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排列组合概率统计



2013

高考数学 140 分专题讲解
-排列组合、概率统计

张金星
1

2

排列组合难题二十一种方法
排列组合问题联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,因此解决排列组合问题,首先要认真 审题,弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题;其次要抓住问题的本质特征,采用合 理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分 析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事,有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法,在第 2 类办法中有 m2 种不同的方 法,?,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有:

N ? m1 ? m2 ? ? ? mn
种不同的方法. 2.分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法,做第 2 步有 m2 种不同的方法,?, 做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有:

N ? m1 ? m2 ??? mn
种不同的方法. 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少 类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
1 先排末位共有 C3

1 然后排首位共有 C4
3 最后排其它位置共有 A4

1 1 3 由分步计数原理得 C4C3 A4 ? 288

C4

1

A4

3

C3

1

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需 先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位 置。若有多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有 多少不同的种法? 二.相邻元素捆绑策略 例 2. 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元 素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 A5 A2 A2 ? 480 种不同的
5 2 2

排法
3

甲 乙

丙 丁

要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并 为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 练习题:某人射击 8 枪,命中 4 枪,4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例 3.一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多 少种? 解:分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有 A 5 种, 第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的 6 个元素 5
4 4 中间包含首尾两个空位共有种 A 6 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有 A5 A 6 5

种 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两 端 练习题:某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个 新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例 4.7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后 用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是: A 7 / A 3 7 3


y y=f(x)

(空位法)设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有
a b


x

种方法, 其余的三个位置甲乙丙共有

y S

1 种坐法,则共有

x a 标准正态分布曲线 S阴=0.5 Sa=0.5+S

种方法。 方法

思考:可以先让甲乙丙就坐吗? (插入法)先排甲乙丙三个人,共有 1 种排法,再把其余 4 四人依次插入共有

定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插 空模型处理 练习题:10 人身高各不相等,排成前后排,每排 5 人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法?
5 C10

五.重排问题求幂策略 例 5.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有 7 种分依此类推,由分步计数原理共有 7 种不同的排法 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素 的位置,一般地 n 不同的元素没有限制地安排在 m 个位置上的排列数为 m 种 练习题: 1. 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单, 开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插 入原节目单中,那么不同插法的种数为 42 2. 某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法 7 六.环排问题线排策略 例 6. 8 人围桌而坐,共有多少种坐法? 解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人 A 4 并从此位置把圆 形展成直线其余 7 人共有(8-1) !种排法即 7 !
4
8 n 6

4

C D E F G H B A A B C D E F G H A

一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆 形排列共有

1 m An n

练习题:6 颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈 120 七.多排问题直排策略 例 7.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 解:8 人排前后两排,相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有 A 2 种,再排后 4 4 个位置上的特殊元素丙有 A1 种,其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有 A 5 种,则共有 A 2 A1 A 5 4 5 4 4 5 种

前 排

后 排

一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研 究. 练习题:有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人就座规定前排中间的 3 个座位不 能坐,并且这 2 人不左右相邻,那么不同排法的种数是 346 八.排列组合混合问题先选后排策略 例 8.有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
2 解:第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有 C5 种方法.再把 4 个元素(包含一个复合元素)装

2 入 4 个不同的盒内有 A 4 种方法,根据分步计数原理装球的方法共有 C5 A 4 4 4

解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗? 练习题: 一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务,每人完成一种任 务,且正副班长有且只有 1 人参加,则不同的选法有 192 种 九.小集团问题先整体后局部策略 例 9.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1,5在两个奇数之间,这样的五位 数有多少个? 解: 把1,5,2,4当作一个小集团与3排队共有 A 2 种排法, 再排小集团内部共有 A 2 A 2 种排法, 2 2 2 由分步计数原理共有 A 2 A 2 A 2 种排法. 2 2 2

1524
小集团排列问题中,先整体后局部,再结合其它策略进行处理。

3

练习题: 1.计划展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画,4幅油画,5幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起,并且水彩画不在两端,那么共有陈列方式的种数为 A 2 A 5 A 4 2 5 4 2. 5 男生和5女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有 A 2 A 5 A 5 种
2 5 5

5

十.元素相同问题隔板策略 例 10.有 10 个运动员名额,分给 7 个班,每班至少一个,有多少种分配方案? 解:因为 10 个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6 个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法
6 共有 C9 种分法。

一 班

二 班

三 班

四 班

五 班

六 班

七 班

将 n 个相同的元素分成 m 份(n,m 为正整数),每份至少一个元素,可以用 m-1 块隔板,
m 插入 n 个元素排成一排的 n-1 个空隙中,所有分法数为 Cn??1 1

练习题: 1. 10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法? 2 . x ? y ? z ? w ? 100 求这个方程组的自然数解的组数

C94
3 C103

十一.正难则反总体淘汰策略 例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数,使其和为不小于 10 的偶数,不同的 取法有多少种? 解:这问题中如果直接求不小于 10 的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有 5 个偶数 5
3 1 2 个奇数,所取的三个数含有 3 个偶数的取法有 C5 ,只含有 1 个偶数的取法有 C5C5 ,和为偶数的取

1 2 3 1 2 3 法共有 C5C5 ? C5 。再淘汰和小于 10 的偶数共 9 种,符合条件的取法共有 C5C5 ? C5 ? 9

有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出 它的反面,再从整体中淘汰. 练习题:我们班里有 43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种? 十二.平均分组问题除法策略 例 12. 6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法?
2 2 2 解: 分三步取书得 C6 C4 C2 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记 6 本书为 ABCDEF,若第一 2 2 2 步 取 AB, 第 二 步 取 CD, 第 三 步 取 EF 该 分 法 记 为 (AB,CD,EF), 则 C6 C4 C2 中 还 有

(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 A 3 种取法 ,而这些分法仅 3
2 2 2 是(AB,CD,EF)一种分法,故共有 C6 C4 C2 / A 3 种分法。 3

平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以 A n ( n 为均分的 n 组数)避免重复计数。 练习题: 1 将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队, 有多少分法?( C13C8 C4 / A 2 ) 2.10 名学生分成 3 组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的 分组方法 (1540) 3.某校高二年级共有六个班级,现从外地转 入 4 名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安
2 2 2 2 排 2 名,则不同的安排方案种数为______( C4 C2 A 6 / A 2 ? 90 )

5

4

4

2

十三. 合理分类与分步策略
6

例 13.在一次演唱会上共 10 名演员,其中 8 人能能唱歌,5 人会跳舞,现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞 的节目,有多少选派方法 解:10 演员中有 5 人只会唱歌,2 人只会跳舞 3 人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究
2 2 只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有 C3 C3 种,只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人员

1 1 2 C5C3C4 种,只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有 C52C52 种,由分类计数原理共有 2 2 1 1 2 2 2 C3 C3 ? C5C3C4 ? C5 C5 种。

解含有约束条件的排列组合问题,可按元素的性质进行分类,按事件发生的连续过程分步,做 到标准明确。分步层次清楚,不重不漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。 练习题: 1.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座 谈会,若这 4 人中必须既有男生又有女生,则不 同的选法共有 34 2. 3 成人 2 小孩乘船游玩,1 号船最多乘 3 人, 2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘 1 人,他们任选 2 只船 或 3 只船,但小孩不能单独乘一只船, 这 3 人共有多少乘船方法. (27) 本题还有如下分类标准: *以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果 十四.构造模型策略 例 14. 马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其中的 3 盏,但不能关掉相邻的 2 盏或 3 盏,也不能关掉两端的 2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种?
3 解:把此问题当作一个排队模型在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不亮的灯有 C5 种

一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型,如占位填空模型,排队模型,装盒 模型等,可使问题直观解决 练习题: 某排共有 10 个座位, 4 人就坐, 若 每人左右两边都有空位, 那么不同的坐法有多少种? (120) 十五.实际操作穷举策略 例 15.设有编号 1,2,3,4,5 的五个球和编号 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将 5 个球投入这五个盒子内,要 求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
2 解:从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 C5 种还剩下 3 球 3 盒序号不能对应,利用实际操作法,如

果剩下 3,4,5 号球, 3,4,5 号盒 3 号球装 4 号盒时,则 4,5 号球有只有 1 种装法,同理 3 号
2 球装 5 号盒时,4,5 号球有也只有 1 种装法,由分步计数原理有 2C5 种

5
3 号盒

3
4 号盒

4
5 号盒

对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状图会收 到意想不到的结果 练习题: 1.同一寝室 4 人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡, 则四张贺年卡不同的 分配方式有多少种? (9) 2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有 4 种可选颜色,则不同的着色方法有 72 种

7

1 3 2 5 4

十六. 分解与合成策略 例 16. 30030 能被多少个不同的偶数整除 分析:先把 30030 分解成质因数的乘积形式 30030=2×3×5 × 7 ×11×13 依题意可知偶因数必先取 2,再从其余 5 个因数中任取若干个组成乘积,
1 2 3 4 5 所有的偶因数为: C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? C5

练习:正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线
4 解:我们先从 8 个顶点中任取 4 个顶点构成四体共有体共 C8 ? 12 ? 58 ,每个四面体有

3 对异面直线,正方体中的 8 个顶点可连成 3 ? 58 ? 174 对异面直线 分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题 逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到 问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略 十七.化归策略 例 17. 25 人排成 5×5 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种? 解: 将这个问题退化成 9 人排成 3×3 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列, 有多少选法.这样每行必有 1 人从其中的一行中选取 1 人后,把这人所在的行列都划掉,如
1 1 1 此继续下去.从 3×3 方队中选 3 人的方法有 C3C2C1 种。 再从 5×5 方阵选出 3×3 方阵便可

3 3 解决问题.从 5×5 方队中选取 3 行 3 列有 C5 C5 选法所以从 5×5 方阵选不在同一行也不在 3 3 1 1 1 同一列的 3 人有 C5 C5 C3C2C1 选法。

处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简 要的问题, 通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法, 从而进下一步解决原来的问题 练习题:某城市的街区由 12 个全等的矩形区组成其中实线表示马路,从 A 走到 B 的最短路径有多少
3 种?( C7 ? 35 )

B

A
十八.数字排序问题查字典策略 例 18.由 0,1,2,3,4,5 六个数字可以组成多少个没有重复的比 324105 大的数? 解: N ? 2 A5 ? 2 A4 ? A3 ? A2 ? A1 ? 297
5 4 3 2 1

数字排序问题可用查字典法,查字典的法 应从高位向低位查,依次求出其符合要求 的个数,根据分类计数原理求出其总数。 练习:用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第 71 个数
8

是 3140 十九.树图策略 例 19. 3 人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过 5 次传求后,球仍回到甲的手中,则不同 N ? 10 的传球方式有______ 对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用 公式进行运算,树图会收到意想不到的结果 练习: 分别编有 1,2,3,4,5 号码的人与椅,其中 i 号人不坐 i 号椅( i ? 1,2,3,4,5 )的不同坐法有 多少种? N ? 44 二十.复杂分类问题表格策略 例 20.有红、黄、兰色的球各 5 只,分别标有 A、B、C、D、E 五个字母,现从中取 5 只,要求各字母均 有且三色齐备,则共有多少种不同的取法 解:

红 黄 兰

1 1 3

1 2 2

1 3 1

2 1 2

2 2 1

3 1 1

取法

1 1 C5 C 4

1 2 C5 C 4

1 3 C5 C 4

1 C52 C3

2 2 C5 C3

3 1 C5 C 2

一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗 漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效 果. 二十一:住店法策略 解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素:一类元素可以重复,另一类不能重复,把不能重复 的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,再利用乘法原理直接求解. 例 21.七名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获得,获得冠军的可能的种数有 . 分析:因同一学生可以同时夺得 n 项冠军,故学生可重复排列,将七名学生看作 7 家“店”,五项冠 军看作 5 名“客”,每个“客”有 7 种住宿法,由乘法原理得 7 种.
5

9

二项式定理
一、二项式定理
0 1 (a ? b)n ? Cn an ? Cnan?1b1 ? ?? Cnr an?rbr ? ?? Cnnbn (n ? N ? ) n 这个公式表示的定理叫做二项式定理,公式右边的多项式叫做 (a ? b) 的展开式

1.项数规律:展开式共有 n+1 个项 0 1 2 n ?? 2.二项式系数规律: Cn、Cn、Cn、 ?、Cn 3.指数规律: (1)各项的次数和均为 n; (2)二项和的第一项 a 的次数由 n 逐次降到 0, 第二项 b 的次数由 0 逐次升到 n. 特别地: 1、把 b 用-b 代替 2、令 a=1,b=x 3、令 a=1,b=1 (公式为 n 个(a+b)乘积的结果,利用计数原理分析所得结果,掌握递推法) 二、杨辉三角:表中的每一个数等于它肩上的两数的和 Cn?1
r r r ? Cn ?1 ? Cn

1、每行数字左右对称,由 1 开始逐渐变大,然后变小,回到 1。 2、第 n 行的数字个数为 n 个。 3、第 n 行数字和为

2 n ?1 。

4、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。 可用此性质写出整个帕斯卡三角形。 5、斜行数字之和 1+2+3+….+ c1 ?1 = n 1+3+6+….+
2 n

c

即 c1 ? c2 ? c3 ? ... ? cn ?1 ? cn
1 1 1 1 2

c

2 n ?1

=

c

3 n

即 c2 ? c3 ? c4 ? ... ? cn ?1 ? cn
2 2 2 2 3

10

1+4+10+…+

c
r

3 n ?1

=

c

4 n

………………….

c ?c
r r

r r ?1

? cr ? 2 ? ... ? cn ?1 ? cn
r

r ?1

6、 n 行的第 1 个数为 1, 第 第二个数为 1×(n-1), 第三数为 1×(n-1)× (n-2) 第四个数为 1×(n-1)× /2, (n-2)/2×(n-3)/3…依此类推。 三、二项式展开的通项(第 r+1 项) 四、二项式系数性质 二项式系数的函数观点: 从函数角度看, ,其定义域是: ,1,2,?, n 0 1.对称性
m n Cn ? Cn ?m
r Tr?1 ? Cn an?r br

?

?

c

r n

r 可看成是以 r 为自变量的函数 f(r): ( r ) ? Cn f

图像:孤立的点

在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。 2.增减性与最大值 当 K< n ? 1 2 最大值。 当 n 是偶数时,中间的一项第 时,二项式系数是逐渐增大的,由对称性知它的后半部是逐渐减小的,且在中间取得

n ?1 n -1 ? 1 项, ? 1 项和第 当 n 是奇数时,中间的两项第 2 2
大值。 (当 n 为奇数时, (a ? b) 的展开式的中间项是 C
n
n ?1 2 n n ?1 2

n ? 1 项, 2

c

n 2 n

取得最大时

c
b

n ?1 2 n



c

n ?1 2 n

相等,且同时取得最

a

n ?1 2

和 Cn2 a

n ?1

n ?1 2

b

n ?1 2



当 n 为偶数时, (a ? b) 的展开式的中间项是
n

C

n 2 n

) a b 。

n 2

n 2

3.各二项式系数和

0 1 2 n 2n ? Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn

典型例题一
1 ? ? 例 1 在二项式 ? x ? ? 的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中所有有理项. 4 2 x? ?
分析:本题是典型的特定项问题,涉及到前三项的系数及有理项,可以通过抓通项公式解决. 解:二项式的展开式的通项公式为:
n

Tr ?1 ? C ( x )
r n

n?r

1 ? 1 ? ? 4 ? ? Cr r x n 2 ?2 x ?

r

2 n ?3 r 4

前三项的 r ? 0,1,2.

11

1 得系数为: t1 ? 1, t 2 ? C n

由已知: 2t 2 ? t1 ? t 3
r 8

1 1 1 1 ? n, t3 ? C 2 ? n(n ? 1) , n 2 2 4 8 1 n ? 1 ? n(n ? 1) , ∴n ? 8 8
16 ?3r 4

1 通项公式为 Tr ?1 ? C r x 2
∴ r ? 0,4,8.

r ? 0,1,2?8, Tr ?1 为有理项,故 16 ? 3r 是 4 的倍数,

4 4 依次得到有理项为 T1 ? x , T5 ? C8

1 35 1 1 2 x? x, T9 ? C8 8 x ? 2 ? x . 8 4 2 8 2 256

说明:本题通过抓特定项满足的条件,利用通项公式求出了 r 的取值,得到了有理项.类似地,

( 2 ? 3 3)100 的展开式中有多少项是有理项?可以通过抓通项中 r 的取值,得到共有 17 项.

典型例题二
例 2 求? x ?

? ?

1 ? ? 的展开式中,系数绝对值最大的项以及系数最大的项. 23 x ?

10

分析: 本题仍然属于抓通项公式解决特定项的问题, 但是系数的绝对值的最大值或系数的最大值, 需要对所有项的系数的变化规律进行研究.由于系数的绝对值都是正数,我们可以用作商来研究系数 绝对值的变化情况,另外各项系数正负交替,又便于用系数绝对值的大小变化抓系数的最大值. 解:展开式的通项公式为: Tr ?1 ? C (?1) ? 2
r 10 r
r 系数的绝对值为 C10 ? 2?r ,记为 t r ?1 .

?r

?x

30?5r 6

用前后两项系数的绝对值作商得:

tr ?2 tr ?1


?

r? r? C10 1 ? 2?( r ?1) C10 1 10! r!(10 ? r )! 10 ? r ? r ? ? ? . r ?r C10 ? 2 2C10 (r ? 1)!?(9 ? r )! 2 ?10! 2(r ? 1)

10 ? r ?1 2(r ? 1)

得: r ?

8 3

即 r ? 0 、1、2 时,上述不等式成立.

所以,系数的绝对值从第 1 项到第 4 项增加,以后逐项减小. 系数绝对值最大的项为第 4 项, T4 ? C (?1) 2 x ? ?15x .
4 10 3 ?3 5 2 5 2

从系数绝对值的变化情况及系数的正负交替,只要比较第 3 项与第 5 项的系数,
2 t3 ? C10 ? 2 ? 2 ?

45 210 105 4 , t5 ? C10 ? 2 ? 4 ? ? . 4 16 8

所以,系数最大的项为第 5 项, t5 ?

105 3 x . 8

5

典型例题三
例 3 已 知 (1 ? 2x)7 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ?? a7 x7 , 求 : 1 ) a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a7 ; 2 ) ( (

12

(3) a0 ? a2 ? a4 ? a6 . a1 ? a3 ? a5 ? a7 ; 分析:本题是有关展开式系数和的问题,通过对等式中字母的赋值,往往会得到此类问题的结 果.字母经常取的值有 0、1、-1 等. 解: (1)取 x ? 0 可得 a0 ? 1 , ∴ a1 ? a2 ? a3 ? ?? a7 ? ?2 . (2)取 x ? ?1 得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? a6 ? a7 ? 37 , 记 A ? a0 ? a2 ? a4 ? a6 , B ? a1 ? a3 ? a5 ? a7 . ∴ A ? B ? ?1, A ? B ? 37 . 可得 A ? 取 x ? 1 得 a0 ? a1 ? ?? a7 ? (?1)7 ? ?1.

1 7 1 (3 ? 1) ? 1093, B ? ? (1 ? 37 ) ? ?1094 2 2

从而 a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? ?1094. (3)从(2)的计算已知 a0 ? a2 ? a4 ? a6 ? 1093. 说明:赋值法不仅可以用来求二项展开式的系数和,对于展开式为多项式的代数式的系数和大多 数 也 能 用 此 方 法 解 决 , 如 : (1 ? x)5 ? (1 ? 2x)6 的 展 开 式 中 各 项 的 系 数 和 为 多 少 ? 可 以 看 到

(1 ? x)5 (1 ? 2 x)6 的 展 开式 仍是 多项 式,令 x ? 1 , 即得 各项 系数 和为 25 (?1)6 ? 32 . 再 比如 :
(1 ? x ? x2 )n ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? a2n x2n , 则 a0 ? a2 ? a4 ? ? ? a2n 等 于 多 少 ? 本 题 可 以 由 取
x ? 1 得 到 各 项 系 数 和 , 取 x ? ?1 得 到 奇 数 项 系 数 和 减 去 偶 数 项 系 数 和 , 两 式 相 加 可 得 1 a0 ? a2 ? ? ? a2 n ? (3n ? 1) . 此外, 为了赋值的需要, 有时需要用一个新的二项式替换原来二项式, 2
只要它们的系数等同即可.如: ( x ? 2 log2 x) 的展开式中各项的系数和是多少?我们可以用一个更
n

简单的二项式 (1 ? 2 x) 代替原来的二项式,它们的系数并不改变,令 x ? 1 便得各项系数和为 3n .
n

典型例题四
例 4 (1)求 (1 ? x) (1 ? x) 展开式中 x 的系数; (2)求 ( x ?
3 10
5

1 ? 2) 6 展开式中的常数项. x

分析:本题的两小题都不是二项式展开,但可以转化为二项式展开的问题, (1)可以视为两个二 项展开式相乘; (2)可以经过代数式变形转化为二项式. 解: (1) (1 ? x) (1 ? x) 展开式中的 x 可以看成下列几种方式得到,然后合并同类项:
3 10
5

5 用 (1 ? x) 展开式中的常数项乘以 (1 ? x) 展开式中的 x 项,可以得到 C10 x 5 ;用 (1 ? x) 展开式

3

10

5

3

4 4 中的一次项乘以 (1 ? x) 展开式中的 x 项可得到 (?3x)(C10 x4 ) ? ?3C10 x5 ;用 (1 ? x) 中的 x 乘以

10

4

3

2

13

3 3 (1 ? x)10 展开式中的 x 3 可得到 3x 2 ? C10 x3 ? 3C10 x5 ;用 (1 ? x)3 中的 x 3 项乘以 (1 ? x)10 展开式中的
2 2 x 2 项可得到 ? 3x3 ? C10 x 2 ? ?C10 x5 ,合并同类项得 x 5 项为: 5 4 3 2 (C10 ? C10 ? 3C10 ? C10 ) x5 ? ?63x5 .

? 1 1 ? ? (2) x ? ? 2 ? ? x ? ? ? x x? ?
12

2

? 1 1 ? ( x ? ? 2) 5 ? ? x ? ? . ? ? x x? ?
r

12

? 1 ? ? 1 ? r r ? 展开式的通项公式 Tr ?1 ? C12 ( 2 )12?r ? 由? x ? ? ? C12 x 6?r ,可得展开式的常数项 ? ? x? ? ? x?
6 为 C12 ? 924.

说明:问题(2)中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决.这时我们还可以通过合并项转 化为二项式展开的问题来解决.

典型例题五
例 5 求 (1 ? x ? x 2 )6 展开式中 x 5 的系数. 分析: (1 ? x ? x 2 )6 不是二项式,我们可以通过 1 ? x ? x 2 ? (1 ? x) ? x 2 或 1 ? ( x ? x 2 ) 把它看成 二项式展开. 解:方法一: (1 ? x ? x 2 )6 ? (1 ? x) ? x 2

?

?

6

? (1 ? x6 ) ? 6(1 ? x)5 x 2 ? 15(1 ? x)4 x 4 ? ?
含 x 5 项的系数为 6.

其中含 x 5 的项为 C5 x5 ? 6C3 x5 ?15C1 x5 ? 6x5 . 6 5 4 方法二: (1 ? x ? x 2 ) 6 ? 1 ? ( x ? x 2 )

?

?

6

? 1 ? 6( x ? x2 ) ? 15( x ? x2 )2 ? 20( x ? x2 )3 ? 15( x ? x2 )4 ? 6( x ? x 2 )5 ? ( x ? x2 )6
其中含 x 5 的项为 20(?3) x ? 15(?4) x ? 6x ? 6x .
5 5 5 5 2 6
2

∴ x 5 项的系数为 6.

方法 3:本题还可通过把 (1 ? x ? x ) 看成 6 个 1 ? x ? x 相乘,每个因式各取一项相乘可得到乘 积的一项, x 5 项可由下列几种可能得到.5 个因式中取 x,一个取 1 得到 C5 x 5 . 6 3 个因式中取 x,一个取 ? x ,两个取 1 得到 C3 ? C1 x3 ? (? x 2 ) . 6 3
2

2 1 个因式中取 x,两个取 ? x ,三个取 1 得到 C1 ? C5 x ? (? x 2 ) 2 . 6
2

2 合并同类项为 (C5 ? C3C1 ? C1 C5 ) x5 ? 6x5 , x 项的系数为 6. 6 6 3 6
5

典型例题六

14

例 6 求证: (1) C1 ? 2C2 ? ?? nCn ? n ? 2n?1 ; n n n
0 (2) C n ?

1 1 1 2 1 1 Cn ? Cn ? ? ? Cn ? (2 n ?1 ? 1) . n 2 3 n ?1 n ?1

分析:二项式系数的性质实际上是组合数的性质,我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合 数的等式或者求一些组合数式子的值. 解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化 的等数固定下来,从而使用二项式系数性质 C0 ? C1 ? C2 ? ? ? Cn ? 2 n . n n n n 解: (1)? kC n ? k ?
k

n! n! (n ? 1)! ?1 ? ? n? ? nCk ?1 n k!(n ? k )! (k ? 1)!(n ? k )! (k ? 1)!(n ? k )!

∴左边 ? nC0?1 ? nC1 ?1 ? ?? nCn?1 n n n?1

? n(C0?1 ? C1 ?1 ? ?? Cn?1 ) ? n ? 2n?1 ? 右边. n n n?1
(2)

1 1 n! n! Ck ? ? ? n k ?1 k ? 1 k!(n ? k )! (k ? 1)!(n ? k )!

?

1 (n ? 1)! 1 ?1 ? ? Ck ?1 . n n ? 1 (k ? 1)!(n ? k )! n ? 1
1 1 1 1 C n ?1 ? C 2 ?1 ? ? ? C n ?1 n n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 1 1 ? (C1 ?1 ? C 2 ?1 ? ? ? C n ?1 ) ? (2 n ?1 ? 1) ? 右边. n n n ?1 n ?1 n ?1

∴左边 ?

说明: 本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和, 再用二项式系数的性质求解. 此外, 有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式,但这需要逆用二项式定理才能完成,所以需仔
9 8 2 细观察,我们可以看下面的例子:求 29 C10 ? 28 C10 ? 27 C10 ? ?? 2C10 ? 10 的结果.仔细观察可以 10

发现该组合数的式与 (1 ? 2) 的展开式接近,但要注意:
10
0 2 9 (1 ? 2)10 ? C10 ? C1 ? 2 ? C10 ? 22 ? ?? C10 ? 29 ? C10 ? 210 10 10 2 9 ? 1 ? 2 ?10 ? 22 C10 ? ?? 29 C10 ? 210 C10 10 2 9 ? 1 ? 2(10 ? 2C10 ? ?? 28 C10 ? 29 C10 ) 10
2 8 9 9 10 从而可以得到: 10 ? 2C10 ? ? ? 2 C10 ? 2 C10 ?

1 10 (3 ? 1) . 2

典型例题七
例 7 利用二项式定理证明: 3
2 n? 2

? 8n ? 9 是 64 的倍数.
2 n? 2

分析:64 是 8 的平方,问题相当于证明 3

? 8n ? 9 是 82 的倍数,为了使问题向二项式定理贴

15

近,变形 32n?2 ? 9 n?1 ? (8 ? 1) n?1 ,将其展开后各项含有 8k ,与 82 的倍数联系起来. 解:∵ 32 n? 2 ? 8n ? 9 ? 9n?1 ? 8n ? 9 ? (8 ? 1)n?1 ? 8n ? 9

? 8n?1 ? C1 ?1 ? 8n ? ? ? Cn?1 ? 82 ? Cn?1 ? 8 ? 1 ? 8n ? 9 n n?1 n ? 8n?1 ? C1 ?1 ? 8n ? ?? Cn?1 ? 82 ? 8(n ?1) ?1 ? 8n ? 9 n n?1 ? 8n?1 ? C1 ?1 ? 8n ? ?? Cn?1 ? 82 n n?1 ? (8n?1 ? C1 ?1 ? 8n?2 ? ?? Cn?1 ) ? 64 是 64 的倍数. n n?1
说明:利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题,而且可以用此方程求一些复杂的指数 式除以一个数的余数.

典型例题八
3 ? ? 例 8 展开 ? 2 x ? 2 ? . 2x ? ?
分析 1:用二项式定理展开式. 解法 1: ? 2 x ?
5

? ?

3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? 0 1 ? C5 (2 x)5 ? ? 2 ? ? C5 (2 x) 4 ? ? 2 ? ? C52 (2 x)3 ? ? 2 ? 2 ? 2x ? ? 2x ? ? 2x ? ? 2x ?
3 4 5 2

5

0

2

3 ? ? 3 ? ? 3 ? 5? ? C (2 x) ? ? 2 ? ? C54 (2 x)? ? 2 ? ? C5 ? ? 2 ? ? 2x ? ? 2x ? ? 2x ?
3 5

? 32 x 5 ? 120 x 2 ?

180 135 405 243 ? 4 ? 7 ? x x 8x 32 x10

分析 2:对较繁杂的式子,先化简再用二项式定理展开. 解法 2: ? 2 x ?

? ?

3 ? (4 x3 ? 3)5 ? ? 2x2 ? 32x10
5

?

1 0 1 [C5 (4 x 3 )5 ? C5 (4 x 3 ) 4 (?3) ? C52 (4 x 3 )3 (?3) 2 10 32 x
3 4 5 ? C5 (4x3 )2 (?3)3 ? C5 (4x3 )1 (?3)4 ? C5 (?3)5 ]

1 (1024 x15 ? 3840 x12 ? 5760 x 9 ? 4320 x 6 ? 1620 x 3 ? 2437 ) 10 32 x 180 135 405 243 ? 32 x 5 ? 120 x 2 ? ? 4 ? 7 ? . x x 8x 32 x10 ?
说明:记准、记熟二项式 (a ? b) 的展开式,是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较
n

复杂的二项式,有时先化简再展开会更简便.

典型例题九

16

例 9 若将 ( x ? y ? z)10 展开为多项式,经过合并同类项后它的项数为( A.11 B.33 C.55 D.66

) .

分析: ( x ? y ? z)10 看作二项式 [(x ? y) ? z]10 展开. 解:我们把 x ? y ? z 看成 ( x ? y ) ? z ,按二项式展开,共有 11 “项” ,即
k ( x ? y ? z )10 ? [(x ? y) ? z ]10 ? ? C10 ( x ? y)10?k ? z k . k ?0 10

这时,由于“和”中各项 z 的指数各不相同,因此再将各个二项式 ( x ? y)10?k 展开,
k 不同的乘积 C10 ( x ? y)10?k ? z k ( k ? 0 , 1 , ? , 10 )展开后,都不会出现同类项. k 下面,再分别考虑每一个乘积 C10 ( x ? y)10?k ? z k ( k ? 0 , 1 , ? , 10 ) .

其中每一个乘积展开后的项数由 ( x ? y)10?k 决定, 而且各项中 x 和 y 的指数都不相同,也不会出现同类项. 故原式展开后的总项数为 11 ? 10 ? 9 ? ? ? 1 ? 66 , ∴应选 D.

典型例题十
1 ? ? 例 10 若 ? x ? ? 2 ? 的展开式的常数项为 ? 20 ,求 n . x ? ?
1 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ;当 分析:题中 x ? 0 ,当 x ? 0 时,把三项式 ? x ? ? 2 ? 转化为 ? x ? ? 2 ? ? ? x ? x x? x ? ? ? ? ?
n
n 2n

n

1 1 ? ? ? ? x ? 0 时,同理 ? x ? ? 2 ? ? (?1) n ? ? x ? ? .然后写出通项,令含 x 的幂指数为零,进而 x ?x? ? ? ?
解出 n .

n

2n

1 1 ? ? ? ? ? ,其通项为 解:当 x ? 0 时 ? x ? ? 2 ? ? ? x ? x x? ? ? ?
r Tr ?1 ? C2 n ( x ) 2 n?r (?

n

2n

1 r r ) ? (?1) r C2 n ( x ) 2 n?2 r , x
n ∴展开式的常数项为 (?1) n C2 n ;
2n

令 2n ? 2r ? 0 ,得 n ? r ,
n

1 1 ? ? ? ? 当 x ? 0 时, ? x ? ? 2 ? ? (?1) n ? ? x ? ? , x ?x? ? ? ?
n 同理可得,展开式的常数项为 (?1) n C2 n .

17

n 无论哪一种情况,常数项均为 (?1) n C2 n . n 令 (?1) n C2n ? ?20 ,以 n ? 1 , 2 , 3 , ? ,逐个代入,得 n ? 3 .

典型例题十一
例 11

1 ? ? ? x ? 3 ? 的展开式的第 3 项小于第 4 项,则 x 的取值范围是______________. x? ?
10

10

分析:首先运用通项公式写出展开式的第 3 项和第 4 项,再根据题设列出不等式即可.

1 ? ? 解:使 ? x ? ? 有意义,必须 x ? 0 ; 3 x? ? ? 1 ? ? 1 ? 3 依题意,有 T3 ? T4 ,即 C ( x ) ? ? ? C10 ( x ) 7 ? 3 ? . 3 ? x? ? x?
2 10 8 2 3



8 10? 9 10? 9 ? 8 1 x? ? 3 (∵ x ? 0 ) 解得 0 ? x ? 5 648 . . 9 2 ?1 3 ? 2 ?1 x

∴ x 的取值范围是 ? x 0 ? x ?

? ?

? 85 648? . 9 ?

∴应填: 0 ? x ?

85 648 . 9

典型例题十二
例 12 已知 ( x
log2 x

∶ ? 1)n 的展开式中有连续三项的系数之比为 1 2∶3 ,这三项是第几项?若展开

式的倒数第二项为 112 ,求 x 的值.
k 解:设连续三项是第 k 、 k ? 1 、 k ? 2 项( k ? N ? 且 k ? 1 ) ,则有 Cn ?1∶ n∶ n ?1 ? 1 2 3 , Ck Ck ∶∶



n! n! n! ∶ ∶ ?1 2 3. ∶∶ (k ? 1)(n ? k ? 1) ! k ! (n ? k ) ! (k ? 1)(n ? k ? 1) ! 1 1 1 ∶ ∶ ?1 2 3. ∶∶ (n ? k )(n ? k ? 1) k (n ? k ) k (k ? 1)



k (n ? k ) 1 ? k 1 ? ? (n ? k )(n ? k ? 1) ? 2 ? n ? k ? 1 ? 2 ? ? ∴? ?? ? k (k ? 1) ? 2 ? (k ? 1) ? 2 ? k (n ? k ) ? (n ? k ) 3 3 ? ?
? n ? 14 , k ? 5 所求连续三项为第 5 、 6 、 7 三项.
又由已知, C14 x
13 log2 x

? 112 .即 x log2 x ? 8 .
2 3

两边取以 2 为底的对数, (log2 x) ? 3 , log2 x ? ? 3 ,∴ x ? 2

,或 x ? 2

? 3



说明:当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时,常利用二项式通项,根据已知
18

条件列出某些等式或不等式进行求解.

典型例题十三
例 13

(1 ? 2 x) n 的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系

数最大的项. 分析:根据已知条件可求出 n ,再根据 n 的奇偶性;确定二项式系数最大的项.
6 5 解: T6 ? Cn (2x)5 , T7 ? Cn (2x)6 ,依题意有 5 6 Cn 25 ? Cn 26 ? n ? 8 .

4 ∴ (1 ? 2 x)8 的展开式中,二项式系数最大的项为 T5 ? C8 (2x)4 ? 1120x 4 .

设第 r ? 1 项系数最大,则有

?C8r ? 2 r ? C8r ?1 ? 2 r ?1 ? ? 5? r ? 6. ? r r ?C8 ? 2 ? C8r ?1 ? 2 r ?1 ?
∴ r ? 5 或 r ? 6 (∵ r ? ?0 , 1 , 2 , ? , 8?) . ∴系娄最大的项为: T6 ? 1792x5 , T7 ? 1792x6 . 说明:(1)求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,n 为奇数时中间两项的二项式系数最 大, n 为偶数时,中间一项的二项式系数最大. (2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变化情况, 一般采用列不等式,解不等式的方法求得.

典型例题十四
例 14 设 f ( x) ? (1 ? x) ? (1 ? x) ( m, n ? N ? ),若其展开式中关于 x 的一次项的系数和为 11 ,
m n
2 问 m , n 为何值时,含 x 项的系数取最小值?并求这个最小值.

分析:根据已知条件得到 x 的系数关于 n 的二次表达式,然后利用二次函数性质探讨最小值问 题.
1 1 解: Cm ? Cn ? n ? m ? 11.

2

2 2 Cm ? Cn ?

1 2 m 2 ? n 2 ? 11 ( m ? m ? n 2 ? n) ? 2 2

?

110 ? 2mn 11 99 ? n 2 ? 11n ? 55 ? (n ? ) 2 ? . 2 2 4
∴ n ? 5 或 6 , m ? 6 或 5 时, x 项系数最小,最小值为 25 .
2

∵ n ? N? ,

11 2 99 11 ) ? 的对称轴方程为 x ? ,即 x ? 5.5 ,由于 5 、 6 距 5.5 等距 2 4 2 11 2 99 离,且对 n ? N ? , 5 、 6 距 5.5 最近,所以 ( n ? ) ? 的最小值在 n ? 5 或 n ? 6 处取得. 2 4
说明:二次函数 y ? ( x ?

19

典型例题十五
例 15 若 (3x ?1)7 ? a7 x7 ? a6 x6 ? ?? a1 x ? a0 ,

求(1) a1 ? a2 ? ? ? a7 ;(2) a1 ? a3 ? a5 ? a7 ;(3) a0 ? a2 ? a4 ? a6 . 解:(1)令 x ? 0 ,则 a0 ? ?1 , 令 x ? 1 ,则 a7 ? a6 ? ?? a1 ? a0 ? 27 ? 128. ① ∴ a1 ? a2 ? ?? a7 ? 129. (2)令 x ? ?1 ,则 ? a7 ? a6 ? a5 ? a4 ? a3 ? a2 ? a1 ? a0 ? (?4)7 由 ②

1 ①?② 7 ( 得: a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? [128 ? ? 4)] ? 8256 2 2

(3)由

①?② 得: 2

a0 ? a2 ? a4 ? a6
1 ? (a7 ? a6 ? a5 ? a 4 ? a3 ? a 2 ? a1 ? a0) [ 2 ? ? a7 ? a6 ? a5 ? a 4 ? a3 ? a 2 ? a1 ? a0) ( ]
1 ? [128 ? (?4) 7 ] ? ?8128 . 2
说明: (1)本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值”法.这是一种重要的方法,它适用于恒等 式. (2)一般地, 对于多项式 g ( x) ? ( px ? q)n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ?? an x n ,g (x) 的各项的系数和为

g (1) :
1 g (x) 的奇数项的系数和为 [ g (1) ? g (?1)] . 2 1 g (x) 的偶数项的系数和为 [ g (1) ? g ( ?1)] . 2

典型例题十六
30 55 填 空 : (1) 2 ? 3 除 以 7 的 余 数 _____________ ; (2) 55 ? 15 除 以 8 的 余 数 是

例 16

________________. 分析(1):将 2 分解成含 7 的因数,然后用二项式定理展开,不含 7 的项就是余数.
30

20

解: 2 ? 3 ? (23 )10 ? 3 ? (8)10 ? 3 ? (7 ? 1)10 ? 3
30

0 1 9 10 0 1 9 ? C10 710 ? C10 79 ? ?? C10 7 ? C10 ? 3 ? 7 ?[C10 79 ? C10 78 ? ?? C10 ] ? 2

又∵余数不能为负数,需转化为正数 ∴ 2 ? 3 除以 7 的余数为 5
30

∴应填: 5

分析(2):将 55 写成 (56 ? 1)55 ,然后利用二项式定理展开.
55

0 1 54 55 解: 55 ? 15 ? (56 ? 1)55 ? 15 ? C55 5655 ? C55 5654 ? ?? C55 56 ? C55 ? 15
55

55 容易看出该式只有 ?C55 ? 15 ? 14 不能被 8 整除, 因此 55 ? 15 除以 8 的余数, 14 除以 8 的余 即
55

数,故余数为 6 .∴应填: 6 .

典型例题十七
1 ? ? 1? ? 例 17 求证:对于 n ? N ? , ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? n ? ? n ?1?
证明: ?1 ?
n n ?1



? ?

1? ? 展开式的通项 n?
? 1 n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? r ? 1) r! rr

n

r pn 1 Tr ?1 ? C ? r ? n r ! nr r n

?

1 1 2 r ?1 (1 ? )(1 ? ) ?(1 ? ). r! n n n
n ?1

1 ? ? ?1 ? ? ? n ?1?
'

展开式的通项
r An 1 ? (n ? 1) r r ! (n ? 1) r

r Tr ?1 ? Cn?1 ?

?

1 1 2 r ?1 (1 ? )(1 ? ) ?(1 ? ). r! n ?1 n ?1 n ?1
' r ?1

由二项式展开式的通项明显看出 Tr ?1 ? T

1 ? ? 1? ? ,所以 ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? n ? ? n ?1?

n

n ?1



说明:本题的两个二项式中的两项为正项,且有一项相同,证明时,根据题设特点,采用比较通 项大小的方法完成本题证明.

典型例题十八
例 18 在 ( x ? 3x ? 2) 的展开式中 x 的系数为(
2 5

) .

A.160

B.240

C.360

D.800
21

分析:本题考查二项式定理的通项公式的运用.应想办法将三项式转化为二项式求解. 解法 1:由 ( x 2 ? 3x ? 2)5 ? [(x 2 ? 3x) ? 2]5 ,
k k 得 Tk ?1 ? C5 ( x 2 ? 3x) 5?k ? 2k ? C5 ? 2 k ? ( x 2 ? 3x) 5?k . k r 再一次使用通项公式得, Tr ?1 ? C5 ? 2k ? C5?k ? 3r x10?2k ?r ,

这里 0 ? k ? 5 , 0 ? r ? 5 ? k . 令 10 ? 2k ? r ? 1 ,即 2k ? r ? 9 .
4 所以 r ? 1 , k ? 4 ,由此得到 x 的系数为 C5 ? 24 ? 3 ? 240. 4 解法 2:由 ( x 2 ? 3x ? 2)5 ? ( x ? 1)5 ( x ? 2)5 ,知 ( x ? 1)5 的展开式中 x 的系数为 C5 , 4 常数项为 1 , ( x ? 2) 的展开式中 x 的系数为 C5 ? 24 ,常数项为 2 .
5
5

4 4 因此原式中 x 的系数为 C5 ? 25 ? C5 ? 24 ? 240 .

解法 3:将 ( x 2 ? 3x ? 2)5 看作 5 个三项式相乘, 展开式中 x 的系数就是从其中一个三项式中取 3 x 的系数 3 ,
1 4 从另外 4 个三项式中取常数项相乘所得的积,即 C5 ? 3 ? C4 ? 24 ? 240.∴应选 B.

典型例题十九
?a 9 x? ? 的展开式中 x3 的系数为 ,常数 a 的值为___________. 例 19 已知 ? ? ?x ? 4 2? ?
分析:利用二项式的通项公式.
9

?a x? ? 的展开式中, 解:在 ? ? ?x 2? ? ?
3 r ?9 ? 1 2 x? ? ? C9r (?1) r a 9? r ? ? ? ? x 2 . 通项公式为 Tr ?1 ??? ? ? ? 2? ? 2? ? ? 3 9 3 ax . 根据题设, r ? 9 ? 3 ,所以 r ? 8 .代入通项公式,得 T9 ? 2 16 9 9 a ? ,所以 a ? 4 . 根据题意, ∴应填: 4 . 16 4

9

?a? ? C9r ? ? ? x?

9? r

r

r

典型例题二十
例 20 (1)求证: 1 ? 3Cn ? 3 ? Cn ? 3 ? Cn ? ?? (?1) 3 ? (?2)
1 2 2 3 3 n n n

(2)若 (2x ? 3)4 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 ,求 (a0 ? a2 ? a4 ) ? (a1 ? a3 ) 的值.
2 2

分析:(1)注意观察 (1 ? x) ? 1 ? Cn x ? Cn x ? ?? Cn x 的系数、指数特征,即可通过赋值法得
n 1 2 2 n n

22

到证明.(2)注意到 (a0 ? a2 ? a4 ) 2 ? (a1 ? a3 ) 2 ? (a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 )

? (a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ,再用赋值法求之.
1 2 n 解:(1)在公式 (1 ? x)n ? 1 ? Cn x ? Cn x 2 ? ?? Cn x n 中令 x ? ?3 ,即有 1 2 n (1 ? 3)n ? 1 ? Cn (?3)1 ? Cn (?3)2 ? ?? Cn (?3)n 1 2 ? 1 ? 3 ? Cn ? 32 ? Cn ??? (?1)n ? 3n

∴等式得证.

(2)在展开式 (2x ? 3)4 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 中, 令 x ? 1 ,得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? (2x ? 3)4 ; 令 x ? ?1 ,得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? (?2 ? 3) 4 . ∴原式 ? (a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? (a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 )

? (2 ? 3)4 ? (?2 ? 3)4 ? 1.
说明:注意“赋值法”在证明或求值中的应用.赋值法的模式是,在某二项展开式,如
0 1 2 (a ? bx)n ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? an xn 或 (a ? b) n ? Cn a n ? Cn a n?1b ? Cn a n?2b 2
n 对任意的 x ? A( a, b ? A ) 该式恒成立, 那么对 A 中的特殊值, 该工也一定成立. 特 ?? ? Cn b n 中,

殊值 x 如何选取,没有一成不变的规律,需视具体情况而定,其灵活性较强.一般取 x ? 0 , 1 , ? 1 较 多.一般地,多项式 f (x) 的各项系数和为 f (1) ,奇数项系数和为 [ f (1) ? f ( ?1)] ,偶次项系数和 为

1 2

1 [ f (1) ? f ( ?1)] 2



















0 1 2 n Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ? 2n



0 2 4 1 3 5 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? 2n?1 的证明就是赋值法应用的范例.

典型例题二十一
例 21 若 n ? N ,求证明: 3 分析:考虑先将 3 解: 3
2 n ?3 2 n ?3 ? 2 n ?3

? 24n ? 37 能被 64 整除.

拆成与 8 的倍数有关的和式,再用二项式定理展开.

? 24n ? 37 ? 3 ? 32n?2 ? 24n ? 37 ? 3 ? 9n?1 ? 24n ? 37

? 3 ? (8 ? 1)n?1 ? 24n ? 37
0 1 2 n n?1 ? 3 ?[Cn?1 ? 8n?1 ? Cn?1 ? 8n ? Cn?1 ? 8n?1 ? ?? Cn?1 ? 8 ? Cn?1 ] ? 24n ? 37

23

1 2 ? 3 ?[8n?1 ? Cn?1 ? 8n ? Cn?1 ? 8n?1 ? ?? (n ?1) ? 8 ?1] ? 24n ? 37 1 2 n?1 ? 3 ?[8n?1 ? Cn?1 ? 8n ? Cn?1 ? 8n?1 ? ?? Cn?1 ? 82 ? (8n ? 9)] ? 24n ? 37 1 2 n?1 ? 3 ? 82[8n?1 ? Cn?1 ? 8n?2 ? Cn?1 ? 8n?3 ? ?? Cn?1 ] ? 3 ? (8n ? 9) ? 24n ? 37 1 2 ? 3 ? 64[8n?1 ? Cn?1 ? 8n?2 ? Cn?1 ? 8n?3 ? ?] ? 64,

∵8

n ?1

1 2 , Cn?1 ? 8n?2 , Cn?1 ? 8n?3 ,?均为自然数,

∴上式各项均为 64 的整数倍. ∴原式能被 64 整除. 说明:用二项式定理证明整除问题,大体上就是这一模式,先将某项凑成与除数有关的和式,再 展开证之.该类题也可用数学归纳法证明,但不如用二项式定理证明简捷.

典型例题二十二
例 22 已知 ( x ? 3x ) 的展开式各项系数和比它的二项式系数和大 992 .
2 n 2 3

(1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项. 分析:先由条件列方程求出 n .(1)需考虑二项式系数的性质;(2)需列不等式确定 r . 解:令 x ? 1 得展开式的各项系数之和为 (1 ? 3) n ? 22 n ,而展开式的二项式系数的和为
0 1 2 n Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ? 2n , ∴有 22 n ? 2n ? 992. ∴ n ? 5 .

(1)∵ n ? 5 ,故展开式共有 6 ,其中二项式系数最大的项为第三、第四两项.
2 2 ∴ T3 ? C5 ( x 3 )3 ? (3x 2 ) 2 ? 90x 6 , 3 5

T4 ? C ( x ) ? (3x ) ? 270x .
2 3 10 ? 4 r 3

2 3 2

22 3

(2)设展开式中第 r ? 1 项的系数最大.
r r Tr ?1 ? C5 ? ( x 3 )5?r ? (3x 2 ) r ? C5 ? 3r ? x 2



?C5r ? 3r ? C5r ?1 ? 3r ?1 ? 故有 ? r r ?C5 ? 3 ? C5r ?1 ? 3r ?1 ?

1 ?3 ?r ? 6 ? r , ? 即? ? 1 ? 3 . ?5 ? r r ?1 ?
7 9 ? r ? .∵ r ? N , 2 2 ∴ r ? 4 ,即展开式中第 5 项的系数最大.
解得

T5 ? C ? ( x ) ? (3x ) ? 405x
4 5 2 4

2 3 1

26 3

说明:展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项是两个不同的概念,因此其求法亦不同.前 者用二项式系数的性质直接得出,后者要列不等式组;解不等式组时可能会求出几个 r ,这时还必须 算出相应项的系数后再比较大小.
24

典型例题二十三
0 p 1 p 0 p 例 23 求证:(1) Cn Cm ? CnCm ?1 ? ?? CnpCm ? Cm?n ; 0 2 4 n (2) Cn ? 32 Cn ? 34 Cn ? ?? 3n Cn ? 2 ? 4n?1 ? 2n?1 ( n ? 2 K , n ? N )
*

分析:(1)注意到两列二项式两乘后系数的特征,可构造一个函数;也可用构造一个组合问题的两 种不同解法找到思路.(2)同上构造函数,赋值. 证明:(1)(法 1)∵ (1 ? x)m?n ? (1 ? x) m ? (1 ? x) n ,
1 2 m 1 2 n ∴ (1 ? x)m?n ? (1 ? Cm x ? Cm x2 ? ?? Cm xm ) ? (1 ? Cn x ? Cn x2 ? ?? Cn xn ) .
P

∴此式左右两边展开式中 x 的系数必相等.
p 左边 x 的系数是 Cm? n ,右边 x 的系数是 0 p 1 p 2 p 0 Cn ? Cm ? Cn ? Cm ?1 ? Cn ? Cm ?2 ? ?? Cnp ? Cm , 0 p 1 p 2 p 0 p ∴ Cn ? Cm ? Cn ? Cm ?1 ? Cn ? Cm ?2 ? ?? Cnp ? Cm ? Cm?n .等式成立.
P P

(法 2)设想有下面一个问题:要从 m? n 个不同元素中取出 P 个元素,共有多少种取法?该问题
p 可有两种解法.一种解法是明显的,即直接由组合数公式可得出结论:有 Cm? n 种不同取法.第二种

解法,可将 m? n 个元素分成两组,第一组有 m 个元素,第二组有 n 个元素,则从 m? n 个元素中取 出 P 个元素,可看成由这两组元素中分别取出的元素组成,取法可分成 P ? 1 类:从第一组取 P 个,
p 0 p 1 第二组不取,有 Cm ? Cn 种取法;从第一组取 P ? 1 个,从第二组取 1 个,有 Cm ?1 ? Cn 种取法,?,第 p 0 p 1 p 2 0 一组不取,从第二组取 P 个.因此取法总数是 Cm ? Cn ? Cm ?1 ? Cn ? Cm ?2 ? Cn ? ?? Cm ? Cnp .

而该问题的这两种解法答案应是一致的,故有
0 p 1 p 2 p 0 p Cn ? Cm ? Cn ? Cm ?1 ? Cn ? Cm ?2 ? ?? Cnp ? Cm ? Cm?n .

(2)∵ n 为偶数,
0 1 2 n 0 1 2 n ∴ (1 ? 3)n ? Cn ? 3Cn ? 32 Cn ? ?? 3n Cn ; (1 ? 3)n ? Cn ? 3Cn ? 32 Cn ? ?? 3n Cn . 0 2 4 n 两式相加得 4n ? 2n ? 2(Cn ? 32 Cn ? 34 Cn ? ?? 3n Cn ) ,

∴ Cn ? 3 Cn ? 3 Cn ? ?? 3 Cn ? 2 ? 4
0 2 2 4 4 n n

n?1

? 2n?1 .

说明:构造函数赋值法,构造问题双解法,拆项法、倒序相加法都是证明一些组合数恒等式(或 求和)的常用方法.

25

概率与统计
一、概率:随机事件 A 的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值. 1.随机事件 A 的概率 0 ? P( A) ? 1,其中当 P( A) ? 1 时称为必然事件;当 P( A) ? 0 时称为不可能 事件 P(A)=0; 注:求随机概率的三种方法: (一)枚举法 例 1 如图 1 所示, 有一电路 AB 是由图示的开关控制, 闭合 a, , b

c,d,e 五个开关中的任意两个开关,使电路形成通路.则使电路
形成通路的概率是 .

分析:要计算使电路形成通路的概率,列举出闭合五个开关中的 任意两个可能出现的结果总数,从中找出能使电路形成通路的结果数,根据概率的意义计算即可。 解:闭合五个开关中的两个,可能出现的结果数有 10 种,分别是 ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、 ce、de,其中能形成通路的有 6 种,所以 p(通路)=

6 3 = 10 5

评注:枚举法是求概率的一种重要方法,这种方法一般应用于可能 出现的结果比较少的事件的概率计算. (二)树形图法 例 2 小刚和小明两位同学玩一种游戏.游戏规则为:两人各执“象、虎、鼠”三张牌,同时各出一张 牌定胜负,其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象,若两人所出牌相同,则为平局.例如,小刚出象牌,小明 出虎牌,则小刚胜;又如, 两人同时出象牌,则两人平局.如果用 A、B、C 分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌,用 A1、B1、C1 分 别表示小明的象、虎、鼠三张牌,那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少? 分析:为了清楚地看出小亮胜小刚的概率,可用树状图列出所有可能出现的结 果,并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数。 解:画树状图如图树状图。由树状图(树形图)或列表可知,可能出现的结果 有 9 种,而且每种结果出现的可能性相同,其中小刚胜小明的结果有 3 种.所 以 P(一次出牌小刚胜小明)=

1 3

点评:当一事件要涉及两个或更多的因素时,为了不重不漏地列出所有可能的结 果,通过画树形图的方法来计算概率 (三)列表法 例 3 将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌面上,从中随机摸出两张,并用这两张扑克牌上的数字组成 一个两位数.请你用画树形(状)图或列表的方法求:(1)组成的两位数是偶数的概率;(2)组成 的两位数是 6 的倍数的概率. 分析:本题可通过列表的方法,列出所有可能组成的两位数的可能情况,然后再找出组成的两位数是

26

偶数的可能情况和组成两位数 是 6 的倍数的可能情况。 解: 列的表格如下: 根据表格可得两位数有: 23, 24, 32, 34, 42, 43. 所 以(1)两位数是偶数的概率为

1 2 . (2)两位数是 6 的倍数的概率为 . 3 3

点评:当一事件要涉及两个或更多的因素时,为了不重不漏地列出所有 可能的结果,通过画树形图的方法来计算概率 2.等可能事件的概率(古典概率): P(A)=

m 。 n

3、互斥事件:(A、B 互斥,即事件 A、B 不可能同时发生)。计算公式:P(A+B)=P(A)+P(B)。 4、对立事件:(A、B 对立,即事件 A、B 不可能同时发生,但 A、B 中必然有一 个发生)。计算公式是:P(A)+ P(B)=1;P( A )=1-P(A); 5、独立事件: (事件 A、B 的发生相互独立,互不影响)P(A?B)=P(A) ? P(B) 。 提醒:(1)如果事件 A、B 独立,那么事件 A 与 B 、 A 与 B 及事件 A 与 B 也 都是独立事件;(2)如果事件 A、B 相互独立,那么事件 A、B 至少有一个不发 生的概率是 1-P(A ? B)=1-P(A)P(B);(3)如果事件 A、B 相互独立,那么事件 A、B 至少有一个 发生的概率是 1-P( A ? B )=1-P( A )P( B )。 6、独立事件重复试验:事件 A 在 n 次独立重复试验中恰好发生了 k 次的概率 ..... .
k P (k ) ? Cn pk (1 ? p)n?k (是二项展开式 [(1 ? p) ? p]n 的第 k+1 项),其中 p 为在一次独立重复试验 n

中事件 A 发生的概率。 提醒:(1)探求一个事件发生的概率,关键是分清事件的性质。在求解过程中常应用等价转化思想 和分解(分类或分步)转化思想处理,把所求的事件:转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的 知识);转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率;利用对立事件的概率,转化为相互独立事件同 时发生的概率;看作某一事件在 n 次实验中恰有 k 次发生的概率,但要注意公式的使用条件。(2) 事件互斥是事件独立的必要非充分条件,反之,事件对立是事件互斥的充分非必要条件;(3)概率 问题的解题规范:①先设事件 A=“?”, B=“?”;②列式计算;③作答。 二、随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件: ①试验可以在相同的情形下重复进行;②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;③每次 试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。它 就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量:如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫 做离散型随机变量.若ξ 是一个随机变量,a,b 是常数.则 ? ? a? ? b 也是一个随机变量.一般地,若ξ 是随机变量, f (x) 是连续函数或单调函数,则 f (? ) 也是随机变量.也就是说,随机变量的某些函数也 是随机变量.
27

设离散型随机变量ξ 可能取的值为: x 1 , x 2 , ? , x i , ? ξ 取每一个值 x 1 (i ? 1,2, ?) 的概率 P(? ? x i ) ? p i ,则表称为随机变量ξ 的概率分布,简称ξ 的分布列.
?
x1 p1 x2 p2

? ?

xi pi

? ?

P

有性质:① p 1 ? 0, i ? 1,2, ? ; ② p 1 ? p 2 ? ? ? p i ? ? ? 1 . 注意:若随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的变量叫做连续型随机变量.例如: ? ? [0,5] 即 ? 可以取 0~5 之间的一切数,包括整数、小数、无理数. 3. ⑴二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是 P,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰 好发生 k 次的概率是: P(ξ ? k) ?C k p k q n ?k [其中 k ? 0,1, ? , n, q ? 1 ? p ] 于是得到随机变量ξ 的概率分 n 布如下:我们称这样的随机变量ξ 服从二项分布,记作 ? ~B(n·p),其中 n,p 为参数,并记
Ck pk qn ? k ? b(k;n ? p) . n

⑵二项分布的判断与应用. ①二项分布,实际是对 n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行 n 次独立重复,且每次试验 只有两种结果,如果不满足此两条件,随机变量就不服从二项分布. ②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小, 而每次抽取时又只有两种试验 结果,此时可以把它看作独立重复试验,利用二项分布求其分布列. 4. 几何分布:“ ? ? k ”表示在第 k 次独立重复试验时,事件第一次发生,如果把 k 次试验时事件 A 发生记为 A k , A 不发生记为 A k , P (Ak ) ? q , 事 那么 P(ξ ? k) ? P(A1 A 2 ? A k ?1 A k ) .根据相互独立事件的概 率乘法分式: P(ξ ? k) ? P(A1 )P(A 2 ) ?P(A k ?1 )P(Ak ) ?q k ?1p (k ? 1,2,3, ?) 于是得到随机变量ξ 的概率分布列.
?

1 q

2 qp

3
q2p

? ?

k
q k?1 p

? ?

P

我们称ξ 服从几何分布,并记 g(k,p) ?q k?1 p ,其中 q ? 1 ? p. k ? 1,2,3? 5. ⑴超几何分布:一批产品共有 N 件,其中有 M(M<N)件次品,今抽取 n(1 ? n ? N) 件,则其中的 次品数ξ 是一离散型随机变量,分布列为 P (ξ ? k) ?
k k C M ?C Nn??M n CN

? (0 ? k ? M,0 ? n ? k ? N ? M) .〔分子是从 M

r 件次品中取 k 件,从 N-M 件正品中取 n-k 件的取法数,如果规定 m < r 时 C m ? 0 ,则 k 的范围可以写

为 k=0,1,?,n.〕 ⑵超几何分布的另一种形式:一批产品由 a 件次品、b 件正品组成,今抽取 n 件(1≤n≤a+b),则 次品数ξ 的分布列为 P (ξ ? k) ?
C k ?C n ? k a b C a ?n b k ? 0,1,? , n. .

⑶超几何分布与二项分布的关系. 设一批产品由 a 件次品、b 件正品组成,不放回抽取 n 件时,其中次品数ξ 服从超几何分布.若放回 式抽取,则其中次品数 ? 的分布列可如下求得:把 a ? b 个产品编号,则抽取 n 次共有 (a ? b) n 个可能

28

k k n ?k 结果,等可能: (η ? k) 含 C k a k b n ? k 个结果,故 P (η ? k) ? C n a b n ?C k ( a ) k (1 ? a ) n ? k , k ? 0,1,2,? , n , n n

(a ? b)

a?b

a?b

即 ? ~ B(n ?

a ) .[我们先为 k 个次品选定位置,共 C k 种选法;然后每个次品位置有 a 种选法,每个 n a?b

正品位置有 b 种选法] 可以证明:当产品总数很大而抽取个数不多时, P (ξ ? k) ? P (η ? k) ,因此二项 分布可作为超几何分布的近似,无放回抽样可近似看作放回抽样. 三、数学期望与方差. 1. 期望的含义:一般地,若离散型随机变量ξ 的概率分布为
?
x1 p1 x2 p2

? ?

xi pi

? ?

P

则称 E? ? x 1 p 1 ? x 2 p 2 ? ? ? x n p n ? ? 为ξ 的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反 映了离散型随机变量取值的平均水平. 2. ⑴随机变量 ? ? a? ? b 的数学期望: E? ? E (a? ? b) ? aE? ? b ①当 a ? 0 时, E (b) ? b ,即常数的数学期望就是这个常数本身. ②当 a ? 1 时, E (? ? b) ? E? ? b ,即随机变量ξ 与常数之和的期望等于ξ 的期望与这个常数的和. ③当 b ? 0 时, E (a? ) ? aE? ,即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积. ⑵单点分布: E? ? c ?1 ? c 其分布列为: P(? ? 1) ? c . ⑶两点分布: E? ? 0 ? q ? 1? p ? p ,其分布列为:(p + q = 1) ⑷二项分布: E? ? ⑸几何分布: E? ? ξ P 0 q 1 p

? k ? k!(n ? k )! p
n!

k

?q n ? k ? np 其分布列为 ? ~ B(n, p) .(P 为发生 ? 的概率)

1 p

其分布列为 ? ~ q(k , p) .(P 为发生 ? 的概率)

3.方差、标准差的定义:当已知随机变量ξ 的分布列为 P(? ? x k ) ? p k (k ? 1,2, ?) 时,则称
D? ? ( x1 ?E? ) 2 p1 ?( x 2 ?E? ) 2 p 2 ? ? ? ( x n ?E? ) 2 p n ? ? 为ξ

的方差. 显然 D? ? 0 ,故 ?? ? D? . ?? 为ξ 的根方差或

标准差.随机变量ξ 的方差与标准差都反映了随机变量ξ 取值的稳定与波动,集中与离散的程度. D ? 越小,稳定性越高,波动越小. ............. . 4.方差的性质. ⑴随机变量 ? ? a? ? b 的方差 D(? ) ? D(a? ? b) ?a 2 D? .(a、b 均为常数) ⑵单点分布: D? ? 0 其分布列为 P(? ? 1) ? p ⑶两点分布: D? ? pq 其分布列为:(p + q = 1) ⑷二项分布: D? ? npq ⑸几何分布: D? ?
q p2

ξ P

0 q

1 p

29

5. 期望与方差的关系. ⑴如果 E? 和 E? 都存在,则 E (? ? ? ) ? E? ? E? ⑵设ξ 和 ? 是互相独立的两个随机变量,则 E (?? ) ? E? ? E? , D(? ? ? ) ? D? ? D? ⑶期望与方差的转化: D? ? E? 2?(E? ) 2 ⑷ E (? ? E? ) ? E (? ) ? E ( E? ) (因为 E? 为一常数) ? E? ? E? ? 0 .

四、正态分布.(基本不列入考试范围) 1.密度曲线与密度函数:对于连续型随机变量ξ ,位于 x 轴上方,ξ 落在任一区间 [a, b) 内的概率等 于它与 x 轴.直线 x ? a 与直线 x ? b 所围成的曲边梯形的面积 (如图阴影部分)的曲线叫ξ 的密度曲线,以其作为 图像的函数 f (x) 叫做ξ 的密度函数,由于“ x ? (??,??) ” 是必然事件,故密度曲线与 x 轴所夹部分面积等于 1. 2. ⑴正态分布与正态曲线:如果随机变量ξ 的概率密度为: f ( x) ?
1 2? ?
? ( x?? )2 2? 2



y y=f(x)

x a b

e

. ( x ? R, ? , ? 为常

数,且 ? ? 0 ),称ξ 服从参数为 ?, ? 的正态分布,用 ? ~ N (?,? 2) 表示. f (x) 的表达式可简记为
N (?,? 2) ,它的密度曲线简称为正态曲线.

⑵正态分布的期望与方差:若 ? ~ N (?,? 2) ,则ξ 的期望与方差分别为: E? ? ? , D? ?? 2 . ⑶正态曲线的性质. ①曲线在 x 轴上方,与 x 轴不相交. ②曲线关于直线 x ? ? 对称. ③当 x ? ? 时曲线处于最高点,当 x 向左、向右远离时,曲线不断地降低,呈现出“中间高、两边低” 的钟形曲线. ④当 x < ? 时,曲线上升;当 x > ? 时,曲线下降,并且当曲线向左、向右两边无限延伸时,以 x 轴 为渐近线,向 x 轴无限的靠近. ⑤当 ? 一定时,曲线的形状由 ? 确定, ? 越大,曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散; ? 越小, 曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中. 3. ⑴标准正态分布: 如果随机变量ξ 的概率函数为 ? ( x) ?
1 2? e
? x2 2

(?? ? x ? ??) ,则称ξ 服从标准正

态分布. 即 ? ~ N (0,1) 有 ? ( x) ? P(? ? x) , ? ( x) ? 1 ? ? (? x) 求出,而 P(a< ξ ≤b)的计算则是
P(a ? ? ? b) ? ? (b) ? ? (a) .

注意:当标准正态分布的 ?(x) 的 X 取 0 时,有 ? ( x) ? 0.5 当 ?(x) 的 X 取大于 0 的数时,有 ? ( x) ? 0.5 . ▲ y 0.5 ? ? 0.5 ? ? S 比如 ?( 必然小于 0,如图. ) ? 0.0793? 0.5 则 ? ? ⑵正态分布与标准正态分布间的关系:若 ? ~ N (?,? 2) 则ξ 的分布函数通 常用 F (x) 表示,且有 P(ξ ? x) ? F(x) ? ? (
x ?μ ). σ

x a 标准正态分布曲线 S阴=0.5 Sa=0.5+S
30

4.⑴“3 ? ”原则. 假设检验是就正态总体而言的,进行假设检验可归结为如下三步:①提出统计假设,统计假设里的变 量服从正态分布 N (?,? 2) .②确定一次试验中的取值 a 是否落入范围 ( ? ? 3? , ? ? 3? ) .③做出判断:如果
a ? ( ? ? 3? , ? ? 3? ) , 接受统计假设. 如果 a ? ( ? ? 3? , ? ? 3? ) , 由于这是小概率事件, 就拒绝统计假设.

⑵“3 ? ”原则的应用:若随机变量ξ 服从正态分布 N (?,? 2) 则 ξ 落在 ( ? ? 3? , ? ? 3? ) 内的概率为 99.7% 亦即落在 ( ? ? 3? , ? ? 3? ) 之外的概率为 0.3%,此为小概率事件,如果此事件发生了,就说明 此种产品不合格(即ξ 不服从正态分布).

统计专题

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【考点透析】概率统计的考点主要有:概率与统计包括随机事件,等可能性事件的概率,互斥事件
有一个发生的概率,古典概型,几何概型,条件概率,独立重复试验与二项分布,超几何分布,离散 型随机变量的分布列,离散型随机变量的期望和方差,抽样方法,总体分布的估计,正态分布,线性 回归等.
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【例题解析】

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题型 1 抽样方法 【例 1】在 1000 个有机会中奖的号码(编号为 000 ? 999 )中,在公证部门监督下按照随机抽取的方 法确定后两位数为的号码为中奖号码,该抽样运用的抽样方法是 ( ) A.简单随机抽样 B.系统抽样 C. 分层抽样 D.以上均不对 分析:实际“间隔距离相等”的抽取,属于系统抽样. 188 ,288 ,388 ,488 , 解析: 题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码, 中奖号码依次为:088 , 588 , 688 , 788 , 888 , 988 .答案 B. 点评:关于系统抽样要注意如下几个问题:(1)系统抽样是将总体分成均衡几个部分,然按照预先 定出的规则从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本的一种抽样方法.(2) 系统抽样的步骤: ①将总体中的个体随机编号;②将编号分段;③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号;④ 按事先研究的规则抽取样本.(3)适用范围:个体数较多的总体. 例 2(2008 年高考广东卷理 3)某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如表.已知在全校学生 中随机抽取 1 名,抽到二年级女生的概率是 0.19 .现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应 在三年级抽取的学生人数为( ) A. 24 B. 18 C. 16 D. 12
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一年级 女生 男生

二年级

三年级

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373 377

x
370

y

z
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分析:根据给出的概率先求出 x 的值,这样就可以知道三年级的学生人数,问题就解决了. 0.19 ? 380 ,这样一年级和二年级学生 解析:C 二年级女生占全校学生总数的 19% ,即 x ? 2000 ? 的总数是 373 ? 377 ? 380 ? 370 ? 1500 ,三年级学生有 500 人,用分层抽样抽取的三年级学生应是

64 ? 500 ? 16 .答案 C. 2000

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点评:本题考查概率统计最基础的知识,还涉及到一点分析问题的能力和运算能力,题目以抽样的等 可能性为出发点考查随机抽样和分层抽样的知识. 例 3.(2009 江苏泰州期末第 2 题)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人,并根 据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方
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31

面的关系,要从这 10000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查,则在 ?2500,3500? (元) 月收入段应抽出 人.
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分析:实际上是每 100 人抽取一人,只要把区间内的人数找出来即可. 解析:根据图可以看出月收入在 ?2500,3500? 的人数的频率是
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?0.0005 ? 0.0003? ? 500 ? 0.4 ,故月收入在 ?2500,3500? 人数是10000 ? 0.4 ? 4000 ,
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故抽取 25 人. 点评:本题把统计图表和抽样方法结合起来,主要目的是考查识图和计算能力. 题型 2 统计图表问题 例 4(安徽省皖南八校 2009 届高三第二次联考理科数学第 2 题)从某校高三年级随机抽取一个班, 对该班 50 名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计,其结果的频率分布直方图如右图:若某高 校 A 专业对视力的要求在 0.9 以上,则该班学生中能报 A 专业的人数为
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A. 10

B. 20

C. 8

D. 16
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分析:根据图找出视力在 0.9 以上的人数的频率即可.

解析:B. 视力住 0.9 以上的频率为 (1 ? 0.75 ? .025) ? 0.2 ? 0.4 ,人数为 0.4 ? 50 ? 20 .

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点评:在解决频率分别直方图问题时容易出现的错误是认为直方图中小矩形的高就是各段的频率,实 际上小矩形的高是频率除以组距. 例 5 (2009 年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第 13 题)某篮球运动员在一个赛季的 40 场 比赛中的得分的茎叶图如图所示,则这组数据的中位数是 ;众数是 .
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分析:根据茎叶图和中位数、众数的概念解决. 解析:由于中位数是把样本数据按照由小到大的顺序排列起来,处在中间位置的一个(或是最中间两 个数的平均数),故从茎叶图可以看出中位数是 23 ;而众数是样本数据中出现次数最多的数,故众 数也是 23 . 点评:一表(频率分布表)、三图(频率分布直方图、频率折线图、茎叶图)、三数(众数、中位数、 众数)和标准差,是高考考查统计的一个主要考点. 例 5(2008 高考广东文 11)为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了 20 位工人某天生产
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该产品的数量.产品数量的分组区间为 ? 45,55? , ?55,65? , ?65,75? , ?75,85? ,

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?85,95? 由此得到频率分布直方图如图,则这 20 名工人中一天生产该产品数量在 ?55,75?
是 .
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的人数

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分析:找出频率即可. 解析:

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2 0? ?? 0 . 0 4 0 ? ?

0 . 0 0 2 ? ?1 . 5 0 ? ? ?

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13

点评:本题考查频率分布直方图,解题的关键是明确这个直方图上的纵坐标是频率/组距,得出生产 数量在 ?55,75? 的人数的频率.
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题型 3 平均数、标准差(方差)的计算问题 例 6 (2008 高考山东文 9)从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩,统计如表,则这 100 人成绩 的标准差为( )
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A. 3

B.

2 10 5

C. 3

D.

8 5
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分析:根据标准差的计算公式直接计算即可. 5 ? 20 ? 4 ?10 ? 3 ? 30 ? 2 ? 30 ? 1?10 解析: 平均数是 ? 3, 100 标准差是
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20 ? ? 5 ? 3? ? 10 ? ? 4 ? 3? ? 30 ? ? 3 ? 3? ? 30 ? ? 2 ? 3? ? 10 ? ?1 ? 3 ? s? 100 . 80 ? 10 ? 30 ? 40 8 2 10 ? ? ? 100 5 5
2 2 2 2 2

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答案 B. 点评:本题考查数据组的平均数和标准差的知识,考查数据处理能力和运算能力.解题的关键是正确 理解统计表的意义,会用平均数和标准差的公式,只要考生对此认识清楚,解答并不困难.
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例 7. (中山市高三级 2008—2009 学年度第一学期期末统一考试理科第 9 题) 若数据 x1 , x2 , x3 , ?, xn 的平均数 x ? 5 ,方差 ? ? 2 ,则数据 3x1 ? 1, 3x2 ? 1, 3x3 ? 1, ?, 3xn ? 1 的平均
2

数为

,方差

为 . 分析:根据平均数与方差的性质解决.
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解析: 16,18
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例 8. (浙江宁波市 2008 学年度第一学期期末理科第 3 题)如图是 2009 年元旦晚会举办的挑战主持 人大赛上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据 的平均数和方差分别为 A. 84 , 4.84 B. 84 , 1.6 C. 85 , 1.6 D. 85 , 4
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解析:C 题型 4 用样本估计总体 例 8(2008 高考湖南文 12)从某地区 15000 位老人中随机抽取 500 人,其生活能否自理的情况如下 表所示:
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则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人. 解析: 60 由上表得 15000 ?

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23 ? 21 ? 2 ? 30 ? 60. 500
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点评:考查样本估计总体的思想. 题型 5.线性回归分析 例 9.(2007 高考广东)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨) 与相应的生产能耗 y (吨标准煤)的几组对照数据
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x
y
(1)请画出上表数据的散点图;
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3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

? ? (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 y ? bx ? a ;

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(3)已知该厂技术改造前 100 吨甲产品能耗为 90 吨标准煤;试根据(2)求出的线性回归方程,预

34

测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤?

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? ? 分析:本题中散点图好作,本题的关键是求 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ,它既可以由给出的回

归系数公式直接计算,也可以遵循着最小二乘法的基本思想――即所求的直线应使残差平方和最小, 用求二元函数最值的方法解决. 解析:
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(1)散点图如右 ; (2)方法一:设线性回归方程为 y ? bx ? a ,则
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f (a, b) ? (3b ? a ? 2.5)2 ? (4b ? a ? 3) 2 ? (5b ? a ? 4) 2 ? (6b ? a ? 4.5)2 ? 4a 2 ? 2a(18b ? 14) ? (3b ? 2.5)2 ? (4b ? 3)2 ? (5a ? 4)2 ? (6b ? 4.5)2
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∴a?

7 ? 9b ? 3.5 ? 4.5b 时, f (a, b) 取得最小值 (1.5b ?1)2 ? (0.5b ? 0.5)2 ? (0.5b ? 0.5)2 ? (1.5b ?1)2 , 2
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5 即 0.5[(3b ? 2)2 ? (b ? 1)2 ] ? 5b2 ? 7b ? ,∴ b ? 0.7, a ? 0.35 时 f ? a, b? 取得最小值. 2 所以线性回归方程为 y ? 0.7 x ? 0.35 .
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? 方法二:由系数公式可知, x ? 4.5, y ? 3.5, b ?

66.5 ? 4 ? 4.5 ? 3.5 66.5 ? 63 ? ? 0.7 5 86 ? 4 ? 4.52
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9 ? a ? 3.5 ? 0.7 ? ? 0.35 ,所以线性回归方程为 y ? 0.7 x ? 0.35 . 2

(3) x ? 100 时, y ? 0.7 x ? 0.35 ? 70.35 ,所以预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低

19.65 吨标准煤.

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点评:本题考查回归分析的基本思想.求线性回归方程的方法一这实际上是重复了回归系数公式的推 导 过 程 , 这 里 的 另 一 个 解 决 方 法 是 对 f ? a, b? 我 们 再 按 b 集 项 , 即

f ? a, b ? ? 86b 2 ? (36a ? 133)b ? ? a ? 2.5 ? ? ? a ? 3? ? ? a ? 4 ? ? ? a ? 4.5 ? , 而 这 个 时 候 , 当
2 2 2 2

133 ? 36a 时 f ? a, b? 有最小值,结合上面解法中 a ? 3.5 ? 4.5b 时 f ? a, b? 有最小值,组成方程 172 组就可以解出 a , b 的值;方法二前提是正确地使用回归系数的计算公式,一般考试中都会给出这个 公式, 但要注意各个量的计算; 最后求出的 19.65 是指的平均值或者是估计值, 不是完全确定的值. 对 b?
2 于本题我们可以计算题目所给的数据组的相关系数 r ? 0.9899 ,相关指数 R ? 0.98 .这说明 x , y

具有很强的线性相关性, 说明解释变量对预报变量的贡献率是 98% , 即耗煤量的 98% 是来自生产量, 只有约 2% 来自其它因素,这与我们的直观感觉是十分符合的.本题容易用错计算回归系数的公式, 或是把回归系数和回归常数弄颠倒了. 例 10.(江苏扬州市 2008-2009 学年度第一学期期未调研测试第 17 题)为了分析某个高三学生的学
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习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议.现对他前 7 次考试的数学成绩 x 、物理成绩 y 进行分

35

析.下面是该生 7 次考试的成绩. 数学 物理

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88

83

117

92

108

100

112 106

94 91 108 96 104 101 (1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的证明;
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(2)已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的,若该生的物理成绩达到 115 分,请你估计 他的数学成绩大约是多少?并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性,给出该生在学习数学、物理上 的合理建议. 分析:成绩的稳定性用样本数据的方差判断,由物理成绩估计数学成绩由回归直线方程解决. ?12 ? 17 ? 17 ? 8 ? 8 ? 12 解析:(1) x ? 100 ? ? 100 ; 7
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y ? 100 ?
2 ? S数学 =

?6 ? 9 ? 8 ? 4 ? 4 ? 1 ? 6 ? 100 ; 7
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994 250 2 =142 ,? S物理 = , 7 7
2

从而 S数学 ? S物理 ,所以物理成绩更稳定.
2

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(2)由于 x 与 y 之间具有线性相关关系,根据回归系数公式得到

? 497 ? 0.5, a ? 100 ? 0.5 ?100 ? 50 , ? b? 994

? 线性回归方程为 y ? 0.5x ? 50 .当 y ? 115 时, x ? 130 .
建议:进一步加强对数学的学习,提高数学成绩的稳定性,将有助于物理成绩的进一步提高. 点评:《考试大纲》在必修部分的统计中明确指出“①会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用 散点图认识变量间的相关关系.②了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立 线性回归方程”.2007 年广东就以解答题的方式考查了这个问题,在复习备考时不可掉一轻心. 题型 6 古典概型与几何概型计算问题 例 11 (2008 高考江苏 2)一个骰子连续投 2 次,点数和为 4 的概率 . 分析:枚举基本事件总数和随机事件所包含的基本事件的个数后,根据古典概型的计算公式计算. 解析:点数和为 4 ,即 ?1,3 ?, ?2,2 ? 3,1 ? ,基本事件的总数是 36 ,故这个概率是 , ?

3 1 ? .或是数形 36 9

结合处理. 点评:古典概型的计算是一个基础性的考点,高考中除了以解答题的方式重点考查概率的综合性问题 外,也以选择题、填空题的方式考查古典概型的计算. 例 12.(2009 年福建省理科数学高考样卷第 4 题)如图,边长为 2 的正方形内有一内切圆.在图形 上随机投掷一个点,则该点落到圆内的概率是 A.

? 4

B.

4

?

C.

4 ?? 4

D. ?

分析:就是圆的面积和正方形面积的比值. 解析:根据几何概型的计算公式,这个概率值是

? ,答案 A. 4

点评:高考对几何概型的考查一般有两个方面,一是以选择题、填空题的方式有针对性地考查,二是
36

作为综合解答题的一部分和其他概率计算一起进行综合考查. 题型 7 离散型随机变量的分布、期望与方差(理科的重要考点) 例 13. (浙江宁波市 2008 学年度第一学期期末理科第 19 题)在一个盒子中,放有标号分别为 1 ,2 , 3 的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 x 、 y ,记 ...

? ? x?2 ? y? x .
(1)求随机变量 ? 的最大值,并求事件“ ? 取得最大值”的概率; (2)求随机变量 ? 的分布列和数学期望. 分析:根据对随机变量 ? 的规定,结合 x, y 的取值确定随机变量可以取那些值,然后根据其取这些值 的意义,分别计算其概率. 解析:(1)? x 、 y 可能的取值为 1 、 2 、 3 ,? x ? 2 ? 1 , y ? x ? 2 ,

?? ? 3 ,且当 x ? 1 , y ? 3 或 x ? 3 , y ? 1 时, ? ? 3 .因此,随机变量 ? 的最大值为 3



? 有放回抽两张卡片的所有情况有 3 ? 3 ? 9 种,? P (? ? 3) ?
(2) ? 的所有取值为 0 , 1 , 2 , 3 .

2 . 9

?? ? 0 时,只有 x ? 2 , y ? 2 这一种情况,

? ? 1 时,有 x ? 1 , y ? 1 或 x ? 2 , y ? 1 或 x ? 2 , y ? 3 或 x ? 3 , y ? 3 四种情况,

? ? 2 时,有 x ? 1 , y ? 2 或 x ? 3 , y ? 2 两种情况.
? P (? ? 0) ? 1 4 2 , P(? ? 1) ? , P (? ? 2) ? . 9 9 9

则随机变量 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3
2 9

1 4 2 9 9 9 1 4 2 2 14 因此,数学期望 E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? . 9 9 9 9 9
题型 8 正态分布

例 14.(2008 高考湖南理 4)设随机变量 ? 服从正态分布 N (2,9) ,若 P(? ? c ? 1) ? P(? ? c ? 1) ,则 c= ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 分析:根据正态密度曲线的对称性解决. 解析:B 根据正态密度曲线的对称性,即直线 x ? c ? 1 与直线 x ? c ? 1 关于直线 x ? 2 对称,故

c ?1? c ?1 ? 2 ,即 c ? 2 . 2
37

点评:本质是通过正态密度曲线考查数形结合的思想意识.
2 例 15(2008 高考安徽理 10)设两个正态分布 N (?1,?12 )(?1 ? 0) 和 N (?2,? 2 )(? 2 ? 0) 的密度函

数图像如图所示.则有 A. ?1 ? ?2 , ?1 ? ? 2 C. ?1 ? ?2 , ?1 ? ? 2 B. ?1 ? ?2 , ?1 ? ? 2 D. ?1 ? ?2 , ?1 ? ? 2

分析:根据正态密度曲线的性质解决. 解析:A 根据正态分布 N (?, ? 2 ) 函数的性质:正态分布曲线是一条关于 x ? ? 对称,在 x ? ? 处

取得最大值的连续钟形曲线; 越大,曲线的最高点越底且弯曲较平缓;反过来, ? 越小,曲线的 最高点越高且弯曲较陡峭,选 A. 点评:考试大纲对正态分布的要求是“利用实际问题直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示 的意义”,这个考点多次出现在高考试卷中.

?

高考真题理科数学解析汇编:概率
一、选择题 1 . (2012 年高考(辽宁理) 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 )

段 AC,CB 的长,则该矩形面积小于 32cm 的概率为 A.

2

C. 现作一矩形,领边长分别等于线 ( ) D.

1 6

B.

1 3

C.

2 3

4 5

2 . (2012 年高考 (湖北理) 如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB )

为直径作两个半圆. 在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概 率是 ( A. 1 ? C. )

2 π

B. D.

1 1 ? 2 π

1 π 3 . (2012 年高考(广东理) (概率)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中 ) 任取一个,其个位数为 0 的概率是
A.

2 π





4 9

B.

1 3

C.

2 9

D.

1 9
D.在区域 D 内随机 )

4 . (2012 年高考(北京理) 设不等式组 ? )

?0 ? x ? 2 表示的平面区域为 0? y?2 ?
( D.

取一个点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 A.

? 4

B.

? ?2
2

C.

? 6

4 ?? 4
38

5 . (2012 年高考(上海理) 设 10 ? x1 )

? x2 ? x3 ? x4 ? 104 , x5 ? 105 . 随机变量 ?1 取值 x1 、x2 、x3 、

? x4 、 x5 的概率均为 0.2,随机变量 ?2 取值 x1 ? x2 、 x2 ? x3 、 x3 ? x4 、 x4 ? x5 、 x5 2 x1 的概率也为 0.2. 2 2 2 2

若记 D?1 、 D?2 分别为 ? 1 、 ?2 的方差,则 A. D?1 > D?2 . B. D?1 = D?2 . C. D?1 < D?2 .





D. D?1 与 D?2 的大小关系与 x1 、 x2 、 x3 、 x4 的取值有关.
二、填空题 6 . (2012 年高考(上海理) 三位同学参加跳高、跳远、 ) 铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,

则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是______(结果用最简分数表示). 7 . (2012 年高考(上海春) 某校要从 2 名男生和 4 名女生中选出 4 人担任某游泳赛事的志愿者工作, ) 则在选出的志愿者中,男、女都有的概率为______(结果用数值表示). 8 . (2012 年高考(江苏) 现有 10 个数, 它们能构成一个以 1 为首项, ?3 为公比的等比数列,若从这 ) 10 个数中随机抽取一个数,则它小于 8 的概 率是____. 9 . (2012 年高考(新课标理) 某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作, ) 且元件 3 正常工作,则部件正常工作,设三个电子 元件的使用寿命(单位:小时)均服从 正态分布 N (1000,502 ) ,且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命 超过 1000 小时的概率为_________

元件1 元件3 元件2
三、解答题 10. (201 2 年高考(天津理) 现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选 )

择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (Ⅰ)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率: (Ⅱ)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率: (Ⅲ)用 X ,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、 乙游戏的人数,记 ? =|X ? Y | ,求随机变量 ? 的分布列 与数学期望 E? .
11. (2012 年高考(新课标理) 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10 )

元的价格出售, 如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需求量 n

39

(单位:枝, n ? N )的函数解析式. (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

(i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元),求 X 的分布列, 数学期望及方差; (ii)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝? 请说明理由.
12. (2012 年高考(浙江理) 已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球的 2 分,取出一 )

个黑球的 1 分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出 3 球所得分数之和. (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)求 X 的数学期望 E(X).

13. (2012 年高考(重庆理) (本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 8 分.) )

甲、 乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已 投球 3 次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为 不影响. (Ⅰ) 求甲获胜的概率; (Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数 ? 的分布列与期望

1 1 ,乙每次投篮投中的概率为 ,且各次投篮互 3 2

14. (2012 年高考 (四川理) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统) A 和 B ,系统 A 和 )

B 在任意时刻发生故障的概率分别为

1 和p. 10

(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

49 ,求 p 的值; 50

(Ⅱ)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ? ,求 ? 的概率分布列及数 学期望 E? .
15. (2012 年高考(陕西理) 某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立, )

且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:

从第一个顾客开始办理业务时计时.
40

(1)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率; (2) X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期望.

16. (2012 年高考(山东理) 先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为 )

3 ,命中得 1 4

分,没有命中得 0 分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为

2 ,每命中一次得 2 分,没有命中得 0 分. 3

该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. (Ⅰ)求该 射手恰好命中一次得的概率; (Ⅱ)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX .
17. (2012 年高考(辽宁理) 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机 )

抽取了 100 名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分 布直方图;

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”. (Ⅰ)根据已知条件完成下面的 2 ? 2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别 有关?

(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽 样方法每次抽取 1 名观众,抽取 3 次,记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X.若每次抽取 的结果是相互独立的,求 X 的分布列,期望 E ( X ) 和方差 D( X ) .

n(n11n22 ? n12 n21 )2 附: ? ? , n1? n2? n?1n?2
2

41

18. (2012 年高考 (江西理) 如图,从 A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,2,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2) )

这 6 个点中随机选取 3 个点,将这 3 个点及原点 O 两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体 积为随机变量 V(如果选取的 3 个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积 V=0).

(1)求 V=0 的概率; (2)求 V 的分布列及数学期望.
19. (2012 年高考(江苏) 设 ? 为随机变量,从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条,当两条棱相交 )

时, ? ? 0 ;当两条棱平行时, ? 的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时, ? ? 1 . (1)求概率 P(? ? 0) ; (2)求 ? 的分布列,并求其数学期望 E (? ) .
20. (2012 年高考(湖南理) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了 )

在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物 量 1 至 4 件 5 至 8 件 30 1.5 9至 12 件 25 2 13 至 16 件 17 件 及以 上 10 3

顾 客 数 (人) 结算时间 ( 分 钟 / 人)

x
1

y
2.5

已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (Ⅰ)确定 x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望; (Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算 前的等候时间不超过 2 钟的概率. ... (注:将频率视为概率)
21. (2012 年高考(湖北理) 根据以往的经验,某工程施工期间的降水量 X(单位:mm)对工期的影响如 )

下表: 降水量 X 工期延误天 数Y
X ? 300 300 ? X ? 700 700? X ? 900 X ? 900

历年 气象

0

2

6

10

42

资料表明,该工程施工期间降水量 X 小于 300,700,900 的概率分别为 0.3,0.7,0.9. 求: (Ⅰ)工期延误天数 Y 的均值与方差; (Ⅱ)在降水量 X 至少是 300 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率.

22. (2012 年高考(广东理) (概率统计)某班 50 位学生期中考试 )

数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示,其中成绩分组区间 是: ? 40,50 ? 、 50,60 ? 、 60,70 ? 、 70,80 ? 、 80,90 ? 、 90,100? . ? ? ? ? ? (Ⅰ)求图中 x 的值; (Ⅱ)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中成 绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为 ? ,求 ? 的数学期望.

23. (2012 年高考(福建理) 受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿 )

车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为 2 年,现从该厂 已售出的两种品牌轿车中随机抽取 50 辆,统计书数据如下:
品牌 甲 乙

首次出现故障时间

0 ? x ?1

1? x ? 2

x?2

0? x?2

x?2

x年
轿车数量(辆)

2 1

3 2

45 3

5

45

每辆利润(万元)

1.8

2.9

将频率视为概率,解答下列问题: (I)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率; (II)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品 牌轿车的利润为 X 1 ,生产一辆乙品牌轿车的 利润为 X 2 ,分别求 X1 , X 2 的分布列; (III)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若从 经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由.

43

24. (2012 年高考(大纲理) (注意:在试题卷上作答无效)21 世纪教育网 ) .........

乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发球 2 次后,对方再连续发球 2 次, 依次轮换,每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分.设在甲、 乙的比赛中,每次发球,发球方得 1 分的概 率为 0.6 ,各次发球的胜负结果相互独立,.甲、乙的一局比赛中,甲先发球. (1)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率;21 世纪教育网 (2) ? 表示开始第 4 次发球时乙的得分,求 ? 的期望.
25. (2012 年高考(北京理) 近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可 )

回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机 抽 取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨): “厨余垃圾” “可回收物” “其他垃圾” 箱 箱 箱 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 400 30 20 100 240 20 100 30 60

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率; (3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为 a, b, c , 其中 a ? 0 , a ? b ? c ? 600 . 当数据 a, b, c 的方差 S 最大时,写出 a, b, c 的值(结论不要求证明),并求此时 S 的值. (注:方差 s 2 ? [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 ] ,其中 x 为 x1 , x2 ,? xn 的平均数)
26. (2012 年高考(安徽理) 某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是 A 类型试 )
2 2

1 n

题,则使用后该试题回库,并增补一道 A 类试题和一道 B 类型试题入库, 此次调题工作结束;若调 用的是 B 类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束.试题库中现共有 n ? m 道 试题,其中有 n 道 A 类型试题和 m 道 B 类型试题,以 X 表示两次调题工作完成后,试题库中 A 类 试题的数量. (Ⅰ)求 X ? n ? 2 的概率; (Ⅱ)设 m ? n ,求 X 的分布列和均值(数学期望).

44

高考真题理科数学解析汇编:概率参考答案 一、选择题 1.

【解析】设线段 AC 的长为 x cm,则线段 CB 的长为( 12 ? x )cm,那么矩形的面积为 x(12 ? x) cm ,
2 2 由 x(12 ? x) ? 32 ,解得 x ? 4或x ? 8 .又 0 ? x ? 12 ,所以该矩形面积小于 32cm 的概率为

2 ,故 3

2.

选C 考点分析:本题考察几何概型及平面图形面积求法. 解析:令 OA ? 1 ,扇形 OAB 为对称图形,ACBD 围成面积为 S1 ,围成 OC 为 S2 , 作对称轴 OD,则过 C 点. S2 即为以 OA 为直径的半圆面积减去三角形 OAC 的面

S 1 ?1? 1 1 1 ? ?2 积, S2 ? ? ? ? ? ? ? ? .在扇形 OAD 中 1 为扇形面积减去 2 2 ? 2? 2 2 2 8
2

三角形 OAC 面积和 形 OAB 面积 S ?
3.

S 2 S1 1 ? ?2 1 S ? ?2 2 ? ? ?1? ? ? 2 ? , , S1 ? S 2 ? ,扇 2 2 8 4 8 2 16

1 ? ,选 A. 4

解析:D.两位数共有 90 个,其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有 45 个,个位数为 0 的有 5 个,所以概率为

5 1 ? . 45 9

4.

【解析】题目中 ?

?0 ? x ? 2 ? ?0 ? y ? 2 ?

表示的区域表示正方形区域,而动点 D 可以存在的位置为正方形面积

1 2 ? 2 ? ? ? 22 4 ?? 4 减去四分之一的圆的面积部分,因此 p ? ,故选 D ? 2? 2 4
5.

[解析] E?1 ? 0.2( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) =t, E?2 ? 0.2(

x1 ? x2 2

+

x 2 ? x3 2

+

x3 ? x 4 2

+

x 4 ? x5 2

+

x5 ? x1 2

)=t,

D?1 ? 0.2[(x1 ? t )2 + ( x2 ? t )2 + ( x3 ? t )2 + ( x4 ? t )2 + ( x5 ? t )2 ]
2 2 2 2 ? 0.2[(x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) ? 2( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 )t ? 5t 2 ] ;



x1 ? x 2 2

? ? x1 ,

x2 ? x3 2

? ? x2 ,,

x5 ? x1 2

? ? x5 ,同理得

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? D?2 ? 0.2[(x12 ? x22 ? x32 ? x42 ? x52 ) ? 2( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 )t ? 5t 2 ] , ? ? ? ? ? 只要比较 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 与 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 有大小,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

? ? ? ? ? 4 x12 ? x22 ? x32 ? x42 ? x52 ? 1 [(x1 ? x2 )2 ? ( x2 ? x3 )2 ? ? ? ( x1 ? x2 )2 ]
2 2 2 2 ? 1 [2( x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) ? (2x1x2 ? 2x2 x3 ? 2x3 x4 ? 2x4 x5 ? 2x5 x1)] 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? 1 [2( x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) ? ( x12 ? x2 ) ? ( x2 ? x3 ) ? ( x3 ? x4 ) ? ( x4 ? x5 ) ? ( x5 ? x12 )] 4

45

2 2 2 2 ? x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ,所以 D? 2 ? D?1 ,选 A.

[评注] 本题的数据范围够阴的,似乎为了与选项 D 匹配,若为此范围面困惑,那就中了阴招!稍加 计算,考生会发现 E?1 和 E?2 相等,其中的智者,更会发现第二组数据是第一组数据的两两平均值, 故比第一组更“集中”、更“稳定”,根据方差的涵义,立得 D?1 > D?2 而迅即攻下此题.
二、填空题 6.
2 2 2 [解析] 设概率 p= k ,则 n ? C3 ? C3 ? C3 ? 27 ,求 k,分三步:①选二人,让他们选择的项目相同, n
1 2 1 有 C3 种;②确定上述二人所选择的相同的项目,有 C3 种;③确定另一人所选的项目,有 C2 种. 所

2 1 1 以 k ? C3 ? C3 ? C2 ? 18,故 p= 18 ? 2 . 27 3

7. 8.

14 15
【解析】∵以 1 为首项, ?3 为公比的等比数列的 10 个数为 1,-3,9,-27,···其中有 5 个负数,1 个正数 1 计 6 个数小于 8, ∴从这 10 个数中随机抽取一个数,它小于 8 的概 率是

6 3 = . 10 5

9.

【解析】使用寿命超过 1000 小时的概率为

3 8

三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 N (1000,502 )

1 [来源:21 世纪教育网] 2 3 2 超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率 P ? 1 ? (1 ? p ) ? 1 4 3 那么该 部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 p2 ? p1 ? p ? 8
得:三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 p ?
三、解答题 10. 【命题意图】本小题主要考查古典概型及其计算公式,互斥事件、事件的相互独立性、离散型随

机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.

1 2 ,去参加乙游戏的概率为 .设“这 4 个人中 3 3 i 1 i 2 4 ?i 恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai (i ? 0,1, 2,3, 4) ,则 P( Ai ) ? C4 ( ) ( ) . 3 3 1 2 2 2 8 2 (1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为 P( A2 ) ? C4 ( ) ( ) ? . 21 世纪教育网 3 3 27
依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为 (2)设“这 4 人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”不事件 B ,则 B ? A3 ? A4 ,由 于 A3 与 A4 互斥,故

2 1 3 1 4 1 P( B) ? P( A3 ) ? P( A4 ) ? C4 ( )3 ( ) ? C4 ( ) 4 ? 3 3 3 9

46

所以这 4 人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 (3) ? 的所有可能的取值为 0, 2, 4 ,由于 A 与 A3 互斥, A0 与 A4 互斥,故 1

1 . 9

P(? ? 0) ? P( A2 ) ?
所以 ? 的分布列为

8 40 17 , P(? ? 2) ? P( A1 ) ? P( A3 ) ? , P(? ? 4) ? P( A0 ) ? P( A4 ) ? 27 81 81

?
p

0

2

4

8 40 27 81 8 40 17 148 ? 2? ? 4? ? 随机变量 ? 的数学期望 E? ? 0 ? . 27 81 81 81
11. 【解析】(1)当 n ? 16 时, y ? 16 ? (10 ? 5) ? 80

17 81

当 n ? 15 时, y ? 5n ? 5(16 ? n) ? 10n ? 80 得: y ? ?

?10n ? 80(n ? 15) (n ? N ) (n ? 16) ?80

(2)(i) X 可 取 60 , 70 , 80

P( X ? 60) ? 0.1, P( X ? 70) ? 0.2, P( X ? 80) ? 0.7
X 的分布列为

X
P

60 0.1

70 0.2

80 0.7

EX ? 60 ? 0.1 ? 70 ? 0.2 ? 80 ? 0.7 ? 76

DX ? 162 ? 0.1 ? 62 ? 0.2 ? 42 ? 0.7 ? 44
(ii)购进 17 枝时,当天的利润为

y ? (14 ? 5 ? 3 ? 5) ? 0.1 ? (15 ? 5 ? 2 ? 5) ? 0.2 ? (16 ? 5 ? 1? 5) ? 0.16 ? 17 ? 5 ? 0.54 ? 76.4
76.4 ? 76 得:应购进 17 枝
12. 【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点.

(Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.
P ( X ? 3) ? P( X ? 5) ?
3 C5 5 ? ; 3 C9 42 1 2 C5 C4 15 ? ; 3 42 C9

P( X ? 4) ?

1 C52 C4 20 ? ; 3 42 C9 3 C4 2 ? . 3 C9 42

P ( X ? 6) ?

故,所求 X 的分布列为

47

X

3
5 42

4
20 10 ? 42 21

5
15 5 ? 42 14

6
2 1 ? 42 21

P
(Ⅱ) 所求 X 的数学期望 E(X)为: 6 13 E(X)= ? i ? P( X ? i) ? . 3 i?4 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
13 . 3

13.解:设 Ak , Bk 分别表示甲、乙在第 k 次投篮投中,则

1 1 P ? Ak ? ? , P ? Bk ? ? , 3 2

k ? ?1, 2,3?

(1)记“甲获胜”为事件 C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公 式知, P ? C ? ? P ? A1 ? ? P A1 B1 A2 ? P A1 B1 A2 B2 A3

?

? ?

?

? P ? A1 ? ? P A1 P B1 P ? A2 ? ? P A1 P B1 P A2 P B2 P ? A3 ?

? ? ? ?
2

? ? ? ? ? ? ? ?

1 2 1 1 ?2? ?1? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 3 3 2 3 ?3? ?2? 3
1 1 1 13 ? ? ? ? 3 9 27 27
(2) ? 的所有可能为: 1, 2,3 由独立性知: P ?? ? 1? ? P ? A1 ? ? P A1 B1 ?

2

?

?

1 2 1 2 ? ? ? 3 3 2 3
2 2

2 1 1 ?2? ?1? 2 P ?? ? 2? ? P A1 B1 A2 ? P A1 B1 A2 B2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 3 ?3? ?2? 9 ?2? ?1? 1 P ?? ? 3? ? P A1 B1 A2 B2 ? ? ? ? ? ? ? 3? ? 2? 9
综上知, ? 有分布列

?

? ? ?

?
2

?

2

?
P
从而, E? ? 1?

1

2

3

2 3

2 9

1 9

2 2 1 13 ? 2 ? ? 3 ? ? (次) 3 9 9 9
,解得 P=

14. [解析](1)设:“至少有 一个系统不发生故障”为事件 C,那么

1-P(C)=1-

1 49 P= 10 50

1 4 分 5

48

1 3 1 )? [来源:21 世纪教育网] 10 1000 1 27 1 1 2 ( ? P( ? =1)= C( ) 1 ? ) 3 10 10 1000 1 2 243 2 1 ( P( ? =2)= C( ) 1 ? ) ? 3 10 10 1000 1 0 1 3 729 3 ( P( ? =3)= C( ) 1 ? ) ? 3 10 10 1000
(2)由题意,P( ? =0)= C( 3
0

所以,随机变量 ? 的概率分布列为:

?
P

0

1

2

3

1 1000

27 1000

243 1000

729 1000

故随机变量 X 的数学期望为:21 世纪教育网 E ? =0 0 ?

1 27 243 729 27 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 1000 1000 1000 1000 10
Y P
1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1

15.解析:设 Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得 Y 的分布列如下:

(1) A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务”,则事件 A 对应三种情形: ①第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟;②第一 个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟;③第一个和第 二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟. 所以 P( A) ? P(Y ? 1) P(Y ? 3) ? P(Y ? 3) P(Y ? 1) ? P(Y ? 2) P(Y ? 2)

? 0.1? 0.3 ? 0.3 ? 0.1 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.22
(2)解法一

X 所有可能的取值为 0,1, 2

X ? 0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟,
所以 P( X ? 0) ? P(Y ? 2) ? 0.5

X ? 1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过 1 分
钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟. 所以 P( X ? 1) ? P(Y ? 1) P(Y ? 1) ? P(Y ? 2)

? 0.1? 0.9 ? 0.4 ? 0.49 X ? 2 对应两个顾客办理业务所需时间均为 1 分钟,
所以 P( X ? 2) ? P(Y ? 1) P(Y ? 1) ? 0.1? 0.1 ? 0.01 所以 X 的分布列为

X
P

0 0.5

1 0.49

2 0.01

EX ? 0 ? 0.5 ? 1? 0.49 ? 2 ? 0.01 ? 0.51
49

解法二

X 所有可能的取值为 0,1, 2

X ? 0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟,
所以 P( X ? 0) ? P(Y ? 2) ? 0.5

X ? 2 对应两个顾客办理业务所需时间均为 1 分钟,
所以 P( X ? 2) ? P(Y ? 1) P(Y ? 1) ? 0.1? 0.1 ? 0.01

P( X ? 1) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 2) ? 0.49
所以 X 的分布列为 0 0.5 1 0.49 2 0.01

X
P

EX ? 0 ? 0.5 ? 1? 0.49 ? 2 ? 0.01 ? 0.51 3 1 2 1 1 1 2 7 16.解析:(Ⅰ) P ? ? ( ) ? ? C 2 ? ? ? ; 4 3 4 3 3 36
(Ⅱ) X ? 0,1,2,3,4,5

P( X ? 0) ?


1 1 2 1 3 1 1 1 11 2 1 ? ( ) ? .P( X ? 1) ? ? ( ) 2 ? , P( X ? 2) ? C 2 ? ? , 21 世纪教育 4 3 36 4 3 12 4 3 3 9 3 11 2 1 1 2 1 3 2 1 C 2 ? ? , P( X ? 4) ? ? ( ) 2 ? , P( X ? 5) ? ? ( ) 2 ? 4 3 3 3 4 3 9 4 3 3
0 1 2 3 4 5

P( X ? 3) ?
X P

1 1 1 1 9 3 36 12 1 1 1 1 41 1 1 5 ?3 . EX=0× +1× +2× +3× +4× +5× = 9 3 9 3 12 36 12 12
17. 【答案及解析】

1 9

1 3

(I)由频率颁布直方图可知,在抽取的 100 人中,“体育迷”有 25 人,从而 2×2 列联表如下:

由 2×2 列联表中数据代入公式计算,得:

因为 3.030<3.841,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关. (II)由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频 率为 0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名 “体育迷”的概率为

1 ,由题意, 4
50

,从而 X 的分布列为:

【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列,期望

E ( X ) 和方差 D( X ) ,考查分析解决问题的能力、运算求解能力,难度适中.准确读取频率分布直
方图中的数据是解题的关键. 18. . 【解析】
3 解:(1)从 6 个点中随机地选取 3 个点共有 C6 ? 20 种选法,选取的 3 个点与原点 O 在同一个平面 1 3 上的选法有 C3C4 ? 12 种,因此 V=0 的概率 P(V ? 0) ?

12 3 ? 20 5

(2)V 的所有可能值为 0, , , , V 0

1 1 2 4 ,因此 V 的分布列为 6 3 3 3 1 1 2 4 6 3 3 3
1 20 3 20 3 20 1 20

P

3 5

由 V 的分布列可得: EV= 0 ?

3 1 1 1 3 2 3 4 1 9 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 6 20 3 20 3 20 3 20 40

【点评】本题考查组合数,随机变量的概率,离散型随机变量的分布列、期望等. 高考中,概率解 答题一般有两大方向的考查.一、以频率分布直方图为载体,考查统计学中常见的数据特征:如平 均数,中位数,频数,频率等或古典概型;二、以应用题为载体,考查条件概率,独立事件的概率,随 机变量的期望与方差等.来年需要注意第一种方向的考查.
19. 【答案】 解:(1)若两条棱相交,则交点必为正方体 8 个顶点中的一个,过任意 1 个顶点恰有 3 条棱,

∴共有 8C32 对相交棱.

8C32 8 ? 3 4 ? . ∴ P(? ? 0)= 2 ? C12 66 11
(2)若两条棱平行,则它们的距离为 1 或 2 ,其中距离为 2 的共有 6 对,
51

∴ P(? ? 2)=

6 6 1 4 1 6 ? ? , P(? ? 1)=1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 2)=1 ? ? = . 2 C12 66 11 11 11 11

∴随机变量 ? 的分布列是:

?
P (? )

0

1

2

4 11

6 11

1 11

6 1 6? 2 ? 2? = . 11 11 11 【解析】(1)求出两条棱相交时相交棱的对数,即可由概率公式求得概率 P(? ? 0) .
∴其数学期望 E (? )=1 ? (2)求出两条棱平行且距离为 2 的共有 6 对,即可求出 P(? ? 2) ,从而求出 P(? ? 1) (两条棱平行 且距离为 1 和两条棱异面),因此得到随机变量 ? 的分布列,求出其数学期望.
20. 【解析】(1)由已知,得 25 ? y ? 10 ? 55, x ? y ? 35, 所以 x ? 15, y ? 20.

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的 100 位顾客一次购物的结算时间 可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得

15 3 30 3 25 1 ? , p( X ? 1.5) ? ? , p( X ? 2) ? ? , 100 20 100 10 100 4 20 1 10 1 p( X ? 2.5) ? ? , p( X ? 3) ? ? . 100 5 100 10 X 的分布为 p( X ? 1) ?
X P X 的数学期望为 1 1.5 2 2.5 3

3 20

3 10

1 4

1 5

1 10

E ( X ) ? 1?

3 3 1 1 1 ? 1.5 ? ? 2 ? ? 2.5 ? ? 3 ? ? 1.9 . 20 10 4 5 10

(Ⅱ)记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2 钟”, X i (i ? 1, 2) 为该顾客前面第 i 位顾客 的结算时间,则

P( A) ? P( X1 ? 1且X 2 ? 1) ? P( X1 ? 1且X 2 ? 1.5) ? P( X1 ? 1.5且X 2 ? 1) .
由于顾客的结算相互独立,且 X1 , X 2 的分布列都与 X 的分布列相同,所以

P( A) ? P( X1 ? 1) ? P(X 2 ? 1) ? P( X1 ? 1) ? P( X 2 ? 1.5) ? P( X1 ? 1.5) ? P( X 2 ? 1) 21 世纪教
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?

3 3 3 3 3 3 9 ? ? ? ? ? ? . 20 20 20 10 10 20 80 9 . 80

故该顾客结算前的等候时间不超过 2 钟的概率为

【点评】本题考查概率统计的基础知识,考查分布列及数学期望的计算,考查运算能力、分析问题

52

能力.第一问中根据统计表和 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%知

25 ? y ? 10 ? 100 ? 55%, x ? y ? 35, 从而解得 x, y ,计算每一个变量对应的概率,从而求得分布
列和期望;第二问,通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而求得 该顾客结算前的等候时间不超过 2 钟的概率. ...
21.考点分析:本题考察条件概率、 离散型条件概率分布列的期望与
P

方差.

解析:(Ⅰ)由已知条件和概率的加法公式有:
A
4

G F
3

5

D E C

B

图 ①

P( X ? 300) ? 0.3, P(300 ? X ? 700) ? P( X ? 700) ? P( X ? 300) ? 0.7 ? 0.3 ? 0.4 ,

P(700 ? X ? 900) ? P( X ? 900) ? P( X ? 700) ? 0.9 ? 0.7 ? 0.2 .
P( X ? 900) ? 1 ? P( X ? 900) ? 1 ? 0.9 ? 0.1 .

所以 Y 的分布列为: 于

Y
P

0 0.3

2 0.4

6 0.2

10 0.1

是, E (Y ) ? 0 ? 0.3 ? 2 ? 0.4 ? 6 ? 0.2 ? 10 ? 0.1 ? 3 ;

D(Y ) ? (0 ? 3)2 ? 0.3 ? (2 ? 3)2 ? 0.4 ? (6 ? 3)2 ? 0.2 ? (10 ? 3)2 ? 0.1 ? 9.8 .
故工期延误天数 Y 的均值为 3,方差为 9.8 . (Ⅱ)由概率的加法公式, P( X ? 300) ? 1 ? P( X ? 300) ? 0.7, 又 P(300 ? X ? 900) ? P( X ? 900) ? P( X ? 300) ? 0.9 ? 0.3 ? 0.6 . 由条件概率,得 P(Y ? 6 X ? 300) ? P( X ? 900 X ? 300) ?
P(300 ? X ? 900) 0.6 6 ? ? . P( X ? 300) 0.7 7

故在降水量 X 至少是 300 mm 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率是
22.解析:(Ⅰ)由 ? 0.006 ? 3 ? 0.01 ? 0.054 ? x ? ?10 ? 1 ,解得 x ? 0.018 .

6 . 7

50 (Ⅱ)分数在 ?80,90 ? 、 90,100? 的人数分别是 50 ? 0.018 ? 10 ? 9 人、 ? 0.006 ? 10 ? 3 人.所以 ? 的 ?

取值为 0、1、2.

P ?? ? 0 ? ?

0 C3 C92 36 6 C1C1 27 9 C 2C 0 3 1 ? ? , P ?? ? 1? ? 3 2 9 ? ? ? , P ?? ? 2 ? ? 3 2 9 ? ,所以 ? 的 2 C12 66 11 C12 66 22 C12 66 22

数学期望是 E? ? 0 ?

6 9 1 11 1 ? 1? ? 2 ? ? ? . 11 22 22 22 2

23.解:(1)设“品牌轿车甲首次出现故障在保修期内”为事件 A ,则 P( A) ?

2?3 1 ? . 50 10

(2)依题意 X1 , X 2 的分布列分别如下:

53

1

2

3

X1
p

1 25

3 50

9 10

X2

1.8

2.9

(3)由(2)得

p

E ( X 1 ) ? 1?

1 3 9 ? 2 ? ? 3 ? ? 2.86 25 50 10 1 9 E ( X 2 ) ? 1.8 ? ? 2.9 ? ? 2.79 10 10

1 10

9 10

E( X1 ) ? E( X 2 ) ,所以应生产甲品牌的轿车.
24. 【命题意图】本试题主要是考查了独立事件的概率的求解,以及分布列和期望值的问题.首先要理

解发球的具体情况,然后对于事件的情况分析、讨论,并结合独立事件的概率求解结论. 解:记

Ai 为事件“第 i 次发球,甲胜”,i=1,2,3,则 P( A1 ) ? 0.6, P( A2 ) ? 0.6, P( A3 ) ? 0.4 .
A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3
,由 互斥事

(Ⅰ)事件“开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 ”为 件有一个发生的概率加法公式得

P ( A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ) ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.352 .
即开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率为 0.352 (Ⅱ)由题意 ? ? 0,1, 2,3 .

P(? ? 0) ? P( A1 A2 A3 ) ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.144 ;
P (? ? 1) ? P( A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ) ? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.6 =0.4
08;

P(? ? 2) ? 0.352 ;
P(? ? 3) ? P( A1 A2 A3 ) ? 0.4 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.096
所以 E? ? 0.408 ? 2 ? 0.352 ? 3? 0.096 ? 1.4 【点评】 首先从试题的选材上来源于生活,同学们比较熟悉的背景,同时建立在该基础上求解进行 分类讨论的思想的运用,以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题.情景比较亲切,容易 入手,但是在讨论情况的时候,容易丢情况. 25. 【考点定位】此题的难度集中在第三问,其他两问难度不大,第三问是对能力的考查,不要求证明, 即不要求说明理 由,但是要求学生对方差意义的理解非常深刻. (1)由题 意可知:
400 2 = 600 3

54

(2)由题意可知: 200+60+40 = 3
1000

10

(3) 由 题 意 可 知 : s 2 ? 1 (a 2 ? b2 ? c 2 ? 120000) , 因 此 有 当 a ? 600 ,
3

b?0

, c ? 0 时,有

s 2 ? 80000 .
26. 【解析】(I) X ? n ? 2 表示两次调题均为 A 类型试题,概率为

n n ?1 ? m?n m?n?2

(Ⅱ) m ? n 时,每次调用的是 A 类型试题的概率为 p ? 随机变量 X 可取 n, n ? 1, n ? 2

1 2

P( X ? n) ? (1 ? p) 2 ?
X
P

1 1 1 2 , P( X ? n ? 1) ? 2 p(1 ? p) ? , P ( X ? n ? 2) ? p ? 4 2 4

n
1 4

n ?1

n?2

1 2

1 4

1 1 1 EX ? n ? ? (n ? 1) ? ? (n ? 2) ? ? n ? 1 4 2 4 n n ?1 ? 答:(Ⅰ) X ? n ? 2 的概率为 m?n m?n?2 (Ⅱ)求 X 的均值为 n ? 1

55



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