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山东理科高考题汇编--导数与函数


第 3 部分:函数与导数

1. (2007 年高考山东卷理科 4)设 a ? ? ?1,1, 为奇函数的所有 ? 值为 (A) 1,3 (B) ? 1,1 (C) ? 1, 3 【答案】A

? ?

1 ? ,3? ,则使函数 y ? x? 的定义域为 R 且 2 ?

(D) ?1,1, 3

2. (2007 年高考山东卷理科 6)给出下列三个等式: f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y ) ,

f ( x ? y ) ? f ( x) f ( y ) , f ( x ? y ) ?
的是

f ( x) ? f ( y ) 。下列函数中不满足其中任何一个等式 1 ? f ( x) f ( y )

x (A) f ( x) ? 3 (B) f ( x) ? sin x (C) f ( x) ? log 2 x

(D) f ( x) ? tan x

【答案】B 3. (2008 年高考山东卷理科 3)函数 y ? ln cos x ? ?

π? ? π ? x ? ? 的图象是( 2? ? 2



y
? π 2 π x π ? 2 2

y
π x π ? 2 2

y
π x π ? 2 2

y
π x 2

O

O

O

O

A.
【答案】A

B.

C.

D.

4. (2008 年高考山东卷理科 4)设函数 f(x)=|x+1|+|x-a|的图象关于直线 x=1 对 称,则 a 的值为 (A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1

【答案】A 5. (2009 年高考山东卷理科 6) 函数 y ?

e x ? e? x 的图像大致为 e x ? e? x

y 1 O 1 x 1

y

y 1

y 1 x O D 1 x

O1

x

O1

A

B

C

x ?x 【 解 析 】 : 函 数 有 意 义 , 需 使 e ? e ? 0 , 其 定 义 域 为 ?x | x ? 0? , 排 除 C,D, 又 因 为

y?

e x ? e? x e2 x ? 1 2 ? 2x ? 1? 2x ,所以当 x ? 0 时函数为减函数,故选 A x ?x e ?e e ?1 e ?1

答案:A. 【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点 在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 6. (2009 年高考山东卷理科 10) 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=

?log2 (1 ? x), x ? 0 ,则 f(2009)的值为 ? ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0
(A)-1 (B) 0 (C)1 (D) 2

【解析】:由已知得 f (?1) ? log 2 2 ? 1 , f (0) ? 0 , f (1) ? f (0) ? f (?1) ? ?1 ,

f (2) ? f (1) ? f (0) ? ?1 , f (3) ? f (2) ? f (1) ? ?1 ? (?1) ? 0 , f (4) ? f (3) ? f (2) ? 0 ? (?1) ? 1 , f (5) ? f (4) ? f (3) ? 1 , f (6) ? f (5) ? f (4) ? 0 ,
所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f(2009)= f(5)=1,故选 C. 答案:C.

【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算. 7. (2010 年高考山东卷理科 4) 设 f(x)为定义在 R 上的奇函数, 当 x≥0 时, f(x)= 2 x +2x+b(b 为常数),则 f(-1)= (A) 3 【答案】D 【解析】因为 f(x) 为定义在 R 上的奇函数,所以有 f(0)=2 +2 ? 0+b=0 ,解得 b=-1,所以
0
1 x =-3 ,故选 D. 当 x ? 0 时, f(x)=2 +2x-1 ,即 f(-1)=-f(1)= -(2 +2 ?1-1)

(B) 1

(C)-1

(D)-3

8. (2010 年高考山东卷理科 7)由曲线 y= x 2 ,y= x3 围成的封闭图形面积为 (A)

1 12

(B)

1 4

(C)

1 3

(D)

7 12

【答案】A 【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为 ?( 0 x -x )dx=
1 2 3

1 1 1 ?1- ?1= ,故选 A。 3 4 12

9. (2010 年高考山东卷理科 11)函数 y=2x - x 2 的图像大致是

【答案】A 【解析】因为当 x=2 或 4 时,2x - x 2 =0,所以排除 B、C;当 x=-2 时,2x - x 2 = 故排除 D,所以选 A。 【命题意图】 本题考查函数的图象, 考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的 思维能力。 10. (2011 年高考山东卷理科 9)函数 y ?

1 ? 4<0 , 4

x ? 2sin x 的图象大致是 2

【答案】C 11. (2011 年高考山东卷理科 10) .已知 f ( x) 是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当

0 ? x ? 2 时, f ( x) ? x3 ? x ,则函数 y ? f ( x) 的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数
为 A.6 B.7 C.8 D.9

【答案】B 注意 f(6)=f(0) 12. (2012 年高考山东卷理科 8)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x) ,当-3≤ x<-1 时,f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3 时,f(x)=x。则 f(1)+f(2)+f(3) +…+f(2012)= A.335 B.338 C.1678 D.2012

解析: f (?3) ? ?1, f (?2) ? 0, f (?1) ? ?1, f (0) ? 0, f (1) ? 1, f (2) ? 2 ,而函数的周期为

) ? 335(?1 ? 0 ? 1 ? 0 ? 1 ? 2) ? f (1) ? f (2) ? 335? 3 ? 338. 6 f (1) ? f (2) ? ? ? f (2012
答案应选 B 13.(2012 年高考山东卷理科 9)函数 的图像大致为

解析:函数 f ( x) ?

cos 6 x cos6 x ? ? f ( x) 为奇函数, , f (? x) ? ? x x ?x 2 ? 2x 2 ?2

当 x ? 0 ,且 x ? 0 时 f ( x) ? ?? ;当 x ? 0 ,且 x ? 0 时 f ( x) ? ?? ;

2 x ? 2 ? x ? ?? ,f ( x) ? 0 ; 2 x ? 2 ? x ? ?? ,f ( x) ? 0 . 当 x ? ?? , 当 x ? ?? ,
答案应选 D。 14. (2012 年高考山东卷理科 12) 设函数 f (x) = , g (x ) =ax2+bx

若 y=f(x)的图像与 y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2), 则下列判断正确的是 A.当 a<0 时,x1+x2<0,y1+y2>0 B.当 a<0 时, x1+x2>0, y1+y2<0 C.当 a>0 时,x1+x2<0, y1+y2<0 D.当 a>0 时,x1+x2>0, y1+y2>0 解 析 : 令

1 ? ax2 ? bx , 则 1 ? ax3 ? bx2 ( x ? 0) , 设 F ( x) ? ax3 ? bx2 , x

F ?( x) ? 3ax2 ? 2bx

2b ,要使 y=f(x)的图像与 y=g(x)图像有 3a ? 2b 2b 2b ) ? a ( ? ) 3 ? b( ? ) 2 ? 1 , 整 理 得 且 仅 有 两 个 不 同 的 公 共 点 只 需 F( 3a 3a 3a
令 F ?( x) ? 3ax ? 2bx ? 0 ,则 x ? ?
2

4b 3 ? 27a 2 ,于是可取 a ? ?2, b ? 3 来研究,当 a ? 2, b ? 3 时, 2 x 3 ? 3x 2 ? 1,解
得 x1 ? ?1, x2 ?

1 , 此 时 y1 ? ?1, y 2 ? 2 , 此 时 x1 ? x2 ? 0, y1 ? y 2 ? 0 ; 当 2 1 a ? ?2, b ? 3 时, ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 1 ,解得 x1 ? 1, x2 ? ? ,此时 y1 ? 1, y 2 ? ?2 , 2

此时 x1 ? x2 ? 0, y1 ? y 2 ? 0 .答案应选 B。 另解:令 f ( x) ? g ( x) 可得 设 y? ?

1 ? ax ? b 。 x2
y ?? ? ax ? b ( a ? 0)

1 , y?? ? ax ? b x2

y
x1 x2
x

y
x1 x2

不妨设 x1 ? x 2 ,结合图形可知, 当 a ? 0 时如右图,此时 x1 ? x2 , 即 ? x1 ? x 2 ? 0 ,此时 x1 ? x 2 ? 0 , y 2 ?

y ?? ? ax ? b (a ? 0) x

1 1 ? ? ? ? y1 ,即 y1 ? y 2 ? 0 ;同理可 x2 x1

由图形经过推理可得当 a ? 0 时 x1 ? x2 ? 0, y1 ? y 2 ? 0 .答案应选 B。 15、 (2013 年高考山东卷理科 3)已知函数 f(x) 为奇函数,且当 x>0 时, f(x)= x +
2

1 ,则 x

f(-1)=( ) (A) -2 (B) 0 (C) 1 (D) 2 【答案】A 16、 (2013 年高考山东卷理科 8)函数

y=xcosx+sinx 的图象大致为 y π x π x y π x

y π x

y

O (A )
【答案】D

O (B )

O (C )

O (D )

17、 (2007 年高考山东卷理科 16)函数 y ? loga ( x ? 3) ? 1(a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 m x ? ny ? 1 ? 0 上,其中 mn ? 0 ,则 【答案】8 18、 (2008 年高考山东卷理科 14)设函数 f(x)=ax2+c(a≠0),若

1 2 ? 的最小值为 m n

?

1 0

f ( x)dx ? f ( x0 ) ,0≤

x0≤1,则 x0 的值为
【答案】

.

3 3

19、 (2009 年高考山东卷理科 14)若函数 f(x)=a x -x-a(a>0 且 a ? 1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是 .

x 【解析】 : 设函数 y ? a (a ? 0, 且 a ? 1} 和函数 y ? x ? a ,则函数 f(x)=a x -x-a(a>0 且 a ? 1) x 有两个零点 , 就是函数 y ? a (a ? 0, 且 a ? 1} 与函数 y ? x ? a 有两个交点 , 由图象可知当

0 ? a ? 1 时两函数只有一个交点 , 不符合 , 当 a ? 1 时 , 因为函数 y ? ax ( a ? 1) 的图象过点
(0,1),而直线 y ? x ? a 所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的取 值范围是 a ? 1 答案: a ? 1 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考 查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答. 20、 (2009 年高考山东卷理科 16) 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) , 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) , 且 在 区 间 [0,2] 上 是 增 函 数 , 若 方 程 f(x)=m(m>0) 在 区 间 ?? 8,8? 上 有 四 个 不 同 的 根

x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________.
【解析】:因为定义在 R 上的奇函数,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,所以 f ( x ? 4) ? f (? x) ,所以, 由 f ( x) 为奇函数 , 所以函数图象关于直线 x ? 2 对称且 f (0) ? 0 , 由 f ( x ? 4) ? ? f ( x) 知

f ( x ? 8) ? f ( x) ,所以函数是以 8 为周期的周期函数,又因为 f ( x) 在区间[0,2]上是增函数,
所以 f ( x) 在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程 f(x)=m(m>0)在区间 ?? 8,8? 上有 四 个 不 同 的 根 x1 , x2 , x3 , x4 , 不 妨 设

y f(x)=m

x1 ? x2 ? x3 ? x4 x1 ? x2 ? ?12







性 所

知 以

x3 ? x4 ? 4

x1 ?
答案:-8

x2 ?

x31 ?

2x4 ? 4 ?

8?

-8 8

?

-6

?

-4

-2

(m>0) 0 2

4x 6

【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方 程问题,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题. 21、 (2011 年高考山东卷理科 15)设函数 f ( x) ?

x ( x ? 0) ,观察: x?2

f1 ( x) ? f ( x) ?

x , x?2

x , 3x ? 4 x f 3 ( x) ? f ( f 2 ( x)) ? , 7x ? 8 x f 4 ( x) ? f ( f 3 ( x)) ? , 15 x ? 16 f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ?

根据以上事实,由归纳推理可得: 当 n ? N 且 n ? 2 时, f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) ?
?

.

【答案】

x (2 ? 1) x ? 2 n
n

22、 (2011 年高考山东卷理科 16)已知函数 f(x) = loga x ? x ? b(a>0,且a ? 1). 当 2<a <3<b<4 时,函数 f(x) 的零点 x0 ? (n, n ? 1), n ? N * , 则n= 【答案】2 23、 (2012 年高考山东卷理科 16)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的 初始位置在(0,1) ,此时圆上一点 P 的位置在(0,0) ,圆在 x 轴上沿正向滚动。当圆滚 动到圆心位于(2,1)时, 的坐标为______________。 .

OP ? (2 ? sin 2,1 ? cos2)

24、 (2013 年高考山东卷理科 16)定义“正对数” :ln+x= ? 四个命题: ①.若 a>0 ,b>0,则 ln+ (ab)=b ln+a;

0 ? x ? 1. ?0, ,现有 ?l nx, x ? 1.

②. 若 a>0 ,b>0,则 ln+ (ab)= ln+a+ ln+b; ③. 若 a>0 ,b>0,则 ln+ ( )≥ ln+a- ln+b; ④. 若 a>0 ,b>0,则 ln+ (a+b)≤ ln+a+ ln+b+ ln2; 其中的真命题有______________。(写出所有真命题的符号) 答案:①③④
25. (2007 年高考山东卷理科 22) (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x ? b ln(x ? 1) ,其中 b≠0。
2

a b

(Ⅰ)当 b>

1 时,判断函数 f ( x) 在定义域上的单调性; 2

(Ⅱ)求函数 f ( x) 的极值点; (Ⅲ)证明对任意的正整数 n,不等式 ln( ? 1) ?
2

1 n

1 1 ? 3 都成立。 2 n n

【答案】(I) 函数 f ( x) ? x ? b ln( x ?1) 的定义域为 ? ?1, ?? ? .

f '( x) ? 2 x ?

b 2 x2 ? 2 x ? b ? , x ?1 x ?1
1? ? 1 ? ? , ?? ? 上递增,在 ? ?1, ? ? 上递减, 2? ? 2 ? ?

令 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? b ,则 g ( x) 在 ? ?
2

1 1 g ( x) min ? g (? ) ? ? ? b . 2 2 1 1 当 b ? 时, g ( x)min ? ? ? b ? 0 , 2 2

g ( x) ? 2 x 2 ? 2 x ? b ? 0 在 ? ?1, ??? 上恒成立. ? f ' ( x) ? 0,
即当 b ?

1 时,函数 f ( x ) 在定义域 ? ?1, ?? ? 上单调递增。 2

(II)分以下几种情形讨论:

1 时函数 f ( x ) 无极值点. 2 1 2( x ? )2 1 2 , (2)当 b ? 时, f '( x) ? x ?1 2
(1)由(I)知当 b ?

1? ? ? x ? ? ?1, ? ? 时, f ' ( x) ? 0, 2? ? ? 1 ? x ? ? ? , ?? ? 时, f ' ( x) ? 0, ? 2 ?

?b ?

1 时,函数 f ( x ) 在 ? ?1, ?? ? 上无极值点。 2
?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 1 ' 时,解 f ( x) ? 0 得两个不同解 x1 ? , x2 ? . 2 2 2 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b ? ?1 , x2 ? ? ?1 , 2 2

(3)当 b ?

当 b ? 0 时, x1 ?

? x1 ? ? ?1, ??? , x2 ? ? ?1, ??? ,
此时 f ( x ) 在 ? ?1, ?? ? 上有唯一的极小值点 x2 ? 当0 ? b ?

?1 ? 1 ? 2b . 2

1 时, x1 , x2 ? ? ?1, ?? ? , 2

f ' ( x) 在 ? ?1, x1 ? , ? x2 , ?? ? 都大于 0 , f ' ( x) 在 ( x1 , x2 ) 上小于 0 ,
此时 f ( x ) 有一个极大值点 x1 ?

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 和一个极小值点 x2 ? . 2 2 ?1 ? 1 ? 2b ; 2

综上可知, b ? 0 时, f ( x ) 在 ? ?1, ?? ? 上有唯一的极小值点 x2 ?

0?b?
b?

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 1 时, f ( x ) 有一个极大值点 x1 ? 和一个极小值点 x2 ? ; 2 2 2

1 时,函数 f ( x ) 在 ? ?1, ?? ? 上无极值点。 2
2

(III) 当 b ? ?1时, f ( x) ? x ? ln( x ? 1). 令 h( x) ? x ? f ( x) ? x ? x ? ln( x ? 1), 则
3 3 2

h ' ( x) ?

3 x 3 ? ( x ? 1) 2 在 ?0, ?? ? 上恒正, x ?1

? h ( x ) 在 ?0, ?? ? 上单调递增,当 x ? ? 0, ?? ? 时,恒有 h( x) ? h(0) ? 0 .
即当 x ? ? 0, ?? ? 时,有 x ? x ? ln( x ? 1) ? 0, ln( x ? 1) ? x ? x ,
3 2 2 3

对任意正整数 n ,取 x ?

1 1 1 1 得 ln( ? 1) ? 2 ? 3 n n n n

26. (2008 年高考山东卷理科 21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 ? a ln( x ? 1), 其中 n∈N*,a 为常数. (1 ? x)n

(Ⅰ)当 n=2 时,求函数 f(x)的极值; (Ⅱ)当 a=1 时,证明:对任意的正整数 n, 当 x≥2 时,有 f(x)≤x-1. 【答案】 (Ⅰ)解:由已知得函数 f(x)的定义域为{x|x>1}, 当 n=2 时, f ( x) ?

1 ? a ln( x ? 1), (1 ? x)2

所以

f ?( x) ?

2 ? a(1 ? x)2 . (1 ? x)3

(1)当 a>0 时,由 f ?( x) ? 0 得

x1 ? 1 ?

2 2 >1, x2 ? 1 ? <1, a a

此时 f ?( x) ?

?a( x ? x1 )( x ? x2 ) . (1 ? x)3

当 x∈(1,x1)时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减; 当 x∈(x1+∞)时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增. (2)当 a≤0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,所以 f(x)无极值. 综上所述,n=2 时,

当 a>0 时,f(x)在 x ? 1 ? 当 a≤0 时,f(x)无极值.

2 2 a 2 处取得极小值,极小值为 f (1 ? ) ? (1 ? ln ). a a 2 a

(Ⅱ)证法一:因为 a=1,所以 f ( x) ? 当 n 为偶数时, 令 g ( x) ? x ? 1 ?

1 ? ln( x ? 1). (1 ? x)n

1 ? ln( x ? 1), (1 ? x) n

则 g ?( x) ? 1 ?

n 1 x?2 n ? ? ? ? 0,( x ? 2) . n ?1 x ? 1 x ? 1 ( x ? 1)n?1 ( x ? 1)

所以当 x∈[2,+∞]时,g(x)单调递增, 又

g(2)=0

因此 g ( x) ? x ? 1 ?

1 ? ln( x ? 1) ≥g(2)=0 恒成立, ( x ? 1)n

所以 f(x)≤x-1 成立. 当 n 为奇数时, 要证 f ( x ) ≤x-1,由于

1 <0,所以只需证 ln(x-1) ≤x-1, (1 ? x ) n



h(x)=x-1-ln(x-1),

则 h?( x) ? 1 ? 所以

1 x?2 ? ≥0(x≥2), x ?1 x ?1

当 x∈[2,+∞]时, h( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 1) 单调递增,又 h(2)=1>0,

所以当 x≥2 时,恒有 h(x) >0,即 ln(x-1)<x-1 命题成立. 综上所述,结论成立. 证法二:当 a=1 时, f ( x) ?

1 ? ln( x ? 1). (1 ? x)n

当 x≥2,时,对任意的正整数 n,恒有 故只需证明 1+ln(x-1) ≤x-1.

1 ≤1, (1 ? x ) n

令 h( x) ? x ?1 ? (1 ? ln( x ?1)) ? x ? 2 ? ln( x ?1), x ??2, ??? 则 h?( x) ? 1 ?

1 x?2 ? , x ?1 x ?1

当 x≥2 时, h?( x ) ≥0,故 h(x)在 ? 2, ?? ? 上单调递增, 因此 故 当 x≥2 时,h(x)≥h(2)=0,即 1+ln(x-1) ≤x-1 成立. 当 x≥2 时,有

1 ? ln( x ? 1) ≤x-1. (1 ? x) n

即 f(x)≤x-1.

27. (2009 年高考山东卷理科 21) (本小题满分 12 分) 两县城 A 和 B 相距 20km,现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 上选择一点 C 建造

垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城 A 和城 B 的总影响 度为城 A 与城 B 的影响度之和,记 C 点到城 A 的距离为 x km,建在 C 处的垃圾处理厂对 城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明:垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成 反比,比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 (I)将 y 表示成 x 的函数; (Ⅱ)讨论(I)中函数的单调性,并判断弧 上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂 的中点时,对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065.

对城 A 和城 B 的总影响度最小?若存在,求出该点到城 A 的距离;若不存在,说明理由。 解:(1)如图,由题意知 AC⊥BC, BC ? 400 ? x , y ?
2 2

4 k ? (0 ? x ? 20) 2 x 400 ? x 2

其中当 x ? 10 2 时,y=0.065,所以 k=9

C x A B

所以 y 表示成 x 的函数为 y ? 设

4 9 ? (0 ? x ? 20) 2 x 400 ? x 2
, 则

m ? x2 , n ? 400 ? x2
4 m 9 ?( n ?

m ? n ? 400

,

y?

y?

m 4? n 9 ) ? m 4 0 n 0

1 n [? 1 3 4 0 0

m 4 ?( m

4 9 , 所 以 ? m n 9 1 ? ) 当] ? ( 且 仅 当 n 4 0 0

? 1

1 3 ? 1 1 6

4n 9m ? n ? 240 即? 时取”=”. ? m n ?m ? 160
下面证明函数 y ?

4 9 在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. ? m 400 ? m
4 9 4 9 ? ?( ? ) m1 400 ? m1 m2 400 ? m2

设 0<m1<m2<160,则 y1 ? y2 ?

?(

4(m2 ? m1 ) 9(m1 ? m2 ) 4 4 9 9 ? )?( ? )? ? m1 m2 400 ? m1 400 ? m2 m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) 4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 4 9 , ? ] ? (m2 ? m1 ) m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

? (m2 ? m1 )[

因为 0<m1<m2<160,所以 4 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) >4×240×240 9 m1m2<9×160×160 所以

4(400 ? m1)(400 ? m2) ? 9 m1m2 ? 0, m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

所 以 (m2 ? m1 )

4(400 ? m1 )(400 ? m 2) ? 9m m 4 9 1 2 在 ? 0 即 y1 ? y2 函 数 y ? ? m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) m 400 ? m

(0,160)上为减函数. 同理 ,函数 y?

4 9 在 (160,400) 上 为 增 函 数 , 设 160<m1<m2<400, 则 ? m 400 ? m

y1 ? y2 ?

4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 4 9 4 9 ? ?( ? ) ? (m2 ? m1 ) m1 400 ? m1 m2 400 ? m2 m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 )

因为 1600<m1<m2<400,所以 4 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) <4×240×240, 9 m1m2>9×160× 160 所以

4(400 ? m1 )(400 ? m2 ) ? 9m1m2 ?0, m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) 4(400 ? m1 )(400 ? m 2) ? 9m m 4 9 1 2 ? 0 即 y1 ? y2 函 数 y ? ? 在 m1m2 (400 ? m1 )(400 ? m2 ) m 400 ? m

所 以 (m2 ? m1 )

(160,400)上为增函数. 所以当 m=160 即 x ? 4 10 时取”=”,函数 y 有最小值, 所以弧 最小. 【命题立意】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题. 上存在一点,当 x ? 4 10 时使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度

28. (2010 年高考山东卷理科 22)(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (Ⅰ)当 a ?

1? a ? 1 (a ? R) . x

1 时,讨论 f ( x ) 的单调性; 2 1 2 (Ⅱ)设 g ( x) ? x ? 2bx ? 4. 当 a ? 时,若对任意 x1 ? (0, 2) ,存在 x2 ? ?1, 2? ,使 4
f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 取值范围.
【解析】 本小题主要考查导数的概念以及利用导数研究函数性质的能力, 考查分类讨论思想、 数形结合思想、等价变换思想,以及综合运用知识解决新情境、新问题的能力。 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? ln x ? ax ? 所以 f ( x) ?
'

1? a ?1 , x

1 a ? 1 ax 2 ? x ? 1 ? a ?a? 2 ? x ? (0, ??) , x x x2



,) h( x) ? a 2 x? x ?1 ? a , x ? ( 0 ,? ?

①当 a ? 单调递减;

1 ' ( 0, +? ) 时, x1 ? x2, h( x)≥0 恒成立,此时 f ( x)≤0 ,函数 f ( x ) 在 上 2

1>0 , ②当 0<a< 时, ? 1>
x ? (0,1) 时, h( x )>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减;

1 2

1 a

1 x ? (1, ?1) 时 h( x)<0 ,此时 f ' ( x)>0 ,函数 f ( x) 单调递增; a 1 x ? ( ? 1, ??) 时, h( x)>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减; a 1 ③当 a< 0 时,由于 ?1<0 , a
x ? (0,1) , h( x )>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减; x ? (1, ??) 时, h( x)<0 ,此时 f ' ( x)>0 ,函数 f ( x) 单调递增.
综上所述:

(Ⅱ)因为 a=

1 1 ) 时, f ' ( x) ? (0, ) ,由(Ⅰ)知, x1 =1, x 2 =3 ? (0, 2) ,当 x ? (0,1 4 2
1 ?17 ? b ? ? , ?? ? 当 2 ?8 ?

0,

函数 f ( x ) 单调递减; ? g ( x)?min ? g (2) ? 8 ? 4b ? 0b ? (2, ??) ?

x ? (1, 2) 时,f ' ( x)

1 0, 函数 f ( x ) 单调递增, 所以 f ( x ) 在 (0, 2) 上的最小值为 f (1) ? ? 。 2

由于“对任意 x1 ? (0, 2) ,存在 x2 ? ?1, 2? ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ”等价于 “ g ( x) 在 ?1, 2? 上的最小值不大于 f ( x ) 在(0,2)上的最小值 ? 又 g ( x) = ( x ? b) ? 4 ? b , x1 ? ?1, 2? ,所以
2 2

1 ” (*) 2

①当 b 1 时,因为 ? g ( x)?min ? g (1) ? 5 ? 2b
2

0 ,此时与(*)矛盾

②当 b ??1, 2? 时,因为 ? g ( x)?min ? 4 ? b ? 0 ,同样与(*)矛盾 ③当 b ? (2, ??) 时,因为 ? g ( x)?min ? g (2) ? 8 ? 4b ,解不等式 8-4b ? 综上,b 的取值范围是 ?

1 17 ,可得 b ? 8 2

?17 ? , ?? ? 。 ?8 ?

【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起,考查了利用导数研究 函数的单调性、 利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题, 考查了同学们分类讨论的 数学思想以及解不等式的能力;考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。 (1)直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性; (2)利用导数求出 f ( x ) 的最小值、 利用二次函数知识或分离常数法求出 g ( x) 在闭区间[1,2]上的最大值,然后解不等式求参 数。

29(2011 年高考山东卷理科 21) (本小题满分 12 分) 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容器 的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为

80? 立方米, 且 l≥2r . 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关. 已 3
知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平方米建造费用为 c (c>3) 千元, 设该容器的建造费用为 y 千元. (Ⅰ)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的 r . 【答案】解: (I)设容器的容积为 V, 由题意知 V ? ? r l ?
2

4 3 80? ? r , 又V ? , 3 3

4 V ? ? r3 80 4 4 20 3 故l ? ? 2 ? r ? ( 2 ? r) 2 ?r 3r 3 3 r
由于 l ? 2r 因此 0 ? r ? 2. 所以建造费用 y ? 2? rl ? 3 ? 4? r c ? 2? r ?
2

160? , 0 ? r ? 2. r 160? 8? (c ? 2) 3 20 (r ? ), 0 ? r ? 2. (II)由(I)得 y ' ? 8? (c ? 2)r ? 2 ? r r2 c?2
因此 y ? 4? (c ? 2)r ?
2

4 20 ( 2 ? r ) ? 3 ? 4? r 2c, 3 r

由于 c ? 3, 所以c ? 2 ? 0, 当r ?
3

20 20 ? 0时, r ? 3 . c?2 c?2

令3

20 ? m, 则 m ? 0 c?2

8? (c ? 2) (r ? m)(r 2 ? rm ? m 2 ). r2 9 (1)当 0 ? m ? 2即c ? 时, 2
所以 y ' ?

当r=m时,y'=0; 当r ?(0,m)时,y'<0; 当r ?(m,2)时,y'>0.
所以 r ? m 是函数 y 的极小值点,也是最小值点。 (2)当 m ? 2 即 3 ? c ?

9 时, 2

当 r ? (0, 2)时, y ' ? 0, 函数单调递减, 所以 r=2 是函数 y 的最小值点, 综上所述,当 3 ? c ? 当c ?

9 时,建造费用最小时 r ? 2; 2

20 9 . 时,建造费用最小时 r ? 3 c?2 2

30.(2012 年高考山东卷理科 22) (本小题满分 13 分) 已知函数 f(x) =

ln x ? k (k 为常数,c=2.71828……是自然对数的底数) ,曲线 e2

y= f(x)在点(1,f(1) )处的切线与 x 轴平行。 (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间; (Ⅲ)设 g(x)=(x2+x) f '( x ) ,其中 f '( x ) 为 f(x)的导函数,证明:对任意 x> 0,g(x)<1+e-2。

1 ? k ? ln x ln x ? k 1? k x ? 解析:由 f(x) = 可得 f ( x ) ? ,而 f ?(1) ? 0 ,即 ? 0 ,解得 x x e e e

k ?1;
1 ? 1 ? ln x (Ⅱ) f ?( x ) ? x ,令 f ?( x) ? 0 可得 x ? 1, ex 1 1 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? ? 1 ? ln x ? 0 ;当 x ? 1时, f ?( x) ? ? 1 ? ln x ? 0 。 x x
于是 f ( x ) 在区间 (0,1) 内为增函数;在 (1, ?? ) 内为减函数。

1 ? 1 ? ln x 1 ? x 2 ? ( x 2 ? x) ln x 简证(Ⅲ) g ( x) ? ( x 2 ? x) x , ? ex ex
当 x ? 1时, 1 ? x ? 0, ln x ? 0, x ? x ? 0, e ? 0 , g ( x) ? 0 ? 1 ? e .
2 2 x
?2

1 ? 1 ? ln x 1 ? x 2 ? ( x 2 ? x) ln x 2 x 当 0 ? x ? 1 时,要证 g ( x) ? ( x ? x) ? ? 1 ? e ?2 。 x x e e
只需证 1 ? x ? ( x ? x)ln x ? e (1 ? e ) ,然后构造函数即可证明。
2 2 x ?2

31.(2013 年高考山东卷理科 21) (本小题满分 13 分) 已知函数 f(x) =

x e2x

+c(e=2.71828??是自然对数的底数,c∈R).

(Ⅰ)求 f(x)的单调区间、最大值; (Ⅱ)讨论关于 x 的方程|lnx|= f(x)根的个数。

f ' ( x) ?
解(1)

1 ? 2x e2x ,

令 f ( x) ? 0 ,解得
'

x?

1 1 x? ' 2 ,令 f ( x) ? 0 ,解得 2
1 1 (?? , ) ( ,?? ) 2 ,单调递减区间为 2 ,

所以 f ( x ) 的单调递增区间为

1 1 f( )? ?c f ( x) 的最大值为 2 2e

g ( x) ? f ( x)? | ln x |?
(2)令 ①当 0 ? x ? 1 时

x ? c ? | ln x | e2x ,

g ( x ) ??

x e2x

1 ? 2x 1 x ? 2x 2 ? e 2x ? c ? ln x g ( x) ? 2 x ? ? x e xe 2 x ,所以
'

1 (? ,1) 在 0 ? x ? 1 时,函数 y ? e 的值域为 (1, e) ,函数 y ? 2 x ? x 的值域为 8 ,所以在
2x

2

' 2 2x 2x 2 0 ? x ? 1 上, 恒有 2 x ? x ? e , 即 e ? x ? 2x ? 0 , 所以 y ? g ( x) 对任意 x ? (0,1) 大

于零恒成立,所以 g ( x) 在 (0,1) 上单调递增; ②当 x ? 1 时,

g ( x ) ??

x e2x

? c ? ln x
,所以

g ' ( x) ?

1 ? 2x 1 x ? 2x 2 ? e 2x ? ? x e2x xe 2 x ,显然在 x ? 1 时有函数

y ? x ? 2x 2 ? x(1 ? 2x) ? 0 恒成立,所以函数 y ? x ? 2 x 2 ? e 2 x ? 0 在 x ? 1 时恒成立, 所
以 g ( x) ? 0 对任意 x ? (1,??) 恒成立,所以 g ( x) 在 (1,??) 上单调递减;
'

g ( x) ?
由①②得,函数

x e2x

? c ? | ln x |

在 (0,1) 上单调递增,在 (1,??) 上单调递减,所以

g ( x) 的最大值为

g (1) ?

1 ?c e2

1 1 c?? 2 ?c ?0 2 e 时,方程 | ln x |? f ( x) 有且只有一个根; 当e ,即

1 1 c?? 2 ?c ?0 2 e 时,方程 | ln x |? f ( x) 有两个不等的根; 当e ,即 1 1 c?? 2 ?c?0 2 e 时,方程 | ln x |? f ( x) 没有根。 当e ,即


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