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山东省寿光市2013届高三10月阶段性检测数学(文)试题


山东省寿光市 2013 届高三 10 月份阶段性检测试题 文科数学阶段性检测
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.集合 U={1,2,3,4,5,6},S={1,4,5},T={2,3,4},则 S ? ( A. {1,4,5,6} B. {1,5 } C. {4} ) 2.命题“若 f ( x ) 是奇函数,则 f ( ? x ) 是奇函数”的否命题是( A. 若 f ( x ) 是偶函数,则 f ( ? x ) 是偶函数 B. 若 f ( x ) 不是奇函数,则 f ( ? x ) 不是奇函数 C. 若 f ( ? x ) 是奇函数,则 f ( x ) 是奇函数 D. 若 f ( ? x ) 不是奇函数,则 f ( x ) 不是奇函数 3.函数 y ? f ( x ) 的图象如图所示,则 f ( x ) 的解析式可 能是( ) A. f ( x ) ? ? x ? cos x B. f ( x ) ? ? x ? sin x C. f ( x ) ? | x | sin x D. f ( x ) ? | x | cos x
?x ? y ?1? 0 ? 4.在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0 ( a 为常数)所表示的平面区域内 的面积 ?ax ? y ? 1 ? 0 ?
[来源:Z+xx+k.Com] [来源:学&科&网]

2012.10

T)等于(



D. {1,2,3,4,5}

等于 2,则的值为( A. -5 B. 1

) C. 2 D. 3
2

5. 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , a 2 、 a 4 是 方程 x ? x ? 2 ? 0 的两个根,则 S 5 等于 ( ) A.
5 2

B. 5
? ?

C. -

5 2

D. -5

6.为得到函数 y ? c os ? 2 x ?

π? ? 的图像,只需将 函数 y ? sin 2 x 的图像( 3?



A. 向左平移

5π 12
5π 6

个长度单位

B. 向右平移

5π 12
5π 6

个长度单位

C. 向左平移

个长度单位

D. 向右平移

个长度单位

7. 已知函数 f ( x ) ? A sin ( ? x ? ? )( x ? R , A ? 0, ? ? 0, | ? |?
f (x)

π 2

) 的图象(部分)如图所示,则

的解析式是(
?



π? ?(x ? R) 6? ? π? ? B. f ( x ) ? 2 sin ? 2 π x ? ? ( x ? R ) 6? ? π? ? C. f ( x ) ? 2 sin ? π x ? ? ( x ? R ) 3? ? π? ? D. f ( x ) ? 2 sin ? 2 π ? ? ( x ? R ) 3? ?

A. f ( x ) ? 2 sin ? ? x ?

8. 已知 ? 为第四 象限的角,且 sin ( A. 3 4

π 2

??) ?

4 5

,则 ta n ? =( C. 4 3

) D.
4 3

B.

3 4

9. 若 ? A B C 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 : 11 : 13 ,则 ? A B C ( A. 一定是锐角三角形 C. 一定是钝角三角形 10. 把函数 y ? sin x ? B. 一定是直角三角形



D. 可能是锐角三角形,也可能是直角三角形

3 cos x 的图象向左平移 m ( m ? 0 ) 个单位长度后, 所得到的图象关于 y

轴对称,则 m 的最小值是( A.
π 6

) C.
2π 3

B.

π 3

D.

5π 6

11. 已知 { a n } 为等差数列, a 1 ? a 3 ? a 5 ? 1 0 5, a 2 ? a 4 ? a 6 ? 9 9 ,以 S n 表示 { a n } 的前 n 项和, 则 使得 S n 达到最大值的 n 是( A . 21 B. 20 ) C. 19 D. 18

12.定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 对任意 x ? R 都有 f ( x ) ? f ( x ? 4 ),当 x ? ( ? 2 , 0 )时 ,
f ( x ) ? 2 ,则 f ( 2012 ) ? f ( 2011) 的值为(
x



A.-

1 2

B.

1 2

C. 2

D. -2

第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.若
c o s 2? π? ? sin ? ? ? ? 4? ? ? ? 2 2

,则 cos ? ? sin ? 的值为

.

14.若直线 ax ? 2 by ? 2 ? 0( a , b ? (0, ? ? )) 平分圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 6 ? 0 ,则
2 2

1 a

?

2 b

的最小

值是

.
1 2 a 3 , 2 a 2 成等差数列, 则

15. 已知等比数列 { a n } 的各项都是正数, a 1 , 且
π 4

a 9 ? a10 a8 ? a9

?

.

16. 若 f ( x ) ? 3 sin ( 2 x ?

) 有以下命题:

①若 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,则 x1 ? x 2 ? k π ( k ? Z ) ;② f ( x ) 图象与 g ( x ) ?
3 c os( 2 x ? π 8 π
3π ? ? 7π ) 图象相同;③ f ( x ) 在区间 ? ,? 上是减函数;④ f ( x ) 图象关于点 ? 8 4 8 ? ? ?

(?

, 0 ) 对称. 其中正确的命题是

.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分. 解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理 步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函 数 f ( x ) ? 2 c os
2

x 2

?

3 sin x . (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域; π 3 )? 1 3

(2)若 ? 为第二象限角,且 f (? ?

,求

c o s 2? 1 ? ta n ?

的值

18. (本小题满分 12 分)已知 { a n } 是公比为 q 的等比数列,且 a 1 , a 3 , a 2 成等差数列. (Ⅰ)求 q 的值; (Ⅱ)设 { b n } 是以 2 为首项, q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 S n ,当 n ? 2 时,比较 S n 与 b n 的大小,并说明理由.

[来源:Z§xx§k.Com]

19. (本小题满分 12 分)已知集合 A ? { y | y ? ( a ? a ? 1) y ? a ( a ? 1) ? 0},
2 2 2

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

x ? x ? , 0 ? x ? 3}. 2 2 (1)若 A ? B ? ? ,求 a 的取值范围.
2

B ? {y | y ?

1

5

(2)当 a 取使不等式 x 2 ? 1 ? a x 恒成立的最小值时,求( R A ) ? B .

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?
3 2 sin 2 x ? 1 2 (c os x ? sin x ) ? 1, x ? R ,将函数 f ( x ) 向左平移
2 2

π 6

个单

位后得函数 g ( x ) ,设三角形 ? A B C 三个角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c . (Ⅰ)若 c ?
7 , f ( C ) ? 0, sin B ? 3 sin A ,求 a 、 b 的值; ?? ?

(Ⅱ)若 g ( B ) ? 0 且 m ? (cos A , cos B ), n ? (1, sin A ? cos A tan B ) ,求 m ?n 的取值范围.

?? ?

21. (本小题满分 12 分) 设数列 { b n } 的前 n 项和 为 S n ,且 b n =2-2 S n ;数列 { a n } 为等差数列,且 a 5 ? 1 4, a 7 ? 2 0 .
k.Com] [来源:Z。xx。

(1)求数列 { b n } 的通项公式; (2)若 c n ? a n ?bn ( n ? 1, 2, 3 ?) T n 为数列 { c n } 的前 n 项和. 求 T n . ,

22. (本小题满分 14 分)

[来源:学科网 ZXXK]

定义在 R 上的函数 f ( x ) ? a x ? b x ? cx ? 3 同时满足以下条件:
3 2

① f ( x ) 在(0,1)上是减函数,在 (1, ? ? ) 上是增函数;② f ?( x ) 是偶函数; ③ f ( x ) 在 x ? 0 处的切线与直线 y ? x ? 2 垂直. (1)求函数 y ? f ( x ) 的解析式; (2)设 g ( x ) ? 4 ln x ? m ,若存在 x ? [1, e ] ,使 g ( x ) ? f ?( x ) ,求实数 m 的取值范围.

高三文科数学阶段性检测参考答案
BBCDA 13.
1 2

AAACD 14.

BA 3+ 2 2 15. 1+ 2 16. ②③④

17. 解: (1)因为 f ( x ) ? 1 ? c os x ?

3 sin x ? 1 ? 2 c os( x ?

π 3

), ???????????3 分

所以函数 f ( x ) 的周期为 2 π ,值域为[-1,3].???????????????5 分 (2)因为 f ( ? ?
π 3 )? 1 3 , 所以 1 ? 2 c os ? ?
2 2

1 3

, 即 cos ? ? ?

1 3

. ??????????6 分

因为

c os 2 ? 1 ? ta n ?

?

c os ? ? sin ? c os ? ? sin ? c os ?

???????????????????8 分

? cos ? (cos ? ? sin ? ) ? cos ? ? cos ? sin ? , ??????????????10 分
2

因为 ? 为第二象限角,所以 sin ? ?

2 2 3

. ??????????????????11 分

所以

c os 2 ? 1 ? ta n ?

?

1 9

?

2 2 9

?

1? 2 2 9
2

. ????????????????????12 分
2

18.(Ⅰ)由题设 2 a 3 ? a 1 ? a 2 ,即 2 a 1 q ? a 1 ? a 1 q ,? a 1 ? 0,? 2 q ? q ? 1 ? 0 .
? q ? 1或?
1 2

[来源:Z|xx|k.Com]

.
n ( n ? 1) 2
( n ? 1)( n ? 2 ) 2

(Ⅱ)若 q ? 1 ,则 S n ? 2 n ? 当 n ? 2 时, S n ? b n ? S n ? 1 ? 若q ? ?
1 2

? ? 1

n ? 3n
2

.

2
? 0 . 故 S n ? bn .
2

,则 S n ? 2 n ?

n ( n ? 1) 2

(?

1 2

)?

?n ? 9n 4
,

.

当 n ? 2 时, S n ? b n ? S n ? 1 ? ?

( n ? 1)( n ? 1 0 ) 4

故对于 n ? N ? , 当 2 ? n ? 9 时, S n ? b n ; 当 n ? 1 0 时, S n ? b n ;当 n ? 1 1 时, S n ? bn . 19. 解: A ? { y | y ? a 或 y ? a ? 1}, B ? { y | 2 ? y ? 4}.
2

[来源:学科网]

?a ? 1 ? 4 (1)当 A ? B ? ? 时, ? , ?a ? 2
2

所以 a ? ? 3 或 3 ? a ? 2 . (2)由 x ? 1 ? ax ,得 x ? a x ? 1 ? 0,
2

2

依题意知, ? ? a ? 4 ? 0 ,则 ? 2 ? a ? 2 ,
2

即 a 的最小值为-2. 当 a ? ? 2 时, A ? { y | y ? ? 2 或 y ? 5}, 所以 R A ? { y | ? 2 ? y ? 5} , 故( R A ) ? B ? { y | 2 ? y ? 4} .
3 2 3 2 1 2 1 2 π 6

20. 解: (Ⅰ) f ( x ) ?

sin 2 x ?

(c os x ? sin x ) ? 1
2 2

?

sin 2 x ?

c os 2 x ? 1 ? sin ( 2 x ?

) ? 1 ????????????????1 分

f ( C ) ? sin ( 2 C ?

?
6

) ? 1 ? 0 ,所以 sin ( 2 C ?

π 6

)?1

因为 2 C ?

π 6

? (?

π 11π π π π , ), 所以 2 C ? ? , 所以 C ? ????????????3 分 6 6 6 2 3
2 2

由余弦定理知: a ? b ? 2 a b c os

π 3

? 7,

因为 sin B ? 3 sin A ,由正弦定理知: b ? 3 a ?????????????????5 分 解得: a ? 1, b ? 3 ???????????? ????????????????6 分 (Ⅱ)由条件知 g ( x ) ? sin ( 2 x ? 所以 sin ( 2 B ? 因为 2 B ?
π 6
?? m ? (c os A , 3 2 ?? ? 3 2

π 6

) ? 1 所以 g ( B ) ? sin ( 2 B ?

π 6

) ?1 ? 0 ,

π 6

)?1

[来源:学_科_网]

?(

π 13π π π π , ), 所以 2 B ? ? 即B ? 6 6 6 2 6
? ), n ? (1, sin A ? 3 3 3 2 1 2 3 2 π s An ( ? ? ) ? 8 i ? ? 6 c os A )

于 是 m ?n ? c o s A ? 分
?B ? π 6 ? A ? ( 0, 5 6 π 6

( s i nA ?

cos ? A )

c oAs?

s An i ?

π ), 得 A ?

π 6

?(

π 6

, π ) ???????? ??? ????????10


? sin ( A ?
?? ? ) ? (0,1] , m ?n ? (1 0] , 即

?????????????????????12 分

21. 解: (1)由 b n ? 2 ? 2 S n , 令 n ? 1 ,则 b1 ? 2 ? 2 S 1 , 又 S 1 ? b1 , 所以 b1 ? 分 当 n ? 2 时,由 b n ? 2 ? 2 S n , 可得 bn ? bn ?1 ? ? 2 ( S n ? S n ?1 ) ? ? 2 b n , 即 分 所以 { b n } 是以 b1 ?
2 3

2 3

??????2

bn bn ?1

?

1 3

????4

为首项 , 为公比的等比数列,于是 b n ? 2 ?
3 1 2

1

1
n

????????6 分

3

(2)数列 { a n } 为 等差数列,公差 d ? 从而 c n ? a n ?b n ? 2 ( 3 n ? 1) ?
1

( a 7 ? a 5 ) ? 3, 可得 a n ? 3 n ? 1 ???????7 分
? , ? ?

1 1 1 ? 1 ? T n ? 2 2 ? ? 5 ? 2 ? 8 ? 3 ? ? ? ( 3 n ? 1) ? n ? 3 3 3 3 3 ?
n

1

1 1 1 ? ? 1 T n ? 2 2 ? 2 ? 5 ? 3 ? ? ? ( 3 n ? 4 ) ? n ? ( 3 n ? 1) ? n ? 3 3 3 3 3 ? ? ? 2 1 1 1 1 ? ? 1 T n ? 2 2 ? ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? n ? ( 3 n ? 1) ? n ? 1 ????????????11 ? 3 3 3 3 3 3 ? ? ?

?


Tn ? 7 2 ? 1 2 ?3
n?2

?

3n ? 1 3
n

. ?????????????????? ????????12


2 22.解: (1) f ?( x ) ? 3 ax ? 2 bx ? c ,

? f ( x ) 在(0,1)上是减函数,在 (1, ? ? ) 上是增函数,

? f ?(1) ? 3 a ? 2 b ? c ? 0,

(*) ?????????????? ????1 分

由 f ?( x ) 是偶函数得: b ? 0,

?????????????????????2 分

又 f ( x ) 在 x ? 0 处的切线与直线 y ? x ? 2 垂直,

f ?(0 ) ? c ? ? 1, ????????????????????????????3 分

代入(*)得: a ?

1 3

,即 f ( x ) ?

1 3

x ? x ? 3 . ???????????????4 分
3

( 2 ) 由 已 知 得 : 若 存 在 x ? [1, e ] , 使 4 l nx ? m ? x ? 1, 即 存 在 x ? [1, e ] , 使
2

m ? 4 l nx ? x ? 1 .
2

设 M ( x ) ? 4 ln x ? x ? 1, x ? [1, e ],
2

则 M ?( x ) ?

4 x

? 2x ?

4 ? 2x x

2

, ??????????????????????6 分

令 M ?( x ) ? 0,? x ? [1, e ],? x ?

2 , ???????????????????7 分

当x ?

2 时, M ?( x ) ? 0,? M ( x ) 在 ( 2 , e ] 上为减函数,

[来源:学。科。网]

当1 ? x ?

2 时, M ?( x ) ? 0,? M ( x ) 在 [1,

2 ] 上为增函数,

? M ( x ) 在 [1, e ] 上有最大值. ????????? ??????????????9 分

又 M (1) ? 1 ? 1 ? 0, M ( e ) ? 5 ? e ? 0,? M ( x ) 最小值为 5 ? e .??? ?????11 分
2
2

于是有 m ? 5 ? e 为所求. ?????????????????????????12 分
2


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