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数学选修2-3~1.2.1排列1


苏教高中数学选修2-3

※1.2
学习目标

排列与排列数(1)
2012年8月19日星期W

(1)准确理解排列的意义,并能借助树形图写出所有排列;

(2)掌握排列数公式及推导方法,从中体会“化归”的思 想;
(3)能应用所学的排列知识,解决简单的实际问题;

1.【设置情境】
看下面的问题: 问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某 天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名 同学参加下午的活动,有多少种不同的方法?

探索研究:解决这个问题需分2个步骤 第一步:确定参加上午活动的同学,从3人中任选1人 有3种方法; 第二步:确定参加下午活动的同学,只能从余下的2人中 选,有2种方法,根据分步计数原理,共有3×2=6种不同 的方法。 我们把上面问题中被取的对象叫做元素. 上述问题就是从3个不同的元素中任取2个,按照一 定的顺序排成一列,求一共有多少种不同的排法.

具体的排法为:
上午 甲 下午 乙 丙 甲 丙 甲 乙 相应的排法 甲 甲 乙 乙 丙 丙 乙 丙 甲 丙 甲 乙





问题2:从a,b,c,d这四个字母中,每次取出3个按 顺序排成一列,共有多少种不同的排法?

解决这个问题,需分3个步骤: 第一步:先确定左边的字母,在4个字母中任取1个,有4 种方法; 第二步:确定中间的字母,从余下的3个字母中去取,有 3种方法; 第三步:确定右边的字母,只能从余下的2个字母中去取, 有2种方法。 根据分步计数原理,共有4×3×2=24种不同的排法。

(1)树形图排法 a

b

c

d

b

c d

a

c d

a

b d

a

b

c

c dbdbc

c dada (2)所有的排法 abc abd bac bad cab cad dab dac

c

b dad a b b ca ca b

acb bca cba dba

acd bcd cbd dbc

adb bda cda dca

adc bdc cdb dcb

2.排列的概念:
一般地,从n个不同元素中取出m( m≤ n)个元素 (这里的被取元素各不相同),按照一定的顺序排 成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个排列.

说明:1)排列的定义包括两个方面: (
①取出元素; ---取

②按一定的顺序排列与位置有关; ---排 (2)两个排列相同的充要条件:①元素 完全相同;②元素的排列顺序也相同.

3.排列数的定义: 从n个不同元素中取出m( m≤n )个元 素的所有排列的个数叫做从n个元素中取 m 出m个元素的排列数,用符号 An 表示.
注意:
排列数是指排列的个数,是一个数,而不表 示具体的排列 ,而排列是指具体的一件事.

问题1 :求从3个不同的元素中取出2个元素的排 2 列数。记为 A3 ? 3 ? 2 ? 6 问题2 :求从4个不同的元素中取出3个元素的排 3 列数。记为 A4 ? 4 ? 3 ? 2 ? 24 思考:从n个不同的元素中取出2个元素的排 列数 A 2 是多少? A 3 呢?
n
n

4.排列数公式及其推导
求An2

第一位 第二位

n n-1 分析: 第一 步,先填第一个位置,可从n个元素中任取
1个填空,有n种方法; 第二步,填第二个位置,可从余下的(n-1)个 元素中任取1个填空,有(n-1)种方法; ∴N=n(n-1)=An2 同理An3=n(n-1)(n-2)

求Anm

第一位 第二位

第m位

…… n n-1 … n-m+1

分m步: 第一步:从n个元素中任选一个元素填第一位,

有n种填法; 第二步:从余下的(n-1)个元素中任选一个 元素填第二位,有(n-1)种填法; ……
第m步:从余下的(n-m+1)个元素中任选一 个元素填第m位,有(n-m+1)种填法;

N=n(n-1)…(n-m+1)=Anm

A n ? n ( n ? 1)( n ? 2 ) ? ( n ? m ? 1)
m

其中 n , m ? N , 并且 m ? n
这个公式叫排列数公式 说明: (1)公式特征:第一个因是n,后面每 一个因数比它前面一个少1,最后一个因 数是n-m+1 ,共有 m 个因数. (2)全排列:当n个不同元素全部取出的一 个排列叫做n个不同元素的一个全排列. n 全排列数:A n ? n ( n ? 1)( n ? 2 ) ? 2 ? 1 ? n ! (叫做n的阶乘)

?

全排列 n个不同元素全部取出的一个排列
An ? n ? ( n ? 1) ? ( n ? 2 )? ? 3 ? 2 ? 1
n

An ? n!
n

1!

2!

3!

4!

5!

6!

7!

1

2

6

24

120

720 5040

(n+1) · ( n ? 1) ? n ? ( n ? 1) ? ( n ? 2 ) ? ? 3 ? 2 ? 1 n!= =(n+1)! (n+2)(n+1) · n! =(n+2)!

? ( n ? 2 ) ? ( n ? 1) ? n ? ( n ? 1) ? ( n ? 2 ) ? ? 3 ? 2 ? 1

5、讲解范例:
示例1 计算: (1) A1 6 ;
3

(2) A6

6

;(3) A6 。

4

示例2①若 n ? 1 7 ? 1 6 ? 1 5 ? ? ? 5 ? 4 , A 则 n? ,m ? .
m

②若

n? N,

则 (5 5 ? n )(5 6 ? n ) ? (6 8 ? n )(6 9 ? n )

用排列数符号表示



示例 3 .( 1 ) 计算:
7

2 A8 ? 7 A8 A8 ? A9
5 8 5

5

4

(2)

An ? An
5 An

? 89 , 则 n ? _______ A 2 x ? 1 ? 140 A x
4 3

( 3 ) 解方程

巩固练习:
判断下列问题中哪些是排列问题? ①10名学生中抽2名学生开会,有多少种不同的抽法? ②从1,2,3,5,7,9中任取两数相乘可得多少个不同的 积?若是相除的商呢? ③从圆上的10个点中取两个点作射线,总的射线的条数? 若是直线呢? ④从1,2,3,4,5中取出5个数组成无重复数字5位数.

示例4(1)全国足球甲级联赛共有支14队参加,每队 都要与其余各队在主、客场分别比赛1次, 共进行多少场比赛? (2) 有5本不同的书,从中选3本送给3名同学, 每人1本,共有多少种不同的送法? (3)有5种不同的书,要买3本送给3名同学, 每人1本,共有多少种不同的送法?

6.【总结提炼】
①排列、排列数的概念; ②排列相等的充要条件;

③排列数公式及计算;

7.课外作业:认真回顾阅读课本,学会 排列数公式的有关推导.


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