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数学竞赛训练题



竞赛训练题

竞赛训练题
一、选择题 1.如果一个直角三角形的两条直角边为 x 和 y,并且 x≤y,z 是斜边,则下面的关系 式中一定成立的是( ) 。 (A)x>2(z-y) (B)x=2(z-y) (C)x<2(z-y) (D)不能确定 2.如图 1 所示为一个长方体砍去两个角后的立体图形,如果照这样砍去长方体的八个 角,则新的立体的棱有( )



(A)24 条 (B)30 条 (C)36 条 (D)42 条 3.用数码 2、4、5、7 可以组成四位数,在每个四位数中,每个数码只出现一次,一共 有 24 个四位数,将这些四位数从小到大排列,则排在第 17 位的四位数是( ) 。 (A)4527 (B)5724 (C)5742 (D)7245

4.在 x ? (A)1189 (B)1517 (C)1657 (D)1749

y ?

2009 的正整数解(x,y)中,x+y 的最大值是( ) 。

5.正整数 n 小于 100,并且满足 [ ] ? [ ] ? [ ] ? n ,其中[x]表示不超过 x 的最大整
2 3 6

n

n

n

数,这样的正整数 n 有( ) 。 (A)2 个 (B)3 个

95

竞赛训练题 (C)12 个 (D)16 个 二、填空题 6.如果*表示一种运算,它是由下面的式子来定义的, a * b ? a ? b ,则(1*2)
b

*3=________。 7.为了给一本书的各页标上页码,排版人员一共打击了 3289 个数码,则这本书的页数 是_________页。 8.y=|x+1|+|x-2|+|x+3|,则 y 的最小值是_________。

9.已知 y ?

11 ? 6 2 ,x 表示 y 的小数部分,则 x ? 2 y 的值为_________。
2

2 2 2 10. x ? y ? a , a ? 1 , S ? 设 且 设
2

1? x

2

?

1? y

2

, S 的最大值是_________。 则

三、解答题 11.求出所有的三位正整数 ABC 使得 2 ? ABC ? 1 BCA 。 12.矩形 ABCD 中,AB=20,BC=10,若在 AC、AB 上各取一点 M、N(如图 2) ,使 BM+MN 的值最小,求这个最小值。

13.如图 3,ABCD 是正方形,点 P 是正方形的中心,以正方形的一边 AD 为斜边,向 外作直角三角形 AED,连结 PE,证明:PE 平分∠DEA。

96

竞赛训练题 参考答案 1.∵x≤y<z, ∴z+y>2x。 又x ? y ? z ,
2 2 2

∴ x ? z ? y ? ( z ? y )( z ? y ) ,
2 2 2

而(z+y) (z-y)>2x(z-y) ∴ x ? 2 x( z ? y) ,
2

∴x>2(z-y) 。 ∴应选 A。 2. 原长方体有 12 条棱, 每砍去一个角增加 3 条棱, 所以新的立体一共有 36 条棱 (12+8 ×3) , 3.从第 1 到第 6 个数,开头的数码是 2,从第 7 到第 12 个数,开头的数码是 4,从第 13 到第 18 个数的开头的数码是 5。 开头的四位数按大小排列应为 5247, 5 5427, 5472, 5724, 5742。故应选 B。

4.∵ 2009 ? 7 41 ,且 x、y 为正整数, ∴ x ? m 41 ,
y ? n 41 ,m、n 为正整数。

则 m 41 ? n 41 ? 7 41 。 ∴m+n=7。 ∴ x ? 当 x ? 当 x ? 当
x ? y ? y ? 41 ? 6 41 ? 2 41 ? 5 41 ? 3 41 ? 4 41 。 41 ? 6 41 ? 41 ? 1476 时,x+y=1517, 1025 时,x+y=1189。 656 时,x+y=1025,

y ? 2 41 ? 5 41 ? y ? 3 41 ? 4 41 ?

164 ? 369 ?

∴x+y 的最大值为 1517。故应选 B。
n 2 99 6 n 3 n n n n n n n ? n , x 不是整数, [ [ 若 则[x]<x, 所以要使 [ ] ? , ] ? , ] ? 6 2 2 3 3 6 6

5. 由于

?

?

都成立,必须有 n 是 2、3、6 的倍数,即 n 是 6 的倍数。这里 1≤n<100,所以 n 可取其中 的[
] ? 16 个数。故应选 D。

6.∵ 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 , 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 30 。
2 3

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竞赛训练题

7.从 1~9 页用了 9 个数码,10~99 页用了 2×90=180 个数码。100~999 用了 2700 个数 码, 而排版人员点击了 3289 个数码, 从而知有 400 个数码用于标四位数的页码。 只能从 1000 标到 1099 页,所以这本书的页码为 1099 页。 8.如图 4,

-1,2,3 在数轴上的对应点分别为 A、B、C 由绝对值的意义知即要在数轴上找一点, 使得这一点与 A、B、C 三点的距离之和最小,显然这一点就是 B 点。当 x=2 时,
y 最小 ? | 2 ? 1 | ? | 2 ? 2 | ? | 2 ? 3 |? 4 。

9. y ?
2

(3 ?

2)

2

?| 3 ?
2

2 |? 3 ?

2 ,则 x ?

2 ?1,

于是 x ? 2 y ? ( 2 ? 1) ? 2 ( 3 ?

2) ? 9 。

10 . 设 1 ? x
x ? y
2 2 2

2

? A ,
2

1? y

2

? B , 则 A+B=S , A ? B
2

2

? 1 ? x ? 1 ? y ,将
2 2

? a 代入上式,得 A ? B
2

2

? 2?a ,
2

∴S
S
2

?

1 2

[( A ? B ) ? ( A ? B ) ] ? 2 ? a ,
2 2 2
2

? 4 ? 2a
2

? ?( A ? B) ? 0 ,
2
2

∴S

? 4 ? 2 a ,易知 S>0,

∴S ?

4 ? 2a

2


2

∴S 的最大值为 4 ? 2 a



11.因为 2 倍的三位数 ABC 大于 1000 而小于 2000,所以 ABC 一定是大于 500 而小 于 1000,因此 A 为 5、6、7、8 或 9,整数 A 又必须是偶数,所以 A 是 6 或 8。如果 A 是 6, 这样我们需要找出 B 和 C 使得 2 ? 6 BC ? 1 BC 6 , 这等价于 1200 ? 2 BC ? 1006 ? 10 BC ,化简后即为 194 ? 8 BC ,而 194 不是 8 的倍 数,所以 A 不能是 6。如果 A=8,我们就有 2 ? 8 BC ? 1 BC 8 ,
98

竞赛训练题

这就等价于 1600 ? 2 BC ? 1008 ? 10 BC ,即 592 ? 8 BC ,因此, BC 等于 74,所以 B=7,C=4,所以所求的三位数是 874。 12.如图 5,作 B 关于 AC 的对称点 B′,连结 AB′,则 N 关于 AC 的对称点 N′在 AB′上,过 B 作 AB′的垂线,垂足为 H′,则 BM+MN=BM+MN′≥BH′,即 BM+MN 的最小值为 BH′。

设 AB′交 CD 于点 P,连结 BP,则△ABP 的面积等于 及由对称性知∠PAC=∠PCA,

1 2

? 20 ? 10 ? 100 ,由 AB∥CD

∴AP=PC,设 AP=PC=x,则 DP=20-x,根据勾股定理,得 x ? ( 20 ? x ) ? 10 ,解得
2 2 2

x=12.5。 又
1 2 AP ? BH ' ? 200 12 . 5 1 2 ? 16 。 ? 10 ? 20 ,

∴ BH ' ?

故 BM+MN 的最小值是 16。 13.如图 6,过 C 作 ED 延长线的垂线,交于 F,过 B 作 EA 延长线的垂线,交于 H。 HB 的延长线和 FC 的延长线交于 G。易证 Rt△CFD≌Rt△DEA≌Rt△AHB≌Rt△BGC, ∴四边形 EHGF 也是正方形,P 也是正方形 EHGF 的中心。 ∴PE 平分∠DEA。

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