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【专项特训++高考解码】2015届高三数学二轮复习(新课标)-解析几何综合题(解析) (1)



x2 y2 1.(2014· 安徽高考)设 F1 ,F2 分别是椭圆 E : 2 + 2 =1(a>b>0)的左、右焦点,过点 F 1 a b 的直线交椭圆 E 于 A ,B 两点,|AF1 |=3|F1 B |. (1)若|AB |=4,△ABF 2 的周长为 16,求|AF 2 |; 3 (2)若 cos ∠AF2 B = ,求椭圆 E 的离心率. 5 【解】 (1)由|AF

1 |=3|F 1B |,|AB |=4, 得|AF 1|=3,|F1 B |=1. 因为△ABF 2 的周长为 16,所以由椭圆定义可得 4a=16,|AF 1|+|AF 2 |=2a=8. 故|AF 2 |=2a -|AF 1|=8-3=5. (2)设|F1 B |=k ,则 k >0 且|AF 1 |=3k ,|AB |=4k. 由椭圆定义可得, |AF 2|=2a-3k ,|BF2 |=2a-k . 在△ABF 2 中,由余弦定理可得, 2 2 2 |AB | =|AF 2 | +|BF 2 | -2|AF 2 |· |BF 2 |cos ∠AF2 B , 6 2 2 2 即(4k ) =(2a-3k ) +(2a-k ) - (2a-3k)· (2a-k). 5 化简可得(a+k )(a-3k )=0,而 a+k >0,故 a=3k. 于是有|AF 2|=3k =|AF1 |,|BF 2|=5k. 因此|BF 2|2 =|F 2 A|2 +|AB |2 ,可得 F1 A ⊥F 2 A , 故△AF 1F 2 为等腰直角三角形. 2 c 2 从而 c= a,所以椭圆 E 的离心率 e= = . 2 a 2 2.(2014· 全国大纲高考)已知抛物线 C:y2 =2px(p>0)的焦点为 F ,直线 y=4 与 y 轴的交 5 点为 P ,与 C 的交点为 Q,且|QF|= |PQ|. 4 (1)求 C 的方程; (2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A 、B 两点, 若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M、N 两点, 且 A 、M、B 、N 四点在同一圆上,求 l 的方程. 8 【解】 (1)设 Q(x0,4),代入 y2 =2px 得 x0 = . p 8 p p 8 所以|PQ|= ,|QF |= +x0 = + . p 2 2 p p 8 5 8 由题设得 + = × ,解得 p=-2(舍去)或 p=2. 2 p 4 p 所以 C 的方程为 y2 =4x. (2)依题意知 l 与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x=my+1(m≠0). 代入 y2 =4x 得 y2 -4my-4=0. 设 A (x1 ,y1),B(x2 ,y2 ),则 y1 +y2 =4m,x1 y2 =-4. 故 AB 的中点为 D(2m2 +1,2m),|AB |= m2 +1|y1 -y2 |=4(m2 +1). 1 又 l′的斜率为-m,所以 l′的方程为 x=- y+2m2 +3. m 4 2 2 2 将上式代入 y =4x,并整理得 y + y-4(2m +3)=0. m 4 设 M(x3 ,y3),N(x4 ,y4 ),则 y3 +y4 =- ,y3 y4 =-4(2m2 +3). m 2 2 4?m +1? 2m +1 2 2 1 故 MN 的中点为 E ( 2 +2m2 +3,- ),|MN|= 1+ 2|y3 -y4 |= . m m m m2 1 1 由于 MN 垂直平分 AB ,故 A 、M、B 、N 四点在同一圆上等价于|AE |=|BE |= |MN|,从而 2 4 1 2 2 2 |AB | +|DE | = |MN| ,即 4

一、解析几何综合题

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4?m +1? ?2m +1? 2 2 2 2 2 2 4(m +1) +(2m+ ) +( 2 +2) = , m m m4 化简得 m2 -1=0,解得 m=1 或 m=-1. 所求直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0. 3.(2014· 浙江温州适应性测试)

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如图所示,抛物线 C1 :x2 =4y 在点 A ,B 处的切线垂直相交于点 P ,直线 AB 与椭圆 C2 : x y2 + =1 相交于 C,D 两点. 4 2 (1)求抛物线 C1 的焦点 F 与椭圆 C2 的左焦点 F 1 的距离; (2)设点 P 到直线 AB 的距离为 d,试问:是否存在直线 AB ,使得|AB |,d,|CD|成等比数 列?若存在,求直线 AB 的方程;若不存在,请说明理由. 【解】 (1)抛物线 C1 的焦点 F (0,1), 椭圆 C2 的左焦点 F 1(- 2,0), 则|FF 1|= 3. (2)设直线 AB :y=kx+m,A (x1 ,y1),B (x2 ,y2 ),C(x3 ,y3 ),D(x4 ,y4 ), ?y=kx+m, ? 由? 2 得 x2 -4kx-4m=0, ?x =4y, ?
2

故 x1 +x2 =4k ,x1 x2 =-4m. x 由 x2 =4y,得 y′= , 2 x x 故切线 PA ,PB 的斜率分别为 k PA = 1 ,k PB = 2 , 2 2 再由 PA ⊥PB ,得 kPAk PB =-1, x x x x -4m 即 1 ·2 = 1 2 = =-m=-1, 2 2 4 4 故 m=1,这说明直线 AB 过抛物线 C1 的焦点 F. x1 x 2 1 y= x- , 2 4 x1 +x2 由 得 x= =2k , 2 x2 x2 2 y= x- , 2 4 2 x x x2 x1 +x2 x2 x x y= 1 · 2k - 1 =kx1 - 1 = · x1 - 1 = 1 2 =-1, 2 4 4 4 4 4 即 P (2k ,-1).

? ? ?

于是点 P (2k ,-1)到直线 AB :kx-y+1=0 的距离 d= y=kx+1, ? ?2 2 由? x y 得(1+2k 2)x2 +4kx-2=0, ? 4 + 2 =1, ? 从而|CD|= 1+k 2
2

2k +2 1+k

2

2

=2 1+k 2.

?4k ?2 -4?1+2k 2?· ?-2? 2 1+2k

8?1+4k ? , 1+2k 2 同理,|AB |=4(1+k2 ) 若|AB |,d,|CD|成等比数列,则 d2 =|AB |· |CD|, = 1+k 2

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8?1+4k ? 即(2 1+k ) =4(1+k )· 1+k , 2 1+2k 4 2 化简整理,得 28k +36k +7=0,此方程无实根, 所以不存在直线 AB ,使得|AB|,d,|CD|成等比数列. 3? x2 y2 4.(2014· 江西南昌一模)已知点 P? 1 ,- 在椭圆 C : + =1(a>b>0)上,过椭圆 C 的右 ? 2? a2 b2 焦点 F 2(1,0)的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点. (1)求椭圆 C 的方程; 2 |AB | (2)若 AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦,且 MN∥AB ,W= . 试判断 W 是否为定值?若 W |MN| 为定值,请求出这个定值;若 W 不是定值,请说明理由. 【解】 (1)椭圆 C 的右焦点坐标为(1,0),∴c=1,椭圆 C 的左焦点坐标为(-1,0), 3 3 可得 2a= ?1+1?2 +? - ? 2+ ?1-1?2 +? - ? 2 ? 2? ? 2? 5 3 = + =4,解得 a=2. 2 2 2 2 x y ∴b2 =a2 -c2 =4-1=3,∴椭圆 C 的标准方程为 + =1. 4 3 (2)①当直线斜率不存在时,|AB |2 =(2b)2 =4b2 , 2b2 |AB |2 4b2 |MN|= ,∴W= = =2a=4. a |MN| 2b2 a ②当直线斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k (x-1)(k ≠0),且 M(x1 ,y1),N(x2 ,y2 ). 2 2 x y ? 2 ? + =1 4k 2 -12 8k 2 2 2 2 4 3 由? ,得,(3+4k )x -8k x+4k -12=0,x1 +x2 = 2,x1 x2 = 2, 3+4k 3+4k ?y=k ?x-1? ?
2 2 2 2

2

|MN|= 1+k |x1 -x2 |= ?1+k 2?[?x1 +x2 ?2 -4x1 x2 ]= 8k ?2 4k -12? 12?k +1? ?1+k ??? - 4× = . ??3+4k 2? 3+4k 2 ? 3+4k 2
2 2 2 2

2

设直线 AB 的方程为 y=kx(k ≠0), x2 y2 ? ? + =1 12 由? 4 3 ,消去 y,并整理得:x2 = , 3 + 4k 2 ? ?y=kx 设 A (x3 ,y3),B(x4 ,y4 ),则 |AB |= 1+k 2|x3 -x4 |=4 48?1+k 2? 3?1+k 2? 3+4k 2 |AB |2 = =4. 综上所述,W 为定值 4. 2 ,∴W= 3+4k |MN| 12?1+k 2? 3+4k 2

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