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全国初中数学竞赛辅导(初2)第23讲几何不等式


第二十三讲 几何不等式 平面图形中所含的线段长度、 角的大小及图形的面积在许多情形下会 呈现不等的关系. 由于这些不等关系出现在几何问题中,故称之为几何不 等式. 在解决这类问题时,我们经常要用到一些教科书中已学过的基本定 理, 本讲的主要目的是希望大家正确运用这些基本定理, 通过几何、 三角、 代数等解题方法去解决几何不等式问题.这些问题难度较大,在解题中除 了运用不等式的性质和已经证明过的不等式外, 还需考虑几何图形的特点 和性质. 几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、 角不等式以及面积 不等式三类, 在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理,还 需用到一些图形的面积公式.下面先给出几个基本定理. 定理 1 在三角形中,任两边之和大于第三边,任两边之差小于第三 边. 定理 2 同一个三角形中,大边对大角,小边对小角,反之亦然. 定理 3 在两边对应相等的两个三角形中,第三边大的,所对的角也 大,反之亦然. 定理 4 三角形内任一点到两顶点距离之和,小于另一顶点到这两顶 点距离之和. 定理 5 自直线 l 外一点 P 引直线 l 的斜线,射影较长的斜线也较长, 反之,斜线长的射影也较长.

说明 如图 2-135 所示.PA,PB 是斜线,HA 和 HB 分别是 PA 和 PB 在 l 上的射影,若 HA>HB,则 PA>PB;若 PA>PB,则 HA>HB.事实上, 由勾股定理知 PA2-HA2=PH2=PB2-HB2, 所以 PA2-PB2=HA2-HB2.

从而定理容易得证. 定理 6 在△ABC 中,点 P 是边 BC 上任意一点,则有 PA≤max{AB,AC}, 当点 P 为 A 或 B 时等号成立. 说明 max{AB,AC}表示 AB,AC 中的较大者,如图 2-136 所示,若 P 在线段 BH 上,则由于 PH≤BH,由上面的定理 5 知 PA≤BA,从而 PA≤max{AB,AC}.

同理,若 P 在线段 HC 上,同样有 PA≤max{AB,AC}. 例 1 在锐角三角形 ABC 中,AB>AC,AM 为中线,P 为△AMC 内一点, 证明:PB>PC(图 2-137). 证 在△AMB 与△AMC 中,AM 是公共边,BM=MC,且 AB>AC,由定理 3 知,∠AMB>∠AMC,所以∠AMC<90°. 过点 P 作 PH⊥BC,垂足为 H,则 H 必定在线段 BM 的延长线上.如果 H 在线段 MC 内部,则 BH>BM=MC>HC. 如果 H 在线段 MC 的延长线上,显然 BH>HC,所以 PB>PC.

例 2 已知 P 是△ABC 内任意一点(图 2-138). (1)求证:

<a+b+c; (2)若△ABC 为正三角形,且边长为 1,求证: PA+PB+PC<2. 证 (1)由三角形两边之和大于第三边得 PA+PB>c,PB+PC>a,PC+PA>b.把这三个不等式相加,再两边 除以 2,便得

又由定理 4 可知 PA+PB<a+b, PB+PC<b+c, PC+PA<c+a. 把它们相加,再除以 2,便得 PA+PB+PC<a+b+c. 所以

(2)过 P 作 DE∥BC 交正三角形 ABC 的边 AB,AC 于 D,E,如图 2-138 所示.于是 PA<max{AD,AE}=AD, PB<BD+DP,PC<PE+EC, 所以

PA+PB+PC<AD+BD+DP+PE+EC =AB+AE+EC=2.

例 3 如图 2-139. 在线段 BC 同侧作两个三角形 ABC 和 DBC, 使得 AB=AC, DB>DC,且 AB+AC=DB+DC.若 AC 与 BD 相交于 E,求证:AE>DE. 证 在 DB 上取点 F,使 DF=AC,并连接 AF 和 AD.由已知 2DB>DB+DC =AB+AC=2AC, 所以 DB>AC. 由于 DB+DC=AB+AC=2AC,所以 DC+BF=AC=AB. 在△ABF 中, AF>AB-BF=DC. 在△ADC 和△ADF 中, AD=AD,AC=DF,AF>CD. 由定理 3,∠1>∠2,所以 AE>DE. 例 4 设 G 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点,连结 AG 并延长交 BC 延长 线于 K,求证:

分析 在不等式两边的线段数不同的情况下,一般是设法构造其所 为边 的三角形.

证 如图 2-140,在 GK 上取一点 M,使 GM=MK,则

在 Rt△GCK 中,CM 是 GK 边上的中线,所以 ∠GCM=∠MGC. 而∠ACG=45°,∠MGC>∠ACG,于是 ∠MGC>45°, 所以 ∠ACM=∠ACG+∠GCM>90°.

由于在△ACM 中∠ACM>∠AMC,所以 AM>AC.故

例 5 如图 2-141.设 BC 是△ABC 的最长边,在此三角形内部任选一点 O,AO,BO,CO 分别交对边于 A′,B′,C′.证明: (1)OA′+OB′+OC′<BC; (2)OA′+OB′+OC′≤max{AA′,BB′,CC′}. 证 (1)过点 O 作 OX,OY 分别平行于边 AB,AC,交边 BC 于 X,Y 点, 再过 X,Y 分别作 XS,YT 平行于 CC′和 BB′交 AB,AC 于 S,T.由于△ OXY∽△ABC,所以 XY 是△OXY 的最大边,所以 OA′<max{OX,OY}≤XY.

又△BXS∽△BCC′, BC 是△BCC′中的最大边,从而 BX 也是△BXS 而 中的最大边,而且 SXOC′是平行四边形,所以 BX>XS=OC′. 同理 CY>OB′. 所以 OA′+OB′+OC′<XY+BX+CY=BC.

所以 OA′+OB′+OC′=x·AA′+y·BB′+z·CC′ ≤(x+y+z)max{AA′,BB′,CC′} =max{AA′,BB′,CC′} 下面我们举几个与角有关的不等式问题. 例 6 在△ABC 中,D 是中线 AM 上一点,若∠DCB>∠DBC,求证:∠ ACB>∠ABC(图 2-142).

证 在△BCD 中,因为∠DCB>∠DBC,所以 BD>CD. 在△DMB 与△DMC 中,DM 为公共边,BM=MC,并且 BD>CD,由定理 3 知,∠DMB>∠DMC.在△AMB 与△AMC 中,AM 是公共边,BM=MC,且∠AMB >∠AMC,由定理 3 知,AB>AC,所以 ∠ACB>∠ABC. 说明 在证明角的不等式时,常常把角的不等式转换成边的不等式.

证 由于 AC>AB,所以∠B>∠C.作∠ABD=∠C,如图 2 即证 BD∠CD.因为△BAD∽△CAB,

即 BC>2BD. 又 CD>BC-BD, 所以 BC+CD>2BD+BC-BD, 所以 CD>BD. 从而命题得证. 例 8 在锐角△ABC 中,最大的高线 AH 等于中线 BM,求证:∠B<60° (图 2-144).

证 作 MH1⊥BC 于 H1,由于 M 是中点,所以

于是在 Rt△MH1B 中, ∠MBH1=30°. 延长 BM 至 N,使得 MN=BM,则 ABCN 为平行四边形.因为 AH 为最

ABC 中的最短边,所以 AN=BC<AB, 从而 ∠ABN<∠ANB=∠MBC=30°, ∠B=∠ABM+∠MBC<60°. 下面是一个非常著名的问题——费马点问题. 例 9 如图 2-145.设 O 为△ABC 内一点,且 ∠AOB=∠BOC=∠COA=120°, P 为任意一点(不是 O).求证: PA+PB+PC>OA+OB+OC. 证 过△ABC 的顶点 A,B,C 分别引 OA,OB,OC 的垂线,设这三条垂 线的交点为 A1,B1,C1(如图 2-145),考虑四边形 AOBC1.因为 ∠OAC1=∠OBC1=90°,∠AOB=120°, 所以∠C1=60°.同理,∠A1=∠B1=60°.所以△A1B1C1 为正三角形. 设 P 到△A1B1C1 三边 B1C1,C1A1,A1B1 的距离分别为 ha,hb,hc,且△ A1B1C1 的边长为 a,高为 h.由等式

S△A1B1C1=S△PB1C1+S△PC1A1+S△PA1B1 知

所以 h=ha+hb+hc. 这说明正△A1B1C1 内任一点 P 到三边的距离和等于△A1B1C1 的高 h, 这 是一个定值,所以 OA+OB+OC=h=定值. 显然,PA+PB+PC>P 到△A1B1C1 三边距离和,所以 PA+PB+PC>h=OA+OB+OC. 这就是我们所要证的结论. 由这个结论可知 O 点具有如下性质: 它到三角形三个顶点的距离和小 于其他点到三角形顶点的距离和,这个点叫费马点. 练习二十三 1. D 是△ABC 中边 BC 上一点, 设 求证: 不大于△ABC 中的最大边. AD 2.AM 是△ABC 的中线,求证:

3.已知△ABC 的边 BC 上有两点 D,E,且 BD=CE,求证:AB+AC>AD +AE. 4.设△ABC 中,∠C>∠B,BD,CE 分别为∠B 与∠C 的平分线,求证: BD>CE. 5.在△ABC 中,BE 和 CF 是高,AB>AC,求证: AB+CF≥AC+BE. 6.在△ABC 中,AB>AC,AD 为高,P 为 AD 上的任意一点,求证: PB-PC>AB-AC. 7.在等腰△ABC 中,AB=AC. (1)若 M 是 BC 的中点,过 M 任作一直线交 AB,AC(或其延长线)于 D, E,求证:2AB<AD+AE. (2)若 P 是△ABC 内一点,且 PB<PC,求证:∠APB>∠APC.



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