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高中数学选修2-1同步练习 3.1.2空间向量的数乘运算(含答案)



3.1.2 空间向量的数乘运算
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.对于空间中任意三个向量 a,b,2a-b,它们一定是( A.共面向量 C.不共面向量 答案: A 2.当|a|=|b|≠0,且 a,b 不共线时,a+b 与 a-b 的关系是( A.共面 C.共线 B.不共面 D.无法确定 ) B.共线向量 D.既不共线也不共面向量 )

>解析: 由加法法则知:a+b 与 a-b 可以是菱形的对角线. 答案: A

→ → 1→ 1→ 3.已知点 M 在平面 ABC 内,并且对空间任意一点 O, OM=xOA+ OB+ OC,则 x 的值为( 3 3
A.3 C. 1 3 B.0 D.1

)

1 1 1 → → 1→ 1→ 解析: ∵OM=xOA+ OB+ OC,且 M、A、B、C 四点共面,∴x+ + =1,x= .故选 C. 3 3 3 3 3 答案: C 4.已知两非零向量 e1,e2 不共线,设 a=λ e1+μ e2(λ 、μ ∈R 且 λ +μ ≠0),则( A.a∥e1 C.a 与 e1,e2 共面 B.a∥e2 D.以上三种情况均有可能
2 2

)

解析: 当 λ =0,μ ≠0 时,a=μ e2,则 a∥e2; 当 λ ≠0,μ =0 时,a=λ e1,则 a∥e1; 当 λ ≠0,μ ≠0 时,a 与 e1,e2 共面. 答案: D 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5. 已知 O 是空间任一点, A、 B、 C、 D 四点满足任三点均不共线, 但四点共面, 且OA=2xBO+3yCO+4zDO, 则 2x+3y+4z=________.









→ → → → 解析: ∵A、B、C、D 共面,∴OA=OB+λ B C +μ BD
=OB+λ (O C -OB)+μ (O D -OB) =(1-λ -μ ) OB+λ O C +μ OD



→ → →

→ → →



=(λ +μ -1) BO-λ CO-μ DO =2xBO+3yCO+4zDO,













∴2x+3y+4z=(λ +μ -1)+(-λ )+(-μ ) =-1. 答案: -1

→ → → 6.已知 A,B,C 三点共线,则对空间任一点 O,存在三个不为 0 的实数 λ ,m,n,使 λ OA+mOB+nOC
=0,那么 λ +m+n 的值为________. 解析: ∵A,B,C 三点共线,∴存在唯一实数 k 使AB=kAC,





→ → → → 即 O B -OA=k(OC-O A ), → → ∴(k-1) OA+OB-kOC=0,
→ → → 又 λ OA+mOB+nOC=0, 令 λ =k-1,m=1,n=-k, 则 λ +m+n=0. 答案: 0 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.已知矩形 ABCD,P 为平面 ABCD 外一点,M、N 分别为 BC、PD 的 中点,求满足

→ → → → M N =xAB+yAD+zAP的实数 x,y,z 的值.
解析: MN=MC+CD+DN 1→ → 1→ = BC+BA+ DP 2 2 1→ → 1 → → = AD-AB+ (AP-AD) 2 2

→ → → →

→ 1→ =-AB+ AP, 2
1 ∴x=-1,y=0,z= . 2

8.如图,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 AD1 中点,N 是 BD

中点,判断 MN 与



D1C是否共线?
解析: ∵M,N 分别是 AD1,BD 的中点,四边形 ABCD 为平行四 则 N 为 AC 的中点. 边形,连结 AC,



1→ → → → 1 → 1→ 1 → → ∴MN=A N -A M = A C - AD1= (A C -AD1)= D1C 2 2 2 2

→ → ∴MN与D1C共线.

?尖子生题库?☆☆☆ 9.(10 分)如图,若 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点,点 H 为 PC 上的点, 且

PH 1 AG = ,点 G 在 AH 上,且 =m.若 G,B,P,D 四点共面,求 m 的值. HC 2 AH

解析: 连结 BD,BG, ∵AB=PB-PA且AB=DC, ∴DC=PB-PA. ∵PC=PD+DC, ∴PC=PD+PB-PA=-PA+PB+PD. ∵

→ → → → → → → → → → →

→ → → →

→ → →

PH 1 = , HC 2

→ 1→ 1 → → → ∵PH= PC= (-PA+PB+PD) 3 3
1→ 1→ 1 → =- PA+ PB+ PD. 3 3 3 又∵AH=PH-PA, 4→ 1→ 1→ → ∴AH=- PA+ PB+ PD. 3 3 3 ∵

→ → →

AG =m, AH

4m→ m → m→ → → ∴AG=mAH=- PA+ PB+ PD. 3 3 3 ∴BG=-A B +AG=PA-PB+AG,



→ → → → →

→ ? 4m?→ ?m ?→ m→ ∴BG=?1- ?PA+? -1?PB+ PD. 3? 3 ? ?3 ?
又∵B,G,P,D 四点共面,

4m ∴1- =0, 3 3 ∴m= . 4



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