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北京市海淀区2015届高三上学期期末练习数学(文)试题 Word版含答案[高考]



海淀区高三年级第一学期期末练习



学(文科)

2015.1

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题

目要 求的一项。 (1)已知全集 U ? {x ? R | x ? 0} ,集合 A ? {x ? R | x ? 2} ,则 CU A ? ( (A) {x ? R | x ? 2} (C) {x ? R | x ? 2} (2)如图所示,在复平面内,点 A 对应的复数为 z , 则 z ?(
A



(B) {x ? R | 0 ? x ? 2} (D) {x ? R | 0 ? x ? 2}

y 1 O x


-2

(A) 1 ? 2i

(B) 1 ? 2i

(C) ?2 ? i

(D) ?2 ? i )

(3)已知直线 l1 : ax ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 , l2 : ax ? y ? 2 ? 0 . 若 l1 ∥ l2 ,则实数 a 的值是( (A) 0 或 ?3 (B) 2 或 ?1 (C ) 0 (D) ?3

(4)当向量 a ? c ? (?1,1) ,b ? (1, 0) 时,执行如图 所示的程序框图,输出的 i 值为( )

(A) 5

(B) 4

(C) 3

(D) 2

(5)为了解某年级女生五十米短跑情况,从该年级 中随机抽取 8 名女生进行五十跑测试,她们的测 试成绩(单位:秒)的茎叶图(以整数部分为茎,

7 8 9

8 6 1

1 5

8 7

8

-1-

小数部分为叶)如图所示.由此可估计该年级女生 五十米跑成绩及格 (及格成绩为 9.4 秒) 的概率为 ( ) (B) 0.625 (C) 0.5 (D) 0.125

(A) 0.375

(6)已知函数 f ( x) ? log2 ( x ? a) ? log2 ( x ? a)(a ? R) . 命题 p : ?a ? R ,函数 f ( x ) 是

偶函数;命题 q : ?a ? R ,函数 f ( x) 在定义域内是增函数. 那么下列命题为真命题的 是( )
(B) p ? q
3

(A) ? q

(C) (?p) ? q
V

(D) p ? (?q)

(7)某堆雪在融化过程中,其体积 V (单位: m ) 与 融化 时间 t ( 单位 : h )近 似满 足函 数关系 :

V (t ) ? H (10 ?

1 3 t ) ( H 为常数) ,其图象如图所 10

示 . 记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为

v(m3 / h) . 那么瞬时融化速度等于 v(m3 / h) 的时刻
是图中的( )
O t1 t2 t3 t4 100 t

(A) t1

(B) t 2

(C ) t 3

(D) t 4

E 为底面 ABCD 上的动点. 若三棱锥 B ? D1EC 的表 (8)在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,点
面积最大,则 E 点位于( )

(A)点 A 处 (C)线段 AB 的中点处

(B)线段 AD 的中点处 (D)点 D 处

-2-

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)抛物线 y ? ?2 x 的焦点坐标是______.
2

(10) 若双曲线 x ?
2

y2 ? 1的一条渐近线的倾斜角为 60 ? , m
.
正(主)视图

4

则m?

( 11 )某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积为 ________.

侧(左)视图

3

?2 x ? y ? 2≤0, ? ( 12 )设不等式组 ? x ? y ? 1 ≥ 0, 表示的平面区域为 D . ? x ? y ? 1≥ 0 ?
则区域 D 上的点到坐标原点的距离的最小值是__ _ __.

4 俯视图

(13)在等比数列 {an } 中,若 a1 ? ?24 , a4 ? ? 时, {an } 的前 n 项积 最大. .

8 ,则公比 q ? ________;当 n ? ________ 9

(14)已知 ? O : x ? y ? 1. 若直线 y ? kx ? 2 上总存在点 P ,使得过点 P 的 ? O 的两条切
2 2

线互相垂直,则实数 k 的取值范围是_________.

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 (15) (本小题满分 13 分)

-3-

( x? ? )( 0? ? ? 函 数 f ( x) ? co sπ
示. (Ⅰ)写出 ? 及图中 x0 的值;

π )的 部 分 图 象 如 图 所 2
y

1 2 O x0 x

(Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [? , ] 上的最大值和最小值.

1 1 2 3

(16) (本小题满分 13 分) 某中学在高二年级开设大学先修课程《线性代数》 ,共有 50 名同学选修,其中男同学 30 名,女同学 20 名. 为了对这门课程的教学效果进行评估,学校按性别采用分层抽样的方法抽 取 5 人进行考核. (Ⅰ)求抽取的 5 人中男、女同学的人数; C C1 (Ⅱ)考核前,评估小组打算从选出的 5 人中随机 选出 2 名同学进行访谈, 求选出的两名同学 中恰有一名女同学的概率; (Ⅲ) 考核分答辩和笔试两项. 5 位同学的笔试成绩 分别为 115,122,105, 111,109;结合答辩情 况,他们的考核成绩分别为 125,132,115, 121, 119.这 5 位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记
2 2 2 2 为 s1 , s2 ,试比较 s1 与 s2 的大小. (只需写出结

B A A1

B1

论)

(17) (本小题满分 14 分) 如图所示,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA 1C1C 是菱形,平面 1B 1B 为正方形, BB

AA1B1B ? 平面 BB1C1C .
(Ⅰ)求证: BC // 平面 AB1C1 ; (Ⅱ)求证: B1C ? AC1 ;

C

C1

B

B1 A1

(Ⅲ)设点 E , F , H , G 分别是 B1C, AA 1, A 1B 1, B 1C1 的中 点,试判断 E , F , H , G 四点是否共面,并说明理由.

A

-4-

(18) (本小题满分 13 分) 已知椭圆 M : x2 ? 2 y 2 ? 2 . (Ⅰ)求 M 的离心率及长轴长; (Ⅱ)设过椭圆 M 的上顶点 A 的直线 l 与椭圆 M 的另一个交点为 B ,线段 AB 的垂直平分线 交椭圆 M 于 C , D 两点. 问:是否存在直线 l 使得 C, O, D 三点共线( O 为坐标原点)?若存 在,求出所有满足条件的直线 l 的方程;若不存在,说明理由. (19) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

ex . x

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为 ax ? y ? 0 ,求 x0 的值; (Ⅱ)当 x ? 0 时,求证: f ( x) ? x ; (Ⅲ)问集合 {x ? R f ( x) ? bx ? 0}( b ? R 且为常数)的元素有多少个?(只需写出结论)

(20) (本小题满分 14 分)

2an?1 ? 2an ? p 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 且满足 a1 ? 1 , ( p 为常数, . n ? 1, 2,3,? )
(Ⅰ)若 S3 ? 12 ,求 Sn ; (Ⅱ)若数列 {an } 是等比数列,求实数 p 的值. (Ⅲ)是否存在实数 p ,使得数列 {

1 } 满足:可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排 an

成一个等差数列?若存在,求出所有满足条件的 p 的值;若不存在,说明理由.

-5-

海淀区高三年级第一学期期末练习

数学(文)答案及评分参考
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (5)B (2)D (6)C (3)A (7)C

2015.1

(4)D (8)A

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。有两空的小题,第一空 2 分,第二空 3 分) (9) (? , 0)

1 2

(10)3

(11) 8 (14) (??, ?1] ? [1, ??)

(12)

2 2

(13)

1 ;4 3

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ) ? 的值是

π . 3

??????2 分 ??????5 分

4 x0 的值是 . 3
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知: f ( x) ? cos( πx ? 因为 x ? [?

π ). 3

1 1 , ], 2 3 π π 2π 所以 ? ? πx ? ? . 6 3 3 π 1 所以 当 πx ? ? 0 ,即 x ? ? 时, f ( x ) 取得最大值 1 ; 3 3 π 2π 1 1 当 πx ? ? ,即 x ? 时, f ( x ) 取得最小值 ? . 3 3 3 2

??????7 分 ??????10 分 ??????13 分

(16) (共 13 分) 解:(Ⅰ)抽取的 5 人中男同学的人数为

5 5 ? 30 ? 3 ,女同学的人数为 ? 20 ? 2 . 50 50
??????4 分

(Ⅱ)记 3 名男同学为 A1 , A2 , A3 ,2 名女同学为 B1 , B2 . 从 5 人中随机选出 2 名同学,所有可

-6-

能的结果有 A 1A 2, A 1A 3, A 1B 1, A 1B2 , A2 A 3 , A2 B 1 , A2 B2 , A 3B 1, A 3 B2 , B 1B2 ,共 10 个. ??????6 分 用 C 表示: “选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件,则 C 中的结果有 6 个,它们是:

A1B1, A1B2 , A2 B1 , A2 B2 , A3 B1 , A3 B2 .
所以 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率 P(C ) ?
2 2 (Ⅲ) s1 . ? s2

??????8 分

6 3 ? . 10 5

??????10 分 ??????13 分

(17) (共 14 分) 证明: (Ⅰ)在菱形 BB1C1C 中, BC ∥ B1C1 . 因为 BC ? 平面 AB1C1 , B1C1 ? 平面 AB1C1 , 所以 BC // 平面 AB1C1 . (Ⅱ)连接 BC1 . 在正方形 ABB1 A 1. 1 中, AB ^ BB 因为 平面 AA 1B 1B ? 平面 BB 1C1C ,平面 AA 1B 1B ? 平面 ??????3 分

C

C1

AB ? 平面 ABB1 A1 , BB1 C1 C ? BB 1,
所以 AB ^ 平面 BB1C1C . 因为 B1C ? 平面 BB1C1C , 所以 AB ^ B1C .
A

??????5 分
B A1 B1

??????6 分

在菱形 BB1C1C 中, BC1 ^ B1C . 因为 BC1 ? 平面 ABC1 , AB ? 平面 ABC1 , BC1 ? AB = B , 所以 B1C ^ 平面 ABC1 . 因为 AC1 ? 平面 ABC1 , 所以 B1C ? AC1 . (Ⅲ) E , F , H , G 四点不共面. 理由如下: ??????10 分 ??????11 分 ??????8 分

-7-

因为 E , G 分别是 B1C, B1C1 的中点, 所以 GE ∥ CC1 . 同理可证: GH ∥ C1 A1 . 因为

C

C1 E

G

GE ? 平 面 E H G, GH ? 平 面 E H G,
A

B H F A1

B1

GE ? GH = G , CC1 ? 平 面 AAC 1 1C , A 1C1 ? 平 面

AAC 1 1C ,
所以 平面 EHG ∥平面 AAC 1 1C . 因为 F ? 平面 AAC 1 1C , 所以 F ? 平面 EHG ,即 E , F , H , G 四点不共面. ??????14 分

(18) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由题意可知椭圆 M 的标准方程为:

x2 ? y 2 ? 1,则 a ? 2, b ? 1. 2
??????2 分

所以 椭圆 M 的长轴长为 2 2 . 因为 c ? a ? b ? 1,
2 2

所以 e ?

c 2 2 ,即 M 的离心率为 . ? a 2 2

??????4 分

(Ⅱ)若 C, O, D 三点共线,由 CD 是线段 AB 的垂直平分线可得:

OA ? OB .
由(Ⅰ)可得 A(0,1) ,设 B( x0 , y0 ) .
2 2 所以 x0 ? y0 ? 1. 2 2 又因为 x0 ? 2 y0 ? 2,

??????6 分 ??????7 分

① ② ??????10 分

由①②可得: ?

? x0 ? 0, ? x0 ? 0, (舍) ,或 ? ? y0 ? 1 ? y0 ? ?1.

??????11 分

-8-

当?

? x0 ? 0, 时,直线 l 的方程为 x ? 0 ,显然满足题意. ? y0 ? ?1
??????13 分

所以 存在直线 l 使得 C, O, D 三点共线,直线 l 的方程为 x ? 0 .

(19) (共 13 分)

ex x ? ex (Ⅰ)解: f '( x) ? . x2
因为 切线 ax ? y ? 0 过原点 (0, 0) ,

??????1 分

e x0 e x0 x0 ? e x0 x 所以 ? 0 . 2 x0 x0
解得: x0 ? 2 .

??????3 分

??????4 分

f ( x) e x e x ( x 2 ? 2 x) ? 2 ( x ? 0) ,则 g '( x) ? (Ⅱ)证明:设 g ( x) ? . x x x4
令 g '( x) ?

e x ( x 2 ? 2 x) ? 0 ,解得 x ? 2 . x4

??????6 分

x 在 (0, ??) 上变化时, g '( x), g ( x) 的变化情况如下表
x
g '( x )

(0, 2)


2

(2, + ? )
+ ↗

0

g ( x)

e2 4

e2 所以 当 x ? 2 时, g ( x) 取得最小值 . 4
所以 当 x ? 0 时, g ( x) ?

??????8 分

e2 4

1 ,即 f ( x) ? x .

??????9 分

(Ⅲ)解:当 b ? 0 时,集合 {x ? R f ( x) ? bx ? 0}的元素个数为 0; 当0 ? b ?

e2 时,集合 {x ? R f ( x) ? bx ? 0}的元素个数为 1; 4
-9-

当b ?

e2 时,集合 {x ? R f ( x) ? bx ? 0}的元素个数为 2; 4 e2 时,集合 {x ? R f ( x) ? bx ? 0}的元素个数为 3. 4
??????13 分

当b ?

(20) (共 14 分) 解: (Ⅰ)因为 a1 ? 1 , 2an?1 ? 2an ? p , 所以 2a2 ? 2a1 ? p ? 2 ? p , 2a3 ? 2a2 ? p ? 2 ? 2 p . 因为 S3 ? 12 , 所以 2 ? 2 ? p ? 2 ? 2 p ? 6 ? 3 p ? 24 ,即 p ? 6 . 所以 an?1 ? an ? 3(n ? 1, 2,3,?) . 所以 数列 {an } 是以 1 为首项,3 为公差的等差数列. 所以 Sn ? 1? n ? ?????? 2 分

n(n ? 1) 3n 2 ? n ?3 ? . 2 2

?????? 4 分

2 (Ⅱ)若数列 {an } 是等比数列,则 a2 ? a1a3 .

由(Ⅰ)可得: (1 ? 解得: p ? 0 .

p 2 ) ? 1? (1 ? p ) . 2

?????? 6 分

当 p ? 0 时,由 2an?1 ? 2an ? p 得: an?1 ? an ? ? ? 1 . 显然,数列 {an } 是以 1 为首项,1 为公比的等比数列. 所以 p ? 0 . (Ⅲ)当 p ? 0 时,由(Ⅱ)知: an ? 1(n ? 1, 2,3,?) . 所以 ?????? 7 分

1 1 ? 1(n ? 1, 2,3,?) ,即数列 { } 就是一个无穷等差数列. an an

所以 当 p ? 0 时,可以得到满足题意的等差数列.

- 10 -

当 p ? 0 时,因为 a1 ? 1 , 2an?1 ? 2an ? p ,即 an ?1 ? an ?

p , 2

所以 数列 {an } 是以 1 为首项,

p 为公差的等差数列. 2

所以 an ?

p p n ?1? . 2 2

下面用反证法证明:当 p ? 0 时,数列 { 差数列. 假设存在 p0 ? 0 ,从数列 { 列 {bn } 的公差为 d . ①当 p0 ? 0 时, an ? 0(n ? 1, 2,3,?) .

1 } 中不能取出无限多项并按原来次序排列而成等 an

1 } 中可以取得满足题意的无穷等差数列,不妨记为 {bn } . 设数 an

所以 数列 {bn } 是各项均为正数的递减数列. 所以 d ? 0 . 因为 bn ? b1 ? (n ?1)d (n ? 1, 2,3,?) , 所以 当 n ? 1 ?

b1 b 时, bn ? b1 ? (n ? 1)d ? b1 ? (1 ? 1 ? 1)d ? 0 ,这与 bn ? 0 矛盾. d d

②当 p0 ? 0 时,令

p0 p 2 n ? 1 ? 0 ? 0 ,解得: n ? 1 ? . 2 2 p0

所以 当 n ? 1 ?

2 时, an ? 0 恒成立. p0

所以 数列 {bn } 必然是各项均为负数的递增数列. 所以 d ? 0 . 因为 bn ? b1 ? (n ?1)d (n ? 1, 2,3,?) , 所以 当 n ? 1 ?

b1 b 时, bn ? b1 ? (n ? 1)d ? b1 ? (1 ? 1 ? 1)d ? 0 ,这与 bn ? 0 矛盾. d d

- 11 -

综上所述, p ? 0 是唯一满足条件的 p 的值.

?????? 14 分

- 12 -



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