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高三复习文科三角函数和解三角形



三角函数、解三角形专题

1.任意角的三角函数 (1)设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那 y 么 sin α=y,cos α=x,tan α=x. (2)各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切, 四余弦.

2.诱导公式

公式一
公式二 公式三 公式四 公式五

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sin(2kπ+α)=sin α,cos(2kπ+α)=cos α, tan(kπ+α)=tan α(k∈Z)
sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α, tan(π+α)=tan α sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α, tan(-α)=-tan α
sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α, tan(π-α)=-tan α π π sin( -α)=cos α,cos( -α)=sin α 2 2
π π sin( +α)=cos α,cos( +α)=-sin α 2 2

公式六

3. 同角三角函数基本关系式 sin α sin2α+cos2α=1,tan α= (cos α≠0). cos α 4.正弦、余弦、正切函数的性质

函数 图象

y=sin x

y=cos x

y=tan x

定义域 值域

R
[-1,1]

R
[-1,1]

π {x|x≠ +kπ, k∈Z} 2

R

奇偶性 最小正 周期

奇函数

π π 在[- +2kπ, + 2 2 2kπ](k∈Z) 上 单 调 递增; π 3π 在 [ + 2kπ , + 2 2 2kπ](k∈Z) 上 单 调 递减

偶函数

在 [ - π + 2kπ ,

奇函数
π

单调 性

π π 在(- +kπ, 2 2 2kπ](k∈Z) 上 单

调递增;在[2kπ, +kπ)(k∈Z)上 π+2kπ](k∈Z)上 单调递增 单调递减

最值

π 当 x= +2kπ,k∈Z 2 时,y 取得最大值 1; π 当 x=- +2kπ, k∈Z 2 时,y 取得最小值-1

当 x=2kπ,k∈Z 时, y 取得最大值 1; 当 x=π+2kπ,k∈Z 时,y 取得最小值-1
对称中心: π ( +kπ,0)(k∈Z); 2 对称轴: x=kπ(k∈Z)

无最值

对称中心: kπ,0)(k∈Z); 对称性 对称轴: π x= +kπ(k∈Z) 2

对称中心: kπ ( ,0)(k∈Z) 2

5.函数 y=Asin(ωx+φ) (ω>0,A>0)的图象 (1)“五点法”作图 π 3π 设 z=ωx+φ,令 z=0, ,π, ,2π,求出 x 的值与相应的 2 2 y 的值,描点、连线可得. (2)图象变换

类型一 三角函数的定义、诱导公式 【例 1】 (1)已知角θ的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重 合,终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ= 4 A.- 5 3 C. 5 3 B.- 5 4 D. 5 ( ).

3 (2)(2012· 大纲全国)已知α为第二象限角,sin α+cos α= 3 ,则 cos 2α= 5 A.- 3 5 C. 9 5 B.- 9 5 D. 3 ( ).

解:(1)∵角θ的终边在直线 y=2x 上,∴tan θ=2,则 cos 2θ= cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 3 cos2θ-sin2θ= 2 = =- . 5 cos θ+sin2θ 1+tan2θ (2)∵sin α+cos α= 3 1 ,两边平方,得 1+2sin αcos α= ,则 3 3

2 sin 2α=- . 又α为第二象限角,且 sin α+cos α>0. 3 π 3 ∴2kπ+ <α<2kπ+ π,k∈Z. 2 4 则即 2α为第三象限角. ∴cos 2α=- 1-sin 22α=- 2 - 2 5 1- 3 =- . 3

1 【变式训练1】 (2012· 江西)若tan θ+tan θ=4,则sin 2θ的值为 ( 1 A.5 1 B.4 1 C.3 1 D.2 ).

答案 D

类型二 三角函数的图象 【例2】 已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0) 的部分图象如图所示,则f(0)的值是________.

T 7π π π [尝试解答] 由题图知A= 2,4 =12-3=4,T=π, 2π 又T= ω ,∴ω=2, π 根据函数图象的对应关系,得2×3+φ=2kπ+π(k∈Z), π ∴φ=2kπ+3,k∈Z. π 令k=0,取φ=3, π ∴函数解析式为f(x)= 2sin(2x+3), π 6 ∴f(0)= 2sin3= 2 .

【变式训练 2】把函数 y=cos 2x+1 的图象上所有点的横坐标伸 长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度, 再向下平移 1 个单位长度,得到的图象是 ( ).

答案 A

类型三 三角函数的性质 π 【例 3】已知函数 f(x)=4cos xsin(x+ )-1. 6 (1)求 f(x)的最小正周期; π π - , (2)求 f(x)在区间 6 4 上的最大值和最小值.

π x+ 解:(1)因为 f(x)=4cos xsin 6 -1 3 1 sin x+ cos x =4cos x 2 -1 2 = = 3sin 2x+2cos2x-1 3sin 2x+cos 2x

π 2x+ =2sin 6, 所以 f(x)的最小正周期为π.

π π π π 2π (2)因为-6≤x≤4,所以-6≤2x+6≤ 3 . π π π 于是,当2x+6=2,即x=6时,f(x)取得最大值2; π π π 当2x+6=-6,即x=-6时,f(x)取得最小值-1.
? π π? 所以f(x)在?-6,4?最大、最小值分别是2与-1. ? ?

[规律方法]

求三角函数最值(值域)常用方法:(1)化为正弦型

函数y=Asin(ωx+φ)+k的形式;(2)把sin x(或cos x)看作整体, 借助二次函数的性质.但一定要注意sin x(或cos x)的制约作 用.

?sin x-cos x?sin 2x 【变式训练3】 (2012· 北京)已知函数f(x)= . sin x (1)求f(x)的定义域及最小正周期; (2)求f(x)的单调递增区间.
解 (1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z),

故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}. ?sin x-cos x?sin 2x 因为f(x)= =2cos x(sin x-cos x) sin x =sin 2x-2cos x=sin 2x-(1+cos 2x)= 2π 所以f(x)的最小正周期T= 2 =π.
2

? π? 2sin?2x-4?-1, ? ?

(2)函数y=sin x的单调递增区间为
? π π? ?2kπ- ,2kπ+ ?(k∈Z). 2 2? ?

π π π 由2kπ-2≤2x-4≤2kπ+2,x≠kπ(k∈Z), π 3π 得kπ-8≤x≤kπ+ 8 ,x≠kπ(k∈Z). 所以f(x)的单调递增区间为
? ? ? π 3π? ?kπ- ,kπ?和?kπ,kπ+ ?(k∈Z). 8 8? ? ? ?

类型四

三角函数图象与性质的综合应用
2 ωx

【例4】 (2012· 四川)函数f(x)=6cos 2 + sin

3

ωx-3(ω>0)在一个周期内的图象如图

所示,A为图象的最高点,B、C为图象与x 轴的交点,且△ABC为正三角形. (1)求ω的值及函数f(x)的值域;
? 10 2? 8 3 (2)若f(x0)= 5 ,且x0∈?- 3 ,3?,求f(x0+1)的值. ? ?

2ωx-1)+ 解:(1)f(x)=3(2cos

2

3sin ωx

=3cos ωx+

3sin ωx

π ωx+ =2 3sin 3. 依题设,等边△ABC 的高为 2 3,从而 BC=4. 2π π 所以函数 f(x)的周期 T=4×2=8,即 =8,ω= . ω 4 函数 f(x)的值域为[-2 3,2 3].

8 3 (2)因为f(x0)= 5 , 由(1)有f(x0)=2
?πx0 π? 8 3 3sin? 4 +3?= 5 , ? ?

?πx0 π? 4 ∴sin? 4 +3?=5. ? ? ? 10 2? πx0 π ? π π? 由x0∈?- 3 ,3?,知 4 +3∈?-2,2?. ? ? ? ? ?πx0 π? 所以cos? 4 +3?= ? ? ?4? 3 ? ?2= . 1- 5 5 ? ?

故f(x0+1)=2 =2 =2 =2

?πx0 π π? 3sin? 4 +4+3? ? ?

??πx0 π? π? 3sin?? 4 +3?+4? ? ?? ? ? ?πx0 π? ?πx0 π? π π? 3?sin? 4 +3?cos4+cos? 4 +3?sin4? ? ? ? ? ? ? ?4 3×? × ?5 ?

2 3 2? 7 6 ? +5× 2 ?= 5 . 2 ?

【变式训练4】 已知函数f(x)= 3 sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ <π,ω>0)为偶函数,且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间 π 的距离为2.
?π? (1)求f?8?的值; ? ?

π (2)将函数y=f(x)的图象向右平移 6 个单位后,再将得到的图象 上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y =g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.


? =2? ? ?

(1)f(x)=

3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)

? 3 1 ? sin?ωx+φ?-2cos?ωx+φ?? 2 ?

? π? =2sin?ωx+φ-6?. ? ?

∵y=A

? π? sin?ωx+φ-6?是偶函数, ? ?

π π ∴φ-6=kπ+2,k∈Z. π π 又0<φ<π,∴φ-6=2.

? π? ∴f(x)=2sin?ωx+2?=2cos ? ?

ωx.

2π π 由题意得 ω =2·,所以ω=2. 2 故f(x)=2cos 2x.
?π? π ? ?=2cos = 因此f 8 4 ? ?

2.

π (2)将f(x)的图象向右平移6个单位后, 得到y=f
? π? ?x- ? 6? ?

的图象,再将所得图象横坐标伸长到原来的4

? x π? 倍,纵坐标不变,得到y=f?4-6?的图象. ? ?

? ? x π ?? ? x π? 所以g(x)=f?4-6?=2cos?2?4-6?? ? ? ?? ? ? ? x π? =2cos?2-3?. ? ?

x π 当2kπ≤2-3≤2kπ+π(k∈Z), 2π 8π 即4kπ+ 3 ≤x≤4kπ+ 3 (k∈Z)时,g(x)单调递减.
? 2π 8π? 因此g(x)的单调递减区间为?4kπ+ 3 ,4kπ+ 3 ?(k∈Z). ? ?



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