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离散型随机变量的方差第1课时



数学选修2-3第二章随机变量及其分 布2.3离散型随机变量的均值与方差

课题:离散型随机变量 的方差第1课时

授课:张贤华 学校:衡阳市第八中学 时间:2013年上期

问题提出

1.离散型随机变量均值的定义是 什么? 若离散型随机变量X的分布列为
X x

x

P p1p
1

2 2

… x … p

i i

… x … p

n n

则 称 EX = x1p1 + x2p2 + … + xipi +…+ xnpn 为随机变量X的均值 或数学期望.

问题提出

2.离散型随机变量均值的性质有 哪些?

(1)E(aX+b)=aEX+b; (2)若随机变量X服从两点分布,则 EX=p; (3)若随机变量X~B(n,p),则EX= np.

问题提出

3.对于一组样本数据,可以用方差反映 这组样本数据的离散程度.对于离散型 随机变量,可以由它的分布列确定随机 变量的均值.在实际问题中,有时我们 需要知道随机变量的稳定性.因此,如 何根据离散型随机变量的分布列,计算 随机变量的方差,就成为一个新的研究 课题.

探究一:随机变量方差的概念

思考1:统计甲、乙两名射手以往的成 绩,得其击中目标靶的环数X1 、X2 的分 布列分别如下:EX1=EX2=8,不能区分
X1 5 6 7 8 9 10 P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10 X2 5 6 7 8 9 P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33

如果仅从平均射击成绩比较,能否区分 甲、乙两人的射击水平?

探究一:随机变量方差的概念

思考2:考察X1 和X2 的分布列图,甲、 乙两人的射击水平有何差异?
0.4 P 0.3 0.2 0.1 5 6 7 8 9 10 X1 0.4 P 0.3 0.2 0.1 5 6 7 8 9 X2

乙的射击成绩更集中于8环,相对较 稳定.

探究一:随机变量方差的概念

思考3:从分布列图观察随机变量相对 于均值的偏离程度只是一种直观的定 性分析,有时难以区分,理论上需要有 一个定量指标来反映.类似样本方差,

能否用 ? n

1

n

(x i - EX ) 来 刻 画 随 机 变 量
2

i=1

的稳定性? 不妥!还要考虑随机变量各个取值的 权重.

探究一:随机变量方差的概念

思考4:一般地,若离散型随机变量X的 分布列为 X x x … x … x 称 DX
sX =
n

=

?
i=1

(x i -

P p1 p2 … pi … pn EX ) p 为随机变量X的方差.
2 i

1

2

i

n

为随机变量X的标准差.则方 差或标准差的大小变化,对随机变量偏 离于均值的平均程度产生什么影响?
DX

方差或标准差越小(大),随机变量偏离于均值的 平均程度越小(大).

探究一:随机变量方差的概念

思考5:随机变量的方差与样本数据的 方差有何联系和区别?

联系:都是反映离散程度和稳定性的 定量指标.
区别:随机变量的方差是常数,样本的 方差是随机变量,随着样本容量的增加, 样本方差愈接近总体方差.

探究二:随机变量方差的性质

思考1:若随机变量X服从两点分布 B(1,p),则DX等于什么? DX=p(1-p) 思考2:若随机变量X服从二项分布 B(2,p),则DX等于什么? DX=2p(1-p) 思考3:据归纳推理,若随机变量X服 从二项分布B(n,p),则DX等于什么? DX=np(1-p)

探究二:随机变量方差的性质

思考4:若Y=aX+ b,其中a,b 为常数, 则DY与DX有什么关系?由此可得什么 结论? DY=a2DX D(aX+b)=a2DX

理论迁移

例 已知甲、乙两名射手击中目标靶的环数 X1、X2的分布列分别如下:
X1 P 5 6 7 8 9 10 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10

X2 5 6 7 8 9 P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33

甲对丙 乙对丁

(1)求随机变量X1和X2的方差; (2)若某两位对手丙、丁的射击成绩分别在 9环左右和7环左右,如何选派甲、乙对阵较 DX1=1.5,DX2=0.82. 合适?

课堂小结

1.EX只反映离散型随机变量的平均取 值,DX则刻画了随机变量的取值与均值 的偏离程度,DX越小,说明随机变量的 取值越集中于均值附近,标准差σX也 具有同等意义.

2.在实际应用中,EX和DX是比较产品质 量,水平高低,方案优劣等问题的定量 指标,在许多决策问题中起着重要作用.

课堂小结

3.随机变量的均值和方差与样本数据 的均值和方差有相近的含义和作用,但 应用背景不同,计算公式不同,不可混 为一谈.

4.对于两点分布和二项分布的方差,可 以直接利用方差性质进行计算,对具有 线性关系的两个随机变量的方差,常利 用D(aX+b)=a2DX进行转化.

作业布置

P68练习:1,2.



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