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江苏省仪征中学2014-2015学年高二数学周限时练(5)2015523



江苏省仪征中学高二数学周限时练(5)2015.5.23
范围:集合与逻辑 函数与导数 复数 推理与证明 命题人:谢霞 班级 学号 姓名 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 审核人:杨娟 成绩

1. 已知全集 U = { 集合 A = { 则 A? B ? 1,2,3,4,5,6}, 1,3,5},? 1,2,4} ,

UB= { 2.已知复数 z 满足 z ? i ? 2 ? i , i 为虚数单位,则 z 的值为 3.命题“ ?x ? 2 , x 2 ? 4 ”的否定是 . .



4.用反证法证明某命题时,对结论“自然数 a , b, c 至少有 1 个偶数”的正确假设为“假设自 然数 a, b, c 都是 5.若函数 f ( x) ? ” .

1 ? x2 ,则 f ( x) 的定义域是 x

. 条件.

6.已知复数 z ? (a2 ? 4) ? 3i , a ? R ,则“ a = 2 ”是“ z 为纯虚数”的 (填写 “充要” 、 “充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “既不充分也不必要”中的一个) 7.已知 △ ABC 的周长为 l ,面积为 S ,则 △ ABC 的内切圆半径为 r =

2S .将此结论类比到 l

空间,已知四面体 ABCD 的表面积为 S ,体积为 V ,则四面体 ABCD 的内切球的半径

R=



1 ì ? 2 ? ? x , x > 1, 8.若函数 f ( x) = í 则f轾 . f (81) 的值为 臌 ? ? log x ,0 < x ≤ 1, 3 ? ? 9.已知 y = f ( x) 是奇函数,当 x ≥ 0 时, f ( x) = 3x + m ,若 g ( x) = f (x) + 2 ,则 g (- 1) 的

值为



10.已知函数 f ( x) ? x3 ? mx2 ? 2n ( m , n 为常数) ,当 x ? 2 时,函数 f ( x) 有极值,若函 数 y ? f ( x) 有且只有三个零点,则实数 n 的取值范围是 .

1 3

11.设函数 f ( x) ? loga x (a ? 1) 的定义域为 ? m, n ? ,值域为 ?0,1? ,若 n ? m 的最小值为 ,则

1 3

实数 a 的值为

. .

?1 ? x ? 1 , x ? 2, ? 12.设函数 f ( x) ? ? 1 则函数 F ( x) ? xf ( x) ? 1 的零点的个数为 ? f ( x ? 2), x ≥ 2, ?2

13 .已知命题 p : “若 m ≤ 0 ,则 x 2 - 2 x + m = 0 有实数解”的逆命题;命题 q : “若函数 .以下四个结论: f ( x) = lg (x2 + 2 x + a) 的值域为 R ,则 a > 1 ” ① p 是真命题;② p ? q 是假命题;③ p ? q 是假命题;④ ?q 为假命题. 其中所有正确结论的序号为 .

14.已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数,对于任意 x1 , x2 ? R , f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 )- 1 恒 成立, 且当 x > 0 时, f ( x) > 1 , 若 f (2 0 1 3

2 0 1 4 )=

, f ( x 2 - ax - 3) < 3 对任意 x ? ( 1,1)

恒成立,则实数 a 的取值范围为



二、解答题:(15-17 每题 14 分,18-20 每题 16 分,共计 90 分,写出文字证明或演算步骤.)
2 15.已知命题 p :关于实数 x 的方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根;命题 q :关于实数 x 的

方程 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根.命题“ p 或 q ”真, “ p 且 q ”假,求实数 m 的取值范 围.

16.已知复数 z满足 | z |? (1)求复数 z;

2, z 2 的虚部为 2。

[来源:学*科*网 Z*X*

(2)设 z, ( z) 2 , z ? z 2 在复平面上的对应点分别为 A,B,C,求△ ABC 的面积; (3)若复数 z 在复平面内所对应的点位于第一象限,且复数 m 满足 | m ? z |? 1, 求 | m | 的 最值。

17



3 ? ? A ? ? x ? R | y ? lg(? x 2 ? x ? 2)? , B ? ? y ? R | y ? 2 x ? ? 4, 1 ? x ? 3? x ? ?



. 1) 求 A? B ; C ? ? x ? R | x 2 ? bx ? c ? 0?( 求 b, c 的值;

(2) 若 ( A ? B) ? C 为空集, ( A ? B) ? C ? R ,

18.将一个长宽分别为 2 米和 2 k 米( 0 ? k ? 1 )的铁皮的四角切去相同的正方形,然后折成 一个无盖的长方体的盒子,记切去的正方形边长为 x(0 ? x ? k ) ,

5 ,求这个长方体盒子的容积的最大时的 x 的值; 8 (2)若该长方体的盒子的对角线长有最小值,求 k 的范围。
(1)若 k ?

19.已知函数 f ? x ? ? x2 ? x ? a ? 1, x ? R , (1)当 a ? 0 时,判断函数 f ( x ) 的奇偶性; (2)当 a ?

1 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (3)当 a ? ? 时,求函数 f ( x ) 的最小值。 2 2

20.已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 , g ( x) ? ax . x 1 (1) 若直线 y ? g ( x) 是函数 y ? f ( x) ? 的图象的一条切线,求实数 a 的值; x
(2) 若函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 (0,1] 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (3) 若 f ( x ) 与 g ( x) 的图象有两个交点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 求证:x1 x2 ? 2e . (取 ln 2 为
2

0.7 )

数学周限时练(5)数学附加
1.如图,在空间直角坐标系 O ? xyz 中,正四棱锥 P ? ABCD 的侧棱长与底边长都为 3 2 ,点 M,N 分别 在 PA,BD 上,且
PM BN 1 ? ? . PA BD 3

z P

M C D x A

(1)求证:MN⊥AD; (2)求 MN 与平面 PAD 所成角的正弦值.

O N

B

y

2.从 5 名女同学和 4 名男同学中选出 4 人参加演讲比赛,分别按下列要求,各有多少种不同选 法?

⑴男、女同学各 2 名; ⑵男、女同学分别至少有 1 名; ⑶在(2)的前提下,男同学甲与女同学乙不能同时选出.

3.已知边长为 6 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1,E,F 为 AD、CD 上靠近 D 的三等分点,H 为 BB1 上靠近 B 的三等分点,G 是 EF 的中点. (1)求 A1H 与直线 EF 所成角的余弦值; (2) 设点 P 在线段 GH 上, =λ, 试确定 λ 的值, 使得二面角 P﹣C1B1﹣A1 的余弦值为 .

a ?an ?3 4.已知数列 {an } 满足 an?1?a ?3 ? n ,且 a2 =10,
n?1 n

(1) 求 a1 、 a3 、 a4 ;

(2) 猜想数列 {an } 的通项公式 an ,并用数学归纳法证明;
n } 成等差数列?若存在,请求出 c 的值;若不存在,请说明 (3) 是否存在常数 c,使数列{ n ? c

a

理由。

限时(5)参考答案

15、解:p 真 m ? 2

4 分 q 真 1<m<3.

8分

由题意知,命题 p、q 应一真一假

?m ? 2 ?m ? 2 ∴? 或? ?m ? 1或m ? 3 ?1 ? m ? 3
16、解: (1) ( 2

解得:m≥3 或 1<m≤2. ????14 分 ??????4 分 )

? z ? 1 ? i或z ? ?1 ? i



z ? 1 ? i时, ( z) 2 ? ?2i, z ? z 2 ? 1 ? i, 则A(1,1), B(0,?2),C(1,?1)
? S ?ABC ? 1 ?2? ? 2 1 1

当z ? ?1 ? i时, ( z ) 2 ? ?2i, z ? z 2 ? ?1 ? 3i, 则A(?1, ?1), B(0, ?2), C (?1 ? 1, ?3) 1 ? S?ABC ? ? 2 ?1 ? 1 ????10分 2
(3)由题知, z ? 1 ? i 设m ? c ? di, 则m ? z ? (c ?1) ? (d ? 1)i

? | m ? z |? 1,?(c ?1)2 ? (d ?1)2 ? 1 ????12 分
则复数 m 在复平面内所对应的点为 M 的轨迹为(1,1)为圆心,1 为半径的圆 所以, | m |min ?

2 ? 1, | m |max ? 2 ? 1

??????14 分

17 、解: ( 1 ) A ? {x | ? x2 ? x ? 2 ? 0} ? (?2,1) , B ? [2 6 ? 4,3) , A ? B ? (?2,3) ? 7 分 (2)由题意知,方程 x ? bx ? c ? 0 必有两个不等实根,记为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,
2

C ? (??, x1 ] ? [ x2 , ??) ;??8 分

( A ? B) ? C 为空集,则 x1 ? ?2, x2 ? 3 ????10 分

( A ? B) ? C ? R ,则 x1 ? ?2, x2 ? 3 ??12 分 所以 x1 ? ?2, x2 ? 3 ,得 b ? ?1, c ? ?6 ??
14 分 18、解: (1) V ? 4(1 ? x)(k ? x) x ? 4[ x3 ? (1 ? k ) x2 ? kx] , x ? (0, k ) ,??3 分

V / ? 4[3x 2 ? 2(1 ? k ) x ? k ] ? 12 x 2 ? 13x ?
x? 1 ?9 分 4

5 5 5 ? 0 , x ? (0, ) ? 5 分 得 x ? 舍 去 , 8 6 2

(2)记对角线 l ? 12 分

(2 ? 2 x )2 ? (2k ? 2x )2 ? x2 ? 9x2 ? 8(1? k )x ? 4(1? k 2 ) x ? (0,k ) ?

l 有最小值,当且仅当

4 4(1 ? k ) ? (0, k ) ??14 分,解得 ? k ? 1 ??16 分 5 9

19、解: (1) f (? x) ? f ( x) ,偶函数??????3 分

1 1 ? 2 x ? x ? x ? ? ? 2 2 (2)f ( x) ? ? 3 1 ? x2 ? x ? x? ? ? 2 2


单调减区间为 ( ??, ) , 增区间为 ( , ??) ??????8

1 2

1 2

2 ? ?x ? x ? a ?1 x ? a (3) f ( x) ? ? 2 , ? ?x ? x ? a ?1 x ? a

1 1 1 3 时 f ( x ) 在 ( ??, ) 上递减,在 ( , ??) 上递增, f ( x ) min ? a ? ;??12 分 2 2 2 4 1 1 2 (ⅱ) 当 ? ? a ? 时, f ( x ) 在 (??, a) 上递减, 在 (a, ??) 上递增, f ( x)min ? a ? 1; ?16 2 2
(ⅰ)当 a ? 分

?1 1 ? ?a 20、解:(1) 设切点 ( x0 ,ln x0 ) ,则切线方程为 y ? ln x0 ? 得 ? ( x ? x0 ) ,知: ? x0 x0 ?ln x ?1 ? 0 ? 0
1 1 1 1 a ? ?5(2) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? ? ax ? b ,则 h?( x ) ? ? 2 ? a , e x x x 1 1 ∵ h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,∴对 ?x ? 0 ,都有 h?( x) ? ? 2 ? a ? 0 , x x 1 1 1 ?x ? 0 , 都 有 a ? ? 2 , ?7 记 ? t (t ? 1), u (t ) 在 [1, ??) 上 递 增 u( t )m i n ? u(1) ? 2 x x x
a ? 2 ?10 ( 3 ) 由 题 意 知 ln x1 ?

1 1 ? ax1 , ln x2 ? ? ax2 , 两 式 相 加 得 x1 x2

ln x1 x2 ?

x1 ? x2 ? a( x1 ? x2 ) ,两式 x1 x2

x2 x1 x x ? x2 1 相减得 ln 2 ? 1 ? ? a, ? a( x2 ? x1 ) ,即 x1 x1 x2 x2 ? x1 x1 x2 ln x2 x ? x2 x1 2( x1 ? x2 ) x1 ? x2 x2 1 ∴ ln x1 x2 ? 1 ?( ? )( x1 ? x2 ) ,即 ln x1 x2 ? ? ln ,?12 x1 x2 x2 ? x1 x1 x1 x2 x2 ? x1 x1 x2 ln
2(t ? 1) x2 (t ? 1)2 (t ? 1) ,则 F ?(t ) ? 不妨令 0 ? x1 ? x2 ,记 t ? ? 1 ,令 F (t ) ? ln t ? ?0, t ?1 x1 t (t ? 1)
∴ F (t ) ? ln t ? ∴ ln t ?

2(t ? 1) 2(t ? 1) ? F (1) ? 0 , 在 (1, ??) 上单调递增,则 F (t ) ? ln t ? t ?1 t ?1

2(t ? 1) x 2( x2 ? x1 ) 2( x1 ? x2 ) x1 ? x2 x2 ,则 ln 2 ? ,∴ ln x1 x2 ? ? ln ? 2 , t ?1 x1 x1 ? x2 x1 x2 x2 ? x1 x1

又 ln x1 x2 ?

4 x1 x2 2( x1 ? x2 ) 4 4 ? ln x1 x2 ? ? ln x1 x2 ? ? 2 ln x1 x2 ? , x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2
2 4 2 ? 2 , 即 ln x1 x2 ? ? 1 , 令 G ( x) ? l n x? , 则 x ? 0 时 , x x1 x2 x1 x2
, ∴

∴ 2ln x1 x2 ?

G?( x) ?

1 2 ? ?0 x x2

G ( x)



(0, ??)















ln 2e ?

2 1 2 ? ln 2 ? 1 ? ? 0.85 ? 1 e 2e 2





G( x1 x2 ) ? ln x1 x2 ?


2 2 ,则 x1 x2 ? 2e ,即 x1 x2 ? 2e2 .?16 ? 1 ? ln 2e ? x1 x2 2e



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