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福建省三明一中、二中2013届高三上学期期末联考数学文试题



福建省三明一中、二中 2013 届高三上学期期末联考数学文试题
(考试时间:2013 年 1 月 26 日下午 3:00-5:00 参考公式: 锥体体积公式: V ? 满分:150 分)

1 Sh 其中 S 为底面面积,h 为高 3

第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.已知 i 为虚数单位,复数 z ? (1 ? i )i 在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 )

2.设集合 A ? ? x | ?1 ? x ? 2 A. C.

?, B ? ?x | 0 ? x ? 3 ?,则 A ? B 等于(
B. D.

?x | 0 ? x ? 2 ? ?x | 0 ? x ? 3 ?

? x | ?1 ? x ? 2 ? ? x | ?1 ? x ? 3 ?

3. ? ? 60? ”是“ cos ? ? “ A. 充分不必要条件 C. 充要条件

1 ”的( ) 2
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4.执行右边的程序框图,输出 S 的值为( ) A. 14 B. 20 C. 30 D. 55

5.已知向量 a ? (1,2) ,向量 b ? ( x,?2) ,且 a // b ,则实数 x 等于( ) A. 0 B. 4 C. -1 D. -4

6.若 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和, a2 ? a10 ? 4, 则 S11 的值为( ) A.12 B.22
x ?1

C.18

D.44

7. 函数 f ( x) ? x ? 5 ? 2 A. (0,1)

的零点所在的区间是( ) C. (2,3) D. (3,4)

B. (1,2)

8.已知 l, m 为两条不同直线, ? , ? 为两个不同平面,则下列命题中不正确的是( ) ... A. 若 l // ? , m ? ? ,则 l // m B. 若 ? // ? , l ? ? ,则 l ? ?
·1·

C. 若 ? // ? , l ? ? ,则 l // ?

D. 若 ? ? ? , ? ? ? ? l , m ? ? , m ? l ,则 m ? ?

9.将函数 y ? cos 2 x 图象上的所有点向左平移 长度,所得图象的函数解析式是( )

? 个单位长度,再把所得图像向上平移 1 个单位 6

A. y ? cos(2 x ? C. y ? cos(2 x ?

? ?
6 6

) ?1 ) ?1

B. y ? cos(2 x ? D. y ? cos(2 x ?

? ?
3 3

) ?1 ) ?1

10.已知某几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为 24,则该几何体的底面积是( ) A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
2 11.已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F,准线为 l,点 P 为抛物线上一点,且 PA ? l ,垂足为 A,

若直线 AF 的斜率为 ? 3 ,则|PF|等于( ) A. 2 3 B.4 C. 4 3 D.8

12.若对任意的 x ? R ,函数 f (x) 满足 f ( x ? 2013) ? ? f ( x ? 2012) ,且 f (2013) ? ?2013 , 则 f (0) ? ( ) A.0 B. 1 C.-2013 D.2013

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填写在答题卡的相应位置) 13.一组数据为 15,17,14,10,15,17,17,14,16,12,设其平均数为 m,中位数为 n,众数为 p, 则 m,n,p 的大小关系是_____________.

? x ? 1, ? 14.已知变量 x , y 满足 ? y ? 2, 则 z ? x ? y 的最小值是____________. ? x ? y ? 0. ?

·2·

15.若双曲线 ____________.

x x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? ? ,则此双曲线的离心率是 2 3 a b

16.设函数 f ( x) ?

f1 ( x) ?
f 2 ( x) ?

f 3 ( x) ? f 4 ( x) ?
??

x ( x ? 0) ,观察: x?2 x f ( x) ? x?2 x f ( f1 ( x)) ? 3x ? 4 x f ( f 2 ( x)) ? 7x ? 8 x f ( f 3 ( x)) ? 15 x ? 16

* 依此类推,归纳推理可得当 n ? N 且 n ? 2 时, f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) ? __________ . __

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分.解答题应写出文字说明、证明过程、或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an } 的前 n 项和 S n ? n 2 ? 2n (n ? N * ) . (1)求数列 ?an } 的通项公式; (2)若数列 ?bn } 是等比数列,公比为 q (q ? 0) ,且满足 b2 ? S1 , b4 ? a2 ? a3 ,求数列 ?bn } 的 前 n 项和 Tn . 18.(本小题满分 12 分) 设关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 .
2 2

(1)若 a , b 都是从集合 ?1,2,3,4? 中任取的数字,求方程有实根的概率; (2) a 是从区间[0,4]中任取的数字,b 是从区间[1, 若 4]中任取的数字, 求方程有实根的概率. 19.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? a (1)写出函数 f (x) 的最小正周期及单调递减区间; (2)当 x ? ??

3 ? ? ?? , ? 时,函数 f (x) 的最大值与最小值的和为 ,求不等式 f ( x) ? 1 的解集. 2 ? 6 3?

·3·

20. (本小题满分 12 分) 如图所示, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 a 的正方形, 侧面 PAD ? 底面 ABCD, 且 PA ? PD ?

2 AD ,若 E,F 分别为 PC,BD 的中点. 2

(1)求证: EF // 平面 PAD; (2)求证:平面 PDC ? 平面 PAD; (3)求四棱锥 P ? ABCD 的体积.

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 过点 A(2,3) ,且离心率 e ? . 2 2 a b

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)是否存在过点 B(0,?4) 的直线 l 交椭圆于不同的两点 M、N,且满足 OM ? ON ? 中点 O 为坐标原点) ,若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,请说明理由. 22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

16 (其 7

mx , (m, n ? R) 在 x ? 1 处取得极小值 2. x ?n
2

(1)求函数 f (x ) 的解析式; (2)求函数 f (x ) 的极值; (3) 设函数 g ( x) ? x ? 2ax ? a , 若对于任意 x1 ? R , 总存在 x2 ? [?1,1] , 使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) ,
2

求实数 a 的取值范围.

·4·

普通高中 2012-2013 学年第一学期三明一、二中联合考试 高三数学(文)试题答案

又当 n ? 1 时, a1

? S1 ? 3 ,满足上式

??4 分 ??5 分 ??7 分

∴ an ? 2n ? 1 (n ? N * )
(2)由(1)可知 a1

? S1 ? 3 , a2 ? 5 , a3 ? 7

又 b2 ? S1 , b4 ? a2 ? a3

∴ b2 ? 3, b4 ? 12

??8 分

又数列 ?bn } 是公比为正数等比数列

∴ q2 ?
又q ? 0

b4 ?4 b2

∴q ? 2 ∴ b1 ?
b2 3 ? q 2

??9 分 ??10 分

3 (1 ? 2 n ) b1 (1 ? q ) 2 3 ? ? (2 n ? 1) ∴数列 ?bn } 的前 n 项和 Tn ? 1? q 1? 2 2
n

??12 分

·5·

18、解: (1)设事件 A=“方程有实根” ,记 ( a, b) 为取到的一种组合,则所有的情况有: (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4) , , , , , , , (3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4) , , , , , , , 一共 16 种且每种情况被取到的可能性相同 ??3 分 ??2 分

∵关于 x 的一元二次方程 x2 ? 2ax ? b2 ? 0 有实根 ∴ ? ? 4a2 ? 4b2 ? 0 ? a ? b, ??4 分 ∴事件 A 包含的基本事件有:
(1,1)(2,1)(2,2)(3,1)(3,2)(3,3)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)共 10 种? , , , , , , , , , 5分

? P( A) ?

10 5 ? 16 8

∴方程有实根的概率是

5 8

??6 分

(2)设事件 B=“方程有实根” ,记 ( a, b) 为取到的一种组合

∵ a 是从区间[0,4]中任取的数字, b 是从区间[1,4]中任取的数字 ∴点 ( a, b) 所在区域是长为 4,宽为 3 的矩形区域,如图所示: 又满足: a ? b 的点的区域是如图所示的阴影部分 1 ? 3? 3 3 2 ∴ P( B) ? ? 3? 4 8 3 ∴方程有实根的概率是 8
(第(2)题评分标准说明:画图正确得 3 分,求概率 3 分,本小题 6 分) 19、解: (1) f ( x) ?

3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? ?a 2 2
??3 分

??1 分

?T ? ?
令 2 k? ?

? 1 ? sin(2 x ? ) ? ? a 6 2
??4 分

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

∴ k? ?

?

6

? x ? k? ?

2? ,k ?Z 3

3? ,k ?Z 2

·6·

∴函数 f (x) 的递减区间为: [k? ?
(2)由 x ? [ ?

?
6

, k? ?

? ?

? ? 5? , ] 得: ? ? 2 x ? ? 6 3 6 6 6

2? ], k ? Z 3

??6 分

3 ? a, f ( x) min ? a ??8 分 2 3 3 ? ?a?a ? ?a ?0 ??9 分 2 2 ? 1 ∴ f ( x) ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 6 2 ? ? 5? ? ? 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k? ? ? k? ? x ? k ? ? , k ? Z 6 6 6 3 ? f ( x) max ?
又 x ? ??

??11 分

? ? ?? , ? 6 3? ?
??12分

? ∴不等式 f ( x) ? 1 的解集为 {x | 0 ? x ? } 3
20、解: (1)连接 EF,AC

∵四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形且点 F 为对角线 BD 的中点 ∴对角线 AC 经过 F 点 ??1 分 又在 ?PAC 中,点 E 为 PC 的中点 ∴EF 为 ?PAC 的中位线 ∴ EF // PA ??2 分
又 PA ? 面PAD, EF ? 面PAD

??3 分

∴ EF // 平面 PAD ??4 分 (2)∵底面 ABCD 是边长为 a 的正方形 ∴ CD ? AD ??5 分
又侧面 PAD ? 底面 ABCD, CD ? 平面ABCD ,侧面 PAD ? 底面 ABCD=AD

∴ CD ? 平面PAD

??7 分
·7·

又 CD ? 平面PCD ∴平面 PDC ? 平面 PAD ??8 分 (3)过点 P 作 AD 的垂线 PG,垂足为点 G ∵侧面 PAD ? 底面 ABCD, PG ? 平面PAD ,侧面 PAD ? 底面 ABCD=AD ∴ PG ? 平面ABCD ,即 PG 为四棱锥 P ? ABCD 的高
又 PA ? PD ?

??9 分

2 AD 且 AD=a 2

∴ PG ?

a 2

??10 分
1 1 a 1 S 正方形 ABCD ? PG ? ? a 2 ? ? a 3 3 3 2 6

∴ V四棱锥 P-ABCD ?

??12 分

1 x2 y2 21、解: (1)∵椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 过点 A(2,3) ,且离心率 e ? 2 a b

9 ?4 ?a2 ? b2 ? 1 ? ?c 1 ∴? ? a 2 ? ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?
2 2

??2 分

解得: a ? 16 , b ? 12

??4 分 ??5 分
16 . 7

∴椭圆的方程为:

x2 y2 ? ?1 16 12

(2) 假设存在过点 B(0,?4) 的直线 l 交椭圆于不同的两点 M、 N,且满足 OM ? ON ? 6分
若直线 l 的斜率不存在,且直线过点 B(0,?4) ,则直线 l 即为 y 轴所在直线

??

∴直线 l 与椭圆的两不同交点 M、N 就是椭圆短轴的端点 ∴ M (0,2 3), N (0,?2 3) ∴ OM ? ON ? (0,2 3 )( 0,?2 3 ) ? ?12 ? ∴直线 l 的斜率必存在,不妨设为 k
16 7

??7 分
·8·

∴可设直线 l 的方程为: y ? 4 ? kx ,即 y ? kx ? 4

? x2 y2 ?1 ? ? 联立 ? 16 12 消 y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 32kx ? 16 ? 0 ? y ? kx ? 4 ?
∵直线与椭圆相交于不同的两点 M、N
1 1 ∴ ? ? (?32k ) 2 ? 4 ?16? (3 ? 4k 2 ) ? 0 得: k ? ? 或k ? 2 2
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 )

?? ①

??8 分

∴ x1 ? x 2 ?

32 k 16 , x1 x 2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2
2

∴ y1 y 2 ? (kx1 ? 4)(kx2 ? 4) ? k x1 x 2 ? 4k ( x1 ? x 2 ) ? 16 ? 又 OM ? ON ?

48 ? 48k 2 3 ? 4k 2

??9 分

16 7

∴ OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y 2 ?
化简得 k ? 1
2

16 48 ? 48k 2 64 ? 48k 2 16 ? ? ? 7 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

∴ k ? 1 或 k ? ?1 ,经检验均满足①式 ∴直线 l 的方程为: y ? x ? 4 或 y ? ? x ? 4

??10 分 ??11 分 ??12 分

∴存在直线 l : x ? y ? 4 ? 0 或 x ? y ? 4 ? 0 满足题意.
22、解: (1)∵函数 f ( x) ?

mx , (m, n ? R) 在 x ? 1 处取得极小值 2 x ?n
2

? f (1) ? 2 ∴? ? f ' (1) ? 0
又 f ' ( x) ?

??1 分

m( x 2 ? n) ? 2mx2 mn ? mx2 ? 2 ( x 2 ? n) 2 ( x ? n) 2

? m ? 2 ?? ① ? ∴ ?1 ? n ?m n ? m ? 0 ?? ② ?
·9·

由②式得 m=0 或 n=1,但 m=0 显然不合题意 ∴ n ? 1 ,代入①式得 m=4 ∴ m ? 4, n ? 1 ??2 分 ??3 分

经检验,当 m ? 4, n ? 1 时,函数 f (x) 在 x ? 1 处取得极小值 2

∴函数 f (x) 的解析式为 f ( x ) ?

4x x ?1
2

??4 分
? 4( x ? 1)(x ? 1) ( x 2 ? 1) 2

(2)∵函数 f (x) 的定义域为 R 且由(1)有 f ' ( x) ? 令 f ' ( x) ? 0 ,解得: x ? ?1

??5 分 ??7 分 1
(1,??)

∴当 x 变化时, f ( x), f ' ( x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)

(??,?1)

-1

(?1,1)




0
极小值

+


0
极大值




f (x)

-2

2

∴当 x ? ?1 时,函数 f (x) 有极小值-2;当 x ? 1 时,函数 f (x) 有极大值 2
(3)依题意只需 g ( x) min ? f ( x) min 即可.

??8 分

∵函数 f ( x ) ?

4x 在 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ;在 x ? 0 时, f ( x) ? 0 且 f (0) ? 0 x ?1
2

∴ 由(2)知函数 f (x) 的大致图象如图所示:

·10·

∴当 x ? ?1 时,函数 f (x) 有最小值-2

??9 分

又对任意 x1 ? R ,总存在 x2 ? [?1,1] ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) ∴当 x ? [?1,1] 时, g (x) 的最小值不大于-2 又 g ( x) ? x ? 2ax ? a ? ( x ? a) ? a ? a
2 2 2

??10 分

①当 a ? ?1 时, g (x) 的最小值为 g (?1) ? 1 ? 3a ∴ 1 ? 3a ? ?2 得 a ? ?1 ; ②当 a ? 1 时, g (x) 的最小值为 g (1) ? 1 ? a ∴ 1 ? a ? ?2 得 a ? 3 ;

??11 分

??12 分

③当 ? 1 ? a ? 1 时, g (x) 的最小值为 g (a) ? a ? a 2
2 ∴ a ? a ? ?2 得 a ? ?1 或 a ? 2

又∵ ? 1 ? a ? 1 ∴此时 a 不存在 综上所述,a 的取值范围是 (??,?1] ? [3,??) .

??13 分 ??14 分

·11·



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