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中考数学专题复习之五:数形结合思想


中考数学专题复习之五:数形结合思想
【中考题特点】 : 数形结合思想是一种重要的数学思想方法。 近几年各地中考试题中都体现了这种数学思想 方法。在数学问题中,数量关系与图形位置关系这两者之间有着紧密却又较隐含的相互关系。解 题时,往往需要揭示它们之间的内在联系,通过图形,探究数量关系,再由数量关系研究图形特 征,使问题化难为易,由数想形、由形知数,这就是一种数形结合思想。 【范例讲析】 : 例 1:二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,根据图象,化简
|b? a ?c|? (3b ? 2 c ) ? | a ? b |
2

例 2:如图,△ABC 中,∠C=90°,BE 是角平分线, DE⊥BE 交 AB 于 D,半圆 O 是△BDE 的外接半圆。 ⑴求证:AC 是半⊙O 的切线; ⑵若 AD=6,AE=6 2 ,求 DE 的长。
A D

E

C

O

B

例 3:已知:抛物线 y=x2-mx+

m 2

2

与抛物线 y=x2+mx-

3 4

m 在平面直角坐标系 xOy 中的位置
2

如图所示,其中一条与 x 轴交于 A、B 两点。 ⑴试判定哪条抛物线经过 A、B 两点,并说明理由; ⑵若 A、B 两点到原点的距离 AO、OB 满足 过 A、B 两点的这条抛物线的解析式。
1 OB ? 1 AO ? 2 3

,求经

例 4 已知:如图 6,在半径为 6,圆心角为 90°的扇形 OAB 的弧上有一动点 P,PH⊥OA,垂足 为 H,Δ OPH 的重心为 G. (1) 当 P 在弧上运动时,线段 GO、GP、GH 中有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这 样的线段,并求出相应的长度; B (2) 设 PH=x,GP=y,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出自变量的取 P 值范围; (3) 如果Δ PGH 是等腰三角形,试求出线段 PH 的长。 G O H A

例 5: 把两个全等的等腰直角三角形 ABC 和 EFG(其直角边长 均为 4)叠放在一起 (如图①) 且使三角板 EFG 的直角顶点 G , 与三角板 ABC 的斜边中点 O 重合.现将三角板 EFG 绕 O 点顺 时针旋转 (旋转角α 满足条件: 0°<α <90°=, 四边形 CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分(如图②) 。(1)在上述旋转 过程中,BH 与 CK 有怎样的数量关系?四边形 CHGK 的面积 有何变化?证明你发现的结论;(2)连接 HK,在上述旋转过程 中,设 BH= x ,△GKH 的面积为 y ,求 y 与 x 之间的函数关 系式,并写出自变量 x 的取值范围;(3)在(2)的前提下,是否存 在某一位置,使△GKH 的面积恰好等于△ABC 面积的 存在,求出此时 x 的值;若不存在,说明理由.
5 16

A G(O) B F A ① G(O) K C H ② B F

C E

?若 E

【练习】 :
1.已知二次函数 y=
1 2

x2+bx+c 图象经过点 A(-3,6) ,并与 x 轴交于点 B(-1,0)

和点 C,顶点为 P。⑴求这个二次函数的解析式;⑵设 D 为线段 OC 上的一点,满足∠DPC=∠ BAC,求点 D 的坐标。 2.如图,锐角△ABC 内接于⊙O,高 AD、BE 交于 H,过点 A 引圆的切线与直线 BE 交于 P, 直线 BE 交⊙O 于另一点 F。若
x
2

AB 12

是方程

A E O B H D C F P

?

1 2

x?

1 4

(sin

2

C ?

3 sin C ? 1) ? 0 的一个实根。

⑴求∠C 的度数与 AB 的长;⑵BH=x,BP=y,求 y 与 x 间的函数 关系式;⑶当 y=3 3 时,试判断△ABC 的形状,并说明理由。

3.用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成菱形 ABCD.把一个含 60°角的三角尺与这个 菱形叠合,使三角尺的 60°角的顶点与点 A 重合,两边分别与 AB,AC 重合.将三角尺绕点 A 按逆时针方向旋转. (1)当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC,CD 相交于点 E,F 时, (如图 13—1) ,通过观察 或测量 BE,CF 的长度,你能得出什么结论?并证明你的结论; (2)当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC,CD 的延长线相交于点 E,F 时(如图 13—2) ,你 在(1)中得到的结论还成立吗?简要说明理由. A D F A D F B E C B 图1 C E 图2


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