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【2016版】新步步高 人教B版 大一轮复习讲义 数学(文)精品课件:第二章 2.8函数与方程


数学 B(文)

第二章

函数概念与基本初等函数Ⅰ

§2.8 函数与方程

? 基础知识·自主学习

? 题型分类·深度剖析
? 思想方法·感悟提高

? 练出高分

基础知识·自主学习
1.函数的零点 (1)函数零点的定义

知识梳理

如果函数y=f(x)在实数α处的值等于零.即 f(α)=0 ,则α 叫做这个函数的零点. (2)几个等价关系

方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与 x轴 有交点?
函数y=f(x)有 零点 .

基础知识·自主学习
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)

知识梳理

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲

f(b)<0 ,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内 线,并且有 f(a)·
有零点,即存在c∈(a,b),使得 f(c)=0 就是方程f(x)=0的根. ,这个 c 也

基础知识·自主学习

知识梳理

2.二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图像 与x轴的交点 零点个数 Δ=0 Δ<0

(x1,0),(x2,0)
__________________________

______________

(x1,0) 1 __

无交点

2 __

0 __

基础知识·自主学习
3.二分法

知识梳理

f(b)<0 的函数y=f(x), 对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)· 通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二 ,使区 间的两个端点逐步逼近 零点 法叫做二分法. ,进而得到零点近似值的方

基础知识·自主学习
? 思考辨析

知识梳理

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( × )

(2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),
则f(a)· f(b)<0.( × ) (3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零 点.( √ )

基础知识·自主学习

知识梳理

(4) 只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似
值.( × ) (5)函数y=2sin x-1的零点有无数多个.( √ )
1 (6)函数f(x)=kx+1在[1,2]上有零点,则-1<k<- .( × 2

)

基础知识·自主学习 题号
1

考点自测

答案
A B D 3

解析

2
3

4

由于a<b<c,所以f(a)=0+(a-b)(a-c)+0>0, f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0. 因此有f(a)· f(b)<0,f(b)· f(c)<0, 又因f(x)是关于 x的二次函数,函数的图象是连续不断的曲线, 因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内,故选A.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

题型一 例1

函数零点的判断和求解

(1)设x0是方程ln x+x=4的 )

解,则x0属于(

A.(0,1)
C.(2,3)

B.(1,2)
D.(3,4)

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

题型一 例1

函数零点的判断和求解 设f(x)=ln x+x-4, ∵f(2)=ln 2-2<0, f(3)=ln 3-1>0,

(1)设x0是方程ln x+x=4的 )

解,则x0属于(

A.(0,1)
C.(2,3)

B.(1,2)
D.(3,4)

∴x0∈(2,3).

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

题型一 例1

函数零点的判断和求解 设f(x)=ln x+x-4, ∵f(2)=ln 2-2<0, f(3)=ln 3-1>0,

(1)设x0是方程ln x+x=4的

解,则x0属于( C )

A.(0,1)
C.(2,3)

B.(1,2)
D.(3,4)

∴x0∈(2,3).

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

题型一 例1

函数零点的判断和求解
函数零点的求法: (1) 直接求零点:令 f(x) = 0 ,

(1)设x0是方程ln x+x=4的

解,则x0属于( C )

A.(0,1)
C.(2,3)

B.(1,2)
D.(3,4)

如果能求出解,则有几个解
就有几个零点.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

题型一 例1

函数零点的判断和求解

(2)零点存在性定理:利用定 是连续不断的曲线,且
f(a)· f(b)<0,还必须结合函数

(1)设x0是方程ln x+x=4的 理不仅要函数在区间[a,b]上

解,则x0属于( C )

A.(0,1)
C.(2,3)

B.(1,2)
D.(3,4)

的图象与性质(如单调性、奇
偶性)才能确定函数有多少个

零点.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

题型一 例1

函数零点的判断和求解
(3) 利用图象交点的个数:将

(1)设x0是方程ln x+x=4的

解,则x0属于( C )

函数变形为两个函数的差,画
两个函数的图象,看其有几个 交点,就有几个不同的零点.

A.(0,1)
C.(2,3)

B.(1,2)
D.(3,4)

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例1

(2)函数

?ln x-x2+2x,x>0, f(x)=? ?4x+1, x≤0

的零点个数是________.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例1

(2)函数

当x>0时:作函数y=ln x和 y=x2-2x的图象,

?ln x-x2+2x,x>0, f(x)=? ?4x+1, x≤0

的零点个数是________.

由图知,x>0
时,f(x)有两个零点;

1 当 x<0 时, 由 f(x)=0 得 x=- , 4
综上,f(x)有三个零点.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例1

(2)函数

当x>0时:作函数y=ln x和 y=x2-2x的图象,

?ln x-x2+2x,x>0, f(x)=? ?4x+1, x≤0

3 的零点个数是________ .

由图知,x>0
时,f(x)有两个零点;

1 当 x<0 时, 由 f(x)=0 得 x=- , 4
综上,f(x)有三个零点.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例1

(2)函数

?ln x-x2+2x,x>0, f(x)=? ?4x+1, x≤0

函数零点的求法: (1) 直接求零点:令 f(x) = 0 ,

3 的零点个数是________ .

如果能求出解,则有几个解
就有几个零点.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例1

(2)函数

(2)零点存在性定理:利用定
理不仅要函数在区间[a,b]上

?ln x-x2+2x,x>0, f(x)=? ?4x+1, x≤0

是连续不断的曲线,且
f(a)· f(b)<0,还必须结合函数

3 的零点个数是________ .

的图象与性质(如单调性、奇
偶性)才能确定函数有多少个

零点.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例1

(2)函数

?ln x-x2+2x,x>0, f(x)=? ?4x+1, x≤0

(3) 利用图象交点的个数:将

函数变形为两个函数的差,画
两个函数的图象,看其有几个 交点,就有几个不同的零点.

3 的零点个数是________ .

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 确的是( ) 1 (1)设函数 f(x)=3x-ln x(x>0), 则下列说法中正

1 A.f(x)在区间( ,1),(1,e)内均有零点 e 1 B.f(x)在区间( e,1),(1,e)内均无零点 1 C.f(x)在区间( e,1)内有零点,在(1,e)内无零点 1 D.f(x)在区间( ,1)内无零点,在(1,e)内有零点 e

题型分类·深度剖析
1 1 1 1 1 解析 因为 f( e)=3×e-ln e =3e+1>0,

1 1 f(1)= -ln 1= >0, 3 3 1 e f(e)=3· e-ln e=3-1<0, 1 所以 f(x)在区间(e ,1)内无零点,在(1,e)内有零点.

答案 D

题型分类·深度剖析
(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1] 时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点个数是( A.多于4个 解析 B.4个 C .3 个 ) D.2个

由题意知,f(x)是周期为2的偶函数.

在同一坐标系内作出函数y=f(x)及y=log3|x|的图象,如下:

题型分类·深度剖析
(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1] 时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点个数是( B ) A.多于4个 B.4个 C .3 个 D.2个

观察图象可以发现它们有4个交点, 即函数y=f(x)-log3|x|有4个零点.

题型分类·深度剖析 题型二
例2
a ∈R . (1)若不等式f(x)≤0的解集为 [1,2],求不等式f(x)≥1-x2的

二次函数的零点问题

解析

思维升华

已知函数 f(x) = x2 + ax + 2 ,

题型分类·深度剖析 题型二
例2
a ∈R . (1)若不等式f(x)≤0的解集为 [1,2],求不等式f(x)≥1-x2的

二次函数的零点问题

解析

思维升华

已知函数 f(x) = x2 + ax + 2 ,

解 因为不等式f(x)≤0的解
集为[1,2], 所以 a =- 3 ,于是 f(x) = x2 -3x+2. 由f(x)≥1-x2得,1-x2≤x2

-3x+2,

题型分类·深度剖析 题型二
例2
a ∈R . (1)若不等式f(x)≤0的解集为 [1,2],求不等式f(x)≥1-x2的

二次函数的零点问题

解析

思维升华

1 解得 x≤ 或 x≥1, 2 2 已知函数 f(x) = x + ax + 2 ,

所以不等式 f(x)≥1-x2 的解 1 集为{x|x≤ 或 x≥1}. 2

题型分类·深度剖析 题型二
例2
a ∈R . (1)若不等式f(x)≤0的解集为 [1,2],求不等式f(x)≥1-x2的

二次函数的零点问题

解析

思维升华

解决二次函数的零点问题: 已知函数 f(x) = x2 + ax + 2 , (1) 可利用一元二次方程的
求根公式; (2) 可用一元二 次方程的判别式及根与系数 之间的关系; (3) 利用二次

函数的图象列不等式组.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

例2

(2)若函数g(x)=f(x)+x2+1

在区间(1,2)上有两个不同的零点,

求实数a的取值范围.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

例2

(2)若函数g(x)=f(x)+x2+1 解

函数 g(x) = 2x2 + ax + 3 在

在区间(1,2)上有两个不同的零点,

区间(1,2)上有两个不同的零点,

求实数a的取值范围.

?g?1?>0, ? ?g?2?>0, 则? a ?1<-4<2, ? 2 ?a -24>0,

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

?a+5>0, ? ?2a+11>0, 在区间(1,2)上有两个不同的零点,即? ?-8<a<-4, ?a<-2 6或a>2 6, ?

例2

(2)若函数g(x)=f(x)+x2+1

求实数a的取值范围.

解得-5<a<-2 6.
所以实数 a 的取值范围是 (-5,-2 6).

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

例2

(2)若函数g(x)=f(x)+x2+1 解决二次函数的零点问题:

在区间(1,2)上有两个不同的零点,(1) 可利用一元二次方程的

求实数a的取值范围.

求根公式; (2) 可用一元二 次方程的判别式及根与系数 之间的关系; (3) 利用二次

函数的图象列不等式组.

题型分类·深度剖析
跟踪训练2
解 方法一

已知f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比1大,
设方程x2+(a2-1)x+(a-2)=0的两根分别为x1,

一个零点比1小,求实数a的取值范围. x2(x1<x2),则(x1-1)(x2-1)<0,

即x1x2-(x1+x2)+1<0,
由根与系数的关系,

得(a-2)+(a2-1)+1<0,
即a2+a-2<0,∴-2<a<1.

题型分类·深度剖析
跟踪训练2 已知f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比1大,
一个零点比1小,求实数a的取值范围.

方法二 函数图象大致如图,
则有f(1)<0, 即1+(a2-1)+a-2<0, 故-2<a<1.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

题型三 函数零点和参数的范围 例3

若关于 x 的方程 22x + 2xa

+a+1=0有实根,求实数a的 取值范围.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

题型三 函数零点和参数的范围 例3

若关于 x 的方程 22x + 2xa 设t=2x (t>0),则原方程可变
为t2+at+a+1=0,(*) 原方程有实根,即方程 (*) 有 正根.

解 方法一 (换元法)

+a+1=0有实根,求实数a的 取值范围.

令f(t)=t2+at+a+1.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

题型三 函数零点和参数的范围 例3

①若方程 (*) 有两个正实根 t1,t2,
?Δ=a2-4?a+1?≥0, ? 则?t1+t2=-a>0, ? t2=a+1>0, ?t1·

若关于 x 的方程 22x + 2xa

+a+1=0有实根,求实数a的 取值范围.

解得-1<a≤2-2 2;

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

题型三 函数零点和参数的范围 例3

若关于 x 的方程 22x + 2xa

②若方程(*)有一个正实根和 一个负实根 ( 负实根,不合

+a+1=0有实根,求实数a的 题意,舍去), 取值范围.
则f(0)=a+1<0,
解得a<-1;

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

题型三 函数零点和参数的范围 例3

③若方程 (*) 有一 个 正实根 和一个零根,
a 则 f(0)=0 且- >0, 2

若关于 x 的方程 22x + 2xa

+a+1=0有实根,求实数a的 取值范围.

解得a=-1.
综上,a 的取值范围是 (-∞,2-2 2].

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

题型三 函数零点和参数的范围 例3

若关于 x 的方程 22x + 2xa

+a+1=0有实根,求实数a的 取值范围.

方法二 (分离变量法) 22x+1 由方程,解得 a=- x , 2 +1 设t=2x (t>0),
? ? t2+1 ?t+ 2 -1? 则 a=- =-? t+1 ? t+1 ? ?
? ? ??t+1?+ 2 ? =2-? ?, t + 1 ? ?

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

题型三 函数零点和参数的范围 例3

其中t+1>1,
由均值不等式,
2 得(t+1)+ ≥2 2, t+1

若关于 x 的方程 22x + 2xa

+a+1=0有实根,求实数a的 取值范围.

当且仅当 t= 2-1 时取 等号,
故 a≤2-2 2.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

题型三 函数零点和参数的范围 例3

若关于 x 的方程 22x + 2xa

对于“a=f(x)有解”型问题,
可以通过求函数 y=f(x)的值

+a+1=0有实根,求实数a的 取值范围.

域来解决,解的个数也可化
为函数y=f(x)的图象和直线 y=a交点的个数.

题型分类·深度剖析
跟踪训练3

(2014· 江苏)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数, 1 当x∈[0,3)时,f(x)=|x2-2x+ |.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4] 2 1 (0, ) . 上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是________ 2 解析 作出函数y=f(x)在[-3,4]上的图象, f(-3)=f(-2)=f(-1)=f(0)=f(1) =f(2)=f(3)=f(4)= 1 , 2 1 观察图象可得 0<a< . 2

题型分类·深度剖析
思想与方法系列3 数形结合思想在函数零点问题中的应用
典例:(1)方程log3x+x-3=0的解所在的区间是( )

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)
解 析

D.(3,4)
温 馨 提 醒

思 维 点 拨

题型分类·深度剖析
思想与方法系列3 数形结合思想在函数零点问题中的应用
典例:(1)方程log3x+x-3=0的解所在的区间是( )

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)
解 析

D.(3,4)
温 馨 提 醒

思 维 点 拨

利用零点存在性定理;

题型分类·深度剖析
思想与方法系列3 数形结合思想在函数零点问题中的应用
典例:(1)方程log3x+x-3=0的解所在的区间是( C )

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)
解 析

D.(3,4)
温 馨 提 醒

思 维 点 拨

设f(x)=log3x+x-3,则f(2)=log32-1<0,
f(3)=log33+3-3=1>0,

∴f(x)=0在(2,3)有零点,
又f(x)为增函数,∴f(x)=0的零点在(2,3)内.

题型分类·深度剖析
思想与方法系列3 数形结合思想在函数零点问题中的应用
典例:(1)方程log3x+x-3=0的解所在的区间是( C )

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)
解 析

D.(3,4)
温 馨 提 醒

思 维 点 拨

(1) 零点问题可转化为函数图象的交点问题进行求解,体 现了数形结合的思想.

(2) 求零点范围时用数形结合求解可减少思维量,作图时
要尽量准确.

题型分类·深度剖析
(2)已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1),当2<a<3<b<4 时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N+,则n=________.
思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
(2)已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1),当2<a<3<b<4 时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N+,则n=________.
思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒

利用临界情况时f(x)的图象观察零点的大小.

题型分类·深度剖析
(2)已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1),当2<a<3<b<4 时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N+,则n=________.
思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒

在直角坐标系下分别作出y=log2x,
y=log3x及y=3-x,y=4-x的图象,如图所示, 显然所有可能的交点构成图中的阴影区域

(不含边界),

题型分类·深度剖析
(2)已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1),当2<a<3<b<4 2 时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N+,则n=________.
思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒

其中各点的横坐标均落于 (2,3) 之内,又因为 x0∈(n ,n +1) ,

n∈N+,故n=2.

题型分类·深度剖析
(2)已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1),当2<a<3<b<4 2 时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N+,则n=________.
思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒

(1) 零点问题可转化为函数图象的交点问题进行求解,体 现了数形结合的思想.

(2) 求零点范围时用数形结合求解可减少思维量,作图时
要尽量准确.

思想方法·感悟提高
1.函数零点的判定常用的方法有

方 法 与 技 巧

(1)零点存在性定理;(2)数形结合;(3)解方程f(x)=0.

2 .研究方程 f(x) = g(x) 的解,实质就是研究 G(x) = f(x)
-g(x)的零点. 3.转化思想:方程解的个数问题可转化为两个函数图 象交点的个数问题;已知方程有解求参数范围问题可 转化为函数值域问题.

思想方法·感悟提高
1 .函数 f(x) 的零点是一个实数,是方程 f(x) = 0 的

失 误 与 防 范

根,也是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标. 2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条 件,而不是必要条件;判断零点个数还要根据函 数的单调性、对称性或结合函数图象.

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

?2x-1, 1. 已知函数 f(x)=? ?1+log2x,

x≤1, x>1,

则函数 f(x)的零

点为( ) 1 A.2,0 1 C. 2

B.-2,0 D.0

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

解析

当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;

1 当 x>1 时,由 f(x)=1+log2x=0,解得 x= . 2

又因为x>1,所以此时方程无解.
综上函数f(x)的零点只有0,故选D.

答案 D

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

2.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是( B ) A.1 解析 B.2 (数形结合法) C.3 D.4

∵a>0,∴a2+1>1. 而y=|x2-2x|的图象如图, ∴y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

3.若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,则实

数m的取值范围是( C )
A.(-1,1) B.(-2,2)

C.(-∞,-2)∪(2,+∞)

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

解析 ∵方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=m2-4>0,∴m>2或m<-2.

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

4.函数f(x)=xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为(C
A.4 B.5 C.6 D.7

)

解析 由f(x)=xcos x2=0,得x=0或cos x2=0. π 又x∈[0,4],所以x2∈[0,16]由于 . cos( +kπ)=0(k∈Z), 2 π π 3π 5π 7π 9π 而在 +kπ(k∈Z)的所有取值中,只有 , , , , 满足 2 2 2 2 2 2
在[0,16] 内,故零点个数为 1+5=6.

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

5.已知三个函数 f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x

的零点依次为a,b,c,则(
A.a<b<c C.b<a<c

)

B.a<c<b D.c<a<b

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

解析

1 1 方法一 由于 f(-1)= -1=- <0,f(0)=1>0, 2 2

且f(x)为R上的递增函数.故f(x)=2x+x的零点a∈(-1,0).

∵g(2)=0,∴g(x)的零点b=2;
?1? 1 1 ? ? ∵h?2?=-1+ =- <0,h(1)=1>0, 2 2 ? ?

且h(x)为(0,+∞)上的增函数, ?1 ? ? ∴h(x)的零点 c∈?2,1? ?,因此 a<c<b. ? ?

练出高分
1
2 3

A组
4

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方法二

由f(x)=0得2x=-x;

由h(x)=0得log2x=-x作出函数y=2x,

y=log2x和y=-x的图象(如图).
由图象易知a<0,0<c<1,而b=2, 故a<c<b.

答案 B

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1
2 3

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6 .若函数 f(x) = x2 + ax + b 的两个零点是- 2 和 3 ,则不等式 af(-2x)>0的解集是________________. 解析 ∵f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2,3.

∴-2,3是方程x2+ax+b=0的两根,
?-2+3=-a, ?a=-1, 由根与系数的关系知? ∴? ?-2×3=b. ?b=-6,

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1
2 3

A组
4

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∴f(x)=x2-x-6. ∵不等式af(-2x)>0,
即-(4x2+2x-6)>0?2x2+x-3<0,
3 解集为{x|- <x<1}. 2

3 答案 {x|-2<x<1}

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1
2 3

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7.函数f(x)=3x-7+ln x的零点位于区间 (n,n+1)(n∈N)内,

2 则n=________. 解析 由于ln 2<ln e=1,
所以f(2)<0,f(3)=2+ln 3, 由于ln 3>1,所以f(3)>0, 所以增函数f(x)的零点位于区间(2,3)内,故n=2.

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1
2 3

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4

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?2x-1,x>0, 8. 已知函数 f(x)=? 2 若函数 g(x)=f(x)-m 有 ?-x -2x,x≤0,

(0,1) . 3 个零点,则实数 m 的取值范围是________
解析
?2x-1,x>0, 画出 f(x)=? 2 的图象,如图. ?-x -2x,x≤0

由于函数 g(x) = f(x) - m 有 3 个零点,结

合图象得:0<m<1,即m∈(0,1).

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1
2 3

A组
4
2

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2 3 9.判断函数 f(x)=4x+x - x 在区间[ -1,1] 上零点的个数,并 3 说明理由.
解 2 7 2 13 因为 f(-1)=-4+1+ =- <0,f(1)=4+1- = >0, 3 3 3 3

所以f(x)在区间[-1,1]上有零点.
9 12 又 f′(x)=4+2x-2x = -2(x- ) , 2 2
2

练出高分
1
2 3

A组
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9 当-1≤x≤1 时, 0≤f′(x)≤ , 所以 f(x)在[ -1,1] 上单调递增. 2

所以f(x)在[-1,1]上有且只有一个零点.

练出高分
1
2 3

A组
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10 .关于 x 的二次方程 x2 + (m - 1)x + 1 = 0 在区间 [0,2] 上有解, 求实数m的取值范围.

解 方法一 设f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈[0,2],
①若f(x)=0在区间[0,2]上有一解, ∵f(0)=1>0,则应有f(2)<0, 又∵f(2)=22+(m-1)×2+1, 3 ∴m<- . 2

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1
2 3

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②若f(x)=0在区间[0,2]上有两解,则
? ?Δ≥0, ? m-1 ?0<- <2, 2 ? ? ?f?2?≥0, ??m-1?2-4≥0, ? ∴?-3<m<1, ? ?4+?m-1?×2+1≥0. ? ?m≥3或m≤-1, ?-3<m<1, ∴? ? 3 m≥- . ? ? 2

3 ∴- ≤m≤-1. 2

由①②可知m的取值范围是(-∞,-1].

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1
2 3

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显然x=0不是方程x2+(m-1)x+1=0的解, 1 0<x≤2 时,方程可变形为 1-m=x+ , x 1 又∵y=x+ 在(0,1]上单调递减,[1,2] 上单调递增, x 1 ∴y=x+ 在(0,2]的取值范围是[2,+∞), x ∴1-m≥2,∴m≤-1, 故m的取值范围是(-∞,-1].

方法二

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

11.已知x1,x2是函数f(x)=e-x-|ln x|的两个零点,则(
1 A. <x1x2<1 e

)

B.1<x1x2<e D.e<x1x2<10

C.1<x1x2<10
解析

在同一坐标系中画出函数y=e-x与y=|ln x|的图象,

结合图象不难看出,它们的两个交点中,其中一个交点的横

坐标属于区间(0,1),另一个交点的横坐标属于区间 (1,+∞),

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

即在x1,x2中,其中一个属于区间(0,1), 另一个属于区间(1,+∞). 不妨设x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),

则有e-x1 =|ln x1|=-ln x1∈(e-1,1),
e-x2 =|ln x2|=ln x2∈(0,e-1),

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

e-x2 - e-x1 =ln x2+ln x1=ln x1x2∈(-1,0),

于是有e-1<x1x2<e0,即 1 <x1x2<1.
e

答案

A

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

12.若直角坐标平面内的两点P,Q满足条件:①P,Q都在函

数y=f(x)的图象上;②P,Q关于原点对称.则称点对[P,Q]是
函数y=f(x)的一对“友好点对”(点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对 ?log2x,x>0, “友好点对”).已知函数f(x)=? 则此函数的 2 ?-x -4x,x≤0, “友好点对”有( ) A.0对 B.1对 C.2对 D.3对

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

解析

?log2x,x>0, 函数 f(x)=? 2 的图象及 ?-x -4x,x≤0

函数 f(x)=-x2-4x(x≤0)的图象关于原点对称 的图象如图所示,

则 A , B 两点关于原点的对称点一定在函数 f(x) =- x2 - 4x(x≤0)

的图象上,故函数f(x)的“友好点对”有2对,选C.

答案 C

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11

B组
12

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13

14

15

13.若方程 4-x2=k(x-2)+3 有两个不等的实根,则 k 的取值 范围是____________.

解析

作出函数 y1= 4-x2和 y2=k(x-2)+3

的图象如图所示,

函数y1的图象是圆心在原点,半径为2的圆在x轴上方的半圆 (包
括端点),

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11

B组
12

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13

14

15

函数y2的图象是过定点P(2,3)的直线,点A(-2,0),
3-0 3 kPA= = .直线 PB 是圆的切线, 2-?-2? 4
|3-2kPB| 5 由圆心到直线的距离等于半径得, 2 =2,得 kPB= . 12 k AB+1

由图可知当kPB<k≤kPA时,两函数图象有两个交点,

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11

B组
12

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13

14

15

即原方程有两个不等实根.
5 3 所以 <k≤ . 12 4

5 3 答案 ( , ] 12 4

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11

B组
12

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13

14

15

?ax, x≥0, 14.已知0<a<1,k≠0,函数f(x)= ? 若 函 数 ?kx+1, x<0, g(x)=f(x)-k有两个零点,则实数k的取值范围是________.

解析 函数g(x)=f(x)-k有两个零点,
即f(x)-k=0有两个解,
即y=f(x)与y=k的图象有两个交点.

分k>0和k<0作出函数f(x)的图象.

练出高分
11

B组
12

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13

14

15

当0<k<1时,函数y=f(x)与y=k的图象有两个交点; 当k=1时,有一个交点;

当k>1或k<0时,没有交点,
故当0<k<1时满足题意.

答案 (0,1)

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

5.已知函数f(x)=4x +m· 2x+1有且仅有一个零点,求m的取 值范围,并求出该零点.


∵f(x)=4x+m· 2x+1有且仅有一个零点,

即方程(2x)2+m· 2x+1=0仅有一个实根.

设2x=t (t>0),则t2+mt+1=0.
当Δ=0,即m2-4=0,

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B组
12

专项能力提升
13

14

15

∴m=-2时,t=1;m=2时,t=-1(不合题意,舍去), ∴2x=1,x=0符合题意. 当Δ>0,即m>2或m<-2时, t2+mt+1=0有两正根或两负根,

即f(x)有两个零点或没有零点.
∴这种情况不符合题意.

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11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

综上可知,m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点是0. (本题也可以将m分离后利用图象法求解)

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