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高考不等式知识点总结



不等式知识点总结
1、不等式的基本性质 ①(对称性) a ? b ? b ? a ②(传递性) a ? b, b ? c ? a ? c ③(可加性) a ? b ? a ? c ? b ? c (同向可加性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d (异向可减性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d ④(可积性) a ? b ,

c ? 0 ? ac ? bc a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc ⑤(同向正数可乘性) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ⑥(平方法则) a ? b ? 0 ? an ? bn (n ? N , 且n ? 1) ⑧(倒数法则) a ? b ? 0 ? 2、几个重要不等式 ① a2 ? b2 ? 2ab ? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号). 变形公式: ab ?
(异向正数可除性) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a ? b c d

⑦(开方法则) a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N , 且n ? 1)

1 1 1 1 ? ;a ? b ? 0 ? ? a b a b

a 2 ? b2 . 2

②(基本不等式)

a?b ? ab 2

? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取到等号).
?
2

变形公式:

a ? b ? 2 ab

? a ? b ? 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大) ,要注意 ab ? ? ? . ? 2 ?

满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式) a ? b ? c ? 3 abc (a、b、c ? R? ) (当且仅当 a ? b ? c 时取到等号).
3

④ a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ? a,b ? R ? (当且仅当 a ? b ? c 时取到等号).
2 2 2

⑤ a3 ? b3 ? c3 ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0) (当且仅当 a ? b ? c 时取到等号).

b a b a ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) 若ab? 0, 则 ? ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b a b b b?m a?n a ?1? ? 其中 (a ? b ? 0,m ? 0,n ? 0) 规律:小于 1 同加则变大,大于 1 同加则变小. ⑦ ? a a?m b?n b
⑥ 若ab ? 0, 则 ⑧ 当a ? 0时, x ? a ? x2 ? a2 ? x ? ?a或x ? a;

x ? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a.

⑨绝对值三角不等式 a ? b ? a ? b ? a ? b . 3、几个著名不等式①平均不等式:
2 a?b a 2 ? b2 ? ab ? ? a ?1 ? b?1 2 2

? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取
?

" ? " 号).(即调和平均 ? 几何平均 ? 算术平均 ? 平方平均).
2 2 ( a ? b) 2 ? a?b ? a ?b 2 2 . 变形公式: ab ? ? ; a ?b ? ? ? 2 2 ? 2 ? 2

②幂平均不等式: a1 ? a2 ? ... ? an ?
2 2 2
2 2

1 (a1 ? a2 ? ... ? an ) 2 . n

③二维形式的三角不等式: x1 ? y1 ?

x2 2 ? y2 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ( x1 , y1 , x2 , y2 ? R).
1

④二维形式的柯西不等式 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 (a, b, c, d ? R). 当且仅当 ad ? bc 时,等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式: (a12 ? a22 ? a32 )(b12 ? b22 ? b32 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 . ⑥一般形式的柯西不等式: (a12 ? a22 ? ... ? an2 )(b12 ? b22 ? ... ? bn2 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn )2 . ⑦向量形式的柯西不等式: 设 ? , ? 是两个向量,则 ? ? ? ? ? ? , 当且仅当 ? 是零向量,或存在实数 k ,使 ? ? k ? 时,等号成立. ⑧排序不等式(排序原理) : 设 a1 ? a2 ? ... ? an , b1 ? b2 ? ... ? bn 为两组实数. c1 , c2 ,..., cn 是 b1 , b2 ,..., bn 的任一排列,则

? ? ??

? ? ??

? ? ??

??

? ?

? ?

a1bn ? a2bn?1 ? ... ? anb1 ? a1c1 ? a2c2 ? ... ? ancn ? a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn . (反序和 ? 乱序和 ? 顺序和)
当且仅当 a1 ? a2 ? ... ? an 或 b1 ? b2 ? ... ? bn 时,反序和等于顺序和. ⑨琴生不等式 : (特例 : 凸函数、凹函数)若定义在某区间上的函数 f ( x ) , 对于定义域中任意两点
x1 , x2 ( x1 ? x2 ), 有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 或
2 2 f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 则称 f(x)为凸(或凹)函数. )? . 2 2

4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有:比较法(作差,作商法) 、综合法、分析法;其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构 造法,函数单调性法,数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法: ①舍去或加上一些项,如 (a ? ) ?
2

1 2

3 1 ? (a ? ) 2 ; 4 2

②将分子或分母放大(缩小) ,如
1 1 1 1 ? , ? , k 2 k (k ? 1) k 2 k (k ? 1)

(

2 2 k

?

2 1 2 1 2 ?) ? , ? (k ? N * , k ? 1) 等. k? k k k ? k ?1 k k ? k ?1

5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) 解集的步骤: 一化:化二次项前的系数为正数.二判:判断对应方程的根.三求:求对应方程的根.四画:画出对应函数 的图象.五解集:根据图象写出不等式的解集. 规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边. 6、高次不等式的解法:穿根法.分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿(奇穿偶切) ,结合原 式不等号的方向,写出不等式的解集.

7、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则

f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0

“? 或 ?” ( 时同理)

规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解
2



? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ⑵ f ( x) ? a(a ? 0) ? ? f ( x ) ? a ( a ? 0) ? ? 2 2 ? f ( x) ? a ? f ( x) ? a
? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? ⑷ f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? ? g ( x) ? 0 g ( x ) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? ?
? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?





规律:把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法: ⑴当 a ? 1 时, a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ⑵当 0 ? a ? 1 时, a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) 规律:根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法
? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ⑴当 a ? 1 时, log f ( x) ? log g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ⑵当 0 ? a ? 1 时, log f ( x) ? log g ( x) ? ? ? g ( x) ? 0 . ? a a a a ? f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ?

规律:根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法:⑴定义法: a ? ? ⑶同解变形法,其同解定理有: ① x ? a ? ?a ? x ? a(a ? 0); ② x ? a ? x ? a或x ? ?a(a ? 0); ③ f ( x) ? g ( x) ? ?g ( x) ? f ( x) ? g( x) ( g( x) ? 0) ④ f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) 或f ( x) ? ? g ( x) ( g ( x) ? 0) 规律:关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法: 规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集,最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法 解形如 ax ? bx ? c ? 0 且含参数的不等式时,要对参数进行分类讨论,分类讨论的标准有:
2

?a (a ? 0) . ⑵平方法: f ( x) ? g ( x) ? f 2 ( x) ? g 2 ( x). ? a ( a ? 0) ?

⑴讨论 a 与 0 的大小;⑵讨论 ? 与 0 的大小;⑶讨论两根的大小. 14、恒成立问题
2 ⑴不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0; ②当

a?0 a ? 0 时? ? ?

?? ? 0.

⑵不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:①
2

当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0; ②当 a ? 0 时 ? ?a ? 0

? ?? ? 0.

⑶ f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a; f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a;
3

⑷ f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a; f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a. 15、线性规划问题 ⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断: 法一: 取点定域法: 由于直线 Ax ? By ? C ? 0 的同一侧的所有点的坐标代入 Ax ? By ? C 后所得的实 数的符号相同.所以,在实际判断时,往往只需在直线某一侧任取一特殊点 ( x0 , y0 ) (如原点) ,由

Ax0 ? By0 ? C 的正负即可判断出 Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) 表示直线哪一侧的平面区域.
即:直线定边界,分清虚实;选点定区域,常选原点. 法二:根据 Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) ,观察 B 的符号与不等式开口的符号,若同号, Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) 表示直线上方的区域;若异号,则表示直线上方的区域. 即:同号上方,异号下方. ⑵二元一次不等式组所表示的平面区域: 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公 共部分. ⑶利用线性规划求目标函数 z ? Ax ? By ( A, B 为常数)的最值: 法一:角点法: 如果目标函数 z ? Ax ? By ( x、 y 即为公共区域中点的横坐标和纵坐标)的最值存在,则这些最值都 在该公共区域的边界角点处取得,将这些角点的坐标代入目标函数,得到一组对应 z 值,最大的那个数为 目标函数 z 的最大值,最小的那个数为目标函数 z 的最小值 法二:画——移——定——求: 第一步,在平面直角坐标系中画出可行域;第二步,作直线 l0 : Ax ? By ? 0 ,平移直线 l0 (据可行域, 将直线 l0 平行移动)确定最优解;第三步,求出最优解 ( x, y ) ;第四步,将最优解 ( x, y ) 代入目标函数 z ? Ax ? By 即可求出最大值或最小值 . 第二步中最优解的确定方法:利用 z 的几何意义: y ? ?

A z z x ? , 为直线的纵截距. B B B

①若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直线的纵截距最大的角点处, z 取得最大值,使直线的 纵截距最小的角点处, z 取得最小值; ②若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直线的纵截距最大的角点处, z 取得最小值,使直线的 纵截距最小的角点处, z 取得最大值. ⑷常见的目标函数的类型: ①“截距”型: z ? Ax ? By; ②“斜率”型: z ?

y 或 z ? y ?b; x x?a

2 2 ③“距离”型: z ? x ? y 或 z ?

x2 ? y 2 ;

z ? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 或 z ? ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 .

在求该“三型”的目标函数的最值时,可结合线性规划与代数式的几何意义求解,从而使问题简单化.

4

16. 利用均值不等式:

? a ? b? a 2 ? b 2 ? 2ab a,b ? R ? ;a ? b ? 2 ab;ab ? ? ? 求最值时,你是否注 ? 2 ?

?

?

2

意到“a,b ? R ? ”且“等号成立”时的条件,积(ab) 或和(a ? b) 其中之一为定 值?(一正、二定、三相等)

注意如下结论:

a 2 ? b2 a ? b 2ab ? ? ab ? a,b ? R ? 2 2 a?b

?

?

当且仅当a ? b时等号成立。

a 2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ?a,b ? R? 当且仅当a ? b ? c时取等号。
a ? b ? 0,m ? 0,n ? 0,则
如:若x ? 0, 2 ? 3x ?

b b?m a?n a ? ?1? ? a a?m b?n b

4 的最大值为 x

4? ? (设y ? 2 ? ? 3x ? ? ? 2 ? 2 12 ? 2 ? 4 3 ? x?

当且仅当3x ?

4 2 3 ,又x ? 0,∴x ? 时,y max ? 2 ? 4 3) x 3
(∵2 x ? 2 2 y ? 2 2 x?2 y ? 2 21 ,∴最小值为2 2)

又如:x ? 2y ? 1,则2 x ? 4 y 的最小值为

17. 不等式证明的基本方法都掌握了吗? (比较法、分析法、综合法、数学归纳法等) 并注意简单放缩法的应用。

如:证明1 ?

1 1 1 ? 2 ??? 2 ?2 2 2 3 n

(1 ?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ?? ? 2 ? 1 ? ? ? ?? ? 2 1? 2 2 ? 3 2 3 n ?n ? 1?n

? 1?1? ? 2?

1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? 2 2 3 n ?1 n

1 ? 2) n

18 .解分式不等式 f ( x) ? a?a ? 0?的一般步骤是什么? g ( x) (移项通分,分子分母因式分解,x 的系数变为 1,穿轴法解得结果。 ) 19. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿,偶切” ,从最大根的右上方开始

如:?x ? 1??x ? 1? ?x ? 2? ? 0
2 3

5

20. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如:对数或指数的底分a ? 1或0 ? a ? 1讨论
21. 对含有两个绝对值的不等式如何去解? (找零点,分段讨论,去掉绝对值符号,最后取各段的并集。 )

1? 例如:解不等式| x ? 3|? x ? 1 ? 1 (解集为 ? ?x| x ? ?) 2? ?
22、 会用不等式| a | ? | b |?| a ? b |?| a | ? | b | 证明较简单的不等问题

如:设f ( x) ? x 2 ? x ? 13,实数a满足| x ? a| ? 1 求证: f ( x) ? f (a) ? 2(| a|?1)

?|( x ? a)( x ? a ? 1)| (?| x ? a| ? 1) 证明: | f ( x) ? f (a)| ?|( x 2 ? x ? 13) ? (a 2 ? a ? 13)| ?| x ? a|| x ? a ? 1| ?| x ? a ? 1| ?| x|?| a|?1

又| x|?| a| ?| x ? a| ? 1,∴| x| ?| a|?1 ∴ f ( x) ? f (a) ? 2| a|?2 ? 2?| a|?1?
(按不等号方向放缩) 23. 不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么?(可转化为最值问题,或“△”问题)

如:a ? f ( x) 恒成立 ? a ? f ( x) 的最小值 a ? f ( x) 恒成立 ? a ? f ( x) 的最大值
a ? f ( x) 能成立 ? a ? f ( x) 的最小值

例如:对于一切实数x,若 x ? 3 ? x ? 2 ? a恒成立,则a的取值范围是
(设u ? x ? 3 ? x ? 2 ,它表示数轴上到两定点 ? 2和3距离之和

u m i n? 3 ? ??2? ? 5,∴5 ? a,即a ? 5

或者: x ? 3 ? x ? 2 ? ?x ? 3? ? ?x ? 2? ? 5,∴a ? 5)

6



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