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全国高中数学联合竞赛(含答案)



全国高中数学联合竞赛 一、选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 本题共有 6 小题,每题均给出(A)(B)(C)(D)四个结论,其中有且只有一个是正确 、 、 、 的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得 5 分;不选、选错或选出的代表 字母超过一个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分。 1.函数 f ?x? ? x ? 是( ) 4 ?1 (A)是偶

函数但不是奇函数 x 2x (B)是奇函数但不是偶函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)既不是奇函数也不是偶函数 2. 已知 f ?x ? 对任意整数 x 都有 f ?x ? 2? ? f ?x ? 2? ,若 f ?0? ? 2003,则 f ?2004? =( ) (A)2002 (B)2003 (C)2004 (D)2005 ) 3. 已知不等式 m 2 ? cos2 ? ? 5 m ? 4 sin2 ? ≥0 恒成立,则实数 m 的取值范围是( (A)0≤m≤4 (B)1≤m≤4 (C)m≥4 或 m≤0 ) ? ? (D)m≥1 或 m≤0 4. 母线长为 6 的圆锥中,体积最大的那一个的底面圆的半径为( (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 5. 正三棱锥相邻侧面所成二面角,等于侧面与底面所成二面角的两倍,则侧棱与底面边长之比为 ( ) (A) 3 2 (B) 4 3 (C) ) (C) 3 4 (D) 2 3 6. 函数 y ? cos3 x ? sin2 x ? cos x 的最大值等于( (A) 32 27 (B) 16 27 8 27 (D) 4 27 二、填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 本题共 6 小题,要求直接将答案写在横线上。 7. 已知函数 f ?x ? ? 32x 3?3 2x ,则 f ? ? 1 ? ?? ? 101? ? 2 ? f? ? ??? ? 101? ? 10 ? f? ?= ? 101? . 8. 不等式 x 2 ? 2 ≤ 2x ?1的解集为 . 9. 某城市的机动车牌照是从“10000”到“99999”连续编号,则在这 90000 个牌照中数字 9 至少 出现一个,并且各数字之和是 9 的倍数的车牌照共有 个. 10. 若 0<a,b,c<1 满足 ab ? bc ? ca ? 1 ,则 1 1 1 的最小值是 ? ? 1? a 1? b 1? c . 11. 已知正四棱锥 V-ABCD 的棱长都等于 a,侧棱 VB,VD 的中点分别为 H 和 K,若过 A、H、 K 三点的平面交侧棱 VC 于 L,则四边形 AHLK 的面积为 . 12. 已知 a、b、x 是实数,函数 f ?x ? ? x 2 ? 2ax ? 1与函数 g ?x ? ? 2b?a ? x ? 的图象不相交。记参数 a、 b 所组成的点(a,b)的集合 A,则集合 A 所表示的平面图形的面积为 三、解答题(本题满分 80 分,每小题 20 分) 13. 已知数列 ?a n ? 满足: a1 ? 1 , a n ? 2a n ?1 ? n ? 2 (n≥2) ,求通项 a n . . 14. 如图,O,H 分别是锐角△ABC 的外心和垂心,D 是 BC 边的中点,由 H 想∠A 及其外角平 分线作垂线,垂足分别为 E 和 F. 证明:D、E、F 三点共线。 1 15. 设 A= ? ,2, ? , n?,用 S n 表示 A 的所有非空真子集中各元素之和; Bn 表示


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