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第二章函数周期性和奇偶性.ppt



数学

R A(理)

§2.2 函数的单调性与最值
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ

基础知识·自主学习
要点梳理
1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I:如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2 当

x1<x2 时,都 定义 有 f(x1)<f(x2) 间 D 上是增函数 , 那 当 x1<x2 时, 都有 f(x1)>f(x2) , 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是 减函数
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么就说函数 f(x)在区

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基础知识·自主学习
要点梳理
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图象 描述 自左向右看图象是 自左向右看图象是

上升的

下降的

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基础知识·自主学习
要点梳理
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(2)单调区间的定义 如果函数 y=f(x)在区间 D 上是 增函数 或 减函数 , 那么就说 函数 y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性, 区间D 函数 y=f(x)的单调区间. 叫做

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要点梳理
2.函数的最值 前提 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果存在实数 M 满足 (1)对于任意 x∈I,都 条件 有 f(x)≤M ; (2)存在 x0∈I,使得 (3)对于任意 x∈I,都 有 f(x)≥M ; . (4)存在 x0∈I,使得
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f(x0)=M .
结论 M 为最大值

f ( x0 ) = M

M 为最小值

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基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2) √ (3) × (4) × (5) √ (6) ×

解析

C C
4 3,1 ①②

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题型分类·深度剖析
题型一 函数单调性的判断
思维启迪 解析 思维升华

【例 1 】 讨论函数 f(x) = ax (a>0)在 x∈(-1,1)上 2 x -1 的单调性.

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题型分类·深度剖析
题型一 函数单调性的判断
思维启迪 解析 思维升华

【例 1 】 讨论函数 f(x) = 可根据定义,先设 ax (a>0)在 x∈(-1,1)上 -1<x1<x2<1,然后作差、 2 x -1 的单调性.

变形、定号、判断.

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题型分类·深度剖析
题型一 函数单调性的判断
思维启迪 解析 思维升华



设-1<x1<x2<1,

【例 1 】 讨论函数 f(x) = 则 f(x )-f(x )= ax1 - ax2 1 2 x2 x2 1-1 2-1 ax (a>0)在 x∈(-1,1)上 2 x -1 2 ax1x2 - ax - ax x 2 1 2 1+ax2


的单调性.

2 2 ?x1 -1??x2 -1?

a?x2-x1??x1x2+1? = . 2 2 ?x1-1??x2-1?
∵-1<x1<x2<1,

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题型分类·深度剖析
题型一 函数单调性的判断
思维启迪 解析 思维升华

【例 1 】 讨论函数 f(x) = 2 2 ( x - 1)( x 1 2-1)>0. ax (a>0)在 x∈(-1,1)上 2 x -1
又∵a>0,

∴x2-x1>0,x1x2+1>0,

的单调性.

∴f(x1)-f(x2)>0,

∴函数 f(x)在(-1,1)上为减函数.

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题型分类·深度剖析
题型一 函数单调性的判断
思维启迪 解析 思维升华

利用定义法证明或判断函数单调

【例 1 】 讨论函数 f(x) = 性的步骤: ax (a>0)在 x∈(-1,1)上 2 x -1 的单调性.

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a 跟踪训练 1 (1)已知 a>0,函数 f(x)=x+x (x>0),证明:函 数 f(x)在(0, a]上是减函数,在[ a,+∞)上是增函数;
(1)证明 设 x1,x2 是任意两个正数,且 0<x1<x2, ? a? ? a ? x1-x2 则 f(x1)-f(x2)=?x1+x ?-?x2+x ? = x1x2 (x1x2-a). ? ? 1? 2?
当 0<x1<x2≤ a时,0<x1x2<a,又 x1-x2<0, 所以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), 所以函数 f(x)在(0, a]上是减函数; 当 a≤x1<x2 时,x1x2>a,又 x1-x2<0,

所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),
所以函数 f(x)在[ a,+∞)上是增函数.
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题型分类·深度剖析
(2)求函数 y= x2+x-6的单调区间.

(2)解 令 u=x2+x-6,y= x2+x-6可以看作有 y= u与 u=x2+x-6 的复合函数.
由 u=x2+x-6≥0,得 x≤-3 或 x≥2.
∵u=x2+x-6 在(-∞,-3]上是减函数,在[2,+∞)上是 增函数,而 y= u在(0,+∞)上是增函数.
∴y= x2+x-6的单调减区间为(-∞,-3],单调增区间为 [2,+∞).

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题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

利用函数的单调性求参数
(1)如果函数 f(x)=ax2+2x
思维启迪 解析 答案 思维升华

-3 在区间(-∞,4)上是单调递增 的,则实数 a 的取值范围是 ( ) 1 1 A.a>- B.a≥- 4 4 1 1 C.- ≤a<0 D.- ≤a≤0 4 4 ? ??2-a?x+1,x<1, (2)已知 f(x)=? x ? ?a ,x≥1, f?x1?-f?x2? 满足对任意 x1≠x2, 都有 x1-x2 >0 成立,那么 a 的取值范围是 ________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

利用函数的单调性求参数
(1)如果函数 f(x)=ax2+2x
思维启迪 解析 答案 思维升华

-3 在区间(-∞,4)上是单调递增 的,则实数 a 的取值范围是 ( ) 1 1 A.a>- B.a≥- 4 4 1 1 C.- ≤a<0 D.- ≤a≤0 4 4 ? ??2-a?x+1,x<1, (2)已知 f(x)=? x ? ?a ,x≥1, f?x1?-f?x2? 满足对任意 x1≠x2, 都有 x1-x2 >0 成立,那么 a 的取值范围是 ________.
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利用函数的单调性求参数或参 数的取值范围,解题思路为视 参数为已知数,依据函数的图 象或单调性定义,确定函数的 单调区间,与已知单调区间比 较求参.

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

利用函数的单调性求参数
(1)如果函数 f(x)=ax2+2x
思维启迪 解析 答案 思维升华

-3 在区间(-∞,4)上是单调递增 (1)当 a=0 时,f(x)=2x-3,在 的,则实数 a 的取值范围是 ( ) 定义域 R 上是单调递增的,故在 1 1 (-∞,4)上单调递增; A.a>- B.a≥- 4 4 当 a≠0 时,二次函数 f(x)的对称 1 1 C.- ≤a<0 D.- ≤a≤0 1 4 4 轴为 x=-a, ? ??2-a?x+1,x<1, 因为 f(x)在(-∞,4)上单调递增, (2)已知 f(x)=? x ? 1 ?a ,x≥1, 所以 a<0,且-a≥4, f?x1?-f?x2? 满足对任意 x1≠x2, 都有 1 x1-x2 解得 0>a≥-4. >0 成立,那么 a 的取值范围是 1 综合上述得-4≤a≤0. ________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

利用函数的单调性求参数
(1)如果函数 f(x)=ax2+2x
思维启迪 解析 答案 思维升华

-3 在区间(-∞,4)上是单调递增 (2)由已知条件得 f(x)为增函数, 的,则实数 a 的取值范围是 ( ) ?2-a>0 1 1 ? A.a>- B.a≥- ∴?a>1 , 4 4 ? ??2-a?×1+1≤a 1 1 C.- ≤a<0 D.- ≤a≤0 4 4 3 ? ??2-a?x+1,x<1, 解得2≤a<2, ? (2)已知 f(x)= x ? ?a ,x≥1, 3 f?x1?-f?x2? ∴a 的取值范围是[2,2). 满足对任意 x1≠x2, 都有 x1-x2 >0 成立,那么 a 的取值范围是 ________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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题型二
【例 2】

利用函数的单调性求参数
(1)如果函数 f(x)=ax2+2x
思维启迪 解析 答案 思维升华

-3 在区间(-∞,4)上是单调递增 (2)由已知条件得 f(x)为增函数, 的,则实数 a 的取值范围是 ( D ) ?2-a>0 1 1 ? A.a>- B.a≥- ∴?a>1 , 4 4 ? ??2-a?×1+1≤a 1 1 C.- ≤a<0 D.- ≤a≤0 4 4 3 ? ??2-a?x+1,x<1, 解得 ≤a<2, 2 ? (2)已知 f(x)= x ? ?a ,x≥1, 3 f?x1?-f?x2? ∴a 的取值范围是[2,2). 满足对任意 x1≠x2, 都有 x1-x2 >0 成立,那么 a 的取值范围是 3 [2,2) . ________
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

利用函数的单调性求参数
(1)如果函数 f(x)=ax2+2x
思维启迪 解析 答案 思维升华

-3 在区间(-∞,4)上是单调递增 的,则实数 a 的取值范围是 ( D ) 1 1 A.a>- B.a≥- 4 4 1 1 C.- ≤a<0 D.- ≤a≤0 4 4 ? ??2-a?x+1,x<1, (2)已知 f(x)=? x ? ?a ,x≥1, f?x1?-f?x2? 满足对任意 x1≠x2, 都有 x1-x2 >0 成立,那么 a 的取值范围是 3 [2,2) . ________
基础知识 题型分类

已知函数的单调性确定参数的 值或范围要注意以下两点:

①若函数在区间[a, b]上单调, 则 该函数在此区间的任意子区间上 也是单调的; ②分段函数的单调性,除注意各 段的单调性外,还要注意衔接点 的取值.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
x-5 跟踪训练 2 (1)函数 y= 在(-1,+∞)上单调递增,则 a x-a-2 的取值范围是 A.a=-3 C.a≤-3 B.a<3 D.a≥-3 ( C )

x-5 a-3 解析 (1)y= =1+ , x-a-2 x-?a+2?
由函数在(-1,+∞)上单调递增,
? ?a-3<0 有? ? ?a+2≤-1

,解得 a≤-3.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
ax ? ? (2)已知 f(x)=?? a? ?4- ?x+2 ? ?? 2 ? 则实数 a 的取值范围为 A.(1,+∞) C.(4,8)
?a>1, ? ?4-a>0, 2 所以可得? ? a ?a≥4- +2. 2 ? 故选 B.
基础知识

?x>1?, ?x≤1? 是 R 上的单调递增函数, ( B ) B.[4,8) D.(1,8)

解析 (2) 因为 f(x)是 R 上的单调递增函数,

解得 4≤a<8,

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

函数的单调性和最值
已知定义在区间
思维启迪 解析 思维升华

(0,+∞)上的函数 f(x)满足 ?x1? f ?x ?=f(x1)-f(x2),且当 x>1 ? 2? 时,f(x)<0. (1)求 f(1)的值; (2)证明: f(x)为单调递减函数; (3)若 f(3)=-1, 求 f(x)在[2,9] 上的最小值.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

函数的单调性和最值
已知定义在区间
思维启迪 解析 思维升华

抽象函数的问题要根据题设 (0,+∞)上的函数 f(x)满足 ?x1? f ?x ?=f(x1)-f(x2),且当 x>1 及所求的结论来适当取特殊 ? 2?
时,f(x)<0. (1)求 f(1)的值;

值,证明 f(x)为单调减函数的 首选方法是用单调性的定义

(2)证明: f(x)为单调递减函数; 来证. 问题(3)用函数的单调性 (3)若 f(3)=-1, 求 f(x)在[2,9] 上的最小值.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

即可求最值.

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

函数的单调性和最值
已知定义在区间
思维启迪 解析 思维升华

(0,+∞)上的函数 f(x)满足 (1)解 ?x1? f ?x ?=f(x1)-f(x2),且当 x>1 ? 2? 时,f(x)<0. (1)求 f(1)的值; (2)证明: f(x)为单调递减函数; (3)若 f(3)=-1, 求 f(x)在[2,9] 上的最小值.
基础知识 题型分类

令 x1=x2>0,

代入得 f(1)=f(x1)-f(x1) =0, 故 f(1)=0.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

函数的单调性和最值
已知定义在区间
思维启迪 解析 思维升华

任取 x1, x2∈(0, +∞), (0,+∞)上的函数 f(x)满足 x1 且 x1>x2,则 >1, ?x1? x2 f ?x ?=f(x1)-f(x2),且当 x>1
? 2?

(2)证明

时,f(x)<0. (1)求 f(1)的值; (2)证明: f(x)为单调递减函数;

由于当 x>1 时,f(x)<0, ?x1? 所以 f?x ?<0, ? 2?

即 f(x1)-f(x2)<0, 因此 f(x1)<f(x2),

(3)若 f(3)=-1, 求 f(x)在[2,9] 所以函数 f(x)在区间(0,+∞)上 上的最小值.
基础知识 题型分类

是单调递减函数.
思想方法 练出高分

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题型三
【例 3】

函数的单调性和最值
已知定义在区间
思维启迪 解析 思维升华

(0,+∞)上的函数 f(x)满足 调递减函数. ?x1? f ?x ?=f(x1)-f(x2),且当 x>1 ? 2? ∴f(x)在[2,9]上的最小值为 f(9). 时,f(x)<0. (1)求 f(1)的值; (2)证明: f(x)为单调递减函数; (3)若 f(3)=-1, 求 f(x)在[2,9] 上的最小值.
基础知识 题型分类

(3)解

∵f(x)在(0,+∞)上是单

由f

?x1? ? ?=f(x1)-f(x2)得, ?x2?

f

?9? ? ?=f(9)-f(3),而 ?3?

f(3)=-1,

所以 f(9)=-2.

∴f(x)在[2,9]上的最小值为-2.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

函数的单调性和最值
已知定义在区间
思维启迪 解析 思维升华

(0,+∞)上的函数 f(x)满足 紧扣单调性的定义,结合题目所 ?x1? f ?x ?=f(x1)-f(x2),且当 x>1 给性质和相应的条件,对任意 ? 2? 时,f(x)<0. (1)求 f(1)的值;
x1,x2 在所给区间内比较 f(x1)- f?x1? f(x2)与 0 的大小,或 与1的 f?x2?

(1) 抽象函数的单调性的判断要

(2)证明: f(x)为单调递减函数; 大小.有时根据需要,需作适当 x1 或 x1=x2+ (3)若 f(3)=-1, 求 f(x)在[2,9] 的变形:如 x1=x2· x2 上的最小值.
基础知识 题型分类

x1-x2 等;
思想方法 练出高分

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题型三
【例 3】

函数的单调性和最值
已知定义在区间
思维启迪 解析 思维升华

(0,+∞)上的函数 f(x)满足 (2) 利用函数单调性可以求函 ?x1? f ?x ?=f(x1)-f(x2),且当 x>1 ? 2? 时,f(x)<0. (1)求 f(1)的值; (2)证明: f(x)为单调递减函数; (3)若 f(3)=-1, 求 f(x)在[2,9] 上的最小值.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

数最值,若函数 f(x)在[a,b] 上单调递增,则 f(x)的最小值 是 f(a),最大值是 f(b).

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 (1) 如果函数 f(x)对任意的实数 x, 都有 f(1+x)=f (-x), 1 且当 x≥ 时,f(x)=log2(3x-1),那么函数 f(x)在[-2,0]上的最大值与 2 最小值之和为 A.2 B.3 C.4 D.-1 ( C )

1 解析 (1)根据 f(1+x)=f(-x), 可知函数 f(x)的图象关于直线 x=2 对称. 1 又函数 f(x)在[2,+∞)上单调递增, 1 故 f(x)在(-∞,2]上单调递减,

则函数 f(x)在[-2,0]上的最大值与最小值之和为
f(-2)+f(0)=f(1+2)+f(1+0)=f(3)+f(1)=log28+log22=4.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
(2)函数 f(x)= 1 1 在区间[a,b]上的最大值是 1,最小值是 ,则 3 x-1

6 a+b=________.
解析 (2)易知 f(x)在[a,b]上为减函数,
? ?a=2, ∴? ? ?b=4.

1 ? ? =1, ? ?f?a?=1, a - 1 ? ? ∴ 即? 1 1 1 f?b?=3, ? ? ? =3, ? b - 1 ?
∴a+b=6.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列2 函数单调性的应用
典例:(12 分)函数 f(x)对任意的 m、n∈R,都有 f(m+n)=f(m) +f(n)-1,并且 x>0 时,恒有 f(x)>1. (1)求证:f(x)在 R 上是增函数; (2)若 f(3)=4,解不等式 f(a2+a-5)<2.
易 错 分 析 规 范 解 答 答 题 模 板 温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列2 函数单调性的应用
典例:(12 分)函数 f(x)对任意的 m、n∈R,都有 f(m+n)=f(m) +f(n)-1,并且 x>0 时,恒有 f(x)>1. (1)求证:f(x)在 R 上是增函数; (2)若 f(3)=4,解不等式 f(a2+a-5)<2.
易 错 分 析 规 范 解 答 答 题 模 板 温 馨 提 醒

(1)对于抽象函数的单调性的证明, 只能用定义. 应该构造出 f(x2) -f(x1)并与 0 比较大小.
(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是 本小题的切入点.要构造出 f(M)<f(N)的形式.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列2 函数单调性的应用
典例:(12 分)函数 f(x)对任意的 m、n∈R,都有 f(m+n)=f(m) +f(n)-1,并且 x>0 时,恒有 f(x)>1. (1)求证:f(x)在 R 上是增函数; (2)若 f(3)=4,解不等式 f(a2+a-5)<2.
易 错 分 析 规 范 解 答 答 题 模 板 温 馨 提 醒
2分 4分

(1)证明

设 x1,x2∈R,且 x1<x2,∴x2-x1>0,

∵当 x>0 时,f(x)>1,∴f(x2-x1)>1.
f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1,

∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0?f(x1)<f(x2),

∴f(x)在 R 上为增函数.
基础知识 题型分类 思想方法

6分

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列2 函数单调性的应用
典例:(12 分)函数 f(x)对任意的 m、n∈R,都有 f(m+n)=f(m) +f(n)-1,并且 x>0 时,恒有 f(x)>1. (1)求证:f(x)在 R 上是增函数; (2)若 f(3)=4,解不等式 f(a2+a-5)<2.
易 错 分 析 规 范 解 答 答 题 模 板 温 馨 提 醒
8分 10分 12分

(2)解 ∵m,n∈R,不妨设 m=n=1, ∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1?f(2)=2f(1)-1, f(3)=4?f(2+1)=4?f(2)+f(1)-1=4?3f(1)-2=4, ∴f(1)=2,∴f(a2+a-5)<2=f(1), ∵f(x)在 R 上为增函数, ∴a2+a-5<1?-3<a<2,即 a∈(-3,2).
基础知识 题型分类 思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列2 函数单调性的应用
典例:(12 分)函数 f(x)对任意的 m、n∈R,都有 f(m+n)=f(m) +f(n)-1,并且 x>0 时,恒有 f(x)>1. (1)求证:f(x)在 R 上是增函数; (2)若 f(3)=4,解不等式 f(a2+a-5)<2.
易 错 分 析 规 范 解 答 答 题 模 板 温 馨 提 醒

解函数不等式问题的一般步骤: 第一步:确定函数 f(x)在给定区间上的单调性; 第二步:将函数不等式转化为 f(M)<f(N)的形式;
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列2 函数单调性的应用
典例:(12 分)函数 f(x)对任意的 m、n∈R,都有 f(m+n)=f(m) +f(n)-1,并且 x>0 时,恒有 f(x)>1. (1)求证:f(x)在 R 上是增函数; (2)若 f(3)=4,解不等式 f(a2+a-5)<2.
易 错 分 析 规 范 解 答 答 题 模 板 温 馨 提 醒

第三步:运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”, 转化成一般的不等式或不等式组;
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识

题型分类·深度剖析
答题模板系列2 函数单调性的应用
典例:(12 分)函数 f(x)对任意的 m、n∈R,都有 f(m+n)=f(m) +f(n)-1,并且 x>0 时,恒有 f(x)>1. (1)求证:f(x)在 R 上是增函数; (2)若 f(3)=4,解不等式 f(a2+a-5)<2.
易 错 分 析 规 范 解 答 答 题 模 板 温 馨 提 醒

第四步:解不等式或不等式组确定解集; 第五步:反思回顾.查看关键点,易错点及解题规范.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列2 函数单调性的应用
典例:(12 分)函数 f(x)对任意的 m、n∈R,都有 f(m+n)=f(m) +f(n)-1,并且 x>0 时,恒有 f(x)>1. (1)求证:f(x)在 R 上是增函数; (2)若 f(3)=4,解不等式 f(a2+a-5)<2.
易 错 分 析 规 范 解 答 答 题 模 板 温 馨 提 醒

本题对函数的单调性的判断是一个关键点.不会运用条件 x>0 时,f(x)>1.构造不出 f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1 的形式,找不到问 题的突破口.第二个关键应该是将不等式化为 f(M)<f(N) 的形 式. 解决此类问题的易错点: 忽视 M、 N 的取值范围, 即忽视 f(x) 所在的单调区间的约束.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高

1.利用定义判断或证明函数的单调性

方 法 与 技 巧

设任意 x1,x2∈[a,b]且 x1<x2,那么 f?x1?-f?x2? ① >0?f(x)在[a,b]上是增函数; x1-x2 f?x1?-f?x2? <0?f(x)在[a,b]上是减函数. x1-x2 ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?f(x)在[a,b]上是增函数; (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0?f(x)在[a,b]上是减函数. 函数的单调性是对某个区间而言的.

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2.求函数的单调区间

方 法 与 技 巧

首先应注意函数的定义域,函数的单调区间都 是其定义域的子集;其次掌握一次函数、二次 函数等基本初等函数的单调区间.常用方法: 根据定义、利用图象和单调函数的性质、利用 导数的性质.

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3.复合函数的单调性

方 法 与 技 巧

对于复合函数 y=f[g(x)],若 t=g(x)在区间(a,b) 上是单调函数,且 y=f(t)在区间(g(a),g(b))或者 (g(b),g(a))上是单调函数,若 t=g(x)与 y=f(t) 的单调性相同(同时为增或减),则 y=f[g(x)]为增 函数;若 t=g(x)与 y=f(t)的单调性相反,则 y= f[g(x)]为减函数. 简称:同增异减.

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失 误 与 防 范

函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单 调递增或单调递减.单调区间要分开写,即使在两个 区间上的单调性相同,也不能用并集表示.

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1 2 3

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5 6 7 8 9 10

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1.函数 f(x)中,满足“对任意 x1,x2∈(0,+∞),当 x1<x2 时, 都有 f(x1)>f(x2)”的是 1 A.f(x)=x B.f(x)=(x-1)2 C.f(x)=ex
解析

( A )

D.f(x)=ln(x+1)

由题意知 f(x)在(0,+∞)上是减函数. 1 A 中,f(x)=x 满足要求;

B 中,f(x)=(x-1)2 在[0,1]上是减函数,在(1,+∞)上是增函数;

C 中,f(x)=ex 是增函数;
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D 中,f(x)=ln(x+1)是增函数.
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2. 若函数 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)=(a+1)1-x 在区间[1,2]上都是减 函数,则 a 的取值范围是 A.(-1,0) C.(0,1)
解析

( D ) B.(-1,0)∪(0,1] D.(0,1]

∵f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2 在[1,2]上是减函数,


∴a≤1.① 又 g(x)=(a+1)1 x 在[1,2]上是减函数.
∴a+1>1,∴a>0.② 由①、②知,0<a≤1.
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3.已知函数 f(x)=2ax2+4(a-3)x+5 在区间(-∞,3)上是减 函数,则 a 的取值范围是 3 3 A.(0, ) B.(0, ] 4 4
解析

3 C.[0, ) 4

( D ) 3 D.[0, ] 4

当 a=0 时,f(x)=-12x+5,在(-∞,3)上是减函数,

a>0 ? ? 3 ? 当 a≠0 时,由 4?a-3? ,得 0<a≤4, - 4a ≥3 ? ?

3 综上 a 的取值范围是 0≤a≤4.
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1 4.已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f(x)>f(1)的实数 x 的取值范 围是 A.(-∞,1) C.(-∞,0)∪(0,1) B.(1,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞) ( D )

解析

x-1 1 依题意得x <1,即 x >0,

所以 x 的取值范围是 x>1 或 x<0.

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5.定义新运算“?”:当 a≥b 时,a ? b=a;当 a<b 时,a ? b=b2,则函数 f(x)=(1 ? x)x-(2 ? x),x∈[-2,2]的最大值 等于 A.-1 B.1 C.6 D.12 ( C )

解析

由已知得当-2≤x≤1 时,f(x)=x-2,

当 1<x≤2 时,f(x)=x3-2, ∵f(x)=x-2,f(x)=x3-2 在定义域内都为增函数. ∴f(x)的最大值为 f(2)=23-2=6.
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6.函数

?3 ? ? ,4? 2 f(x)=ln(4+3x-x )的单调递减区间是__________ . ?2 ?

函数 f(x)的定义域是(-1,4),u(x)=-x2+3x+4 ? ?3 ? 3?2 25 =-?x-2? + 4 的减区间为?2,4?, ? ? ? ? 解析 ∵e>1, ∴函数
?3 ? f(x)的单调递减区间为?2,4?. ? ?

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ax+1 7.设函数 f(x)= 在区间(-2,+∞)上是增函数,那么 a x+2a

[1,+∞) . 的取值范围是__________
ax+2a2-2a2+1 2a2-1 f(x)= =a- , x+2a x+2a

解析

∵函数 f(x)在区间(-2,+∞)上是增函数.
2 ? ?2a -1>0 ∴? ? ?-2a≤-2 2 ? ?2a -1>0 ?? ? ?a≥1

?a≥1.

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??1?? ?? ??<f(1)的实数 ??x??

8.已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f

x的

(-1,0)∪(0,1) . 取值范围是______________
??1?? ?1? ?? ??<f(1),得? ?>1, ?x? ?? x ??

解析

由f

1 1 ∴x >1 或x <-1,
∴0<x<1 或-1<x<0.

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9. 函数 f(x)=x2-4x-4 在闭区间[t, t+1](t∈R)上的最小值记 为 g(t). (1)试写出 g(t)的函数表达式; (2)求 g(t)的最小值.
解 (1)f(x)=x2-4x-4=(x-2)2-8.

当 t>2 时,f(x)在[t,t+1]上是增函数, ∴g(t)=f(t)=t2-4t-4;

当 t≤2≤t+1,即 1≤t≤2 时,g(t)=f(2)=-8;
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9. 函数 f(x)=x2-4x-4 在闭区间[t, t+1](t∈R)上的最小值记 为 g(t). (1)试写出 g(t)的函数表达式; (2)求 g(t)的最小值.

当 t+1<2,即 t<1 时,f(x)在[t,t+1]上是减函数,

∴g(t)=f(t+1)=t2-2t-7.
?t<1?, ?t2-2t-7 ? 从而 g(t)=?-8 ?1≤t≤2?, ?t2-4t-4 ?t>2?. ?
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9. 函数 f(x)=x2-4x-4 在闭区间[t, t+1](t∈R)上的最小值记 为 g(t). (1)试写出 g(t)的函数表达式; (2)求 g(t)的最小值.

(2)g(t) 的图象如图所示,由图 象易知 g(t)的最小值为-8.

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2 10. 已知函数 f(x)=- , x∈[0,2], 求函数的最大值和最小值. x+1

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2 10. 已知函数 f(x)=- , x∈[0,2], 求函数的最大值和最小值. x+1
解 设 x1,x2 是区间[0,2]上的任意两个实数,且 x1<x2, 2 2 则 f(x1)-f(x2)=- -(- ) x1+1 x2+1 2?x2+1-x1-1? 2?x2-x1? =- =- . ?x1+1??x2+1? ?x1+1??x2+1?

由 0≤x1<x2≤2,得 x2-x1>0,(x1+1)(x2+1)>0,
所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 故 f(x)在区间[0,2]上是增函数.
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2 10. 已知函数 f(x)=- , x∈[0,2], 求函数的最大值和最小值. x+1

2 因此,函数 f(x)=- 在区间[0,2]的左端点取得最小 x +1 值,右端点取得最大值,
2 即最小值是 f(0)=-2,最大值是 f(2)=-3.

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3 4 5

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1.已知函数 f(x)=x2-2ax+a 在区间(-∞,1)上有最小值,则函 f?x? 数 g(x)= x 在区间(1,+∞)上一定 ( D ) A.有最小值 C.是减函数 B.有最大值 D.是增函数

f?x? a 解析 由题意知 a<1,∴g(x)= x =x+x-2a,
当 a<0 时,g(x)在(1,+∞)上是增函数,

当 a>0 时,g(x)在[ a,+∞)上是增函数,
故在(1,+∞)上为增函数, ∴g(x)在(1,+∞)上一定是增函数.
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2.已知函数 f(x)=e|x a|(a 为常数).若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函

(-∞,1] 数,则 a 的取值范围是_____________ .
x-a ? e ?x≥a?, ? |x-a| ∵f(x)=e =? -x+a ? ?x<a?, ?e

解析

∴f(x)在[a,+∞)上为增函数,

则[1,+∞)?[a,+∞),∴a≤1.

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? ?a,a≤b, min{a,b}=? ? ?b,a>b.

3.对于任意实数 a,b,定义

设函数

f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数 h(x)=min{f(x),g(x)} 1 的最大值是________ .
? ?log2x,0<x≤2, 依题意,h(x)=? ? ?-x+3,x>2.

解析

当 0<x≤2 时,h(x)=log2x 是增函数;
当 x>2 时,h(x)=3-x 是减函数,

∴h(x)在 x=2 时,取得最大值 h(2)=1.
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3 4 5

a 4.已知函数 f(x)=lg(x+x-2),其中 a 是大于 0 的常数. (1)求函数 f(x)的定义域; (2)当 a∈(1,4)时,求函数 f(x)在[2,+∞)上的最小值; (3)若对任意 x∈[2,+∞)恒有 f(x)>0,试确定 a 的取值范围.
解析 x2-2x+a a (1)由 x+x -2>0,得 >0, x

a>1 时,x2-2x+a>0 恒成立,定义域为(0,+∞),
a=1 时,定义域为{x|x>0 且 x≠1},
0<a<1 时,定义域为{x|0<x<1- 1-a或 x>1+ 1-a}.
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3 4 5

a 4.已知函数 f(x)=lg(x+x-2),其中 a 是大于 0 的常数. (1)求函数 f(x)的定义域; (2)当 a∈(1,4)时,求函数 f(x)在[2,+∞)上的最小值; (3)若对任意 x∈[2,+∞)恒有 f(x)>0,试确定 a 的取值范围.
a (2)设 g(x)=x+x -2,当 a∈(1,4),x∈[2,+∞)时,
2 a x -a g′(x)=1-x2= x2 >0 恒成立,

a ∴g(x)=x+x -2 在[2,+∞)上是增函数. a ∴f(x)=lg(x+x -2)在[2,+∞)上是增函数.
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a 4.已知函数 f(x)=lg(x+x-2),其中 a 是大于 0 的常数. (1)求函数 f(x)的定义域; (2)当 a∈(1,4)时,求函数 f(x)在[2,+∞)上的最小值; (3)若对任意 x∈[2,+∞)恒有 f(x)>0,试确定 a 的取值范围.
a a ∴f(x)=lg(x+x -2)在[2,+∞)上的最小值为 f(2)=lg 2.
(3)对任意 x∈[2,+∞)恒有 f(x)>0,
a 即 x+x -2>1 对 x∈[2,+∞)恒成立. 3 9 ∴a>3x-x2,而 h(x)=3x-x2=-(x-2)2+4在 x∈[2,+∞)上是减函数,
∴h(x)max=h(2)=2.∴a>2.
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x 5.已知 f(x)= (x≠a). x-a (1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围.
(1)证明 任取 x1<x2<-2,
2?x1-x2? x1 x2 则 f(x1)-f(x2)= - = . x1+2 x2+2 ?x1+2??x2+2?
∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,
∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增.
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x 5.已知 f(x)= (x≠a). x-a (1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围.
(2)解 任设 1<x1<x2,则
a?x2-x1? x1 x2 f(x1)-f(x2)= - = . x1-a x2-a ?x1-a??x2-a?
∵a>0,x2-x1>0,
∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,∴a≤1.
综上所述知 a 的取值范围是(0,1].

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