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微博上最近流传这这样一个段子: 老师说,把这个函数 x ? y ? 1
2 2

?

?

3

? x 2 y 3 ? 0 图像画给喜欢的人看。 (附图)

作为一个专业人士我不得不说“这不是一个函数,好不好;这是一个方程,好不好” 。当然 方程也有图像,但是这个方程

图像是不是如上图就不得而知了。 作为一个专业人士(嘿嘿,见笑见笑! ) ,我还是有必要对其验证一下的 准备工作:1.笔,纸,几何画板,QQ 截图 2.整理方程(因为几何画板只能画函数图像,所以先得把方程整理成函数形式)

整理得

y?

x ?

2 3

x ? 4x2 ? 4 2

4 3

3.几何画板输入函数得到

4.显然通过原方程得到的图像是一个“LOVE”形状,但是一向追求完美的我们怎么能 容忍一个这么小,而且还是蓝色的心形呢。 绝对不能,我们得改造,改造,改造。 。 。 。 。 。 ! 第一:要变红色,这个还是好办滴,换颜色 第二:要变大(说把坐标轴放大的请出去) ,我们在不考虑函数复杂性,只考虑图像美 观的前提下对原方程做了一点修改,以使图像更大。大叫三声: “方程变, 变,变! ”
2 3 ? ? x ?2 ? y ?2 ? ? x? ? y? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 ?? ? 3 3 ? ? ? ? ?3? ? 3? ? ? 3

从而得到两个新的函数

y?

?x? ? ? ? ?3?

2 3

?x? ?x? ? ? ? 4? ? ? 4 ?3? ?3? 2 3

4 3

2

几何画板得图像

哇哈哈哈哈。 。 。 。 。 。 。 ! ! ! 小朋友们,快进来膜拜吧! ! !

另附网络大神猜想 这个方程大家很熟悉吧: (x? +y? -1)? =x? y? (Siehe Beutel)

Beutel 到底是谁我不知道,不过根据他的方程,我来瞎猜一下大神的设计路线……

首先屁股线、椭圆对称什么的弱爆了,一个难看,另一个绝对值符号又不好消,于是乎我们 瞄准了等速螺线。 设图上一点(x,y),由几何意义可以得到 x? +y? =arc tan? (y/x) 考虑到 tan x 与 x? 的相似性,可以有 (x? +y? )? =(y/x)? 考虑到图象的不对称性,我们将 y? 换成 y? ; 考虑到 tan x 与 x? 的偏差随 x 增大而增大,在角端乘以 x?; 然后画图发现有点太过饱满,于是在半径端减 1…… 然后我很没脸地告诉大家,我知道人家大神是怎么弄出这么漂亮的一方程来的啦…… 也许下面这个才是真相: 原作先选取了一个简洁的斜椭圆:x? +y? -xy=1 接下来的一步我不说你们也能猜到…… 转化为 x? +y? -1=|x|y 消去绝对值符:x? +y? -1=x? y? 此时我们损失了“x?+y? -1 与 y 的符号相同”这一约束,考虑是否可以同乘该因子。 由于要消去“|x|”,我们考查这一转化对图形的影响: 设前后图形某点服从{x'=ax,y'=by}的变化,那么 (a? x? +b? y? -1)^(2k+m)=(by)^m*(abxy)^2k 令 a、b→1,有 (x? +y? -1)^m=y^m 故有 |x|^m=((x? +y? -1)/y)^m=1 观察 x? +y? -xy=1 的图形与 x? +y? -y=1 的图形, 注意到两者仅在 x∈[-1/2,1/2]有显著差异故 m→0 于是我们将 m 确定为 1,令 k→+∞ 通过尝试,我们发现仅需取 k=1 即可获得很好的效果和优美的方程。 至此,我们确定一个心形曲线的方程为 (x? +y? -1)? =x? y? 再次膜拜一下第一个做出这个无敌结果的大神:Siehe Beutel



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