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山东省高密市2015届高三4月月考 数学文



山东省高密市 2015 届高三 4 月月考

数学(文)试题
本试卷共 4 页,分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分,检测时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 (选择题,共 50 分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、学号、学校、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的

答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其它答案标号,不能答在试卷上. 一、选择题:本大题 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.在复平面内,复数 A. (1, ?1)

7?i 对应的点的坐标为 3 ? 4i 17 B. (?1,1) C. ( , ?1) 25

D. (

2.已知全集为 R ,集合 A ? x 2 ? 1 , B ? x x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 A ? CR B ?
x 2

?

?

?

?

17 , ?1) 5

A. C.

? x x ? 0? ? x 0 ? x ? 1或x ? 2?
1 2
x?2

B.

? x 1 ? x ? 2? D. ? x 0 ? x ? 1或x ? 2?
D. (3,4) 4 6.7

3 3.函数 y ? x 与 y ? ( )

图形的交点为 ( a, b) ,则 a 所在区间是

A. (0,1) B. (1,2 ) C. (2,3 ) 4. 已知具有线性相关的两个变量 x, y 之间的一组数据如下:

x y

0 2.2

1 4.3

2 4.5

3 4.8

y ? 0.95 x ? a, 则当x ? 6时, y 的预测值为 且回归方程是 ?
A.8.4 B.8.3 C.8.2 D.8.1 5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. 48 C.16 B. 32 D.

32 3
a ?1? B. ? ? ? ? 0.2 ? ? 2a ?2? a

6. 若 a ? 0 ,则下列不等式成立的是
a ?1? A. 2a ? ? ? ? ? 0.2 ? ?2? a

C. ? 0.2 ? ? ?
a

?1? ? ? 2a ?2?

a

D. 2a ? ? 0.2 ? ? ? ?
a

?1? ?2?

a

7. 函数 f ? x ? ?

cos ?? x ? 的图象大致是 x2

8.在等腰 ?ABC 中, ?BAC ? 90? , AB ? AC ? 2, BC ? 2BD, AC ? 3 AE , 则 AD ? BE 的值为 A. ?

??? ?

??? ? ????

??? ?

???? ??? ?
4 3

B. ?

1 3

C.

1 3

D.

4 3

9.下列说法正确 的是 ..

A.“ p ? q 为真”是“ p ? q 为真”的充分不必要条件 B.若数据 x1 , x2 , x3 ,…, xn 的方差为 1,则 2 x1,2 x2 ,2 x3 , ???,2 xn 的方差为 2 C.命题“存在 x ? R , x ? x ? 2015 ? 0 ”的否定是“任意 x ? R , x ? x ? 2015 ? 0 ”
2 2

1 6 ”发生的概率为 3 2 10. 定义域为 R 的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 2 ? ? 2 f ? x ? ?2 ,当 x ? ?0,2? 时,
D.在区间 [0, ? ] 上随机取一个数 x ,则事件“ sin x ? cos x ?

?x 2 ? x , ? f ( x) ? ? 1 , ? ?x
A. [2,??)

x ? ?0,1? x ? ?1,2?

,若 x ? ?0,4?时, t ?
2

7t ? f ( x) ? 3 ? t 恒成立, 2

则实数 t 的取值范围是 B. (1, )

5 2

C. ( 2, )

5 2

D. [1,2]

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 注意事项: 1.第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题;

2.第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用中性笔答在答题卡指定的位置上. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在横线上. 11.已知圆 C 经过 A(5,1), B(1,3) 两点,圆心在 x 轴上,则圆 C 的方程为_______. 12.若某程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的值是______. 13.正偶数列有一个有趣的现象: ①2+4=6; ②8+10 +12=14+16; ③18+20+22+24=26+28+30,… 按照这样的规律,则 2016 在第 个等式中.

?x ? y ? 2 ? 0 ? 14.设 z ? kx ? y ,其中实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,若 z 的最大值 ?2 x ? y ? 4 ? 0 ? 为 12,则实数 k ? ________. 15. 已知 M 是 x2 ? 8 y 的对称轴与准线的交点,点 N 是其焦点,点 P 在该抛物线上,且满足 取得最大值时,点 P 恰在以 M , N 为焦点的双曲线上,则该双曲线的实轴 PM ? m PN,当 m
长为_______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos x ?
2

1 ,x?R . 2

(Ⅰ) 求函数 f ( x) 的最小值和最小正周期;

、 C 的 对 边 分 别 为 a、 b 、 c , 且 c ? 3, f (C ) ? 0 ( Ⅱ ) 已 知 ?ABC 内 角 A、 B ,若向量 ?? ? m ? (1,sin A) 与 n ? (2,sin B) 共线,求 a、b 的值.
17. (本小题满分 12 分) 某出租车公司响应国家节能减排的号召,已陆续购买了 140 辆纯电动汽车作为运营车辆,目前 我国主流纯电动汽车按续驶里程数 R(单位:公里)分为 3 类,即 A:80≤R<150,B:150≤R<250, C:R≥250.对这 140 辆车的行驶总里程进行统计,结果如下表: 类型 已行驶总里程不超过 5 万公里的车辆数 已行驶总里程超过 5 万公里的车辆数 A 10 20 B 40 20 C 30 20

(Ⅰ)从这 140 辆汽车中任取 1 辆,求该车行驶总里程超过 5 万公里的概率; (Ⅱ)公司为了了解这些车的工作状况,决定抽取 14 辆车进行车况分析,按表中描述的六种 情况进行分层抽样,设从 C 类车中抽取了 n 辆车. (ⅰ)求 n 的值; (ⅱ) 如果从这 n 辆车中随机选取 2 辆车, 求恰有 1 辆车行驶总里程超过 5 万公里的概率. 18. (本小题满分 12 分) C 如图,矩形 ABCD 所在的平面和平面 ABEF 互相垂直,等腰梯形 ABEF 中,

(Ⅰ)求证:平面 ADF ? 平面 CBF ; (Ⅱ)求证: PM ∥平面 AFC .

AB ∥ EF , AB =2, AD ? AF ? 1 , ?BAF ? 60? , O , P 分别为 AB , CB 的中点, M 为底面 ?OBF 的重心.
D O A

P
B M F E

19. (本小题满分 12 分) 已知 {an } 是等差数列, 公差为 d , 首项 a1 ? 3 , 前 n 项和为 S n .令 cn ? (?1)n Sn (n ? N? ) , {cn } 的前 20 项和 T20 ? 330 .数列 {bn } 满足 bn ? 2(a ? 2)d n?2 ? 2n?1 , a ? R . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn?1 ? bn , n ? N ,求 a 的取值范围.
?

20.(本小题满分 13 分)

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点 F1 与抛物线 y 2 ? 4x 的焦点重合,原点到过点 a 2 b2 2 21 . A? a,0? , B ? 0, ?b? 的直线的距离是 7
已知椭圆 C : (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P ,过 F1 作 PF1 的垂线与直线 l 交于 点 Q ,求证:点 Q 在定直线上,并求出定直线的方程.

21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x ?ax(a ? R), g ( x) ? e x ln x ( e 为自然对数的底).

2 ,求 a 的值; 2 (Ⅱ)若对于任意实数 x ? 0, f ( x) ? 0 恒成立,试确定 a 的取值范围; (Ⅲ)当 a ? ? 1 时,函数 M ( x) ? g ( x) ? f ( x) 在 [1, e ] 上是否存在极值?若存在,请求出极值;若不 存在,请说明理由.
(Ⅰ)设曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线 l 与点 (1,0) 距离为

数学(文)参考答案及评分标准 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) ACBBB CAADD 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. ( x ? 2)2 ? y 2 ? 10 12.4 13. 31 三、解答题:16. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) 14. 2 15. 4( 2 ?1)

f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ?

? sin(2 x ? ) ? 1 ……………………………………………………3 分 6 ∴ f ( x ) 的最小值为 ?2 ,最小正周期为 ? . ………………………………5 分
(Ⅱ)∵

?

1 3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 2 2

? ) ?1, 0 即 sin(2C ? ) ? 1 6 6 ? ? ? 11? ? ? ∵ 0 ? C ? ? , ? ? 2C ? ? ,∴ 2C ? ? ,∴ C ? . ……7 分 3 6 6 6 6 2 ?? ? ∵ m与n 共线,∴ sin B ? 2sin A ? 0 . a b ? 由正弦定理 , 得 b ? 2a, ①…………………………………9 分 s i nA s iB n
2 2 ∵ c ? 3 ,由余弦定理,得 9 ? a ? b ? 2ab cos

f ( C )? s i n (C 2 ?

?

?

?

3

, ②……………………10 分

解方程组①②,得 ?

?a ? 3 . ?b ? 2 3

…………………………………………12 分

17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)从这 140 辆汽车中任取 1 辆,则该车行驶总里程超过 5 万公里的概率为

20 ? 20 ? 20 3 ? . 140 7 30 ? 20 ? 14 ? 5 . (Ⅱ) (ⅰ)依题意 n ? 140

………………3 分 ……………6 分

(ⅱ)5 辆车中已行驶总里程不超过 5 万公里的车有 3 辆,记为 A,B,C; 5 辆车中已行驶总里程超过 5 万公里的车有 2 辆,记为 M,N. “从 5 辆车中随机选取 2 辆车”的所有选法共 10 种: AB,AC ,AM,AN,BC,BM,BN,CM,CN,MN. “从 5 辆车中随机选取 2 辆车,恰有一辆车行驶里程超过 5 万公里”的选法共 6 种: AM,AN,BM,BN,CM,CN. 设“选取 2 辆车中恰有一辆车行驶里程超过 5 万公里”为事件 D, 则 P( D) ?

6 3 ? . 10 5
3 .…………12 分 5

答:选取 2 辆车中恰有一辆车行驶里程超过 5 万公里的概率为 18. (本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)? 矩形 ABCD 所在的平面和平面 ABEF 互相垂直,且 CB ? AB , C

P

∴ CB ? 平面 ABEF , 又 AF ? 平面 ABEF ,所以 CB ? AF , -----2 分

? 又 AB ? 2 , AF ? 1 , ?BAF ? 60 ,由余弦定理知 BF ? 3 ,
2 2 2 ∴ AF ? BF ? AB 得 AF ? BF

----------------------4 分

AF ? CB ? B ∴ AF ⊥平面 CFB , -----------------5 分 ------------6 分 ? AF ? 平面 AFC ;∴平面 ADF ? 平面 CBF ; (Ⅱ)连结 OM 延长交 BF 于 H ,则 H 为 BF 的中点,又 P 为 CB 的中点, ∴ PH ∥ CF ,又∵ AF ? 平面 AFC ,∴ PH ∥平面 AFC -------------------8 分 连结 PO ,则 PO ∥ AC , AC ? 平面 AFC , PO ∥平面 AFC -----------------10 分

PO ? PO1 ? P ∴平面 POO1 ∥平面 AFC ,
PM ? 平面 POH , 所以 PM / /平面 AFC .
19. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)设等差数列的公差为 d ,因为 cn ? (?1)n Sn 所以 T20 ? ?S1 ? S2 ? S3 ? S4 ? ? ? S20 ? 330 则 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a20 ? 330 ,………………………………3 分 则 10(3 ? d ) ?

----------------11 分 ------------12 分

解得 d ? 3 , 所以 an ? 3 ? 3(n ?1) ? 3n .

10 ? 9 ? 2d ? 330 , 2
……………………6 分
n?2

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 bn ? 2(a ? 2)3

? 2n?1

bn?1 ? bn ? 2(a ? 2)3n?1 ? 2n ? [2(a ? 2)3n?2 ? 2n?1 ] ? 4(a ? 2)3n?2 ? 2n?1 1 2 ? 4 ? 3n ? 2 [( a ? 2) ? ( ) n ? 2 ] , 2 3 1 2 n?2 1 2 n?2 由 bn?1 ? bn ? (a ? 2) ? ( ) ? 0 ? a ? 2 ? ( ) , ………………10 分 2 3 2 3 5 1 2 n?2 1 2 n?2 因为 2 ? ( ) 随着 n 的增大而增大,所以 n ? 1 时, 2 ? ( ) 最小值为 4 2 3 2 3 5 所以 a ? .………………………………………………………………12 分 4
20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)由于抛物线 y ? 4 x 的焦点坐标为 (1,0) ,所以 c ? 1 ,
2

因此 a 2 ? b2 ? 1,

……………………2 分 ab 2 21 x y ? 因为原点到直线 AB : ? ? 1 的距离为 d ? , 2 2 7 a b a ?b 解得: a2 ? 4, b2 ? 3 ,……………………4 分

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .……………………5 分 4 3

? y ? kx ? m ? (Ⅱ)由 ? x 2 y 2 ,得方程 (4k 2 ? 3) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 12 ? 0 , ( ? )……………6 分 ? ? 1 ? 3 ?4 由直线与椭圆相切得 m ? 0 且 ? ? 64k 2 m 2 ?4(4k 2 ? 3)(4m2 ? 12) ? 0 ,
整理得: 4k 2 ? m2 ? 3 ? 0 ,……………………8 分 将 4k 2 ? 3 ? m2 , m2 ? 3 ? 4k 2 代入( ? )式得
m2 x 2 ? 8kmx ? 16k 2 ? 0 ,即 (mx ? 4k )2 ? 0 ,解得 x ? ?

4k , m

4k 3 , ) ,……………………10 分 m m 3 3 4k ? m m 又 F1 (1,0) ,所以 k PF1 ? ,所以 kF1Q ? , ?? 4k 4 k ? m 3 ? ?1 m 4k ? m 所以直线 F1Q 方程为 y ? ( x ? 1) ,……………………11 分 3 y ? kx ? m ? ? 联立方程组 ? ,得 x ? 4 , 4k ? m y? ( x ? 1) ? 3 ?
所以 P(? 所以点 Q 在定直线 x ? 4 上.……………………13 分 21. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) f ?( x) ? e ? a , f (1) ? e ? a . y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线斜率为 f ?(1) ? e ? a ,
x

………………………1 分

∴切线 l 的方程为 y ? (e ? a) ? (e ? a)( x ? 1) ,即 (e ? a) x ? y ? 0 .…………………3 分

(e ? a) ?1 ? (?1) ? 0 ? 0 2 2 ? ,所以 , 2 2 (e ? a) 2 ? (?1) 2 解之得, a ? ?e ? 1, 或 a ? ?e ? 1. …………………5 分 (Ⅱ)∵对于任意实数 x ? 0, f ( x) ? 0 恒成立, x ∴若 x ? 0 ,则 a 为任意实数时, f ( x) ? e ? 0 恒成立; ……………………6 分
又切线 l 与点 (1, 0) 距离为

ex ,在 x ? 0 上恒成立,…………7 分 x ex xe x ? e x (1 ? x) ? e x ? 设 Q( x) ? ? , 则 Q?( x) ? ? , ……………………8 分 x x2 x2 当 x ? (0,1) 时, Q?( x) ? 0 ,则 Q ( x ) 在 (0,1) 上单调递增; 当 x ? (1, ??) 时, Q?( x) ? 0 ,则 Q ( x ) 在 (1, ??) 上单调递减; 所以当 x ? 1 时, Q ( x ) 取得最大值, Q( x)max ? Q(1) ? ?e , ………………9 分 所以 a 的取值范围为 (?e, ??) . 综上,对于任意实数 x ? 0, f ( x) ? 0 恒成立的实数 a 的取值范围为 (?e, ??) . …10 分
若 x ? 0, f ( x) ? e ? ax ? 0 恒成立,即 a ? ?
x

(Ⅲ)依题意, M ( x) ? e ln x ? e ? x ,
x x

ex 1 ? e x ln x ? e x ? 1 ? ( ? ln x ? 1) ? e x ? 1 , ………………11 分 x x 1 1 1 x ?1 设 h( x ) ? ? ln x ? 1 ,则 h?( x ) ? ? 2 ? ? 2 ,当 x ??1,e? , h?( x) ? 0 , x x x x 故 h( x) 在 ?1,e? 上单调增函数,因此 h( x) 在 ?1,e? 上的最小值为 h(1) ? 0 ,
所以 M ?( x) ? 即 h( x ) ?

1 ? ln x ? 1 ? h(1) ? 0 , x 1 x
x

………………12 分

又 e x ? 0, 所以在 [1, e] 上, M ?( x) ? ( ? ln x ? 1) ? e ? 1 ? 0 , 即 M ( x) ? g ( x) ? f ( x) 在 [1, e] 上不存在极值. ………………14 分



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