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BX2--3.2.1-3.2.2直线的点斜式方程和两点式方程



直线的方程
3.2.1直线的点斜式方程 3.2.2直线的两点式方程
2013-12-11

复习回顾
平行:对于两条不重合的直线l1、l2,其 斜率分别为k1、k2,有 l1∥l2 k1=k2.

条件:不重合、斜率都存在
垂直:如果两条直线l1、l2都有斜率,且 分别为k1、k2,则有 l1⊥l2

k1k2=-1.

条件:斜率都存在
2013-12-11

1、直线的点斜式方程:

y ? y1 ? k ? x ? x1 ? (1)
方程(1)为过点P1(x1,y1), 斜率为k的直 线l的方程, 叫做直线的点斜式方程,简称点斜式。 由直线上一点和直线的斜率确定的直线方程, 叫直线的点斜式方程。

2013-12-11

1、特殊的点斜式方程:
(1)、当直线l的倾斜角是00时, tan00=0,即k=0,这时直线l与 x轴平行或重合 l的方程:y-y1=0 或 y=y1

y y1 O l

x

y

(2)、当直线l的倾斜角是900时, 直线l没有斜率,这时直线l与y 轴平行或重合 l的方程:x-x1=0 或 x=x1
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l

O

x1

x

点斜式方程的应用:
例1:一条直线经过点P1(-2,3),倾斜角 α=450,求这条直线的方程,并画出图形。
解:这条直线经过点P1(-2,3), 斜率是 k=tan450=1 代入点斜式得 y-3 = x + 2
5 P1 °
°

y

° O -5

x

2013-12-11

练习
1、写出下列直线的点斜式方程:

(1)经过A(3,?1), 斜率是 2 (2)经过B(? 2 ,2), 倾斜角是30
0

(3)经过C (0,5), 倾斜角是0

0
0

(4)经过点D(-4, -2),倾斜角是120 。
2、说出下列点斜式方程所对应的直线斜 率和倾斜角: (1)y-2 = x-1 (2) y ? 2 ? 3( x ? 1)

2、直线的斜截式方程:
例:已知直线l的斜率是k,与y轴的交点是 P(0,b),求直线方程。 y

解析:代入点斜式方程,得l的直线 方程:y - b =k( x - 0) 即 y = k x + b (2)

.(0,b)
x

O

直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴 上的截距。 截距可正可负也可以为零。 方程(2)是由直线的斜率k与它在y轴上的截距b 确定,所以方程(2)叫做直线的斜截式方程,简 称斜截式。
2013-12-11

斜截式方程的应用:
斜截式方程:y = k x + b 几何意义:k 是直线的斜率,b是直线 在y轴上的截距 例2:写出斜率是5,在y轴上的截距 是4的直线方程。
解:由已知得k =5, b= 4,代入 斜截式方程 y= 5x + 4
2013-12-11

练习
3、写出下列直线的斜截式方程: 3 (1)斜率是 , 在y轴上的截距是 ? 2 2

(2)斜率是 ? 2, 在y轴上的截距是 4

2013-12-11

练习
4、已知直线l过A(3,-5)和B(-2,5), 求直线l的方程
解:∵直线l过点A(3,-5)和B(-2,5) 5 ? ?? 5? ? kl ? ? ?2 ?2?3 将A(3,-5),k=-2代入点斜式,得 y-(-5) =-2 ( x-3 )

2013-12-11

例题分析:
例3 已知直线l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k 2 x ? b2 试讨论 : (1)l1∥ l 2的条件是什么? (2) l1 ? l 2的条件是什么?

l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2
l1 ∥ l 2 ? k1 ? k 2 , 且b1 ? b2 l1 ? l 2 ? k1 ? k 2 ? ?1
2013-12-11

练习
5 判断下列各直线是否平行或垂直
1 (1) l1 : y ? 2 x ? 3 1 l2 : y ? x ? 2 2 (2) 5 l1 : y ? x 3 3 l2 : y ? ? x 5
2013-12-11

练习
6 求过点(1,2)且与两坐标轴组成一等腰 直角三角形的直线方程。 解:∵直线与坐标轴组成一等腰直角三角形 ∴k=±1 直线过点(1,2)代入点斜式方程得 y- 2 = x - 1 或y-2=-(x-1)

2013-12-11

练习
巩固: ①经过点(- 2 ,2)倾斜角是300的直线的方程是 (A)y+ 2 =
3 ( x-2) 3

C

(B)y+2=

3 (x- 2 )

(C)y-2=

3 (x+ 3

(x+ 2 ) 2 )(D)y-2= 3

②已知直线方程y-3= 3(x-4),则这条直线经过的已知 点,倾斜角分别是 (A)(4,3); 60° (B)(-3,-4); 30° (C)(4,3);30° (D)(-4,-3); 60°

A

③直线方程可表示成点斜式方程的条件是 (A)直线的斜率存在 (B)直线的斜率不存在 (C)直线不过原点 (D)不同于上述答案
2013-12-11

A

y ? y1 x ? x1 ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? y2 ? y1 x2 ? x1 说明:(1)这个方程是由直线上两点确定的;我们把此
方程叫做直线的两点式方程。简称两点式。 记忆特点: 左边全为y,右边全为x 分子,分母中的减数相同 两边的分母

二、直线方程的两点式

全为常数 (2)当直线没斜率或斜率为0时,不能用两点式 来表示;

即 当 x1 ? x2时,直线 P P2 2 ,y 2)中有x1 =x2 , 思考?若点P(x1,y1 ),P(x 平行于y轴,直线方程为 1 1 2 为y ? y1 x ? x1=y ,此时过这两点的直线方程是什么? 或y ;当 y1 ? y2时,直线 P1P2 平行于 x轴,直线方程
1 2

课堂练习:
1.求经过下列两点的直线的两点式方程,再化 斜截式方程. y ?1 x ? 2 ? y ? 2x ? 3 (1)P(2,1),Q(0,-3) ?3 ? 1 0 ? 2

(2)A(0,5),B(5,0) (3)C(-4,-5),D(0,0)

y ?5 x?0 ? 0?5 5?0
y?0 x?0 ? ?5 ? 0 ?4 ? 0

y ? ?x ? 5
5 y ? x 4

三、直线的截距式方程 例2:已知直线 l 与x轴的交点为A(a,0), 与y轴的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求 直线l 的方程. 解:将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入 y x y 两点式,得: ? 0 x ? a ? ,即 ? ? 1. b?0 0?a a b

x y 所以直线l 的方程为: ? ? 1. a b
此方程是由直线在两个坐标轴上的截距a 与b确 定,所以叫做直线的截距式方程

截距式直线方程:

x y ? ? 1. a b

直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直 线在x轴上的截距
直线与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直 线在y轴上的截距 截距可是正数,负数和零

注 意:

是不是任意一条直线都有其截距式方程呢?

不能表示过原点或与坐标轴平行 或重合的直线

练习
1. 下列四个命题中的真命题是( B) A.经过定点P(x0, 0 )的直线都可以用 y 0 方程y ? y0 ? k(x ? x0 )表示; B.经过任意两个不同P(x1, 1), 2 2, 2 )的点的直线 y P(x y 1 x y C.不经过原点的直线都可以用方程 ? ? 1表示; a b D.经过定点的直线都可以用y ? kx ? b表示.

都可以用方程(y ? y1)(x2 ? x1)?(x ? x1)(y2 ? y1)表示;

2.根据下列条件求直线的方程
(1)在x轴上的截距为2,在y轴上的截距是3;

x y 由截距式得: ? ? 1 2 3 x y 由截距式得: ? ? 1 ?5 6

3x 整理得: ? 2 y ? 6 ? 0

(2)在x轴上的截距为-5,在y轴上的截距是6;

6x 整理得: ? 5 y ? 30 ? 0

3.根据下列条件求直线的方程

(1)过点(0,5),且在两坐标轴上的截距之和为2; (2)过点(5,0),且在两坐标轴上的截距之差为2; 5x-3y+15=0 3x+5y-15=0或7x+5y-35=0

例 3:

⑴ 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截 距相等的直线有几条?
解: ⑴ 两条
x y 设 直线的方程为: a ? a ? 1 1 2 把(1,2)代入得: ? ? 1 a a

a=3

所以直线方程为:x+y-3=0 那还有一条呢? y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)

练习:求过点P(2,3)并且在两个坐标轴上的 截距相等的直线方程 x+y-5=0或3x-2y=0

⑵ 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的 绝对值相等的直线有几条?
解:三条 设

? ? ?

x y ? ?1 a b a?b

解得:a=b=3或a=-b=-1

直线方程为:y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x

四:直线方程的应用 例4:已知角形的三个顶点是A(-5,0), B(3,-3),C(0,2),求BC边所在的直线方程, 以及该边上中线所在的直线方程。
y?2 x?0 ? ?3 ? 2 3 ? 0 整理得:5x+3y-6=0

解:过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为:

这就是BC边所在直线的方程。

中点坐标公式:
若P1 ,P2坐标分别为( x1 ,y1 ), (x2 ,y2)且中点M的坐标为(x,y).


? ? ?

x1 ? x2 x? 2 y1 ? y2 y? 2
∴M

∵B(3,-3),C(0,2)

? 3 ? 0 ?3 ? 2 ? , ? ? 2 2 ? ?

BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连 线段,由中点坐标公式可得点M的坐标为:
? 3 ? 0 ?3 ? 2 ? , ? ? 2 2 ? ?


1? ?3 ? ,? ? 2? ?2

?3 1? ? 过A(-5,0), M 2 , ? 2 ? ? ?

整理得:x+13y+5=0 这就是BC边上中线所在的直线的方程。

y?0 x?5 ? 3 的直线方程? 1 ? 0 ?5 2 2

已知直线L2x+y+3=0,求关于点A(1,2)对 称的直线L1的方程。 y
A(1,2) o l 2x+y+3=0 x

解:当x=0时,y=-3. (0,-3)在直线L上,关于(1,2)的对称点 为(2,7).

当x=-2时,y=1. (-2,1)在直线l上,关于(1,2)的对称点为(4,3).

那么,点 (2,7) ,(4,3)在l 1上 y?7 x?2 因此,直线l 1的方程为: ? 3?7 4? 2

化简得: 2x + y -11=0

还有其它的方法吗?
另: ∵ l ∥l
1,所以l

与l 1的斜率相同,

∴ k1=-2 (-2,1)在直线l上,关于(1,2) 的对称点为(4,3). 所以直线的点斜式方程为: y-3=-2(x-4) 化简得: 2x + y -11=0

探究活动:
(如图)X轴表示一条河,骆驼队从A地出 发前往河中取水,然后运到B处。你知道在 何处取水,行程最短吗? y
B(-3,5)
?
4

A(6,4)
?

-4

-2

0

2

4

6

x

-4

?

A1(6,-4)

小结1
1、直线的点斜式方程 y ? y1 ? k ? x ? x1 ? 2、直线的斜截式方程 y = k x + b
适用于斜率存在时的直线方程

2013-12-11

小结2:
1)直线的两点式方程:y ? y1 ? x ? x1 ?x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ?
y 2 ? y1 x 2 ? x1

注:当直线没有斜率(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时, 不能用两点式求出它的方程.
x y 2)直线的截距式方程为: a ? b ? 1?a ? 0, b ? 0?

注:当直线过原点或与坐标轴平行时, 不能用截距式求出它的方程。

? 3)中点坐标公式: ? ?

x1 ? x2 x? 2 y1 ? y2 y? 2



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