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二次方程根的分布



引例

1 1.求方程3x +6x- =0的实数根的个数 x
2

2.求实数m的范围,使关于x的方程 x ? 2(m ? 1) x ? 2m ? 6 ? 0 :
2

(1)有两个正根; (2)有两个实数根且都比1大 (3)有两个实数根且一个比0大,一个比0小

二、新课

r />
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)两根均为正根 y
? ? ? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? f 0) ? c? 0 ?( ? b ?? ? 0 ? 2a

x1>0,x2 >0

?

o x1

x2

x

类比:一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)两根均为负根呢?

推广:一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)两根均为大于K

a>0

y

k ? x1 ? x2

? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ? ?( f k) ?0 ? b ?? ? k ? 2a

o

k x1

x2 x

a<0时

k ? x1 ?

? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 x2 ? ? f k) <0 ?( ? b ?? >k ? 2a

总结规律:
1.理解题意,方程的根是怎么样的两个根,是否相等
2.根据题意,画出符合题意的函数图像,注意对称轴, 关键点的位置分布. 3.根据图像写出不等式,解之.

2.一元二次方程ax2+bx+c=0两根都在区间(k1,k2)内
y

? ?a ? 0 ? ?0 ? f(k1) ? k1 ? x1 ? x2 ? k2 ? ? f(k 2) ?0 ?? ? 0 若是a<0,请同学们画出 ? b ? 图形,写出它的等价式 k1 ? ? ? k2 ? 2a ?
x1 o x2 k2 x

k1

例. 若方程x2+(k+2)x-k=0 的两实根均在区间 (-1,1),求m的取值范围。

3.一元二次方程ax2+bx+c=0一根为正,另一根为负
y

y

x1

o

x2

x

x1 o

x2

x

?a>0 ?a< 0 或 ? x1<0<x2 ? ? ? f(0)>0 ? f(0)< 0

? af(0)< 0

推广:一元二次方程ax2+bx+c=0一根大于k,另一根小于k
y y

k

x1

o

x2

x

x1 o

k x2

x

?a>0 ?a< 0 或 ? ? x1<k<x2 ? ? f(k)> 0 ? f(k)< 0

? af(k)< 0

例3.如果f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6的一个零点大于 2,另一个零点小于2,求m 的取值范围。

4.一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实根且仅有一根 介于k1、k2之间
y y

k1

k2 x1

o

x2

x

x1 o

k1 x2 k1 x

有且仅有: k1〈x1或(x2)<k2 ?f(k1)f(k2)<0

例.已知方程x +(m-2)x+2m-1=0 有两不等的实根且仅 有一实根在(0,1),求m的取值范围。

2

5.一元二次方程ax2+bx+c=0两根分别在区间(k1,k2) 以及(p1,p2)之间 y

k1

k2 p1 o x1

x2

p2

x

k1 ? x1 ? k2 ? p1 ? x2 ? p2

?a ? 0 ? f( k ) ? 0 1 ? ? ? ? f( k 2 ) ?0 ? f( p ) 1 ?0 ? ? ?0 ? f(P2)

总结规律:
1.理解题意,方程的根是怎么样的两个根,是否相等
2.根据题意,画出符合题意的函数图像,注意对称轴, 关键点的位置分布. 3.根据图像写出不等式, △ 的符号, 对称轴的位置, 关键点的函数值,等等.解之.

三、巩固提高

已知A ? x x ? 2ax ? 1 ? 0
2

B ? x x ? 2x ? 3 ? 0
2

?

?

?

?

(1)若B ? A, 则a的范围? (2)若A ? B, 则a的范围?

四. 练一练 1.kx2+3kx+k-3=0的两根均为负,求k的取值范围。 2.如果二次方程mx2-(m+1)x+3=0的两根均大于-1, 求m 的取值范围。 3.如果f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6的一个零点大于2, 另一个零点小于2,求m 的取值范围。

四 . 练一练
1.已知方程x +(m-2)x+2m-1=0 有且仅有一实根 在(0,1),求m的取值范围。 2.已知方程x +(m-2)x+2m-1=0 较大根在(0,1), 求m的取值范围。 3.已知方程x +(m-2)x+2m-1=0 较小根在(0,1), 求m的取值范围 变3.已知方程x +(m-2)x+2m-1=0 有根在(0,1), 求m的取值范围
2 2 2 2

五. 作业
1、方程5x2-ax-1=0(a∈R)的一个根在区间(-1,0) 上,另一个在区间(1,2)上 ,求a的取值范围。 2、已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象的零点至少 有一个在原点的右侧,求实数m的取值范围。
3.已知集合A={x|x2-7x+10≤0}, B={x|x2-(2-m)x+5-m≤0}, 且B ? A,求实数m的取值范围.

例:x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
(1) 两个正根 (2)有两个负根 (3) 两个根都小于1
1 (4) 两个根都大于 2

(5) 一个根大于1,一个根小于1 (6) 两个根都在(0 . 2)内 (7) 两个根有且仅有一个在(0 . 2)内 (8) 一个根在(-2 .0)内,另一个根在(1 . 3)内

例、关于x的方程lg(kx)=2lg(x+1)有 且仅有一个实数解,求实数k的取 值范围 。



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