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7.3两条直线的位置关系——交点


7.3 两条直线的位置关系——交点 一、复习回顾:两直线的位置关系(平面内)相交、平行(重合) (提问学生)

1 ○当 l 1 // l 2 两条直线 l 1 ,l 2 都有斜率 k 1 , k 2 ;l 1 : y=k 1 x+b 1 l 1 // l 2 ? l 2 :y=k 2 x+b 2 时,则:k 1 ≠ k 2 、b 1 ≠ b 2 2 ○当一条直线无斜率时,另一条直线也无斜率 l1 ⊥ l2 ? 1 ○ 当两条直线 l 1 ,l 2 都有斜率 k 1 , k 2 时则: k 1 ? k 2 = -1

2 ○当一条直线无斜率时则另一条直线斜率为 0 二、引入新课:

设l1 : 3x + 4 y ? 2 = 0, l2 : 2 x + y + 2 = 0
?3 x + 4 y ? 2 = 0 解: 方程组? ?2 x + y + 2 = 0 ? x = ?2 ∴ 方程组的解是 ? ?y = 2 . 几何意义 :
(让学生完成)

y
M?

O

x

直线 l1 : 3x + 4 y ? 2 = 0 与 直线 l 2 : 2 x + y + 2 = 0 相交于一点

三、讲解新课:7.3节两条直线的位置关系——交点 设两条直线的方程是
l1: A1x+B1 y +C1=0, l2: A2x+B2 y +C2=0.

(其中 A1 , B1不同时为零;A2 , B2 也不同时为零)
如果两条直线 l 1 :A 1 x+B 1 y+C 1 =0 和 l 2 :A 2 x+B 2 y+C 2 =0 相交, 由于交点同时在两条直线上,交点坐标一定是它们的方程组成的方 程组的唯一公共解 ;反之,如果方程组只有一组公共解,那么以这 个解为坐标的点就是直线 A 1 x+B 1 y+C 1 =0 和 A 2 x+B 2 y+C 2 =0 的交 点。因此两直线 l 1 、 l 2 相交。
说明:

1、

l1

∩ l 2 ? 方程组

A 1 x+B 1 y+C 1 =0 A 2 x+B 2 y+C 2 =0

有唯一解

2、

l1

// l 2 ? 方程组

A 1 x+B 1 y+C 1 =0 A 2 x+B 2 y+C 2 =0

有无实数解

3、

l 1 与 l 2 重合 ? 方程组

A 1 x+B 1 y+C 1 =0 有无穷多解 A 2 x+B 2 y+C 2 =0

例 1:求两直线l1 : 3 x + 4 y ? 2 = 0与l 2 : 2 x + y + 2 = 0的交点。

解:

?3 x + 4 y ? 2 = 0 方程组? ?2 x + y + 2 = 0

(让学生完成)

? x = ?2 ∴ 方程组的解是 ? ?y = 2 .

∴ 两直线l1与l 2的交点M( ? 2, 2)
练习:课本 P 55 :第一题 例 2: 求经过原点且经过以下两直线 l 1 :x-2y+2=0, l 2 :2x+y-8=0 的交点的直线方程 解:联立解方程组 x-2y+2=0 得 2x+y-8=0 x=2 y=2

∴ 两直线l1与l 2的交点M(2, 2)
因所求直线经过点 O(0,0)和 M(2,2),利用两点式请学生写出直线方程 y=x (提问学生两点式公式) 变式:求经过以下两直线 l 1 :x-2y+2=0, l 2 :2x+y-8=0 的交点且与直线 x+2y=0 ①平行②垂直的直线方程 分析: 可以根据两条直线平行或垂直的充要条件来求直线方程: 也可以根据直线系方程设出 所求直线的方程,从而根据已知条件来求直线方程。 解:让学生完成(略) 让学生阅读课本 P54 ~55 例 3: 判断下列各组直线的位置关系 1 ○ l 1 :x-y+2=0 l 2 :2x-2y+3=0

2 ○ l 1 :3x-4y-1=0 3 ○ l 1 :2x+y+1=0

l 2 :6x-8y-2=0 l 2 :x-3y-5=0

分析: 本题可用直线的斜率与截距来研究直线的位置关系, 从而让学生明白数形的对立统一, 为数形转化,数形结合,奠定一定的基础。 解: ①直线 l1、l 2 的斜率 k1 = k 2 = 1 , b 但它们在 y 轴上的截距 b1 ≠ b 2 (因为 b1 = 2 , 2 = 所以 l1 // l 2 ②直线 l1、l 2 的斜率 k1 = k 2 =

3 ) 2

3 1 ,且在 y 轴上的截距 b1 = b 2 = ? ,所以 l1与l 2 重合 4 4 1 ③直线 l1、l 2 的斜率 k1 = ?2,k 2 = ,所以两直线 l1 ∩ l 2 3

由例题得出结论: 设 l1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 , l 2 : a 2 x + b2 y + c 2 = 0 , l1、l 2 的斜率分别是 k1、k 2 ,纵截距是

?a x + b1 y + c1 = 0 b1、b 2 方程组 ? 1 ?a 2 x + b2 y + c 2 = 0
若 a1、a 2、b1、b 2 全不为零,那么 ①

(1)

a1 b1 ≠ ? k1 ≠ k 2 ? l1、l 2 相交 ? 方程组( )有唯一解 ; 1 a 2 b2 a1 b1 c1 = ≠ ? k1 = k 2 , b1 ≠ b2 ? l1 // l 2 ? 方程组( )无实数解 ; 1 a 2 b2 c 2 a1 b1 c1 = = ? k1 = k 2 , b1 = b2 ? l1与l 2 重合 ? 方程组( )有无数多个解 1 a 2 b2 c 2





若 a1、a 2、b1、b 2 有为 0 的时,就有直线垂直坐标轴,这时, l1、l 2 的位置关系结合图形 较易讨论(略) (例 3 用上述方法来完成,师生共同验证) 练习: 课本 P55 2 题 作业:课本 P59 11 题的 ①,②,③ 小结:1.两条直线的交点与相应方程组的实数解的关系; 2.两条直线相交、平行、重合时,相应方程组的系数特征。 思考:求证 m 为任意实数时,直线 m( m ? 1) x + ( 2m ? 1) y = m ? 5 通过某一定点 板书设计:

7.3 两直线的交点(三) 一、复习提问: 两条直线的位置关系 平行与垂直 二、引课 三、讲授新课 1.两直线的交点与方程 组的关系 课后附记: 2.应用举例 例1 例3

例2

变式:

从上述例题得出一般 结论 ① ② ③

小结:1. 2. 思考题:



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