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安徽省淮北市第一中学2015-2016学年高二暑假返校提能数学试题



淮北一中 2015 新高二暑假返校提能检测

数学试题
时间:120 分钟,满分 150 分 2015.8.8
说明:1.本次考试属检测性诊断,对暑假后期学习有提示意义; 2.本试卷选择题共 14 道,大题 4 道,另有一道附加题,计入总分。

一、选择题(每小题 5 分,共 70 分)

? 6 1

. 若集合 A ? {x | x2 ? 7 x ? 0, x ? N *} , 则 B ? ? y ? N ? , y ? A ? 中元素的个数为 ( ) y ?
A.3 个 B.4 个 C.1 个 ) C. D.2 个

2. 三个数 20.3 ,0.32 ,log0.3 2 的大小顺序是(
A.

0.32 ? log0.3 2 ? 20.3

B.

0.32 ? 20.3 ? log0.3 2

log0.3 2 ? 20.3 ? 0.32

D.

log0.3 2 ? 0.32 ? 20.3
3. 从一批产品中取出三件,设 A=“三件产品全不是次品”,B=“三件产品全是次品”,C=“三
件 产品不全是次品”,则下列结论正确的是( A.A 与 C 互斥 B.B 与 C 互斥 不互斥 ) C.任两个均互斥 )

D.任两个均

4. 某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 (
A.12+4 2 B.18+8 2 C.28 D.20+8 2

5. 已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能 是 ( ...

)

6. 某产品的广告费用错误!未找到引用源。与 销售额错误!未找到引用源。的统计数据如下

表: 广告费用错误!未找到
引用源。 (万元)

4

2

3

5

销售额错误!未找到引
用源。 (万元)

49

26

39

54

根据上表可得回归方程错误!未找到引用源。中的错误!未找到引用源。为错误!未找到引
用 源 。 , 据 此 模 型 预 报 广 告 费 用 为

6

万 元 时 销 售 额 为

(

) B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元

A.63.6 万元

? ? ? ? ? 7. 设 a ? (1, 2), b ? (1,1), 且a与a ? ?b 的夹角为锐角,则实数 ? 的取值范围是( ) 5 5 5 A. (? , 0) ? (0, ??) B. (? , ??) C. [ ? , 0) ? (0, ??) 3 3 3 5 D. (? , 0) 3 8. 当点 P 在圆 x2+y2=1 上变动时,它与定点 Q(3,0)的连结线段 PQ 的中点的轨迹方程是
( A.(x+3)2+y2=4 +4y2=1 B.(x-3)2+y2=1 C.(2x-3)2+4y2=1 ) D.(2x+3)2

1 9. 下列各式中,值为 的是 ( 2
sin15? cos 15? A、


2

cos B、

?
12

? sin 2

?
12

C、

tan 22.5? 1 ? tan 2 22.5?

D、

1 ? cos 30? 2

10. 设 O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三点,动点 P 满足
OP ? OA ? ? (
( ) B. 内心 C. 重心 D. 垂心.

AB AB ? cos B

?

AC AC ? cosC

) , ? ? ?0,??? ,则点 P 的轨迹经过△ABC.的

A. 外心

11. 已知函数 f ( x)=sin? x+cos? x(?>0) ,如果存在实数 x1,使得对任意的实数 x,都
有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x1 ? 2015) 成立,则 ω 的最小值为( A.
2? 2015

) D.
? 4030

B.

? 2015

C.

1 2015

12. 将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里, 这个正四面体的高的
最小值为 ( )

A.

3?2 6 3

B.2+

2 6 3

C.4+

2 6 3

D.

4 3?2 6 3

13. 过点 (3,1) 作圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 的两条切线,切点分别为 A, B ,则直线 AB 的方程
为( )
B. 2 x ? y ? 3 ? 0 C .

A. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 4 x ? y ? 3 ? 0

4x ? y ? 3 ? 0

14. 设函数 f ( x) ? 3 sin πx ,若存在实数 x0 ,使函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? x0 对称且
m
不等式

x02 ? [ f ( x0 )]2 ? m2 成立,则 m 的取值范围是(
A. ( ?1,1) B. (??, ?1) U (1, ??)

) D. (??, ?2) U (2, ??)

C. (?2, 2)

二、填空题(每小题 6 分,共 30 分) 15. 若 a , b 满足 a ? 2b ? 1 ,则直线 ax ? 3 y ? b ? 0 必过定点的坐标是


16. 执行如右下图所示的程序框图,若输入 k 的值为 2,则输出的 i 值为 ??? ? ??? ? ??? ? 17. 已知 O 为 ?ABC 的外心, AB ? 2 , AC ? 3 ,如果 AO ? xAB ? yAC ,其中 x 、 y 满
足 x ? 2 y ? 1 ,则 cos ?BAC ? .

18. 设函数 f ? x ? ? x x ? bx ? c ,给出下列 4 个命题: ① c ? 0 时, y ? f ? x ? 是奇函数; ② b ? 0,c ? 0 时,方程 f ? x ? ? 0 只有一个实根; ③ y ? f ? x ? 的图像关于点 ? 0,c ? 对称; ④方程 f ? x ? ? 0 至多有两个实根. 上述命题中正确的序号为_______________ 19. 设函数 f ( x) 定义在 R 上,同时满足:
(1)对任意 x ? R, f ( x) ? f (? x) ? ?3 f ( x) f (? x)[ f ( x) ? f (? x)]都成立;
3 3

(2)对任意 x ? y ,有 xf ( x) ? yf ( y) ? xf ( y) ? yf ( x) 成立;
2 现若有 f (m ? 6m ? 21 ) ? f (n2 ? 8n) ? 0 ,则 m ? n 的取值范围是
2 2

三、解答题(共 50 分)

2 2 20. (本小题 12 分) 已知定圆 C : x ? ( y ? 3) ? 4 ,定直线 m : x ? 3 y ? 6 ? 0 ,过 A(?1,0)

的一条动直线 l 与直线相交于 N ,与圆 C 相交于 P, Q 两点, (1)当 l 与 m 垂直时,求出 N 点的坐标,并 证明: l 过圆心 C ; (2)当 PQ ? 2 3 时,求直线 l 的方程.

21.








2 ?x ? ?

12













f ( x) ? 3 s
的距离为

?x i ? ?) n? 2 s (

i

? . 2

2

n ? 1 (? ? 0,0 ? ? ? ? ) 为奇函数, 且相邻两对称轴间

(1)当 x ? (?

? ?

, ) 时,求 f ( x) 的单调递减区间; 2 4

(2) 将函数 y ? f ( x) 的图象沿 x 轴方向向右平移

? 个单位长度, 再把横坐标缩短到原来的 6

1 ? ? ?? (纵坐标不变) ,得到函数 y ? g ( x) 的图象.当 x ? ?? , ? 时,求函数 g ( x) 的值域. 2 ? 12 6 ?

22. (本小题12分)已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, CC1 ? 底面 ABC , AB=AC =AA1 ? 2 ,

?BAC ? 900 , D, E, F 分别为 B1 A, C1C, BC 的中点.
(1)求证: DE //平面 ABC ; (2)求证: 平面AEF ? 平面BCC1B1 ; (3) 求三棱锥 A-BCB1 的体积.

A1 B1

C1

E D

A F B

C

23.(本小题 14 分) 已知 a ? 0 且 a ? 1 ,函数 f ( x) ? log a
(1)求 f ( x) 的定义域 D 及其零点;

2 . 1? x

(2)讨论并用函数单调性定义证明函数 f ( x) 在定义域 D 上的单调性;
2 (3)设 g ( x) ? mx ? 2mx ? 3 ,当 a ? 1 时,若对任意 x1 ? (??,?1] ,存在 x2 ?[3,4] ,

使得 f ( x1 ) ≤ g ( x2 ) ,求实数 m 的取值范围.

附加题: (本题 10 分)
在平面直角坐标系 xoy 中,已知直线 l : 8x ? 6 y ? 1 ? 0 , 圆 C1 : x2 ? y2 ? 8x ? 2 y ? 13 ? 0 , 圆 C2 : x2 ? y 2 ? 8tx ? 8 y ? 16t ? 12 ? 0 . (1)当 t ? ?1 时,试判断圆 C1 与圆 C2 的位置关系,并说明理由; (2)若圆 C1 与圆 C2 关于直线 l 对称,求 t 的值; (3)在(2)的条件下,若 P (a, b) 为平面上的点,是否存在过点 P 的无穷多对互相垂 直的直线 l1 和 l2 ,它们分别与圆 C1 和 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被 圆 C2 截得的弦长相等,若存在,求点 P 的坐标,若不存在,请说明理由.

淮北一中 2015 新高二暑假返校提能检测 数学参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 70 分) 1. B 2. D 3. B 4. D 5. D 6. B 7. A 8. C 9. C 10. D 13. A 14. D. 由 11. B 12. C

1 2 πx0 π m 2 2 ? kπ ? , k ? Z 得 x0 ? mk ? , k ? Z , 由 m (k ? ) ? 3 ? m 得 2 m 2 2 3 3 3 3 3 3 k 2 ? k ? ? ? 2 ,k ? Z , 所以 ? ? ? 2 k 2 ? k ? (k ? Z ) 的最小值为 ? (k ? 0或 ? 1) , 4 4 4 4 m m 2 即m ?4.

二、填空题(每小题 6 分,共 30 分) 3 1 1 15. ( ,? ) 16. 4 17. 18. ①②③ 2 6 4 三、解答题(共 50 分) 20.(本小题 12 分)

19. [9,49]

解:(Ⅰ)直线 l 的方程为 y ? 3( x ? 1) . 将圆心 C (0,3) 代入方程易知 l 过圆心 C

(Ⅱ) 当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x ? ?1 符合题意;

当直线与 x 轴不垂直时,设直线 l 的

PQ ? 2 3 方程为 y ? k ( x ? 1) ,由于 , 由

CM ?

?k ?3 k ?1
2

?1
,解得

k?

4 3.

故直线 l 的方程为 x ? ?1 或 4 x ? 3 y ? 4 ? 0

21. (本小题 12 分)
(1) ;(2)

22. (本小题 12 分)
解: (I)取 AB 中点 G,连 DG,CG,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,

CC1 ? 底面 ABC ,? BCC1B1 是矩形.
∵D,E 分别为 AB1,CC1 的中点, ∴ DG //

1 1 BB1 , CE // BB1 , 2 2
A1 B1 E D C1

? DG//CE, DGCE 是平行四边形,? DE ∥ GC
∵GC ? 平面 ABC, DE ? 平面 ABC, ∴DE//平面 ABC . (II)三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, CC1 ? 底面 ABC, ∴ AF⊥CC1

? AB=AC, F为BC 中点,? AF ? BC
又 BC ? CC1 ? C ,? AF ? 平面BCC1B1 ,

A G B F

C

又AF ? 平面AEF ,

∴ 平面AEF ? 平面BCC1B1

(III)由(II)得, AF ? 平面BCC1B1 , 在由已知,RT? ABC中,AB ? AC ? 2,? BC ? 2 2, AF ?

1 BC ? 2 , 2

S? BCB1 ?

1 BC ?BB1 ? 2 2 2

, ?VA? BCB1 ?

1 4 S? BCB1 ?AF ? 3 3

23. (本小题 14 分)
解: (1)由题意知,

2 ? 0,1 ? x ? 0 ,解得 x ? 1 , 1? x
………………………………1 分

所以函数 f ( x ) 的定义域 D 为 (??,1) . 令 f ( x) ? 0 ,得

1 ? 1 ,解得 x ? ?1 , 1? x

故函数 f ( x ) 的零点为 ? 1 ;

………………………………3 分

(2)设 x1 , x 2 是 (??,1) 内的任意两个不相等的实数,且 x1 ? x2 ,则 ?x ? x2 ? x1 ? 0 ,

?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? log a

1 ? x1 1 ? x2

……………………………4 分

? x1 ? x2 ? 1,?? x1 ? ? x2 ? ?1,即

1 ? x1 ?1 1 ? x2

……………………………6 分

所以当 0 ? a ? 1 时, ?y ? 0 ,故 f ( x ) 在 D 上单调递减,当 a ? 1 时, ?y ? 0 ,故 f ( x ) 在 D 上单调递增
……………………………8 分

(3)若对于任意 x1 ? (??,?1] ,存在 x2 ?[3,4] ,使得 f ( x1 ) ≤ g ( x2 ) 成立, 只需 f ( x)max ≤ g ( x)max
……………………………9 分

由(Ⅱ)知当 a ? 1 时, f ( x ) 在 (??,?1] 上单调递增,则 f ( x) max ? f (?1) ? 0 …10 分 当 m ? 0 时, g ( x) ? 3 , f ( x1 ) ≤ g ( x2 ) 成立
…………………………11 分

当 m ? 0 时, g ( x) 在 [3,4] 上单调递增, g ( x) max ? g (4) ? 8m ? 3 由 8m ? 3 ≥ 0 ,解得 m ≥ ? ,? m ? 0

3 8

…………………………12 分

当 m ? 0 时, g ( x) 在 [3,4] 上单调递减, g ( x) max ? g (3) ? 3m ? 3 由 3m ? 3 ≥ 0 ,解得 m ≥ ?1 ,??1 ≤ m ? 0 综上,满足条件的 m 的范围是 m ≥ ?1 .
…………………………13 分 …………………………14 分

附加题: (本题 10 分) 【答案】 (1) t ? ?1 时
圆 C1 的圆心 C1 (?4,1) 圆 C2 的圆心 C2 (4, 4) 半径 r1 ? 2 半径 r2 ? 6

圆心距 | C1C2 |? (4 ? 1) 2 ? (4 ? 4) 2 ? 73 ? r1 ? r2 ? 8

? 两圆相离
(2)圆 C2 圆心 C2 (?4t , 4) 半径 r2 ? 16t 2 ? 16t ? 4

?? C1 与 ? C2 关于直线 l 对称,又直线 l 的斜率 kl ? ?
3 ? 4 ?1 ? ?4t ? 4 ? 4 ? 4 ?1 ? ?4t ? 4 ? 6? ?1 ? 0 由 ?8 ? 2 2 ? ?16t 2 ? 16t ? 4 ? 4 ? ?

4 3

得 t ? 0 , 即 t 的值为 0

(3)假设存在 P (a, b) 满足条件: 不妨设 l1 的方程为 y ? b ? k ( x ? a)(k ? 0) 则 l2 的方程为 y ? b ? ?

1 ( x ? a) k

因为圆 C1 : ( x ? 4)2 ? ( y ?1)2 ? 4 和圆 C2 : x2 ? ( y ? 4)2 ? 4 的半径相等, 又直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等, 所以圆 C1 的圆心到直线 l1 距离, 和圆 C2 的

圆心到直线 l2 的距离相等:即

| ?4k ? 1 ? b ? ka | k 2 ?1

a | 4?b? | k ? 1 1? 2 k

整理得 | (a ? 4)k ? b ? 1|?| (b ? 4)k ? a | 即 (a ? 4)k ? b ? 1 ? (b ? 4)k ? a 或 (a ? 4)k ? b ? 1 ? (4 ? b)k ? a 即 (a ? b ? 8)k ? a ? b ? 1 ? 0 或 (a ? b)k ? a ? b ? 1 ? 0 因为 k 取值无穷多个

7 ? 1 ? a?? a?? ? ? ?a ? b ? 8 ? 0 ?a ? b ? 0 ? 2 ? 2 所以 ? 或? 解得 ? 或? ? ? a ? b ? 1 ? 0 ?a ? b ? 1 ? 0 ?b ? 9 ?b ? 1 ? ? ? 2 ? 2
7 9 1 1 , ) , P2 ( ? , ) ? 这样的点 P 可能是 P 1 (? 2 2 2 2
经检验 P 1, P 2 符合题意

7 9 1 1 ? 所求点 P 的坐标为 (? , ) 和 (? , ) 2 2 2 2



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