ABC∥平面 DEFG,平面 BEF∥平面 ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,则该多面体的体积为( )

A.2 C .6 [答案] B

B.4 D.8

[解析] 补成长方体 ABMC-DEFN 并连接 CF,易知三棱锥 F-BCM 与三棱锥 C-FGN 的体积相等,故几何体体积等于长方体的体积 4.故选 B. [点评] 1.也可以用平面 BCE 将此几何体分割为两部分,设平面 BCE 与 DG 的交点为 H,
-4-

则 ABC-DEH 为一个直三棱柱,由条件易证 EH 綊 FG 綊 BC,平面 BEF∥平面 CHG,且△ BEF △CHG,∴几何体 BEF-CHG 是一个斜三棱柱,这两个三棱柱的底面都是直角边长为 2 和 1 的直角三角形,高都是 2,∴体积为 4.

2.如图(2),几何体 ABC-DEFG 也可看作棱长为 2 的正方体中,取棱 AN、EK 的中点 C、 F,作平面 BCGF 将正方体切割成两部分,易证这两部分形状相同,体积相等,∴VABC-DEFG 1 = ×23=4. 2 6.在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球,钢球恰与棱锥的四个面都接触,过棱锥 的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是( )

[答案] B [解析] 球与正三棱锥底面的切点为底面正三角形的中心,故在截面图中,此切点将截面 三角形的这一条边(底面正三角形的高)分为 两部分,截面过三棱锥的高和一条侧棱,故

截面图中球大圆与侧棱外离且圆心在三角形的高(即棱锥的高)上,这条高应是顶点与底面中心 的连线段,故选 B. 二、填空题 7.圆台的上、下底半径分别为 2 和 4,母线长为 4,则截得此圆台的圆锥侧面展开图的 中心角为________. [答案] π 2 x [解析] 如图,设 PD=x,则 = ,∴x=4, 4 x+4

-5-

4 ∴θ= ×2π=π. 8 8.一个底面半径为 1,高为 6 的圆柱被一个平面截下一部分,如图(1)所示,截下部分的 母线最大长度为 2,最小长度为 1,则截下部分的体积是________.

[答案]

3π 2

[解析] 根据对称性把它补成如图(2)所示的圆柱,这个圆柱的高是 3,体积是所求几何体 1 3π 3π 体积的 2 倍,故所求的几何体的体积是 ×π×12×3= .故填 . 2 2 2 9 . ( 文 )(2014· 天津理 ) 一个几何体的三视图如图所示 ( 单位: m) ,则该几何体的体积为 ________m3.

[答案]

20π 3

[解析] 由三视图可知,该几何体是一个组合体,其上部是一个圆锥,且底面圆半径为 2, 1 高为 2;下部是一个圆柱,底面圆半径为 1,高为 4,故该几何体的体积 V= ·π·22· 2+π·12· 4= 3
-6-

8π 20π +4π= . 3 3 (理)(2013· 山东泰安市期末)已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图 都是由半圆和矩形组成, 根据图中标出的尺寸(单位: cm), 可得这个几何体的体积是________.

[答案]

5 πcm3 3

[解析] 由图可知,该几何体是一个组合体,上部为半径为 1 的半球,下部为圆柱,圆柱 的底半径为 1、高为 1, 4π 1 2 5π ∴体积 V= × +π×( )2×1= (cm3). 3 2 2 3 三、解答题 10.(文)(2015· 江西赣州博雅文化学校月考)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD, π PA=2 3,BC=CD=2,∠ACB=∠ACD= . 3 (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC,求三棱锥 P-BDF 的体积.

[解析] (1)∵BC=CD=2,∴△BCD 为等腰三角形, π ∵∠ACB=∠ACD= ,∴BD⊥AC. 3 再由 PA⊥底面 ABCD,可得 PA⊥BD. 而 PA∩AC=A,故 BD⊥平面 PAC. (2)∵侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC, 1 ∴三棱锥 F-BCD 的高是三棱锥 P-BCD 的高的 . 8
-7-

1 1 2π △BCD 的面积 S△BCD= BC· CD· sin∠BCD= ×2×2×sin = 3. 2 2 3 1 1 1 7 1 ∴三棱锥 P-BDF 的体积 V=VP-BCD-VF-BCD= · S · PA- · S · ( PA)= × · S · PA 3 △BCD 3 △BCD 8 8 3 △BCD 7 7 = × 3×2 3= . 24 4 (理)(2013· 济南外国语学校质检)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD, 点 E 在线段 AD 上,且 CE∥AB.

(1)求证:CE⊥平面 PAD; (2)若 PA=AB=1,AD=3,CD= 2,∠CDA=45° ,求四棱锥 P-ABCD 的体积. [解析] (1)证明:因为 PA⊥平面 ABCD,CE?平面 ABCD,所以 PA⊥CE, 在平面 ABCD 内,因为 AB⊥AD,CE∥AB,所以 CE⊥AD, 又 PA∩AD=A,所以 CE⊥平面 PAD, (2)由(1)可知 CE⊥AD,在直角三角形 ECD 中,DE=CD· cos45° =1,CE=CD· sin45° =1. 又因为 AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形 ABCE 为矩形,所以 S
△ECD 四边形 ABCD

=S 矩形 ABCE+S

1 1 5 =AB· AE+ CE· DE=1×2+ ×1×1= , 2 2 2 又 PA⊥平面 ABCD,PA=1, 所以四棱锥 P-ABCD 的体积 1 1 5 5 V= S 四边形 ABCD· PA= × ×1= . 3 3 2 6

一、选择题 11. (文)(2014· 湖北荆州质量检查)某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为( )

2π A. 3

B.π

-8-

4π C. 3 [答案] A

D.2π

[解析] 由三视图可知,该几何体是在一个圆柱中挖去两个半球而形成的,且圆柱的底面 圆半径为 1,母线长为 2,则圆柱的体积 V 柱=π×12×2=2π,挖去的两个半球的半径均为 1, 1 4 4 4π 因此挖去部分的体积为 V 球=2× × π×13= π.故所求几何体的体积为 V=V 柱-V 球=2π- 2 3 3 3 2π = . 3 (理)(2014· 河南郑州质检)如图所示,某几何体的正视图和俯视图都是矩形,侧视图是平行 四边形,则该几何体的表面积为( )

A.15+3 3 C.30+6 3 [答案] C

B.9 3 D.18 3

[解析] 由三视图知几何体是一个斜四棱柱,底面是边长为 3 的正方形,棱柱高为 3,侧 棱长为 2,故 S=3×3×2+3×2×2+3× 3×2=30+6 3. 12.(文)(2014· 东北三校一联)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何 体的体积为( )

A. C.

2π 3 2π 9

B.

π 3

16π D. 9

[答案] D

-9-

[解析] 该几何体是底面为扇形的一个锥体,由主视图可知 AD=1,而 AO=2,∴∠AOD S扇形AOB 1 π 2 1 1 1 16 = ,∴底面扇形的圆心角 α= π,∴ = ,V= Sh= ×( ·π×22)×4= π. 6 3 3 3 3 3 9 S⊙O (理)(2014· 江南十校联考)某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是( )

20 A. π 3 10 C. π 3 [答案] C

B.6π 16 D. π 3

[解析] 由三视图可知,该几何体上半部分是底面半径和高都为 2 的半圆锥,下半部分为 1 1 底面半径为 2 ,高为 1 的半圆柱组成的组合体,因此它的体积为 V = (π×22×1) + ( 2 3 1 10 π×22×2)× = π. 2 3 13.(2014· 山东青岛二模)已知三棱锥 D-ABC 中,AB=BC=1,AD=2,BD= 5,AC= 2,BC⊥AD,则该三棱锥的外接球的表面积为( A. 6π C.5π [答案] B [解析] ∵由勾股定理易知 DA⊥AB,AB⊥BC, ∴BC⊥平面 DAB. ∴CD= BD2+BC2= 6. ∴AC2+AD2=CD2,∴DA⊥AC. 取 CD 的中点 O,由直角三角形的性质知 O 到点 A,B,C,D 的距离均为 其即为三棱锥的外接球球心. 故三棱锥的外接球的表面积为 4π( 二、填空题 62 ) =6π. 2 6 , 2 )

B.6π D.8π

- 10 -

14.(2014· 陕西宝鸡质检)已知某几何体的三视图如图所示,其中主视图中半圆直径为 2, 则该几何体的体积为________.

3π [答案] 24- 2 [解析] 由三视图可知,该几何体是长方体里面挖了一个半圆柱体,可知,长方体的长为 1 4,宽为 3,高为 2,圆柱体的高为 3,底面的半径为 1,则可知该几何体的体积为 4×2×3- 2 3 ×π×12×3=24- π. 2 15.(文)已知 S,A,B,C 是球 O 表面上的点,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,SA=AB=1, BC= 2,则球 O 的表面积等于________. [答案] 4π [解析] 可以将其补全为一个长方体,则长、宽、高分别为 2、1、1,所以,长方体体对 角线长为 2+1+1=2,故 R=1,因此球的表面积为 4πR2=4π. (理)圆锥的高为 4,侧面积为 15π,其内切球的表面积为________. [答案] 9π [解析] 设圆锥底面半径为 r(r>0),则母线长 l= 16+r2,由 πrl=15π 得 r· 16+r2=15, 解之得 r=3,∴l=5. 设内切球半径为 R, 作出圆锥的轴截面如图, 则 BD=BO1=3, PD=5-3=2, PO=4-R, 3 ∵OD⊥PB,∴R2+4=(4-R)2,∴R= , 2 ∴球的表面积 S=4πR2=9π.

三、解答题

- 11 -

16.(文)(2014· 南开区质检) 如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC⊥BC,AB⊥BB1,AC =BC=BB1=2,D 为 AB 的中点,且 CD⊥DA1.

(1)求证:平面 A1B1B⊥平面 ABC; (2)求多面体 DBC-A1B1C1 的体积. [解析] ∵AC=BC,D 为 AB 的中点, ∴CD⊥AB,又 CD⊥DA1,∴CD⊥面 AA1B1B, 又因为 CD?平面 ABC,故平面 A1B1B⊥平面 ABC. 1 (2)V 多面体 DBC-A1B1C1=V 棱柱 ABC-A1B1C1-V 棱锥 A1-ADC=S△ABC· |AA1|- S△ 3 |AA1|=S△ABC· |AA1|- ADC· 1 1 5 10 × S · |AA1|= S△ABC· |AA1|= . 3 2 △ABC 6 3

(理)(2015· 焦作市期中)如图,四边形 BCDE 为矩形,平面 ABC⊥平面 BCDE,AC⊥BC, 1 AC=CD= BC=2,点 F 是线段 AD 的中点. 2

(1)求证:AB∥平面 CEF; (2)求几何体 ABCDE 被平面 CEF 分成的上下两部分的体积之比. [解析] (1)连接 BD 交 CE 于点 O,连接 FO. ∵四边形 BCDE 为矩形, ∴O 为 BD 的中点,又 F 是线段 AD 的中点, ∴FO∥AB, ∵FO?平面 CEF,AB?平面 CEF. ∴AB∥平面 CEF.

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(2)∵平面 ABC⊥平面 BCDE,AC⊥BC,平面 ABC∩平面 BCDE=BC, ∴AC⊥平面 BCDE. 1 1 1 16 ∴VA-BCDE= · S · AC= ×BC×CD×AC= ×4×2×2= . 3 矩形 BCDE 3 3 3 矩形 BCDE 中,BC⊥CD,又 AC⊥BC 且 AC∩CD=C, ∴BC⊥平面 ACD, 又矩形 BCDE 中,ED∥BC,∴ED⊥平面 ACD. 1 11 Rt△ACD 中,F 是线段 AD 的中点,∴S△CDF= S△ACD= ·· AC· CD=1, 2 22 1 1 4 ∴VE-CDF= · S · ED= ×1×4= , 3 △CDF 3 3 4 3 VE-CDF ∴平面 CEF 将几何体 ABCDE 分成的上下两部分的体积之比为 = = 16 4 VA-BCDE-VE-CDF - 3 3 1 . 3 17.(文)已知 P 在矩形 ABCD 的边 DC 上,AB=2,BC=1,F 在 AB 上且 DF⊥AP,垂足 为 E,将△ADP 沿 AP 折起,使点 D 位于 D′位置,连接 D′B、D′C 得四棱锥 D′-ABCP.

(1)求证:D′F⊥AP; (2)若 PD=1,且平面 D′AP⊥平面 ABCP,求四棱锥 D′-ABCP 的体积. [解析] (1)∵AP⊥D′E,AP⊥EF,D′E∩EF=E, ∴AP⊥平面 D′EF,∴AP⊥D′F. (2)∵PD=1,∴四边形 ADPF 是边长为 1 的正方形, ∴D′E=DE=EF= 2 , 2

∵平面 D′AP⊥平面 ABCP,D′E⊥AP,∴D′E⊥平面 ABCP,

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1 3 ∵S 梯形 ABCP= ×(1+2)×1= , 2 2 1 2 ∴VD′-ABCP= ×D′E×S 梯形 ABCP= . 3 4 π (理)如图在△ABC 中, ∠B= , AB=BC=2, P 为 AB 边上一动点, PD∥BC 交 AC 于点 D, 2 现将△PDA 沿 PD 翻折至△PDA′,使平面 PDA′⊥平面 PBCD.

(1)当棱锥 A′-PBCD 的体积最大时,求 PA 的长; (2)若点 P 为 AB 的中点,E 为 A′C 的中点,求证:A′B⊥DE. [解析] (1)令 PA=x(0<x<2), 则 A′P=PD=x, BP=2-x, 因为 A′P⊥PD 且平面 A′PD ⊥平面 PBCD, 1 1 1 故 A′P⊥平面 PBCD.所以 VA′-PBCD= Sh= (2-x)· (2+x)x= (4x-x3). 3 6 6

1 1 2 3 令 f(x)= (4x-x3),由 f ′(x)= (4-3x2)=0,得 x= . 6 6 3 2 3 当 x∈(0, )时,f ′(x)>0,f(x)单调递增; 3 2 3 当 x∈( ,2)时,f ′(x)<0,f(x)单调递减. 3 2 3 所以,当 x= 时,f(x)取得最大值, 3 即当 VA′-PBCD 最大时,PA= 2 3 . 3

(2)设 F 为 A′B 的中点,连接 PF,FE,则有 1 1 EF 綊 BC,PD 綊 BC,∴EF 綊 PD, 2 2 ∴四边形 EFPD 为平行四边形,∴DE∥PF.

- 14 -

又 A′P=PB,所以 PF⊥A′B,故 DE⊥A′B.

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